RAPPORT DE STAGE DE RECHERCHE Contraction de Mori pour

Ecole polytechnique
Promotion X-2012
FANG Yanbo
RAPPORT DE STAGE DE RECHERCHE
Contraction de Mori pour surfaces à singularités canoniques
……………………………………………………………………………………
NON CONFIDENTIEL
PUBLICATION
Département MATHEMATIQUES
Champ: MAT593 : Géométrie et Système dynamiques
Directeur de stage : Sébastien Boucksom
Maître de stage : Andreas Höring
Dates du stage :16/03/15 – 03/07/2015
Nom et adresse de l'organisme :
Université Nice Sophia Antipolis
Laboratoire J. Dieudonné
06108 Nice Cedex 02
FRANCE
Rapport du stage de recherche MAT 593
Yanbo Fang
Abstract
In this report, we study the Contraction of Mori on algebraic surfaces
with canonical singularities. We give the types and number of singularities
that can appear.
Résumé
Dans ce rapport, on étudie la contraction de Mori pour les surfaces
algébriques à singularités canonique. On détermine le nombre et les types
des singularités qui peuvent apparaitre.
1
Contents
1 Introduction
3
2 Contraction de Mori pour surface lisse
2.1 Courbes sur surface . . . . . . . . . . . .
2.2 Contraction d’une (-1) courbe et modèle
2.3 Positivité du diviseur . . . . . . . . . . .
2.4 Contraction de Mori . . . . . . . . . . .
3 Contraction de Mori pour
3.1 Singularité canonique . .
3.2 Classification . . . . . .
3.2.1 Cas dimY = 2 .
3.2.2 Cas dimY = 1 .
3.2.3 Cas dimY = 0 .
surface
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
6
7
10
canoniques
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
11
11
12
13
18
20
. . . . . .
minimale
. . . . . .
. . . . . .
à singularités
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
Introduction
La programme du modèle minimal (”MMP” en abrégé) est une philosophie
de classification en simplifiant les variétés algébriques projectives dans sa classe
d’équivalence birationnelle ([9]). Dans cette programme, on cherche pour chaque
X une variété projective lisse, une autre variété X ′ ”minimal”, birationnellement equivalent à X.
En dimension 2, la minimalité est caractérisée par le fait que aucune d’autre
variété dans cette classe ne domine X ′ , et on peut toujour trouver une variété
lisse comme modèle minimal pour X; ce n’est plus vrai dans le cas en dimension
supérieure.
La contraction de Mori est une opération de base dans cette recherche: on
contracte les diviseurs sur X pour qu’il y ait moins de partie ”redondante” sur
la variété. Pour les surfaces projectives lisses, on a une trichotomie selon la
dimension de l’image de la contraction Y (dimY =0, 1, ou 2), et dans chaque
cas la contraction est bien comprise.
Le but de ce stage est d’essayer de généraliser cette trichotomie pour les contractions de Mori pour surfaces à singularités canoniques. Cette généralisation
est nécessaire dans la compréhension de la contraction de Mori pour variété lisse
de dimension supérieure.
Dans ce rapport le corps de base de toutes varitété est de caractéristique null
et algébriquement clôt. Toutes les variétés sont supposées projectives, normales
et connexes.
2
Contraction de Mori pour surface lisse
Dans cette section on suppose de plus que toutes les variétés (surfaces dans les
situations spécifiques) sont lisse.
2.1
Courbes sur surface
On fait un rappel sur quelques notions de base dans la géométrie algébrique des
surfaces. On renvoie le lecteur aux [1], [4], [10] et [11].
Definition 2.1. Une famille (Ui , fi ) est admissible si fi /fj est une fonction
regulière qui ne s’annule pas dans Ui ∩ Uj , où Ui est un recouvrement ouvert
de X avec fi une fonction rationnelle et non identiquement nulle dans aucune
composante irréductible de Ui . De telles familles sont équivalentes si leur réunion
est encore admissible.
Un diviseur du Cartier est une classe d’équivalence de familles admissibles. Le
groupe du diviseur (de Cartier) est le groupe abélien (à coefficient dans Z)
engendré par les diviseurs de Cartier.
3
Definition 2.2. Le groupe du diviseur (de Weil) est un groupe Abelien à coefficient dans Z, engendré formellement par les sous-variétés de codimension 1
irréductibles sur X. Un diviseur D est un élément dans ce groupe, i.e, une
somme finie de codimension 1 sous-variété avec Z coefficient. Il est dit effective
si dans l’écriture de D = Σai Di comme somme des sous varitétés irréductibles,
les coefficients ai sont tous positifs.
Remarque 2.1. Sur une variété lisse, le diviseur du Weil et le diviseur du Cartier
sont deux notion équivalentes. On ne distingue pas ces deux notions dans cette
section.
Remarque 2.2. On peut fournir les groupes du diviseur à coefficient dans Q ou
dans R, en faisant le produit tensoriel avec Q ou R.
Remarque 2.3. On peut facilement associer un fibré en droite (Ui , fi /fj ) à une
famille admissible. Alors on peut associer une classe d’isomorphisme du fibré
en droite à un diviseur de Cartier.
Definition 2.3. Le diviseur d’une fonction rationnelle f est le diviseur de
Cartier associé à la famille (X, f ). On le note div(f ).
Definition 2.4. Deux diviseurs D1 et D2 sont dits linéairement équivalents, si
D1 − D2 = div(f ) pour une fonction rationnelle f sur X.
Sur une courbe lisse C, un diviseur D est simplement un som formel fini des
points sur la courbe, à coefficients dans Z. Son degrée est simplement le som
des coefficients.
X
X
D=
ai Pi deg(D) =
ai
Le degrée d’une fibré en droite sur C est défini comme le degrée d’un diviseur associé. L’equivalence numérique entre les diviseurs associés permet de
bien déterminer ce degrée.
On note · l’opération d’intersection d’un diviseur Cartier et une courbe lisse.
Definition 2.5. Le nombre d’intersection d’un diviseur D et d’une courbe lisse
C est défini de manière suivante:
D · C = deg(OX (D))|C
où OX (D) est un fibré en droite associé au D sur X.
Remarque 2.4. En général, soit Li des faiseaux inversibles en X, pour 1 ≤ i ≤
n = dimX, alors on peut aussi définir un nombre d’intersection L1 · . . . · Ln .
Definition 2.6. Deux diviseurs D1 et D2 sont dits numériquement équivalents
si pour tout diviseur C, on a D1 · C = D2 · C.
Definition 2.7. Le groupe de Picard P ic(X) est le groupe quotient, du groupe
de diviseur en modulant l’équivalence linéaire. Le groupe de N 1 (X) est le groupe
quotient de P ic(X) en modulant l’équivalence numérique.
4
De mainère duale, on considère l’ensemble des combinaisons linéaire à coefficient dans Z des courbes irréductibles de X (on les appelle des 1-cycles). En
modulant l’equivalence numérique, on obtient
Definition 2.8. Deux courbes C1 et C2 sont dite numériquement équivalentes
si elles admettent meme nombre d’intersetion avec tout diviseur de X. Le groupe
N1 (X) est le groupe des 1-cycles modulo cette équivalence.
