Etude de formes des globules drépanocytaires par traitement
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Etude de formes des globules drépanocytaires par traitement
SETIT 2005 3rd International Conference: Sciences of Electronic, Technologies of Information and Telecommunications March 27-31, 2005 – TUNISIA Etude de formes des globules drépanocytaires par traitement numérique des images Chafika CHETTAOUI, Khalifa DJEMAL, Amar DJOUAK et Hichem MAAREF Laboratoire Systèmes Complexes Université d'Evry Val d'Essonne, 40 rue du Pelvoux 91020 Evry cedex, France [email protected], [email protected] Résumé: Cet article est consacré à l'étude de la reconnaissance de formes de globules rouges drépanocytaires par traitement numérique des images. Les hématies des sujets drépanocytaires sont déformées, falciformes en forme de faucille, dans un milieu pauvre en oxygène. Jusqu'aujourd'hui, un traitement efficace restait à découvrir et cette maladie tropicale de la drépanocytose restait incurable, aussi bien par la médecine allopathique que par les médecines douces existantes. De là vient l'intérêt de la méthode que nous allons proposées. En effet, vu la forme spécifique qu'ont les globules drépanocytaires, nous pouvons les détecter grâce au traitement spécifique des images. Une grande partie de ce travail est alors consacré à la recherche de bons descripteurs de formes afin d'élaborer une application qui permettra le suivi et le diagnostic automatisé de cette maladie. Mots clés: Drépanocytose, segmentation, reconnaissance de formes, Descripteurs invariants, classification. 1 Introduction sang, dans laquelle un enfant ne peut être malade que si ses deux parents sont transmetteurs. C'est une maladie héréditaire autosomale, récessive et génétique non contagieuse. Le domaine du traitement de l'image est un domaine qui est encore en expansion et qui pénètre tous les secteurs d'activités, des environnements industriels et professionnels au monde des applications grand public. Malgré les progrès significatifs réalisés ces dernières années, l'image reste aujourd'hui encore un sujet difficile et les solutions actuelles ne permettent pas toujours de résoudre de manière satisfaisante de nombreux problèmes importants. Le traitement et l'analyse d'images par ordinateur occupe par ailleurs une place importante dans le domaine médical. En effet, des millions d'images médicales sont produites chaque année dans le monde pour établir un diagnostic ou contrôler une action thérapeutique. Les images médicales fournissent des informations sur la forme et le fonctionnement des organes du corps humain. Malheureusement, ces informations sont extrêmement difficiles à exploiter de manière quantitative et objective. La création de logiciels dédiés à l'analyse d'images médicales permettent d'optimiser leur exploitation, pour le plus grand bénéfice du patient et du médecin. La drépanocytose est une maladie génétique, héréditaire, touchant les globules rouges du Notre travail a consisté dans le développement d'une méthode automatique d'analyse de l'évolution des formes des globules rouges par traitement numérique des images. Le problème fondamental est de déterminer dans quelle mesure deux cellules sanguines sont similaires indépendamment de leur position dans l'image. Ce qui permettrait de reconnaître les cellules saines à partir d'un ensemble d'images stocké dans une base de données puis de conclure sur la présence ou non de cellules malades. Pour ce faire, il s'agit de mener une étude détaillée des descripteurs de formes par des méthodes standards tel que Fourier (Derrode & al. 1999) ou Fourier Mellin (Teoch & al. 2004). Dans ce but nous avons développés autres méthodes spécifiques à l'application. Par ailleurs, nous aurons également recours à des calculs et méthodes d'évaluation pour calculer le taux de l'évolution ou de la régression des cellules malades. Ce travail pourra apporter une aide très importante dans les domaines biologique et médical. Cependant, il n'existe aujourd'hui aucun traitement préventif pour les maladies qui concernent les troubles de l'hémoglobine. Les