Problème de tournées de véhicules combinées à la gestion des

Transcription

Problème de tournées de véhicules combinées à la
gestion des stocks.
Sophie Michel
François Vanderbeck
[email protected]
JFRO, 6 avril 2007.
S.Michel, F.Vanderbeck
Inventory Routing
1
Plan
1
2
3
4
5
6
Problématique
Modélisation
Bornes duales
Bornes primales
Solutions sur les données industrielles
Conclusion et perspectives de recherche
Inventory Routing
2
Tournées de véhicules et Gestion des stocks
1
2
3
4
5
6
Problématique: Tournées de véhicules et Gestion des stocks
Modélisation
Bornes duales
Bornes primales
Inventory Routing
3
Application
Collecte d’un produit sur différents sites
Application industrielle
(260 sites)
Décisions à long terme
Inventory Routing
4
Problématique
Structure
modèle de tournées de véhicules
modèle de gestion de stock
3 décisions:
1
quand visiter un client?
2
quelle quantité collecter?
3
quelle route utiliser?
Optimisation simultanée
Inventory Routing
5
Problématique
Structure
Période1
3 décisions:
1
2
3
Inventory Routing
5
Problématique
Structure
Période2
3 décisions:
1
2
3
Inventory Routing
5
Problématique
Structure
Période3
3 décisions:
1
2
3
Inventory Routing
5
Littérature "Inventory Routing Problem" (IRP)
[Ba] Bell, Dalberto, Fisher, Greenfield, Jaikumar, Kedia, Mack,
Prutzman 1983
[Ga] Golden, Assad, Dahl 1984
[AF] Anily, Federgruen 1990
[WL] Webb, Larson 1995
[C] Christiansen 1999
[Qa] Qu, Bookbinder, Iyogun 1999
[Ca] Campbell, Clarke, Savelsbergh 2002
[Ma] Malépart, Boctor, Renaud, Labillois 2002
[GF] Gaur, Fisher 2004
Inventory Routing
6
Nombreuses variantes
un produit [Ba,Ga,AF,WL,C,Ca,GF] ou plusieurs [Qa,Ma]
horizon mono-périodique [Ga,Ma], roulant [Ba,Ca],
multi-périodique [C,GF], infini [AF,WL,Qa]
demande déterministe [AF,WL,C,Ca,Ma,GF], stochastique
[Ga,Qa], en ligne [Ba]
et applications
Livraisons
pour des industries de gaz, de produits chimiques [Ba,Ga,Ca], par
bateau [C],
pour des chaînes de supermarché [GF],
pour des stations essence [Ma]...
Inventory Routing
7
Politiques restrictives
Heuristique en deux phases
Partition fixe [AF,GF]
[Ga,Qa,Ca,Ma]
1
Planification sur un horizon T
2
Elaboration des routes pour
chaque période
Basées sur une approche exacte
Heuristiques primales [Ba]
Branch-and-Price [C]
”Order up to level” [WL]
difficultés de comparaisons des méthodes
Inventory Routing
8
Modélisation
1
2
3
4
5
6
Problématique
Notre problème : modélisation du niveau tactique
Bornes duales
Bornes primales
Inventory Routing
9
Modélisation
Modèle de tournées pour un véhicule et sur une période
Modèle de tournées
Régionalisation
Cluster, ensembles homogènes de clients:
Inventory Routing
10
Modélisation
Modèle de tournées pour un véhicule et sur une période
Structure coût [1]
coût d’ouverture du centre k: ck
c0k
ck 1
coût de connexion du client i au centre k:
cki cki fi min c0i c0k ci1 ck 1
fk
ck
cki
k
i
[1] ML. Fisher et R. Jaikumar, A Generalized Assignment Heuristic for Vehicle
Routing, 1981.
Inventory Routing
11
Modélisation
Modèle de gestion de stock
Gestion de stock
Hypothèses
un seul type de produit
demandes déterministes
à chaque collecte, le stock est entièrement vidé
politique “order up to level”
pas de coût de stockage
horizon
la quantité collectée est normalisée en nombre de périodes.
Inventory Routing
12
Modélisation
Modèle de gestion de stock
Planning périodique
P 1 Pmax fixé.
H la longueur du cycle de régénération du planning
ppcm des périodicités des clusters du planning
T ppcm p p P .