Definition 2.9. Le cone effective N E(X) est l’ensemble des combinaisons linéaires à coefficient (réel) positifs des classe numŕique de courbe sur X.
N E(X) = cone positif engendré par { [C]num | courbe C ⊆ X}
Remarque 2.5. Par un théorème de Niron-Séveri, le groupe N 1 (X) est un groupe
Abélien finiement engendré. Son rang est le nombre de Picard ρ(X). Le cone
effective N E(X) est un sous-ensemble d’espace vectoriel N1 (X) ⊗ R.
Pour étudier les contractions, on a besoin des notions analogues à version
”relative”.
Definition 2.10. Soit φ : X → Y un morphisme surjectif. Le groupe N1 (X/φ)
est le groupe engendré à coefficient Z des courbes irréductible en X contractées
par φ, modulo l’equivalence numérique, i.e
X
ai [Ci ] | Ci courbe irreductible de X, ai entier}
N1 (X/φ) = {
Le numbre de Picard relative ρ(X/Y ) est la dimension d’espace vectoriel de
N1 (X/φ) ⊗ R.
Definition 2.11. Soit φ : X → Y un morphisme surjectif. Le cone effectif
relative à φ est le cone engendré (à coefficient R) par les 1-cycles relative à φ
modulo l’equivalence numérique, i.e.
X
N E(X/φ) = {
bi [Ci ] | Ci ⊆ X courbe irreductible, φ(C1 ) = pt, bi ≥ 0}
Proposition 2.1 (Formule de projection). Soit X etY deux surfaces, φ : X →
Y un morphisme birationnel et L1 , L2 deux diviseurs sur Y . Alors L1 · L2 =
φ∗ (L1 ) · φ∗ (L2 ).
En général on peut avoir une formule de projection pour variété projective:
Proposition 2.2. Soit π : X → Y une application régulière, C une courbe sur
X, L un faiseau inversible sur Y . Alors
π∗ C · L = C · π ∗ L
on pose π∗ C = d · π(C) où d est la degré d’application régulière C → π(C).
Proposition 2.3. Formule du genre: soit C une courbe lisse sur X et g son
genre. Alors
2g − 2 = (KX + C) · C
5
Remarque 2.6. Pour une courbe non-lisse, il faut remplacer le genre (géométrique)
pg = g par le genre arithmétique pa ; on a toujour pa ≥ pg .
Definition 2.12. Un éclatement d’un point P ∈ A2 est la surface définie par
l’équation xu − yv = 0 dans A2 × P1 ; ici (x, y) sont coordonnés de A2 et (u; v)
sont coordonnés homogènes de P1 . Le préimage de (0, 0) est un diviseur E, le
diviseur exceptionnel.
Proposition 2.4. On a E 2 = −1.
Le nombre d’auto-intersection d’un diviseur exceptionnel d’un éclatement
est négatif; en général, si certaines courbes sont contractible par un morphisme,
la forme d’intersection est toujour négative au sens suivant:
Theorem 2.1. Soit {Γi }i∈I un ensemble des courbes en une surface lisse X.
Soit un morphism projectif birationnel h : X → Y qui contracte ces courbes.
Alors la forme d’intersection qX est définie négative en espace vectoriel réel
engendré par {Γi }i∈I .
Theorem 2.2. Soit {Γi }i∈I un ensemble connexe des courbes en une surface
lisse X. Soit un morphism surjectif h : X → Y qui contracte ces courbes sur un
point en une courbe lisse Y . Alors la forme d’intersection qX est P
définie seminégative en espace vectoriel réel engendré par {Γi }i∈I . De plus, si ( ni Γi )2 = 0
pour (n1 , . . . , n|I| ) ∈ Z|I| \ 0, alors {Γi }i∈I est proportionnel au fibre.
Pour la preuve, voir [10].
On rappèlle ici encore quelques résultats sans démonstration. Ces résultats
font une partie dans notre boite des outils.
Un type de surface seront utiles dans l’étude suivante. Ce sont les surface
de Hirzbruch Fn .
Definition 2.13. La surface de Hirzebruch est construite de manière suivante:
Fn = P(OP1 ⊕ OP1 (−n))
On note L le diviseur du fibre et Mn le diviseur effectif caractérisé par
Mn2 = −n sur Fn .
Proposition 2.5. Les deux surfaces suivantes sont isomorphes:
(1)l’éclatement d’un point Q ∈ Mn ∩ L de Fn ;
(2)l’éclatement d’un point R ∈ L \ Mn+1 de Fn+1 .
2.2
Contraction d’une (-1) courbe et modèle minimale
Le Programme du modèle minimal (Minimal Model Program en anglais, abrégé
MMP) est une philosophie de la classification des variétés algébriques. Etant
donné X, cette philosophie s’agit de chercher, parmi toutes les vartiétés dans
Bir(X), un modèle ”minimal” X ′ dont les proprietés géométriques sont, dans
certain sens, extrêmales.
6
Definition 2.14. Une courbe irréductible C ⊆ X est dite une (−1) courbe, si
C 2 = −1, C · KX = −1
(1)
Remarque 2.7. Une (−1) courbe est de genre 0. Par la formule du genre, on
peut remplacer une des conditions dans la definition par le fait que g(C) = 0,
ou de mainère equivalente, C ∼
= P1 .
Definition 2.15. Une (−2) − courbe C est une courbe isormorphe à P1 avec
C 2 = −2.
Theorem 2.3 (Théorème de Castelnuovo). Soit C une (-1) courbe sur X, alors
C est contractible au sens suivant: il existe une surface lisse Y et un morphisme
φ : X → Y , tel que φ(C) est un point sur Y et que φX\C : X \ C → Y \ φ(C)
est un isomorphisme.
Proof. Voir [1] ou [7].
Remarque 2.8. On souligne que la lissité du X est indispensable.
2.3
Positivité du diviseur
Le théorème de contraction donne un critère d’une (−1) courbe C ⊆ X, qui
joue un rôle essentiel dans la recherche d’un modèle minimal. Pourtant, dans
la pratique les nombres d’auto-intersection C · C et KX · C ne sont pas souvent
connus explicitement, non plus facilement controlés.
Pour detecter efficacement l’existence d’une (−1) courbe sur la surface, à l’aide
de ce critère, on entend une condition plus ”stable”: on veut plutôt une inégalité
sur nombre d’intersection, que deux égalités.
C’est une observation simple et utile, que l’on peut les remplacer par deux
inégalité suivantes, grace à la formule du genre et la positivité du genre.
Proposition 2.6. Soit C une courbe irrédictible (réduite) sur X, alors (1) est
équivalent aux conditions suivantes:
C · C < 0, KX · C < 0
(2)
Proof. Les égalités impliquent évidement les inégalités. A l’inverse, il suffit noter que dans la formule du genre pour une courbe
2pa D − 2 = (KX + D) · D
ν
(3)
ν
et que pa D ≥ g(D ) ≥ 0, où pa est le genre arithmétique et D la normalisation
de cette courbe (Dν est lisse). La negativité du (KX + D) · D implique que
g(Dν ) = 0 et pa D = g(Dν ). Alors D est lisse et elle est une (−1) courbe.
