Fonction carré

FONCTION CARRE
I) Présentation
Définition : on appelle fonction carré la fonction x a x 2 définie sur R.
Remarques :
• Tout réel admet un carré ; l’ensemble de définition de la fonction carré est donc R.
‚ Si on note f la fonction carré, f(3) = 9 et f(.3) = 9, alors 9 a deux antécédents par la fonction carré. L’équation x 2 = 9
admet deux solutions qui sont .3 et 3.
ƒ La fonction carré permet de définir l’opérateur « élévation au carré »
o2
.
y = x2
II) Représentation graphique
Lorsqu’on représente dans un repère les points de coordonnées (x ; x 2 ),
on obtient la représentation graphique de la fonction carré.
Définition : Dans un repère, la représentation graphique de la fonction
carré est une courbe appelée parabole ; son équation est y = x 2 ;
l’origine O du repère de coordonnées (0 ;0) est appelé le sommet de la
parabole.
Propriété : La parabole représentant la fonction carré admet l’axe des
ordonnées comme axe de symétrie ; on dit que la fonction carré est paire.
Remarque : Les points M et M’ de la courbe d’abscisse x et .x ont même
ordonnée x 2 ; en effet ( − x )2 = ( − x) × (− x ) = − − x2 = x 2 . Ils sont donc
symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
1
O
1
Propriété : Soit g une fonction définie sur R.
Lorsque la fonction g est telle que pour tout x réel, g(.x) = g(x), alors la
représentation graphique Bg de la fonction g est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ; on dit alors que la
fonction g est paire.
III) Sens de variation
Théorème :
• La fonction carré est croissante sur R+ = [0 ;+∞[ ;
• La fonction carré est décroissante sur R− = ]−∞ ; 0].
Conséquences :
• Sur [0 ;+∞[ : deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre : 0 ; x1 < x2 équivaut à x12 < x22 .
o2
L’opérateur
conserve l’ordre sur [0 ;+∞[.
• Sur ].o ; 0] : deux nombres négatifs et leurs carrés ne sont rangés pas dans le même ordre :
o2
x1 < x2 ; 0 équivaut à x12 > x22 . L’opérateur
inverse l’ordre sur ].o ; 0].
• Tableau de variation :
x
−∞
0
+∞
La fonction carré possède un minimum 0 atteint pour x = 0 (en 0), c’est-à-dire :
pour tout x ∈ R , on a : f ( x ) ≥ f ( 0) soit x 2 ≥ 0 .
Variation de
f
0
Fonction carré 1/1