Cluster p périodique, où p
P
1 2 3 :
t1
i1
i2
i3
p
3
t2
t3
t4
3
Inventory Routing
t5
t6
H
3
13
Modélisation
Modèles de gestion de stock pour un client
Cluster périodique = planning partiel
Pour un client, cluster = triplet s p
Planning-client:
C2 = (1 4 2) + (2 2 1)
r
C1 = (1 4 2) + (2 4 1) + (3 4 1)
Planning partiel =
une matrice indicatrice
C1
C2
!
!
!
!
Symétrie
dans le choix des dates de départ.
s la date de départ
p la périodicité
la quantité collectée
Inventory Routing
C1’
C1”
t1
t2
t3
t4
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
" # $ "
" %
"%
" " #
" $ #
$
"
14
Modélisation
Approche de décomposition
Problème maître discret
& (' )
!
*
+ FormDiscrete, min
Soit c q s q p q q q Q l’ensemble des clusters périodiques et la
matrice q et la variable q associées à chacun d’eux.
Vmax
-/.
)
. ! * 0 1
. ! * Vmax
* 0 1
Vmax IN 5
q Q
q
it q
q
q
0t q
q
q
cq
pq
*
q
1 i t 32 1 t 3 4 1q
it
t
résoudre le maître PL par génération de colonnes
Inventory Routing
15
Modélisation
Problème de pricing
Pour chaque périodicités p, date s et centre k:
problème de sac-à-dos à choix multiple (MCKP) [1]
6 7 p 7 8 8 89 ' 7
. ' 7 11i
. 7 d ' 7 W
7
' 7 0 1 : 1 i 5
max
i
psk
i
i
i
i i
i
i
Stop à la première colonne de coût réduit négatif
[1] D. Pisinger, A minimal Algorithm for the Multiple-Choice Knapsack
Problem, 1995.
Inventory Routing
16
Modélisation
Symétrie en t
énumération de solutions équivalentes
instabilité des variables duales
2
it
Agrégation des périodes (“state space relaxation”)
;<
Q r
r
q c c = ' ' p p * . *
) >?
Soit Q r
q
r
q
r
q
r
r
s q libre
q
q Q r
Inventory Routing
17
Modélisation
Problème maître agrégé
+ FormAgr ,
- .
min Vmoy
. ' 7* 0
) p
. 1* ) p
* r
)
r R
r
i
r
1
r
r
Vmoy
r
IN
r R
r R
Vmoy
Vmoy
IN
5
cr
pr
*
r
1i
1
32 34 i
r
Vmax
Inventory Routing
18
Modélisation
Comparaison des formulations
Comparaison des solutions linéaires
+
+
,
,
BD( FormDiscrete ) = BD( FormAgr )
Solution symétrique:
1 r q Q r @ V* A max * A V moy
A
A
q
1
pr
r
+ FormAgr , est plus rapide.
Inventory Routing
19
Modélisation
Comparaison des solutions entières
le modèle agrégé est une relaxation du modèle discret
Inventory Routing
20
Modélisation
EX 1 : Sous-estimation du nombre de véhicules
0
1
. R1 utilise
. R2 utilise
1
3
1
2
R1, p
2
R2, p
B
B
3
2
de véhicule
de véhicule
+
,
C C
Solution pour FormAgr : 1 R1 1 R2 et Vmoy
!
t
0
1
2
R2
3
R1
4
R2
Inventory Routing
5
1
6
R1 - R2
21
Modélisation
Ex 2 : Planning d’un client irréalisable
. R1 couvre
!
. R2 couvre
t
i
1
R2
2
1
2
1
2
E E
R1: p
R2: p
0
i
B 6D B
B 4D B
i2
1
1
11
12
i3
de la demande
de la demande
+
, C
C
8
9
R2
Solution pour FormAgr : 1 R1+1 R2
3
4
R1
E
5
R2
6
7
Inventory Routing
E E E
10
R1
E
22
Bornes duales
1
2
3
4
5
6
Problématique
Modélisation
Bornes duales avec FormAgr , P
1 2 3 4 5 6
Bornes primales
F
G
Inventory Routing
HJI K K K K K L
23
Bornes duales
Branch-and-Price-and-cut tronqué
Coupes
i
tmax
. R1 couvre
5
6
M
B 6D B
i5
t1 t2 t3 t4
R1
Solution fractionnaire: 1 2 R1
de la demande
R1: p
0
1
5
5C
t5
t6
E E E E
*N p *O Q P p 0 2
+
Inégalités valides pour FormAgr ,
Pour tout h 1 O T 2 et i N tel que tmax R 1,
h
h
.