7
Remarque 2.9. Cette ”stabilisation” des conditions numériques est dans le meme
ésprit que l’on remplace une equation par sa formulation variationnelle, un point
de vue que l’on adopte souvent dans l’analyse.
En partant des inégalités, on peut extraire une notion de la positivité d’un
diviseur général. Il y a plusieurs types de positivité, on ne donne ici que quelleques notions utiles dans la suite.
Pour les preuves, on peut consulter [4].
Definition 2.16. Un fibré en droite L est dit très ample, s’il existe une application régulière u : X → Pn qui réalise une isomorphisme entre X et une
sous-variété de Pn pour laquelle L ∼
= u∗ OPn (1). Un diviseur D est dit très
ample si (la classe de) son fibré en droite l’est.
Definition 2.17. Un fibré en droite L est dit ample, s’il existe un entier positif
n tel que L⊗n est très ample. Un diviseur D est dit ample si (la classe de) son
fibré en droite l’est.
L’amplitude d’un diviseur est une proprieté numérique:
Theorem 2.4 (Théorème de Nakai-Moishezen). Un diviseur D sur une variété
projective lisse X est ample si et seulement si, pour tout sous-variété irréductible
T de dimension d, on a
Dd · T > 0
Dans la situation où X est une surface lisse, on a
Proposition 2.7. Le diviseur anti-canonique −KX est ample si et seulement
2
si, KX
> 0 et que pour toutes courbes irréductible C, on a
(−KX ) · C > 0
Proof. On applique théorème 2.4 au diviseur anti-canonique (−KX ).
On peut aussi avoir une caractérisation numérique de l’amplitude en testant
seulement sur les courbes:
Theorem 2.5 (Critère de Kleiman). Soit X une variété projective lisse. Un
diviseur de Cartier D est ample si et seulement si D · z > 0 pour tout élément
non-null z ∈ N E(X)R .
Remarque 2.10. La subtilité du critère de Kleiman reste dans la clôture du cone
effectif. La clôture est prise sous la topologie standard d’un espace vectoriel réel
de dimension finie.
On a aussi besoin d’une version relative de l’amplitude pour unifier les proprietés dans plusieurs cas de contraction:
Definition 2.18. Soit φ : X → Y un morphisme (surjective et à fibre connexe),
un diviseur de Cartier D sur X est dit φ − ample si la restriction de D sur tout
fibre de φ en X est ample.
8
Remarque 2.11. Il faut souligner que toutes variétés considérées sont projectives.
Theorem 2.6 (Critère de Kleiman relative). Un diviseur de Cartier D est
φ − ample si et seulement si D · z > 0 pour tout z ∈ N E(X/φ) \ 0.
Remarque 2.12. Dans les cas particuliers suivants,
(1)X est une surface, dimY ≥ 1; ou
(2)ρ(X/φ) = 1;
on peut avoir une simplification du critère de la φ − amplitude sans faisant
intervenir la clôture: D est φ − ample si D · C > 0 pour tout C ∈ N E(X/φ) \ 0.
Ayant cette caractérisation numérique d’un diviseur ample, on peut avoir
une notion de la positivité ”stabilisée” au sens suivant:
Definition 2.19. Un diviseur D est dit nef, si pour toute courbe C sur X, on
a D · C ≥ 0.
Une autre notion de positivité est
Definition 2.20. Un diviseur (Cartier) D est dit gros, si
lim sup
m→∞
h0 (X, mD)
>0
mdimX
où h0 (X, mD) est la dimension d’espace vectoriel de H 0 (X, mD) qui sont les
sections globales du fibré en droite O(mD).
Ce positivité est aussi une propriété numérique:
Proposition 2.8. Un diviseur D est gros, si et seulement si D est numériquement
equivalent à la somme d’un Q -diviseur ample et d’un Q -diviseur effectif.
Proposition 2.9. Soit D un diviseur nef sur X. Si Dn > 0, alors D est gros.
En particulier pour une surface, on a
Proposition 2.10. Soit D un diviseur nef sur une surface lisse X, D2 > 0,
alors D est gros.
Alors on peut reformuler
Proposition 2.11. Si −KX est ample, alors tout courbe irréductible avec C ·
C > 0 est une (-1) courbe.
On a aussi besoin d’un théorème d’annulation:
Theorem 2.7 (Kawamata-Vieweg). Soit L un diviseur gros et nef sur une variété (lisse) X. Alors hi (KX + L) = 0 pour tout i > 0.
9
2.4
Contraction de Mori
Après avoir obtenu une reformulation de la caractérisation d’une courbe exceptionnelle, on peut aussi reformuler l’opération d’une contraction d’une telle
courbe.
Definition 2.21. Un morphisme φ : X → Y (surjective et à fibre connexe) est
dite une contraction de Mori, si −KX est φ − ample. Si de plus ρ(X/Y ) = 1,
cette contraction de Mori est dite élémentaire.
Remarque 2.13. On peut utiliser la simplification de φ − amplitude dans la
définition d’une contraction de Mori élémentaire grace au 2.12.
On ne considère dans ce rapport que les contractions de Mori élémentaires.
Il suffit de noter que, si une courbe C est contracté, par [10] on a automatiquement C · C ≤ 0. La φ-amplitude donne exactement un controle sur KX · D.
En fait, la contraction de Mori est une généralisation dans un sens un plus
large q’une contraction, car le target Y peut avoir une dimension inférieur que
celle de X. Pour les surfaces, les cas ne sont pas tant compliqué:
Theorem 2.8. Soit φ : X → Y une contraction de Mori (élémentaires). On a
une trichotomie:
(1) dimY = 2: φ est une contraction d’une (−1)courbe C ⊆ X;
(2) dimY = 1: X est une surface reglée, φ est la fibration naturelle de X; (dans
le cas où X = P1 × P1 , φ est l’une des deux projections sur P1 )
(3) dimY = 0: X ∼
= P2 , φ est une morphisme triviale.
Proof. (1) Ceci est direct d’après la reformulation d’une critère du (-1) courbe.
(2) Soit F un fibre de φ en X, alors:
(2.a) Toutes 1-cycles contractées par φ sont numériquement equivalentes (à un
facteur réel positif près), grace au fait que ρ(X/φ) = 1.
(2.b) On montre que un fibre général F est isomorphe à P1 . La φ − amplitude
et la formule de projection implique
F · (−KX ) > 0; F 2 = 0
on utilise l’equation (3): 2pa (D) − 2 est un entier pair; de plus il est négatif
par Proposition 2.4. Alors 0 = pa (F ) ≥ g(F µ ) = 0, F est une courbe lisse de
genre 0.
