Devoir Surveillé de mécanique des fluides.

UV P8
Devoir Surveillé de mécanique des fluides.
22/06/12
durée : 2h
Tous les résultats doivent être reportés dans la fiche réponse qui est utilisée de façon prioritaire pour la
correction. Lorsque vos calculs ou démonstrations ne « rentrent pas » dans la fiche réponse, reportez-les
dans la copie d’examen.
Les calculatrices ne sont pas autorisées.
Merci d’éteindre et de ranger les téléphones portables.
Exercice 1 « Problème de cinématique»
Considérons le champ Eulérien de température donné par
avec
et
des constantes et le champ Eulérien des vitesses du fluide :
√
⃗
|
√
exprimés en base cartésienne avec
.
On considérera le mouvement d’une particule positionnée en (
) à
. On rappelle
ème
l’expression en repère cartésien de la dérivée particulaire de la i composante du :
1. Dire en vous justifiant par le calcul si l’écoulement est :
a. Plan,
b. Stationnaire ou instationnaire,
c. Compressible ou incompressible,
2. Donner la définition d’une ligne de courant.
3. Donner une description mathématique de la ligne de courant passant par (
)à
.
Cette ligne de courant correspond-t-elle à une trajectoire ?
4. En injectant cette relation dans la description du champ des vitesses, ce dernier perd en
généralité et se réduit à la descritpion de la vitesse de la particule considérée. Intégrer ce
champ réduit de façon à obtenir les coordonnées paramètriques de la particule
( ( ) ( ) ( )).
5. Calculer l’expression de la dérivée particulaire de la température. Que devient cette
expression pour la particule considérée ? Commenter.
6. A
seconde, dire où se trouve la particule et calculer la variation (en degrès Kelvin)
de la température du fluide qui entoure la particule entre les instants A
0 et
s
Fiche réponse Exercice 1 «Problème de cinématique»
11 pts
Nom :
Prénom :
2 pts
1.
a. l’écoulement est plan,
b. stationnaire,
c. incompressible ( ( ⃗ )=0),
1 pt
3 pts
2. Une ligne de courant est une courbe qui est en tout point tangente au vecteur de vitesse.
3. Il y a deux méthodes de résolution. On peut par exemple intégrer l’équation suivante :
(
)
En fixant les bornes des intégrales de façon à faire coïncider
à
, on parvent
au résultat suivant
. Dans le cas considéré, l’écoulement est stationnaire et cette
√
ligne de courant correspond à la trajectoire de la particule considérée.
2 pts
4. On parvient à ( )
2 pts
5.
⏟
⏟
(
⏟ ⏟
)
⏟
( )
( )
.
√
√
1 pts
Pour la particule considérée, on remplace par
et on aboutit à
√
que la variation de température vue par la particule varie linéairement.
( )
( )
( )
6. à
et
K
. Cela indique
UV P8
Devoir Surveillé de mécanique des fluides.
22/06/12
durée : 2h
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dans la copie d’examen. Les calculatrices ne sont pas autorisées.
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Exercice 2 « Le Vase de Mariotte »
Le vase de Mariotte est un réservoir de section supérieure , de
hauteur
et d’évacuation (avec
). Un tube ouvert sur ses
deux extrémités de section
pénètre ce réservoir. Pendant la
vidange, la pression d’air enfermée dans le réservoir varie.
On fera l’hypothèse qu’à chaque instant l’écoulement peut être
considéré stationnaire même si l’interface air/eau se déplace à
l’intérieur du réservoir.
On considère dans un premier temps que ( )
.
1. Rappeler les conditions d’application de l’équation de Bernouilli.
2. En appliquant convenablement cette équation à ce système, exprimer la vitesse débitante
de
l’eau en sortie du réservoir. Vous tracerez sur la figure ci-dessus la ligne de courant ainsi que les
points d’applications considérés. Remarque : cette vitesse ne dépend pas de !
3. Que dire de cette vitesse, quel est l’intérêt d’un tel dispositif.
4. Déduire de cette vitesse l’expression du débit volumique de l’écoulement.
5. Quelle sera alors l’expression de la vitesse de l’interface air/eau à l’intérieur du réservoir.
6. En déduire l’expression de ( ) sachant que ( )
. Vérifier que cette fonction est de type
affine. Calculer également l’expression de l’instant pour lequel ( )
.
7. En appliquant à nouveau l’équation de Bernouilli à un instant entre la surface libre à l’intérieur
du réservoir et la sortie du dispositif, donner l’expression de ( ).
8. Que dire de l’évolution de cette pression au cours du temps ? Calculer à l’aide de la question
précédente ce que vaut cette pression à
. Quel raisonnement vous permet de retrouver
directement ce résultat ?
On considère maintenant ( )
(pour
).
9. Que devient alors la vitesse débitante en sortie du réservoir en fonction de la côte ( ) ?
10. On peut montrer (non demandé ici) que dans ce cas, l’expression de la cote ( ) devient :
( )
(√
√ (
))
Donner l’expression de l’instant pour lequel ( )
.
11. Compléter la figure de la fiche réponse afin d’évaluer l’allure de la courbe représentant la fonction
( ) pour
.
Fiche réponse Exercice 2 «Le Vase de Mariotte»
13 pts
Nom :
Prénom :
0.5 pt
1. Fluide parfait, incompressible, soumis à une force de volume dérivant d’un potentiel (ici le poids),
stationnaire, valable le long d’une ligne de courant.
2. On applique Bernoulli entre le bas du tube de section (ou
) et le jet débouchant libre (ou
). On néglige la vitesse de l’eau dans le réservoir du fait du rapport des sections
.
(
)
On arrive à
√
3. Cette vitesse est constante tant que ( )
, ce qui permet d’assurer un débit d’écoulement
constant.
)
4.
√ (
)
)
5.
√ (
√ (
2 pts
6.
1.25 pts
2 pts
0.75 pt
1 pt
représente la vitesse de l’interface (
), en intégrant convenablement on arrive à
( )
Sachant que (
2 pts
1 pt
7.
)
on détermine
( )
(
( ))
( )
(
(
√
(
√
√
(
)
(
)
(
)
)
.
))
8. La pression augmente au cours du temps. En remplaçant t par
√
(
, on montre que
)
( )
. Ceci est logique puisque le gaz contenu dans le réservoir s’ouvre sur l’extérieur et la
pression s’égalise alors avec celle de l’air à l’extérieur du réservoir.
1 pt
9. Il s’agit de la vitesse de Torricelli
0.5 pts
10.
1 pt
11.
√
√
( ( )
)
√
( ( )).