patients doivent alors être suivis toute leur vie. L'une des méthodes utilisées pour suivre l'évolution du SETIT2005 mal est l'analyse de l'image des globules. Jusqu'à présent, et à notre connaissance, cette analyse se fait de façon analogique. Ce qui est fastidieux et parfois subjectif. Avec notre application, il suffirait aux médecins ou aux laboratoires pharmaceutiques, de présenter une image d'un prélèvement sanguin agrandi au microscope et notre méthode devra alors donner le pourcentage de cellules malades qui sont présents dans ce prélèvement. Il sera alors plus facile de détecter l'amélioration ou la dégradation de l'état de chaque malade. De plus, fournir des informations aux laboratoires pharmaceutiques pour leur permettre de développer les médicaments adéquats. Dans cet article nous présenterons d'abord le contexte de notre travail ainsi que les différentes étapes de notre méthode, section 2. En section 3, une comparaison des différents résultats obtenus sera présentée dans la première partie. La dernière partie des résultats est consacrée à la présentation de l'interface de l'application et le résultats sur plusieurs prélèvements. 2 Contexte et méthode proposée L'extraction de l'information est la première étape de la reconnaissance. Elle est réalisée à l'aide de l'extraction des primitives, qui sont des informations élémentaires. Dans cette section nous présentons d'abord les caractéristiques de la drépanocytose puis une approche théorique de la segmentation et les différents descripteurs de formes choisis, ainsi que les améliorations apportées. personnes qui sont malades drépanocytaires, chez elles aucun gène beta sain n'est là pour contrebalancer les effets des gènes malades et il n'y a que des protéines anormales d'hémoglobine produites. Ces protéines ont tendance à s'agréger entre elles et à former des cristaux, dont la croissance finit par déchirer la membrane du globule rouge, qui est alors détruit. Dans notre approche le premier traitement a effectuer est la segmentation des images de globules. Cette opération nous permettrait d'obtenir des contours fermés pour mieux décrire la forme de ces globules. Il existe trois principales approches en segmentation (Djemal & al. 2004, Djemal 2002). Elle fait souvent référence aux notions de similarité et de différences comme les perçoit le système visuel humain. On distingue trois approches couramment qualifiées d'approche classique (méthode du gradient par seuillage), d'approche contour et d'approche région. L'approche contour consiste à identifier les transitions entre les régions à l'aide de techniques de détection de contours. Ces méthodes ne conduisent pas directement à une segmentation de l'image car les contours obtenus ne définissent pas nécessairement des régions connexes. Il sera donc nécessaire de procéder à une fermeture de contours si l'on souhaite obtenir une partition de l'image. L'approche région fait référence à des groupements de points ayant des propriétés communes. Contrairement à l'approche contour, l'approche région permet donc d'aboutir directement à une partition de l'image (chaque pixel étant affecté à une région unique). Dans le cas de notre application les images réelles utilisées sont celles d'un échantillon de globules rouges agrandis au microscope. 2.1 La drépanocytose La drépanocytose est une maladie des gènes de l’hémoglobine, protéine du sang servant à la fixation et au transport des gaz respiratoires dans le sang : oxygène et gaz carbonique. Cette maladie porte sur les gènes beta de l’hémoglobine (qui servent à fabriquer un morceau de la protéine appelé chaîne beta de l’hémoglobine). Les gènes beta normaux sont appelés A, les gènes anormaux drépanocytaires sont appelés S. Ces gènes conduisent à la formation d'une protéine d'hémoglobine anormale, dont la présence dans les globules rouges conduit à leur destruction, et donc à une anémie très grave. Chaque être humain possède en principe tous les gènes de son patrimoine génétique en double exemplaire et possède donc deux gènes beta, en combinaison pouvant être AA, AS, ou SS. Seuls les individus SS sont malades. Les