(2.c) On montre que toutes les fibres réduites sont irréductibles:P
par l’absurde,
on suppose que F est un fibre réduit à plusieur composants: F =
Fi , alors par
Proposition 3.6, Fi2 < 0. La φ − amplitude implique que Fi · (−KX ) > 0. Alors
Fi est une courbe lisse de genre 0, par un argument analogue à (2.a). De plus,
on en déduit que Fi est une (−1)-courbe pour tout i grace à 2.6. Maintenant
F1 et F2 ne sont pas numériquement equivalents (à un factuer positif près) car
F1 · F1 = −1 et F2 · F1 ≥ 0. Ceci contredit le fait du (2.a).
10
(2.d) on exclut la possibilité que F soit un fibre multiple: soit F = mG, m un
entier positif. On a G ∼
= P1 par un argument analogue à celui précédent. On regarde le fibré normal N (G/X). D’un côté il est de m-torsion car N (G/X)⊗m ∼
=
N (mG/X) ∼
= O(F ), d’autre côté N (G/X) est un fibré en droit en
= N (F/X) ∼
G∼
= P1 . Comme il n’existe pas de fibré en droit de torsion nontriviale sur P1 ,
on a m = 1. Tout fibre est réduit.
On conclut que φ est une fibration avec fibre isomorphe à P1 . Alors X est une
surface reglée.
(3) Voir [10].
3
Contraction de Mori pour surface à singularités canoniques
Dans cette section on se concentre sur le but central de ce rapport, i.e, essayer
de comprendre la trichonomie de contraction de Mori pour une surface X singulière. Plus précisément, le but sera de déterminer, dans chacun parmi les trois
cas selon dimY , le nombre et le type des singularités qui peuvent apparaitre.
Au lieu de faire une étude générale, on se content ici de ne considérer qu’un
type spécial de singularité sur X̃, les singularités canoniques. Ce sont les singularités les moins singulières, et leur géométrie (locale) est bien comprise.
Dans cette section on suppose que X est une surface projective normale. De
plus on suppose que le diviseur canonique KX est Q − Cartier. Cette condition
nous permet de définir les propriétés numériques concernant KX , en definissant
d’abord un multiple pertinant de KX . Grace au théorm̀e 2.4, on peut parler
de l’amplitude d’un diviseur Q − Cartier.
3.1
Singularité canonique
Definition 3.1. Une résolution de singularité P ∈ X est une variété lisse X̃
admettant un morphisme birationnel µ : X̃ → X.
Definition 3.2. Soit X une surface avec une résolution de singularité µ : X̃ →
X. Cette résolution est dite minimale si X̃ ne domine aucune autre résolution.
Remarque 3.1. L’existance d’une résolution de singularité est guarantie par le
théorème de résolution de singularité d’Hironaka, qui donne construction d’une
résolution par des éclatements (des sous-variété) successifs.
Remarque 3.2. Pour surface, on peut obtenir une résolution par un processus
des éclatements des points.
Definition 3.3. Une singularité P ∈ X est dite canonique, si KX̃ = µ∗ KX +
Σai Fi où ai ≥ 0, avec µ : X̃ → X une résolution arbitraire.
11
Ici pour les surfaces, on a
Proposition 3.1. Soit X une surface. Une singularité P ∈ X est dite canonique, si KX̃ = µ∗ KX , pour µ la résolution minimale.
Remarque 3.3. Localement une singularité canonique admet un modèle de construction de quotient A2 /G pour G un sous group fini de SL(2, C). Les courbes
exceptionnelles sur X̃, correspondantes à P , sont toutes des (−2) courbes.
Definition 3.4. Une courbe (irréductible et lisse) C sur une surface lisse X ′
est dite une (-2)-courbe, si C ∼
= P1 et C · C = −2.
Remarque 3.4. Soit C une (-2)-courbe, on a forcément C · (−KX ′ ) = 0 par la
formule du genre.
Theorem 3.1. Soit P une singularité canonique sur X. Alors la configuration
d’ensemble des (−2) courbes µ−1 (P ) ⊆ X̃ est classifié d’après le tableau suivant,
chaque (résulotion d’une) singularité correspond à un graphe de Dynkin de type
A-D-E.
Remarque 3.5. Chaque circle représente une (−2)−courbe, charque ligne représente
une intersection de nombre d’intersection 1. Ces courbes exceptionnelles sont
chacune de multiplicité 1.
3.2
Classification
On procède l’étude de la trichotomie dans cette partie. La stratrégie est:
(1) On fait une résolution minimale µ : X̃ → X pour les singularités; on obtient
un morphisme composée µ ◦ φ : X̃ → Y qui a l’avantage que la variété totale X̃
est lisse.
(2) On fait tourner MMP pour X̃ (”RELATIVE” à Y ), en essayant de simplifier ce morphisme de contraction. Pendant ce processus, on s’intérèsse au
dynamique des diviseurs exceptionnels au-dessus des singularités.
(”relative” à Y signifie que l’on s’intérèsse seulement aux contractions des (−1)
12
courbes sur X̃ au-dessus des singularités; sur X̃, les transformées strictes des
(−1) courbes en X qui ne rencontrent pas les singularités ne seront pas considérées)
(3) La positivité (relative) du diviseur canonique impose des contraintes sur
les configurations des diviseurs exceptionnels sur X̃, ainsi que sur leur images
sur tout Xn , les surfaces intermediaires dans le processus de simplification par
MMP dans (2).
(4) Grace à ces contraints, on exclut certaines configurations du diviseurs exceptionnels.
(5) On construit exemples des surfaces et leur singularités, correspondantes
aux configurations possible qui ne sont pas exclut dans (4).
L’étude independente de ce stage de recherche est sur les cas où dimY ≥ 1;
pour le cas dimY = 0, cette étude est abordée dans [3] et [2].
3.2.1
Cas dimY = 2
Dans ce cas, Y est une surface. Il est connu que si X est une surface à singularités canoniques, alors Y l’est aussi ([8]). Le morphisme φ contracte une courbe
E ⊆ X en un point Q ∈ Y .
Sur X, on suppose que il y a un nombre fini de singularités canoniques ∪i∈I Pi
sur la courbe contractée E. Sur X̃, les diviseurs exceptionnels au-dessus de Pi
sont notées ∪j∈Ji Fij pour i ∈ I. Soit Ẽ la transformation stricte de E. Sur X̃,
on note
X
Fij
C = Ẽ +
i∈I,j∈Ji
Gi =
X
Fij
j∈Ji
Par 3.1, chaque Gi est constitu des (−2) courbes. La (graphe duale de) configuration d’intersection des composants de Gi est de type A-D-E, correspondant
au type exacte de la singularité Pi . La courbe Gi intersecte Ẽ: G · Ẽ > 0.
On fait un MMP (relatif à Y ) pour X̃ X̃ = X0 → X1 → · · · → Xn . On note les
morphismes gl : Xl−1 → Xl , hl,k : Xl → Xk pour k > l et fl : X0 → Xl , f0 est
le morphisme IdX0 .
Ce MMP est construit de manière suivantes: en Xl−1 , on choisit une (−1) −
courbe contenue dans (l’image de) la transformée totale de E, c’est-à-dire,
fl−1 (C). On contracte cette (−1) − courbe par un morphisme gl grace au
Théorème de Contraction de Castelnuovo. On termine ce processus jusquà ce
qu’il n’y ait pas de (−1) − courbe contenue dans fl (C) sur Xl .