' 7* .
W
V
' 7* 0
p
pX
p
S7 T
S 7 TU
Une coupe:
2
i
r
i
r h mod p 0
r
i
r
r
1
r h mod p 0
Inventory Routing
24
Bornes duales
Coupes : implémentation
Modifie seulement l’objectif du problème de pricing.
Nombre polynômial de coupes.
Séparation exacte
Enumération.
Ajout de K coupes.
Stop quand on a trouvé K coupes violées.
Inventory Routing
25
Bornes duales
Branchement sur Vmoy
Vmoy
N1 : Vmoy
B v ZY
IN
[]\ v ^
N2 : Vmoy
_a` v b
numériquement
irréalisable (pure phase 1)
valeur Vmoy entière
Inventory Routing
26
Bornes duales
Branchement + coupes : résultats numériques
Nom
moy AL100
moy S60
GN172
Pb157
moy 17 inst
BDrac
325.674
224.836
517.348
601
dev
22.81
26.38
16.46
15.40
23.05
SpSol
10.84
MR
8.14
dev+cp
21.31
25.51
15.59
14.39
21.80
dev+br
10.37
12.51
8.65
5.83
10.63
BD+br+cp
366.123
254.083
558.452
659.839
dev+br+cp
9.24
11.83
7.89
5.11
9.67
am = 12.42%
Temps (en %)
PC (sep)
N0
73.49 (4.14) 5.87
Inventory Routing
N1
16.17
N2
77.91
27
Bornes primales
1
2
3
4
5
6
Solutions heuristiques
Problématique
Modélisation
Bornes duales
Bornes primales avec FormAgr et FormDiscrete ,
P
1 2 3 4 5 6
HcI K K K K K L
F
G F
Inventory Routing
G
28
Bornes primales
Heuristique d’arrondi
1
Résoudre le maître continu:
initialement à l’optimum,
réoptimisation limitée, génération de colonnes compatibles.
2
3
4
Fixer une colonne à 1 et choisir une date de départ
coût
selon le score
satisfaction des contraintes
Mettre à jour le maître et le problème de pricing.
Si (“critères d’arrêt”) alors STOP; sinon étape 1.
nouveau départ sur le même solution continue
Inventory Routing
29
Bornes primales
Diverses Variantes sur moy 17 inst
nbMaxCg = 300, racine, 3P
nbMaxCg = 100
Toutes les 200 iter
Coupes
Branchement
dev
14.76
21.18
16.82
26.92
11.66
Vmax
4.05
4.11
4.18
4.65
4
Temps HA
10m20s
3m18s
20m27s
1h15m
19m47s
Temps
BP
dev
Vmax HA (en %)
Total
nbMaxCg = 300, 3P, racine et après branchement
moy AL100
409.399 12.29
4
90
18m22s
moy S60
285.056 11.75
3
78
6m10s
GN172
589.582 5.574
6
79
1h22m2s
Pb157
731.48
10.85
7
91
1h30m16s
moy 17 inst
11.66
4
Nom
P
1 2 3 : dev = 9,67% en moins de 1h,
+ post-optimisation, P
1 2 3 6 : dev = 8,84% (en moins de 1s).
Inventory Routing
30
Bornes primales
Diverses Variantes sur moy 17 inst
nbMaxCg = 300, racine, 3P
nbMaxCg = 100
Toutes les 200 iter
Coupes
Branchement
dev
14.76
21.18
16.82
26.92
11.66
Vmax
4.05
4.11
4.18
4.65
4
Temps HA
10m20s
3m18s
20m27s
1h15m
19m47s
Temps
BP
dev
Vmax HA (en %)
Total
nbMaxCg = 300, 3P, racine et après branchement
moy AL100
409.399 12.29
4
90
18m22s
moy S60
285.056 11.75
3
78
6m10s
GN172
589.582 5.574
6
79
1h22m2s
Pb157
731.48
10.85
7
91
1h30m16s
moy 17 inst
11.66
4
Nom
P
1 2 3 : dev = 9,67% en moins de 1h,
+ post-optimisation, P
1 2 3 6 : dev = 8,84% (en moins de 1s).
