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Les réseaux électriques en régime sinusoı̈dal forcé
(Cours XXIII et XXIV)
1. Le courant alternatif
1. (*) Rappeler le principe de la production du courant alternatif (monophasé et
multiphasé).
2. (*) Rappeler l’intérêt des lignes à haute tension.
3. (*) Rappeler le principe de fonctionnement d’un transformateur (on pourra
considérer le cas où le couplage entre le primaire et le secondaire est parfait).
4. (*) Indiquer l’un des avantages essentiel du courant alternatif par rapport au
courant continu.
5. Rappeler le principe de fonctionnement des bougies dans les moteurs de voiture.
2. Le circuit R, L
On considère un circuit R, L dans lequel on branche un générateur idéal de tension
de force électromotrice
E = E0 cos(ωt) .
(91)
1. (*) Trouver l’équation différentielle linéaire satisfaite par l’intensité dans ce
circuit.
2. (*) Montrer que la solution générale de cette équation est la somme de deux
termes. Le premier terme est la solution générale de l’équation correspondant
au cas où l’on a débranché le générateur. Ce terme décroı̂t exponentiellement
et peut donc être négligé après un temps caractéristique que l’on précisera. Le
deuxième terme est une solution particulière de l’équation de la forme
I = I0 cos(ωt − φ) .
(92)
3. (*) Expliquer comment le calcul de I0 et φ peut se faire très simplement en
introduisant la grandeur complexe I = I 0 eiωt , où I 0 = I0 e−iφ est une amplitude
complexe indépendante du temps. Calculer I 0 est en déduire I0 et φ.
Remarque : on utilise la notation habituelle i pour le nombre complexe satisfaisant à l’équation i2 = −1. Il ne faut donc pas confondre ce i avec une intensité !
Pour éviter cette confusion, nous noterons toujours les intensités avec des I
majuscules.
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4. (*) Tracer I0 et φ en fonction de ω. Commenter en faisant appel à la loi de Lenz.
5. (*) Pourquoi appelle-t-on un tel circuit un filtre passe-bas ?
3. Le circuit R, C
On considère un circuit R, C dans lequel on branche un générateur idéal de tension
de force électromotrice
E = E0 cos(ωt) .
(93)
1. Trouver l’équation différentielle linéaire satisfaite par l’intensité dans ce circuit.
2. Montrer que la solution générale de cette équation est la somme de deux termes.
Le premier terme est la solution générale de l’équation correspondant au cas où
l’on a débranché le générateur. Ce terme décroı̂t exponentiellement et peut donc
être négligé après un temps caractéristique que l’on précisera. Le deuxième terme
est une solution particulière de l’équation de la forme
I = I0 cos(ωt − φ) .
(94)
3. Calculer I0 et φ en utilisant la méthode des nombres complexes.
4. Tracer I0 et φ en fonction de ω. Commenter sur les limites ω → 0 et ω → ∞.
5. Pourquoi appelle-t-on un tel circuit un filtre passe-haut ?
4. Cas général
On considère le cas de circuits composés de résistances, de solénoı̈des, de condensateurs, avec des générateurs de tension (ou de courant) délivrant tous un signal
sinusoı̈dal. Par exemple, toutes les forces électromotrices des générateurs idéaux de
tension ont la forme
E = E0 cos(ωt − φ) .
(95)
On supposera que la fréquence ν = ω/(2π) est la même pour tous les générateurs
(dans le cas contraire, on traite le circuit en utilisant le principe de superposition,
en ne laissant allumé en même temps que les générateurs fonctionnant à la même
fréquence). Par contre les amplitudes E0 et les phases φ peuvent varier d’un générateur
à l’autre.
Le but est de calculer les intensités dans les branches du circuit, les charges sur
les condensateurs, les d.d.p. Pour ce faire, on applique les principes habituels : loi
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des nœuds (qui reste valable même dans un régime dépendant du temps lorsque les
fréquences ne sont pas trop élevées, comme nous l’avons expliqué dans le chapitre
sur l’induction ; c’est ce que l’on appelle parfois l’approximation du régime quasipermanent) et loi des mailles (en tenant compte des forces électromotrices induites
lorsque la maille contient un ou plusieurs solénoı̈de). Il en résulte un système d’équations différentielles linéaires couplées à coefficients constants.