AS sont transmetteurs sains mais peuvent donner naissance à des enfants drépanocytaires. Ceux qui ont un des deux gènes malade, par exemple AS, sont dits hétérozygotes; chez eux la maladie ne s'exprime pas parce que le gène normal présent suffit à contrebalancer l’effet du gène malade. Il permet de fabriquer assez d’hémoglobine normale pour empêcher la destruction des globules rouges. Ceux qui ont les deux gènes malades, par exemple SS, sont dits homozygotes. Ce sont ces Figure 1. Image réelle d’un frottis sanguin et son image segmentée. La figure 1 montre une image réelle d'un frottis de globules rouges avec son équivalente segmentée par la méthode de contours actifs. 2.2 Descripteurs de contours Une fois l'image segmentée, on a besoin d'extraire des informations du contour pour procéder à la reconnaissance de formes. Il y a alors deux principes de base qui peuvent être exploités pour dériver une fonction de contour : la symétrie et la périodicité. Si le contour d'une figure est symétrique par rapport à un axe, la distance orthogonale d'un point du contour par rapport à l'axe de symétrie peut être considérée comme une fonction de contour. Par ailleurs la fonction de contour peut être périodique, auquel cas le SETIT2005 contour peut lui-même être considéré comme une fonction périodique. Si l'on considère que le contour a des propriétés particulières telles que la convexité, des fonctions de contour relativement simples peuvent être définies. D'une façon générale le contour lui-même est paramétrable et assimilable à une fonction. Pour notre application, nous avons choisi d'implémenter trois différentes fonctions de contour qui nous ont semblé appropriées. ∞ φ (t ) = ∑ a k e −ikt k =0 Ce dernier résultat, nous montre que l'on pourra utiliser ce descripteur de contours pour implémenter la méthode de descripteur de formes de Fourier. 2.2.1 Coordonnées cartésiennes Il est naturel de procéder à la recherche des coordonnées des pixels d'une image pour décrire son contour. En effet, ceci semble le moyen le plus direct pour la description du contour d'un objet. Pour ce faire, nous avons défini un tableau de structure (cartésienne) qui pour chaque point du contour donne la valeur de son abscisse et de son ordonnée, (figure 7). Pour chaque image considérée, tout point du contour peut être pris comme origine du repère. 2.2.2 Coordonnées polaires La deuxième fonction envisagée est la représentation du contour par coordonnées polaires. Cette fonction pourrait être plus adéquate à notre application étant donné que l'on étudie des objets qui peuvent être circulaires. Il s'agit de choisir un point de référence 'O' qui est généralement le centre de gravité du globule, une droite de référence bien choisie passant par le centre et qui représentera l'axe des angles nuls. Figure 2. Descripteur de contours par coordonnées polaires. La fonction de contour sera alors r(ϕ) qui est la distance entre le point 'O' et le contour dans la direction du vecteur faisant un angle ϕ avec la droite de référence, (figure 2). 2.2.3 Descripteur par tangente C'est la description du contour par son abscisse curviligne s. On part d'un point référence quelconque A du contour de l'objet, la tangente au contour en ce point sera la droite des points d'angle nul. ϕ (s) est l'angle fait par le vecteur tangent en s avec celui de A, (figure 3). On représente la fonction φ(t) par : 2πs 2πs φ (t ) = ϕ − L L Cette fonction est périodique sur [0, 2π[ on pourra alors l'écrire sous la forme d'une série de Fourier : Figure 3. Descripteur de contours par la méthode de la tangente. 