Inventory Routing
30
Bornes primales
Heuristique de recherche locale
1
2
A
h Qh enm Qh o Q1 p Q2.
Solution d S egfiQh ekj voisine de (S flQ);
h jOm d S erf Qh e j et retour en (a), sinon STOP.
Si S e q S alors d S f Q
Solution initiale (S Q).
Faire:
1
2
Une solution voisine = 1 échange
1
Supprimer les mauvaises colonnes et des colonnes voisines.
2
Fixer une colonne.
3
Compléter la solution à l’aide de l’heuristique d’arrondi.
Exploration du voisinage
Stop à la première meilleure solution trouvée.
Le nombre d’échanges est borné.
Inventory Routing
31
Bornes primales
Heuristique de recherche locale
1
2
A
h Qh enm Qh o Q1 p Q2.
Solution d S egfiQh ekj voisine de (S flQ);
h jOm d S erf Qh e j et retour en (a), sinon STOP.
Si S e q S alors d S f Q
Solution initiale (S Q).
Faire:
1
2
Une solution voisine = 1 échange
1
Supprimer les mauvaises colonnes et des colonnes voisines.
2
Fixer une colonne.
3
Compléter la solution à l’aide de l’heuristique d’arrondi.
Exploration du voisinage
Stop à la première meilleure solution trouvée.
Le nombre d’échanges est borné.
Inventory Routing
31
Bornes primales
Appel à la racine sur les solutions des différentes passes de
l’heuristique d’arrondi.
Le nombre de colonnes fixées est limité.
Nom
moy AL100
moy S60
GN172
Pb157
moy 17 inst
moy HA
BP
407.892
285.18
590.48
708.594
dev
11.8858
11.7374
5.73506
7.38898
11.22
11.66
Vmax
4
3
6
7
4
4
Inventory Routing
HA
19
22
48
71
Temps (en %)
RL
Total
76
46m4s1
74
13m27s
38 1h0m50s
24
54m50s
q
1h30
32
Données Industrielles
1
2
3
4
5
6
Problématique
Modélisation
Bornes duales
Bornes primales
Résolution du Problème Industriel
Inventory Routing
33
Résolution
Collecte d’un produit sur différents sites
BD+br+cp = 838.17 en 8h34m (PC = 5h21m).
Heur
BP
HA
RL
915.735
912.981
HA
RL
894.125
890.384
Temps (en %)
dev
Vmax nbCol HA RL
Total
P
1 2 3 4 5 6
9.25414
9
55460 84
4h29m
8.9255
9
48278 45 44 3h40m
P
1 2 3 +post-optimisation
6.67584
9
39119 35
1h49m
6.22948
9
40826 12 60 2h53m
mts f f f f f u
mvs f f u
Inventory Routing
34
Résolution
Solution:
Solution industrielle
(6-périodique)
Inventory Routing
35
Comparaison
Comportement moyen sur une période
Solution opérationnelle industrielle
(année 2005)
Notre solution tactique
basée sur les fréquences de collecte
10 routes
59 collectes
782.63 km
Semaines creuses ou fortes
Inventory Routing
9 routes
98.5 collectes
711.125 km
aider le modèle opérationnel
36
1
2
3
4
5
6
Problématique
Modélisation
Bornes duales
Bornes primales
Inventory Routing
37
Conclusion
Problème industriel
w
littérature.
Choix de modélisation tactique.
Solutions avec garantie de la déviation à l’optimum.
Perspectives et développements
Algo exacte de Branch-and-Price-and-Cut.
Heuristiques primales basées sur la décomposition.
Niveau opérationnel.
Inventory Routing
38
Conclusion
Problème industriel
w
littérature.
Choix de modélisation tactique.
Solutions avec garantie de la déviation à l’optimum.
Perspectives et développements
Algo exacte de Branch-and-Price-and-Cut.
Heuristiques primales basées sur la décomposition.
Niveau opérationnel.
Inventory Routing
38

Problème de tournées de véhicules combinées à la gestion des

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