13
On appèlle ce MMP ”relatif à Y ”, parce que X̃ \ µ−1 (E) ∼
= Y \ φ(E), et
les contractions des (−1) − courbe sont faites seulement pour composants de
C = µ−1 (E). On a les morphisme ψl : Xl−1 → Y tel que ψl ◦ fl = µ ◦ φ par
factorisation des morphismes.
Contraintes
Proposition 3.2. Soit H ⊆ Xl un diviseur effectif contracté par ψl , alors le
nombre d’intersection H · H est négative.
P
Proof. Par construction de MMP, on peut écrire en composants H =
a i Hi
avec ai des entiers positifs, Hi des composant de fl−1 (C). Par théorème 2.1,
la forme d’intersection qXl est définie négative sur l’espace vectoriel engendré
par {Hi }. Donc H 2 = qXl (a1 H1 , . . . , ak Hk ) < 0, car au moins un des ai est
non-null.
Pour commencer ce MMP relatif, on montre l’existance d’une (−1) − courbe
dans C en X0 :
Proposition 3.3. Ẽ ⊆ X̃ est une (−1) courbe.
Proof. On applique la formule de projection au morphisme µ : X̃ → X:
KX̃ · Ẽ = µ∗ KX · Ẽ = KX · µ∗ (Ẽ) = KX · E < 0
Puisque Ẽ est contracté par le morphisme ψn+1 ◦ fl
X
X
Ẽ 2 = ((ψn+1 ◦ fl )∗ (ptY ) −
ci Fi ) · Ẽ = −
ci Fi · Ẽ < 0
avec les entiers ci ≥ 0, au moins l’un d’entre eux est non-null.
Par la formule d’adjonction, on en déduit que Ẽ est une (−1) − courbe.
En fait c’est la seule (-1) courbe dans C. On en déduit que la première
contraction f0 est la contraction de Ẽ par g1 .
Lemme 3.1. Soit Fi une (−2) − courbe avec Fi · Ẽ > 0, alors g1 (Fi ) est une
(−1) − courbe en X1 .
On formule un lemme général:
Lemme 3.2. Soit une lisse X, E une (−1) − courbe en X, F et G deux (−2) −
courbes en X avec F · E > 0 et G · E = 0. Soit h : X → Y le morphisme de
la contraction de E. Supposons que h(E + F ) est contenue dans une courbe en
Y qui est contractible par un morphisme h′ : Y → Z, Z est une surface lisse,
alors:
(1) F · E = 1;
(2) h(F ) est une (−1) − courbe en Y ;
(3) h(G) est une (−2) − courbe en Y .
14
Proof. Par le théorème 2.1, on a
(E + F )2 = E 2 + F 2 + 2E · F = −3 + 2E · F ≤ 0
alors E · F = 1, donc
h(F )2 = (E + F )2 = −1
De plus h(F ) ∼
= P1 , on conclut par la formule d’adjonction que h(F ) est une
=F ∼
(−1) − courbe. De plus h(G) reste une (−2) − courbe car h est un isomorphisme
en X \ E.
Ce lemme implique que les (−2)courbes Fi intersectant Ẽ deviendront (-1)
courbes sur X1 ; les (−2) − courbes qui n’intersectent pas Ẽ reste (−2) − courbe
en X1 . Ensuite g2 contracte une parmi ces nouvelles (−1)courbes, soit g1 (Fi ).
Cette contraction fait apparaitre des nouvelles (−1)courbes à contracté en X2 :
en appliquant ce lemme en X1 avec la (−1) − courbe g1 (Fi ), on transformera
une (−2) − courbe, soit g1 (Fj ), en une (−1) − courbe en X2 , soit g2 ◦ g1 (Fj ). En
itérant ce processus, on a
Proposition 3.4. Le morphisme gl contracte chacun une seule (−1) − courbe
en Xl−1 , soit gl−1 (Fil ). Pour r ∈ I \ i2 , . . . , il , on a
(1) Soit gl−1 (Fr ) · gl−1 (Fil ) = 0, alors gl (Fr ) reste une (−2) − courbe en Xl ;
(2) Soit gl−1 (Fr ) · gl−1 (Fil ) > 0, alors gl (Fr ) est une (−1) − courbe en Xl−1 .
On note en particulier E = Fi1 (i1 = 0 n’est pas dans I).
Proof. Le cas l = 1 est le lemme ci-dessus. Pour l > 1, on applique Lemme 3.2
en surface Xl−1 , pour E = gl−1 (Fil ), F (ou G)= Fr .
P
La courbe C = Ẽ + i∈I,j∈Ji Fij ⊆ X̃ est contracté par µ ◦ φ, ainsi que
tout composant de C. Parallèlement, la courbe fl (C) ⊆ Xl est contracté par
ψl , ainsi que tout composant de fl (C). On peut appliquer aa sur ces courbes
pour detecter quelques configurations impossibles de C.
Lemme 3.3. Aucun de fl (C) ne contient une (−1) − courbe S et une (−2) −
courbe T avec S · T ≥ 2.
Proof. Par l’absurde: soit S et T deux telles courbes, alors (S + T )2 > 0, ceci
contredit Proposition 3.2.
Lemme 3.4. Aucun de fl (C) ne contient une (-1) courbe S et des (-2) courbes
Tm , avec S · T1 = S · TM = 1, Tm · Tm+1 = 1.
PM
Proof. Par l’absurde: soit S et Tm telles courbes, alors (S + 1 Tm )2 ≥ (−1) +
M (−2) + 2(M + 1) = 1 > 0, contradiction.
Lemme 3.5. Aucun de fl (C) ne contient deux (-1) courbes S1 et S2 avec S1 ·S2 ≥
1.
15
Proof. Par l’absurde: soit S1 et S2 telles courbes, alors (S1 + S2 )2 ≥ (−1) +
(−1) + 2 = 0, contradiction.
Lemme 3.6. Aucun de fl (C) ne contient une (-1) courbe S et trois (-2) courbes
T1 , T2 , T3 avec S · T1 = S · T2 = 1, et T2 · T3 = 1.
Proof. Par l’absurde, soit S et T1,2,3 telles courbes. S sera contractée par gm
pour m > l. Par lemme 3.5, hl,m−1 (T1 ) et hl,m−1 (T2 ) sont forcément (−2) −
courbes. Pourtant sur Xm , on a deux (−1) − courbes hl,m (T1,2 ) intersectantes.
Ceci est interdit par 3.5.
Lemme 3.7. Aucun de fl (C) ne contient une (-1) courbe S et quatre (-2) courbes
T1 , T2 , T3 , T4 avec S · T2 = 1, et Tm · Tm+1 = 1.
Proof. Par l’absurde: soit S et Tm telles courbes, alors S sera contractée par un
morphisme gk pour k > l. Par lemme 3.5, hl,r (T2 ) n’est pas une (−1) − courbe
pour tout l < r < k, alors hl,r (T2 ) reste une (−2) − courbe. Sur Xk , hl,k (T2 )
est une (−1) − courbe, elle sera contractée par gm pour m > k.