2.3 La reconnaissance de formes Le problème fondamental dans la reconnaissance de forme est de déterminer dans quelle mesure deux objets sont similaires, indépendamment de leur position dans l'image. Il en découle que les descripteurs de forme doivent être invariants par rapport aux transformations géométriques (translations, rotations, homothéties). Il est également recommandé à ces descripteurs de satisfaire certains critères parmi lesquels : la robustesse vis-à-vis des faibles variations de formes et des approximations numériques, et la simplicité pour le calcul en temps réel. En général, la représentation globale des formes est divisée en 2 catégories, la première utilise uniquement la frontière externe de l'objet (objet contour) alors que la seconde utilise la région entière (objet à niveau de gris) (Mezhoud & al. 2000, Nascimento & al. 2003, Bouet & al. 2003). Parmi les méthodes que nous avons choisies d'implémenter pour notre application, on a celle de Fourier et celle de Fourier-Mellin qui sont des méthodes classiques et puis d'autres méthodes que nous avons développées propres à notre application qu'on appellera celle du rayon, celle des extrémités et celle du cercle inscrit circonscrit. En outre, les descripteurs extraits à partir des coefficients de Fourier et de Fourier-Mellin (Derrode & al. 1999, Teoch & al. 2004, Mezhoud & al. 1999) sont largement utilisés dans les systèmes actuels d'indexation et de recherche. Pour un objet requête, les modèles de référence sont triés en fonction d'une mesure de similarité. 2.3.1 Descripteur du Rayon Cette méthode découle de la forme spécifique que possèdent les globules à étudier. En effet, on remarque que les globules rouges sains ont une forme qui se rapproche d'un cercle alors que les formes malades sont plutôt allongées. Ceci nous amène donc à étudier la courbure de la forme à considérer. Il suffit alors de représenter le rayon de chaque point de l'objet, (figure 8). Il faudra alors trouver un intervalle admissible au- SETIT2005 delà duquel on considérera que les globules sont malades. Ce descripteur est invariant par toute transformation affine. Après plusieurs tests sur un descripteur adéquat, nous avons abouti à une représentation de la variation des rayons par rapport au rayon le plus grand au carré: k= 1 N N ∑ (r − r i max )2 i =1 N étant le nombre de point du globule, ri les différents rayons associés à chaque point et rmax le rayon maximal. On effectue une normalisation en divisant les rayons par le rayon moyen d'un cercle bien choisi. Ceci nous permet d'avoir un seuil fixe quelque soit la grandeur du globule. 2.3.3 Descripteur du cercle inscrit-circonscrit Ce descripteur est le plus adéquat à notre application. R gci p= R pcc Il s'agit de calculer ici l'allongement p d'un globule qui est le rapport entre le rayon du plus grand cercle inscrit Rgci sur le rayon du plus petit cercle circonscrit Rpcc de la forme étudiée, (figure 5). 2.3.2 Descripteur des Extrémités Cette méthode découle aussi du fait que les globules malades ont une forme allongée. Elle est basée sur le calcul du rapport entre la plus grande distance entre deux points de l'objet et la longueur du segment qui lui est perpendiculaire et passant par le centre de gravité, (figure 4.a). Ceci a pour but de détecter les globules malades. Figure 5. Descripteur du cercle inscrit circonscrit. Ce descripteur est invariant par rapport à toute transformation affine. 2.3.4 Descripteur de Fourier a b Figure 4. a) Description d'un globule par le descripteur des Extrémités, b) Exemple d'erreur de diagnostic par le descripteur des extrémités non amélioré. Nous avons choisi d'approximer cette valeur par le calcul de la distance entre les points extrêmes de l'objet. C'est-à-dire en prenant le maximum entre la distance entre le point le plus à gauche, le plus à droit, celui tout en haut et le point le plus bas. Néanmoins ce descripteur présente une limite dans un cas de forme spéciale d'un globule. Comme le montre très bien la figure 4.b, ce descripteur va conclure sur le fait que le globule est sain or nous voyons bien que c'est une forme allongée. Mais pour éviter toute erreur, nous avons opté pour rajouter un paramètre qui évitera cette erreur. Nous calculons le nombre de points contenus dans le cercle circonscrit à l'objet et le nombre de points à l'intérieur de l'objet même. Si ce rapport est supérieur à un seuil on est dans ce cas de figure et donc le globule est malade sinon le diagnostic du descripteur des extrémités était bon. Le descripteur de Fourier est l'une des méthodes les plus utilisées dans le domaine de la description de formes (Kindratenko 