Equations et résolution du mouvement du pendule de Foucault

Pendule de Foucault
La célèbre expérience réalisée par Léon Foucault au Panthéon le 26 mars 1851 utilisait un
pendule de 67 mètres. L'expérience avait pour but de visualiser la rotation de la Terre.
1.- Mise en équations du mouvement du pendule
Les axes, formant un trièdre trirectangle, dans lesquels est
étudié le pendule sont liés à la Terre. En un point A de latitude q
l'axe Az est dirigé verticalement, c'est à dire qu'il passe par le centre
de la Terre supposée parfaitement sphérique. L'axe Ax est tangent
au méridien passant par A et dirigé vers le pôle nord N de la Terre.
L'axe Ay est tangent au cercle de latitude q. Les vecteurs unitaires
portés par les axes Ax, Ay et Az sont : i , j et k
Dans l'étude classique du pendule, on suppose que les
oscillations, en l'absence de rotation de la Terre sont isochrones. La
période du fréquence d'oscillation du pendule est
l
, l étant la longueur du pendule et g l'accélération de la pesanteur
g
T  2
Et donc sa pulsation

g
l
Dans le système d'axes Axyz, en ne tenant pas compte des "forces" engendrées par la
rotation de la Terre les équations de fonctionnement sont :
 x    2 x

2
 y    y
Les axes Axyz ne sont pas galiléens, parce qu'ils sont entraînés dans un mouvement de rotation
autour de l'axe de rotation de la Terre. Si le vecteur unitaire parallèle à l'axe de rotation ON de la
Terre est K et la vitesse de rotation  , il faut ajouter aux forces agissant sur la masse du pendule
les "forces de Coriolis" Fc  2K  VM  2K  ( xi  yj ) .Les composantes du vecteur sur
i , j et k étant cos ,0,sin , Fc s'écrit
Fc  2(cos i  sin k )  ( xi  yj )  2( y sin i  x sin j )
Les équations de fonctionnement du pendule deviennent :
2

 x  2 sin y   x  0

2

 y  2 sin x   y  0
2 - Solution du problème
En ajoutant à la première équation différentielle, la deuxième multipliée par i, il vient , en
posant 0   sin :
( x " iy ")   2 ( x  iy )  20 ( y ' ix ')  0
ou :
( x " iy ")   2 ( x  iy )  20i ( x ' iy ')  0
Si on pose Z  x  iy , le système d'équations devient :
z " 2i 0z '  2z  0
Conditions initiales
A l'instant t=0, le pendule passe au point x=y=0, avec une vitesse v 0 orientée dans la direction
Ax : x '0  v 0, y '0  0  Z0  0 et Z '0  v 0

Utilisation de la transformée de Laplace Z( p)  L(z(t ))  0 z(t )e pt dt , l'équation différentielle
devient
1/3
p2Z  v 0  2i 0 pZ   2Z  0 soit :
Z
v0
p  2i 0   2
2
Le dénominateur peut s'écrire ( p  i 0 )  (  0 )  ( p  i 1)( p  i 2 ) avec
2
2
2
 '   2  2
0

1   ' 0
   ' 
0
 2
Et Z peut s'écrire Z  
v0  1
1 
i

 . La transformée inverse est :
2 '  p  i1 p  i2 

 i ' t
 e i ' t
v0
v0
v 0  i  0t e
 i ( ' 0 )t
i (  ' 0 )t
 i1t
i2t
z(t ) 
i e
e

i e
e
 ie
2 '
2 '
'
2
v
v
 0 e  i 0t sin( ' t )  a sin( ' t )e  i 0t avec a  0
'
'





z(t )  a sin  ' t  ei 0t
3 - Interprétation
La valeur de la pulsation  ' est grande devant celle de 0. A Paris, avec le pendule de Foucault
g
9,81

 0,383 . La Terre fait une rotation sur elle-même en T0, T0 est égal 23 heures et
l
67
2
56 minutes,  
 7,29 x105 . A Paris la latitude  étant de 48°50', 0   sin ,
23 x3600  56 x 60

0  5,49 x10
5
2
2

1  0  
 0 
8
et  '   1  
  1  
   1  1,02 x10 . L'écart entre 



2    
 



et ' est infinitésimal et négligeable.
z(t) est l'affixe du point P, projection de l'extrémité du pendule sur le plan Axy. Le segment AP fait un
angle -0t avec l'axe Ax. Cet angle varie très lentement et on peut dire que le pendule oscille dans
un plan qui tourne autour de l'axe vertical Az avec une période T0 sin .
A Paris cette période est de 31 heures 48 minutes.
Le pendule n'oscille pas dans un plan fixe par rapport au "repère absolu", sauf au pôle nord. A
l'équateur, il oscille dans un plan fixe lié à la Terre.
Le point P décrit une rosace, en coordonnées polaires :
4 Variante
Si les conditions initiales sont à t=0 : x  a, x  0 et y , la solution devient :



z(t )  a cos  ' t  i 0 sin  ' t  e  i 0t
'


Le point P décrit une courbe très aplatie, la rapport du petit axe sur le grand axe étant
0
'
.
Cette courbe tourne autour de l'axe vertical Az avec une période T0 sin . Elle présente des points de
rebroussement, où la tangente passe par l'origine lorsque sin ' t  0 .
On peut remarquer que le point P ne passe jamais par l'origine (x=y=0).
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4 - Illustration des trajectoires du point P.
Pour que les figures soient lisibles on a pris un rapport
  0 0.01

'
0
 20
2
r1(  )

Déplacement du point P lorsque les conditions initiales sont x  y  0, x  v 0
1
y ( )
 0.985
 0.986
x(  )
1
Déplacement du point P lorsque les conditions initiales sont x  a, y  0, x  y  0
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