Par lemme 3.5, Aucune de hl,t (T1 ) et hl,t (T3 ) n’est une (−1) − courbe pour
l < t < m. Elles sont toute deux (−2) − courbe. Maintenant en Xm on a
hl,m (T1 ) et hl,m (T3 ) deux (−1) − courbes avec intersection nontrivial. Cette
configuration est interdite par lemme 3.5.
Lemme 3.8. Aucun de fl (C) ne contient une (-1) courbe S et trois (-2) courbes
T1 , T2 , T3 , avec S · Tm = 1, m = 1, 2, 3.
Proof. Soit S et Tm telles courbes, soit gk la contraction de S. En Xk−1 on a
hl,k−1 (Tm ) 6= pt pour tout m. En Xk , on a hl,k−1 (Tm ) · hl,k−1 (Tm + 1) ≥ 1 pour
tout m. Alors (hl,k−1 (T1 ) + hl,k−1 (T2 ) + hl,k−1 (T3 ))2 ≥ 3 × (−1) + 2 × 3 > 0,
contradiction.
Lemme 3.9. Aucun de fl (C) ne contient une (-1) courbe S et deux parties des
′
(-2) courbes Tm , Tn′ , avec S · T1 = 1, S · T1′ = 1, Tm · Tm+1 = Tn′ · Tn+1
= 1 et
max{M1 , M2 } ≥ 2.
Proof. Soit M1 ≥ 2, alors on a une configuration interdite par lemme 3.6.
Exclusion On va exclure quelques configurations impossibles pour C.
P On examine la relation de Ẽ avec les parties des diviseur exceptionnels Gi = j∈Ji Fij
en résolvant Pi .
Lemme 3.10. ∀i ∈ I, Gi · Ẽ = 1
Proof. En fait ce nombre d’intersection est supérieur à 1 car Pi ∈ E, et inférieur
à 1 par lemme 3.3.
16
Lemme 3.11. |I| = 1, il n’y a qu’une singularité P1 avec une partie des (−2) −
courbe G1 .
Proof. |I| ≤ 2 par lemme 3.8. Si |I| = 2, alors par lemme 3.5,F1 et F2 sont
tous de type A1 . Pourtant, f2 (C) ⊆ X2 est un point, avec f2 (C)2 = 0, ce qui
contredit le fait que f2 (C)2 < 0.
Lemme 3.12. P1 (donc la configuration de G1 ) n’est pas de type E6,7,8
Proof. Par l’absurde: soit P1 est de type E6,7,8 . Par lemme 3.4 et lemme 3.3, il
existe un unique entier i tel que G1 · Ẽ = 1. Par lemme 3.7, ce F1i est forcément
une courbe au (un des trois) bout de la configuration (graphe dual de E6,7,8 )
de G1 . Il est évident que après quelleques contraction de (−1) − courbe, on
aboutira à une configuration inderdite par lemme 3.7.
Lemme 3.13. P1 (G1 ) n’est pas de type Dk .
Proof. Par l’absurde: si F1 etait de type Dk , alors par lemme 3.7, Ẽ intersecte
G1 sur la (−2)courbe au extremité de la branche plus longue (dans le graphe
dual) de G1 . Ce cas est aussi impossible car fk−2 (C) ⊆ Xk−2 est la configuration
de deux (−1) − courbes intersectantes, qui est interdite par lemme 3.5.
Lemme 3.14. P1 (G1 ) est de type Ak : Ẽ intersecte G1 sur une (des deux)
(−2) − courbe au extremité de la chaine de (graphe dual de) G1 .
Proof. On distingue deux cas: soit k ≥ 4, alors par lemme 3.7 on a la conclusion;
soit k = 3, alors Ẽ ne peut pas intersecte la (−2) − courbe au milieu du A3 ,
sinon deux contractions de (−1) − courbe aboutit une configuration de deux
(−1) − courbes intersectante, qui est interdite par lemme 3.5.
Construction
sibles de C.
On construit les exemples suivants pour les configurations pos-
F1 = Ak : prenons une surface lisse Y ;
(1) on éclate un point Q, on a une (−1) − courbe (diviseur exceptionel);
(2) puis on fait l’éclatement sur un point de cette (−1) − courbe. On a une
nouvelle (−1) − courbe et transformée stricte (−1) − courbe de l’étape (1) est
devenue une (−2) − courbe.
(3) on fait l’éclatement sur un point de la (−1) − courbe dand l’étape (2), qui
n’est pas le point d’intersection. On a une nouvelle (−1) − courbe et la transformée stricte de (−1) − courbe dans (2) est une (−2) − courbe;
(4) on itère ce type d’éclatement de (3) et on a une configuration d’une chaine
de (−2) − courbes et une (−1) − courbe, leur configuration (toutes ces (−2) −
courbes) d’intersection correspond au graphe dual de la singularité Ak .
(5) on contracte toutes (−2) − courbes pour avoir une singularité canonique de
type Ak . La (−1) − courbe est devenue un diviseur spécial E.
17
Résultat
Theorem 3.2. Soit dimY = 2, alors ∪i∈I Pi est constitué d’une seule singularité
P1 de type Ak , |I| = 1. Y est lisse sur le point de l’image de contraction du
diviseur exceptionnel de X.
3.2.2
Cas dimY = 1
Dans ce cas, Y est une courbe. On regard la fibration X̃ → Y . Le diviseur
−KX̃ etant gros et nef, les fibres généraux sont isomorphe à P1 et sont lisse.
On suppose que E ⊆ X est un diviseur effectif irréductible où l’on trouve les
singularités canoniques ∪i∈I Pi . E n’est pas un fibre général.
Proposition 3.5. Ẽ est une (-1) courbe sur X̃, Ẽ ∼
= P1 .
Proof. On a Ẽ 2 ≤ 0 et KX̃ · Ẽ ≤ 0, il suffit de montrer que Ẽ 2 6= 0: sinon, par
P
théorm̀e 3.6, Ẽ est proportionnel au fibre Ẽ + i∈I Gi , ceci est impossible.
Contraintes L’analogue de la proposition 3.2 est la semi-negativité de la
forme d’intersection sur fibre dans ce cas d’une fibration sur une courbe.
Proposition 3.6. Soit H ⊆ X̃ un diviseur effectif tel que φ◦µ(H) est un point,
alors H · H ≤ 0. L’égalité a lieu si et seulement si H est proportionnel àu fibre
au dessus de son image: ∃λ ∈ R+ , tel que H = λ · φ̃−1 ◦ φ̃(C), φ̃ = φ ◦ µ.
On vérifie facilement que lemme 3.3, lemme 3.7, lemme 3.6, lemme 3.9,
lemme 3.8 sont encore valides si on remplace la negativité stricte par seminegativité du nombre d’auto-intersection pour un diviseur effectif contractible
H. Pourtant lemme 3.4, lemme 3.5 ne sont pas forcément vrais. On les
remplace par les lemmes d’exclusion suivantes.