2003, Marqués & al.1998). Considérons une fonction mono-dimensionnelle f(θ) 2π-périodique. Le paramètre θ représente généralement un angle de rotation et le groupe de transformations qui agit sur ces fonctions peut être assimilé à S= [0, 2π[. La transformée de Fourier adaptée à ce type de fonction est donnée par les Coefficients de Fourier de f: ∀k ∈ Z , F f (k ) = 1 2π 2π ∫ f (θ )e _ ikθ dθ 0 Les coefficients de Fourier de f existent si : 2π ∫ f (θ ) dθ < ∞ 0 La transformée inverse d'une fonction représentée par ses coefficients de Fourier est définie par les séries de Fourier. Celles-ci correspondent à la transformée de Fourier sur l'ensemble des entiers relatifs. Les séries de Fourier si elles existent, permettent de reconstruire une fonction périodique depuis l'ensemble ∀θ ∈ S , f (θ ) = +∞ ∑F k = −∞ f (k )eikθ SETIT2005 infini de ses coefficients de Fourier. Soit maintenant la fonction fβ obtenue par rotation d'angle β de la fonction f, (fβ (θ) = f(θ +β)) On montre que : nombre de points de l'objet. Par ailleurs le problème que nous rencontrons dans cette méthode est que l'on peut associer à un angle donné plusieurs r comme le montre la figure 6. ∀k ∈ Z , F f β (k ) = eikθ F f (k ) Les modules des Coefficients de Fourier de ces deux fonctions sont donc identiques et fournissent des descripteurs invariants par rapport au groupe S des fonctions périodiques. Les coefficients de Fourier sont particulièrement bien adaptés à l'étude d'objets représentés de manière satisfaisante par leur profil extérieur. L'idée de base est qu'une courbe simple et fermée peut être représentée par une fonction périodique d'un paramètre continu (paramètrisation), ou , de manière équivalente, par les coefficients de Fourier de cette fonction. On considère f(x) comme étant une fonction périodique continue différentiable définie sur [0,2π] qui pourra être une des fonctions de contours de la figure à étudier. Une telle fonction peut être approximée par une série de Fourier : f ( x) = a0 ∞ + ∑ (ak cos(kx) + bk sin(kx) ) 2 k =1 Figure 6. Cas où pour un angle donné on associe 3 valeurs différentes de r. Il nous sera donc difficile lors du passage par la série de Fourier de récupérer ces trois points distincts. On a pensé alors à utiliser une autre façon de calculer les coefficients de Fourier. Il s'agit donc de considérer le temps dans nos calculs, c'est à dire introduire un troisième paramètre t (Lestrel & al. 1997). Les coefficients de Fourier s'écriront alors de la sorte: a x (t , k ) = où les coefficients de Fourier sont: 1 ak = π 1 bk = π π a y (t , k ) = ∫π f ( x) cos(kx)dx − π ∫ f ( x) sin(kx)dx −π Les coefficients de Fourier dépendent généralement de la forme de la figure : les coefficients ak et bk tendent à décrire les caractéristiques globales d'une image pour des k petits et décrivent beaucoup plus finement ces images pour des k plus grands. Parmi les propriétés du descripteur de Fourier on peut citer son invariance par translation de la forme, son invariance par rotation, comme nous l'avons démonter au-dessus, et son invariance par changement d'origine. Dans notre cas d'étude, on traite des données discrètes. Alors, on a des couples (yi) et (ri, θi) qui représentent respectivement les coordonnées cartésiennes et polaires de chaque point de l'objet. Le calcul des coefficients de Fourier va se faire alors à l'aide de somme discrètes comme suit : 1 a0 = N N −1 ∑r i, i=0 bk = 2 N 2 ak = N N −1 ∑ r cos(kθ ) i i i =0 N −1 ∑ r sin(kθ ) i i i =0 en utilisant les coordonnées polaires et avec N le 2 N 2 N N −1 ∑ x cos(kt ) i bx (t , k ) = i =0 N −1 ∑ yi cos(kt ) b y (t , k ) = i =0 2 N 2 N N −1 ∑ x sin(kt ) i i=0 N −1 ∑y i sin( kt ) i=0 Après plusieurs tests sur différentes images, nous avons pu déterminer le nombre de coefficients de Fourier nécessaire pour décrire nos globules. En effet, en prenant nombre de coefficients égal à 15, on arrive à la description présentée par la figure 10. 