Lemme 3.15. Aucun de fl (C) ne contient PROPREMENT deux (−1)−courbes
S1 , S2 et quelleques (−2)−courbes Tm , avec S1 ·T1 = S2 ·TM = 1 et Tm ·Tm+1 =
1.
Lemme 3.16. Aucun de fl (C) ne contient PROPREMENT deux (-1) courbes
S1 , S2 avec S1 · S2 = 1.
Proof. Par l’absurde: il suffit de noter que un composant PROPRE de fibre
ne peut pas être proportionnel à ce fibre. Grace à la proposition 3.6, on
reproduit les preuves du lemme 3.5 et lemme 3.4 facilement, en renforçant
dans l’hypothèse par l’adjectif ”PROPREMENT”.
Exclusion On va exclure quelques configurations impossibles pour C. On
examine
la relation de Ẽ avec les parties des diviseurs exceptionnels Gi =
P
j
F
j∈Ji i .
18
Lemme 3.17. ∀i ∈ I, Gi · Ẽ = 1
Proof. En fait ce nombre d’intersection est supérieur à 1 car Pi ∈ E, et inférieur
à 1 par lemme 3.3.
Lemme 3.18. |I| ≤ 2. Si |I| = 2, alors G1 et G2 sont tous de type A1 .
Proof. Par lemme 3.8, |I| ≤ 2. Par lemme 3.6, G1 et G2 sont tous de type
A1 .
Lemme 3.19. Si |I| = 1, P1 (donc la configuration de G1 ) n’est pas de type
E6,7,8
Proof. Par l’absurde: soit P1 est de type E6,7,8 . Par lemme 3.4 et lemme 3.3, il
existe un unique entier i tel que G1 · Ẽ = 1. Par lemme 3.7, ce F1i est forcément
une courbe au (un des trois) bout de la configuration (graphe dual de E6,7,8 )
de G1 . Il est évident que après quelleques contraction de (−1) − courbe, on
aboutira à une configuration inderdite par 3.7.
Lemme 3.20. Si |I| = 1 et P1 est de type Dk , alors Ẽ intersecte G1 sur la
(−2) − courbe au extremité de la branche plus longue de (graphe dual de) G1 .
Proof. Par lemme 3.7, Ẽ ne peut pas intersecte G1 d’autre part.
Lemme 3.21. Si |I| = 1 et G1 est de type Ak , Ẽ ne peut pas intersecter avec
G1 sur (une des deux) (−2) − courbe au extremité (du graphe dual de Ak ).
Proof. Une telle configuration a l’image fk (C) ⊆ Xk une seule (-1) courbe, qui
contredit le fait que fk (C)2 = 0
Lemme 3.22. Si |I| = 1 et G1 est de type Ak , alors G1 = A3 avec Ẽ intersecte
A3 avec la (−2) − courbe au milieu (du graphe dual de A3 ).
Proof. On distingue deux cas:
(1) k ≥ 4: par lemme précédent et lemme 3.7, ceci est impossible
(2) k = 3: par lemme précédent, l’intersection a lieu forcément entre Ẽ et la
(−2) − courbe au milieu (du graphe dual de A3 ).
Construction
L∼
= P1 .
(1) On prend Xn ∼
= F2 et un point Q0 ∈ L sur le fibre. L2 = 0,
(2) On fait l’éclatement sur Q0 , on obtient deux (-1) courbes: S1 le diviseur
exceptionel d’écaltement, S2 ∼
= L̃ la transformée stricte du L. Soit Q1 = S1 ∩S2 .
(3) On fait l’éclatement sur Q1 , on obtient deux (-2) courbes T1 , T2 : les transform’ees strictes des S1 , S2 , avec une (-1) courbes S1′ (de multiplicité 2) diviseur
exceptionnel d’éclatement de Q1 . Ici si l’on contracte T1 , T2 , on peut avoir un
exemple de deux singularité A1 .
19
(4) Les autre configurations sont obtenues à l’aide de celle-ci: soit Q2 ∈ S1′ \
T1 ∪ T2 , on éclate Q2 . La transformée stricte de S1′ est une (−2) − courbe, et
Q2 donnera une (−1) − courbe S1′′ . Si l’on fait contraction de toutes ces trois
(−2) − courbes en ce stade, on a une singularité A3 .
(5) On pourrait aussi continuer: on éclate un point S1′′ qui n’est pas l’intersection
de S1′′ avec les (−2) − courbe; on a une configuration des quatre (−2) − courbes
correspondantes à une singularité D4 ;
(6) Dans les étapes suivants, on peut itérer cet opération d’éclater un point sur
la (−1) − courbe (en dehors du point d’intersection avec les (−2) − courbes). On
obtiendra la configuration des (−2) − courbes correspondates à une singularité
de type Dk .
Résultat
Theorem 3.3. Soit dimY = 1, alors les possibilités pour ∪i∈I Pi sont:
(1) |I| = 2, P1 et P2 sont de type A1 ;
(2) |I| = 1, P1 est de type A3 ;
(3) |I| = 1, P1 est de type Dk , k ≥ 4.
3.2.3
Cas dimY = 0
Ce cas est traité avec details dans [2] et [3]. Y étant un point, le MMP pour
X̃ est alors un MMP au sens usuel (non relatif). Dans ce cas, le problème est
global: les singularités sont a priori distribuées sur tout X, car X elle-meme est
contractée par φ. On doit procéder MMP pour X̃ jusqu’à ce qu’il n’y ait pas
de (−1) − courbe, pour avoir un modèle minimal Xmin := Xn .
On reprend ici seulement quelques étapes essentiels.
Contraintes
(nef et gros).
Les contraintes sont toujour données par la positivité de −KX̃
Lemme 3.23. −KX est ample, alors −KX̃ est nef et gros.
nef
Soit C une courbe en X̃, alors (−KX̃ ) · C = µ∗ (−KX ) · µ∗ (C) ≥ 0, −KX̃ est
Lemme 3.24. Si −KX̃ est nef et gros, alors −KX̃l l’est aussi pour tout 0 ≤ l ≤ n.
En particulier −Kmin est nef et gros.
Proof. Il suffit de regarder la première contraction f1 de (−1) − courbe, soit H
sur X̃.
(1) On montre que −KX1 est nef: pour toute courbe C en X1 ne passant pas
par f1 (H), (−KX1 ) · C = (−KX̃ ) · f1−1 (C) > 0; pour toute courbe C en X1
passant par f1 (H)
(−KX1 )·C = (−KX̃ +H)·(C̃ −H) = (−KX̃ )· C̃ +E·C −E 2 +KX̃ ·H ≥ (−KX̃ )· C̃
20
car E 2 = −1, KX̃ · H = −1 et E · C ≥ 0.
Ce nombre d’intersection est aussi positif. Par définition, −KX1 est nef.
(2) On montre que −KX1 est gros: on a
(−KX1 )2 = (f1∗ (−KX1 ))2 = (−(KX̃ − H))2 = (−KX̃ )2 − 2(KX̃ · H) + H 2
Puisque H est une (−1) − courbe, on a (−KX̃ )2 = (−KX̃ )2 + 1 qui est encore
positif. Par la proposition 2.10, −KX1 est gros.