2.3.5 Descripteur de Fourier Mellin La transformée de Fourier-Mellin standard (TFM), comme transformée de Fourier sur le groupe des similitudes planes, possède un certain nombre de propriétés qui la rend adaptée pour l'analyse des objets à niveaux de gris soumis à l'action des rotations et des dilatations. De plus, cette transformée fournie une représentation unique des images. Néanmoins la TFM standard pose un problème. La Transformée de Fourier Mellin d'un objet existe, si sa représentation f est intégrable , c'est à dire : ∞ 2π ∫∫ 0 0 f (r ,θ )r −iv e −ikθ dθ ∞ 2π dr 1 = ∫ ∫ f (r , θ )dθdr < ∞ r 0 0r puisque f est positive. En pratique, l'origine des coordonnées polaires est située au centre de gravité de l'objet pour obtenir une représentation de l'image invariante par translation. Ainsi, au voisinage du point (0,0), la fonction f est équivalente au niveau de gris du centre de gravité, valeur généralement non nulle. En conséquence, l'intégrale diverge (Derrode 1999). Pour résoudre ce SETIT2005 problème de singularité à l'origine des coordonnées, une des méthodes qui a été proposée (Ghorbel 1994), consiste à modifier la fonction f représentant l'objet, comme étape préalable au calcul de la transformée de Fourier Mellin, selon la transformée suivante : ∀(r , θ ) ∈ IR+* × S , fσ (r , θ ) = r σ f (r , θ ) où σ est un réel strictement positif fixé. La modification est réversible et nous permet de retrouver l'originale f en effectuant la transformée inverse : ∀(r , θ ) ∈ IR+* × S , f (r , θ ) = r −σ f σ (r , θ ) L'image étant à support compact, la fonction fσ est bornée. Cette modification permet d'éviter la particularité de f à l'origine des coordonnées polaires et la fonction fσ est appelée transformée de Fourier Mellin analytique de f, que l'on peut directement écrire sous la forme suivante : ∀(k , v) ∈℘, M fσ (k , v) = 1 2π ∞ 2π ∫ ∫ f (r ,θ )r σ − iv − ikθ e dθ 0 0 dr r où ℘ est le produit des représentations individuelles des groupes des rotations et des homothéties vectorielles. En appliquant la transformée de Fourier Mellin inverse à Mfσ, nous obtenons : ∀(r , θ ) ∈ IR+* × S , fσ (r , θ ) = r σ f (r , θ ) = +∞ ∫∑M − ∞k∈Z fσ (k , v)r iv eikθ dv, que l'on peut directement écrire, en intégrant rσ dans l'intégrale, sous la forme suivante : d'imposer un seuil au-delà duquel on considère que la cellule est malade comme nous l'avons montré dans nos algorithmes. Sinon pour le descripteur de Fourier et celui de Fourier Mellin, on a recourt aux réseaux de neurones. Cette méthode va nous permettre de séparer les images représentant des globules malades de celles qui sont saines. Il suffirait alors de prendre un vecteur de chaque objet qui a comme coordonnées une combinaison linéaire des coefficients a et b de Fourier pour le premier descripteur. Ce vecteur aura k comme dimension, k étant le nombre de coefficients de Fourier considéré dans l'étude. Quant au vecteur de Fourier Mellin, il sera constitué des M(k,v). On prendra toujours k = v et donc le vecteur sera de dimension k. Parmi les différentes méthodes de classifications existantes nous avons choisi d'utiliser la classification par réseau de neurones RBF (Berthold & al. 1995). Les RBF sont des réseaux à couches qui ont comme origine une technique d'interpolation nommée méthode d'interpolation RBF. Cette technique s'avère être à la fois plus rapide et efficace, en particulier pour diverses applications de classification. 3. Résultas Dans cette section nous présentons les résultats obtenus ainsi qu'une comparaison des différents descripteurs que nous avons choisi et développés dans le but de déterminer ceux qui seront les plus performants et les plus adéquats à notre application. 3.1 Comparaison des résultats et discussions Pour notre application, nous avons construit une base d'images de globules et nous les avons testé une par une en prenant à chaque fois un descripteur différent. Cette base nous a permis de déceler les limites de chaque méthode. La figure 7, représente une forme initiale et le graphe correspondant qui présente les ordonnées des points du contour en fonction de leurs abscisses. ∀(r , θ ) ∈℘, f (r , θ ) = +∞ ∫∑M − ∞k ∈Z fσ (k , v)r −σ +iv e ikθ dv, Cette dernière équation permet de reconstruire un objet à partir de sa représentation de Fourier Mellin. 