Par ce lemme, Kmin n’est pas nef. On a aussitôt que Xmin admet une
fibration de Mori. La positivité (nef et gros) de tout −KXl permet de determiner
Xmin .
Proposition 3.7. Xmin est isomorphe à l’une des surfaces suivantes: F2 , P1 ×
P 1 , P2 .
Proof. Il suffit de regarder le cas que Xmin est une surface réglée (sur une
courbe C). Par théorème d’annulation de Kawamata-Vieweg, h1 (X̃, OX̃ ) = 0,
alors h1 (Xmin , OXmin ) = 0. On a C ∼
= P1 , alors X̃ est une surface de Hirzbruch
Fm . Prenons le diviseur Lm tel que L2m = −m, −KXmin etant nef, la formule
du genre appliquée à Lm implique que m ≤ 2.
On montre que en chosissant soigneusement des (-1) courbes à contractées,
on peut toujour aboutir au cas Xmin ≃ P2 . Si un processus de MMP pour X̃
n’about pas à P2 , une modification au dernier étape suffit de le corriger.
Proposition 3.8. Si Xn est isomorphe à F2 ou P1 ×P1 , il existe un autre choix
de contraction Xn−1 → Xn′ tel que Xn′ ∼
= P2 .
Proof. On considère le dernier étape de contraction d’une (-1) courbe ψn : C ⊆
Xn−1 → Xn
(1)Xn ∼
= F2 , alors ψn (C) n’est pas sur le (−2) diviseur M2 de F2 : sinon
pour M2′ := ψn −1 (M2 ) ⊆ on aurait M ′ · M2′ = −3, pourtant 2g(M2′ ) − 2 =
(KXn−1 + M2′ ) · M2′ ≤ (−3) + 0 = −3 par le fait que KXn−1 est nef. Ceci contredit la positivité du g(M2′ ). On en déduit que ψn (C) est sur un fibre L (en
dehors du point L ∩ M2 )
Par Proposition 2.5, Xn−1 est aussi isomorphe à BlpQ (F1 ) avec Q ∈ L∩M1 . On
contracte ici le diviseur exceptionnel de Q au lieu de contracter C, on obtient
F1 . Puis on contracte le diviseur exceptionel sur F1 pour avoir P2 .
(2)Xn ≃ P1 × P1 ≃ F0 , c’est tout analogue que (1): on éclate un point Q ∈ Xn
qui est forcément l’intersection d’une ”fibre” et de la courbe de base L ∩ M0 .
Alors Xn−1 ≃ F1 par proposition 2.5.
21
X̃ est obtenue par des éclatements des points à partir du Xn′ ∼
= P2 , la
positivité (KX̃ est nef) donne informations sur ces éclatements. Soit Σ le lieu
d’éclatement (Σ peut contenir des points infinitésiment proches), et s = |Σ|
le nombre d’éclatement. Soit {P1 , · · · , Pr } ⊆ P2 ∩ Σ, i.e, les points éclatés
non-infinitésiment-proches.
Proposition 3.9. X̃ est une surface presque de del Pezzo: elle est obtenue par
au plus 8 fois des éclatements des points en position générale sur P2 ; s 6 8, et
r ≤ 4.
On peut consulter [6] et [5].
Il suffit de considerer le cas s = 8 maximal: si pour s < 8 on a une X̃ qui
est la résolution minimale d’une configuration possible des singularités sur X,
alors on peut toujour faire quelques éclatements sur X̃, pour avoir X̃ ′ qui est
une surface lisse obtenue par 8 fois des éclatements de P2 .
Proposition 3.10. Soit H := ∪i∈I Hi toutes les (-2) courbes sur X̃. Alors
s = |I|.
Cette proposition ([6]), qui dit que le nombre d’éclatement est le meme que
le nombre des (-2) courbes obtenues, est une contrainte forte qui permet de faire
les exclusions ”à la main”.
Exclusion et Construction
étapes.
On envoie le lecteur aux [3] et [2] pour ces
Résultat
Theorem 3.4. Soit dimY = 0. Les configurations possibles des singularités sur
X (donc configuration des (−2) − courbes sur X̃) sont:
(1) Quand le nombre des éclatements est maximal s = 8: E8 , E7 + A1 , E6 + A2 ,
A8 , A7 + A1 , A5 + A2 + A1 , D8 , D6 + 2 × A1 , D5 + 2A3 , 2 × D4 , 2 × A3 + 2 × A1
ou 2 × A4 ;
(2) Quand le nombre des éclatements n’est pas maximal s ≤ 7: les singularité
sont obtenues à partir d’une configuration des (−2) − courbes dans le cas (1),
en faisant r = 8 − s fois de contraction d’une −1 courbe.
Remerciements
Je tiens à remercier dans un premier temps, Monsieur Höring, pour avoir encadré mon stage de recherche pendant 4 mois. Sans les discussions bien-guidées
et son encouragements constants, ce stage ne pourrait pas être si bénéfique.
L’écriture de ce rapport bénéficie aussi de ses suggestions.
Je remercie également Monsieur Boucksom pour avoir m’aidé trouver ce stage
et pour des suggestions utiles concernant le stage et ce rapport.
22
Référence
[1] Arnaud Beauville. Complex algebraic surfaces. Number 34. Cambridge
University Press, 1996.
[2] Lawrence Brenton, Daniel Drucker, and Geert C E Prins. Graph theoretic
techniques in algebraic geometry i: The extended dynkin diagram E8 and
minimal singular compactifications of C2 . Recent Developments in Several
Complex Variables, pages 47–63, 1981.
[3] Lawrence Brenton, Daniel Drucker, and Geert C E Prins. Graph theoretic
techniques in algebraic geometry ii: construction of singular complex surfaces of the rational cohomology type of CP2 . Commentarii Mathematici
Helvetici, 56(1):39–58, 1981.
[4] Olivier Debarre. Higher-dimensional algebraic geometry. Springer Science
& Business Media, 2013.
[5] M Demazure. Surface de del pezzo ii, iii, iv, v. Lecture Notes in Math, 777,
1980.
[6] Mikio Furushima et al. Singular del pezzo surfaces and analytic compactifications of 3-dimensional complex affine space C3 . Nagoya Mathematical
Journal, 104:1–28, 1986.
[7] Robin Hartshorne. Algebraic geometry, volume GTM 52. Springer Science
& Business Media, 1977.
[8] János Kollár and Shigefumi Mori. Birational geometry of algebraic varieties, volume 134. Cambridge University Press, 2008.
[9] Kenji Matsuki. Introduction to the Mori program. Springer Science &
Business Media, 2013.
[10] Miles Reid. Chapters on algebraic surfaces. In Complex algebraic geometry,
IAS/Park City Mathematics Series. Citeseer, 1997.
[11] Igor Rostislavovich Shafarevich and Kurt Augustus Hirsch. Basic algebraic
geometry, volume 1. Springer, 1977.
23