2.4 Classification par RBF(Radial Basis Function) Une fois l'étape de reconnaissance de forme est franchie, on passe à la partie de la classification qui a pour but de déterminer si tel globule est malade ou pas. Si pour la reconnaissance de forme, la méthode du Cercle inscrit-circonscrit ou celle du Rayon ou celle des Extrémités a été utilisé, il suffirait alors Figure 7. Descripteur de contours par coordonnées cartésiennes. Les descripteurs du Rayon et celui des Extrémités sont ceux qui prennent le moins de temps d'exécution. Ceci est dû au fait qu'il y ait pas autant de calcul à faire que les autres descripteurs. Néanmoins, le descripteur du rayon, (figure 8) est très sensible aux défauts dû à la segmentation, ceci se déclare s'il y a un pic dans la représentation des rayons en fonction des points associés. SETIT2005 Figure 8. Descripteurs du rayon: un exemple de globule et le graphe associé. Quant au descripteur du Cercle inscrit-circonscrit, il est le mieux adapté à notre application. Ce descripteur est invariant par rapport à toute transformation affine et son calcul est basé directement sur la forme même d'un globule drépanocytaire. Néanmoins, il est moins rapide, étant donnée que pour chaque globule il parcourt tous les points pour déterminer le cercle inscrit à l'objet en intersection avec ce point. Nous avons vu dans la section 2.3, que nous avons pris deux descripteurs standards pour notre application, la transformée de Fourier et celle de Fourier-Mellin. Ces deux descripteurs sont les plus robustes. Ils décrivent le mieux les formes, indépendamment de toutes les erreurs qui peuvent être générées par la segmentation.. Partons d'une image et appliquons l'analyse de Fourier en augmentant à chaque fois le nombre de coefficient de Fourier considéré pour construire la courbe équivalente, (figure 9). On remarque alors que plus le nombre de coefficients considéré est élevé, mieux on décrit l'image étudiée. La figure 10, montre que pour un nombre de coefficients égal à 15 nous arrivons à décrire une globule drépanocytaire. une image agrandie au microscope avec un grossissement différent de celui des tests pour fausser le diagnostic. D'où l'intérêt de s'intéresser au descripteur de FourierMellin. L'intérêt de la transformée de Fourier-Mellin pour la reconnaissance de forme provient essentiellement du théorème du retard par similitude qu'elle hérite, par extension, de la transformée de Fourier classique. On peut montrer, que les modules des coefficients de Fourier-Mellin de deux objets ne se distinguant que par leur orientation et leur taille dans l'image sont identiques, (Derrode 1999). Les descripteurs de Fourier-Mellin sont utilisés aussi lorsque le contour extérieur n'est pas suffisant pour caractériser un objet particulier parmi un ensemble d'objets. Figure 10. A gauche image initiale, à droite image reconstruite à partir des 15 coefficients de Fourier L'information discriminante dans ce cas est située dans la texture. En effet, le descripteur de FourierMellin est un descripteur fondé sur les niveaux de gris de l'image et de ce fait il est capable de distinguer entre des objets de textures différentes. Cette caractéristique n'est pas prise en compte dans le cadre de cette application vu que les globules ont pratiquement la même texture et qu'il n'y a pas raison de les différencier en fonction de leurs niveaux de gris. Donc la grande utilité du descripteur de FourierMellin dans le cadre de ce travail vient de son invariance par rapport aux dilatations et aux homothéties. 3.2 Résultats sur plusieurs prélèvements Image originale K=6 K=20 k=2 k=12 k=50 Figure 9. Reconnaissance de formes par le descripteur de Fourier d'un objet synthétique. Cependant, nous avons remarqué que le descripteur de Fourier présentait une limite, puisqu'il n'est pas invariant par homothétie. Il suffirait alors de donner Pour tester l'application, nous avons constitué beaucoup d'images synthétiques. A cet effet, nous avons réalisés une interface propre à l'application. L'interface donne le choix à l'utilisateur de choisir la méthode de description, le nombre d'images à étudier qui représentent le nombre de prélèvements à prendre en considération pour voir l'évolution de la maladie et les images à étudier. Il fait son choix en sélectionnant l'image dans le dossier approprié et en prenant la rubrique associé dans le menu. L'application renvoie alors une fenêtre avec les informations suivantes : la méthode choisie, les images étudiées, le graphe de l'évolution de la maladie au cours de ces N prélèvements et un commentaire qui traduit les résultats obtenus. La figure 11 représente un exemple d'étude de frottis d'un malade N°125 sur 6 prélèvements consécutifs en utilisant le descripteur des Extrémités. SETIT2005 Références (Derrode & al. 1999) S. Derrode and R. Mezhoud. Reconnaissance de formes par invariants complets et convergents; application à l'indexation de bases d'objets à niveaux de gris. 17ème colloque GRETSI'99, Vannes, Septembre 1999. (Teoch & al. 2004) A. Teoch Beng Jin, D. Ngo Chek Ling, and O. Thian Song. An efficient fingerprint verification system using integrated wavelet and fourier-mellin invariant transform. Image and Vision Computing, 22:503--513, 2004. Figure 11. Etude de l'évolution de la maladie sur 6 prélèvements d'un malade. La figure 12 montre l'évolution de la maladie au cours de 8 prélèvements en utilisant le descripteur de Fourier. (Djemal & al. 2004) K. Djamel, W. Puech and B. Rossetto. Geometirc Active contour model using level set methods for objects tracking in images sequence. Int. Conf. SETIT, Sousse, Tunisie, 2004. (Djemal 2004) K. Djamel. Segmentation par contour actif et suivi automatique d'un objet dans une séquence d'images. Thèse Génie Informatique, Automatique et Traitemnt du signal, Université de Toulon et du Var, 16 décembre 2002. (Mezhoud & al. 2000) R. Mezhoud, S. Derrode and F. Ghorbel. Comparaison de deux familles complètes de descripteurs de formes pour l'indexation de bases d'images 2D, Annals of Telecommunications, (55),3-4, pp : 184-193, 2000. (Nascimento & al. 2003) J. C. Nascimento and J. S. Marques, An adaptive potentiel for robust shape estimation, Image and vision Computing, 21, pp :1107-1116, 2003. Figure 12. Etude de l'évolution de la maladie sur 8 prélèvements d'un malade. Les informations obtenus constitues une aide importante pour le suivi automatique des malades drépanocytaires. 4. Conclusion Ce travail a été consacré à la recherche de bons descripteurs de formes pour l'étude de formes des globules drépanocytaires. Nous avons été amené à concevoir une application qui permet de détecter automatiquement les globules drépanocytaires dans une image d'un frottis sanguin. Cette application permettrait alors de suivre plus facilement l'évolution de la maladie au cours du temps et donc de trouver un remède plus rapidement. Après avoir présenté la drépanocytose, nous avons introduit les descripteurs de formes choisis pour notre application. Les descripteurs standards utilisés dans cet article sont ceux de Fourier et Fourier Mellin. Quant aux descripteurs propres à l'application sont ceux du Rayon, des Extrémités et du Cercle inscrit-circonscrit. Nous avons pu alors comparer ces différents descripteurs et tester leur justesse dans la détermination du diagnostic. Après plusieurs tests à l'aide d'images synthétiques différentes, nous avons pu conclure que le descripteur du cercle inscritcirconscrit est le meilleur parmi les descripteurs propres à l'application. En perspectives, nous pensons qu'il serait intéressant d'introduire une description tridimensionnelle sachant la forme toroïdale des globules rouges. (Bouet & al. 2003) M. Bouet, A. Khenchaf and H. Briand, Shape representation for Image Retrieval, International Multimedia Conference, pp : 1-4, Florida, United States, 1999. (Mezhoud & al. 1999) R. Mezhoud and T. Bannour, Invariants des moments et applications, Traitement et d'Analyse d'Images, Méthodes et Applications TAIMA'99, Hammamet ,Tunisie, 1999. (Kindratenko 2003) V. Kindratenko, On using Functions to Describe the Shape, Journal of Mathematical Imaging and vision, 18, pp :25245, 2003. (Marqués & al.1998 ) F. 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