La solution générale, par exemple pour les intensités dans chaque branche du circuit, est toujours la somme d’un premier terme qui est la solution correspondant au
cas où tous les générateurs sont débranchés et d’un second terme sinusoı̈dale de la
forme I0 cos(ωt − φ), où l’amplitude I0 et la phase φ dépendent bien sûr en général
de la branche de circuit considérée. Le premier terme dans la solution décroı̂t exponentiellement, avec un temps caractéristique donnant la durée du régime transitoire
dans le circuit considéré.
Si l’on regarde le circuit pendant un temps nettement plus long que le temps
caractéristique du régime transitoire, alors on peut complètement négliger les termes
correspondant et se concentrer sur la solution particulière pour laquelle toutes les
quantités dans le circuits varient sinusoı̈dalement. On se trouve alors dans le régime
sinusoı̈dal forcé du circuit.
(*) Donner un argument simple expliquant pourquoi, quel que soit le circuit, une
solution correspondant au cas où tous les générateurs sont débranchés doit s’atténuer
et que donc, en attendant suffisamment longtemps, on se retrouve toujours dans le
cas du régime sinusoı̈dal forcé. Dans quelle situation très particulière ceci pourrait ne
pas être vrai ?
La solution pour le régime sinusoı̈dal forcé peut s’obtenir facilement en utilisant les
nombres complexes, comme nous allons le voir. Soit X(t) une quantité dans le circuit,
qui peut être l’intensité dans une branche, une d.d.p., la charge sur l’armature d’un
condensateur, la f.é.m. d’un générateur. En régime sinusoı̈dal forcé, cette quantité
sera toujours de la forme
X(t) = X0 cos(ωt − φ) .
(96)
Quitte à changer la phase φ en φ + π, on peut toujours supposer que l’amplitude
X0 est positive et c’est ce que nous ferons dans la suite. On associe alors à X(t) la
grandeur complexe
X(t) = X 0 eiωt ,
(97)
où
X 0 = X0 e−iφ .
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(98)
1. (*) Montrer que la quantité physique X(t) associée à la grandeur complexe X(t)
est simplement la partie réelle de X(t), X(t) = Re X(t).
2. (*) Montrer que l’amplitude X0 = |X(t)| = |X 0 |. Montrer que la phase φ, qui
est bien sûr définie modulo 2π, est l’opposé de l’argument du nombre complexe
X 0.
L’utilité des nombres complexes vient des deux propriétés simples suivantes :
• Le système d’équations différentielles à résoudre est linéaire et à coefficients réels.
Si l’on remplace dans ce système toutes les inconnues et les forces électromotrices
par les quantités complexes correspondantes et que l’on résoud les équations ainsi
obtenues, les solutions du système de départ sont alors simplement les parties réelles
des solutions complexes.
• Pour une grandeur complexe quelconque X(t) apparaissant dans le système d’équations différentielles, on a
dX
= iωX(t) .
(99)
dt
Cette propriété est une conséquence immédiate de la formule (97). Elle montre que,
sur des quantités comme X(t), la dérivation par rapport au temps est équivalente à
la multiplication par le nombre complexe iω ! Ceci implique immédiatement que le
système d’équations différentielles linéaires est équivalent à un système d’équations
algébriques linéaires pour les grandeurs complexes.
Il n’est pas difficile de montrer que ce système d’équations linéaires est très semblable à celui que l’on avait obtenu dans le cas d’un circuit en régime permanent (voir
par exemple (37)). En fait, les seules modifications à apporter sont les suivantes :
• On utilise les grandeurs complexes et non les grandeurs physiques (qui doivent être
obtenues à partir des grandeurs complexes en prenant leur partie réelle).
• Les résistances sont remplacées par les impédances complexes. L’impédance d’une
résistance est simplement la résistance elle-même, l’impédance d’un solénoı̈de d’autoinductance L est iLω et l’impédance d’un condensateur de capacité C est −i/(Cω).
Noter que les impédances (qui dépendent en général de la fréquence) sont souvent
notées par la lettre Z et leurs inverses, appelés admittances, par la lettre Y .
Ce résultat montre que l’intégralité des méthodes étudiées pour résoudre les circuits en régime permanent (réduction de dipôles électrocinétiques, courants de maille,
théorème de Thévenin, méthode de superposition...) s’appliquent aussi au cas des circuits en régime sinusoı̈dal forcé, à condition de travailler avec les grandeurs complexes
et d’utiliser la notion d’impédance à la place de celle de résistance.
91
L
R
I1(t)
I2(t)
R
C
E(t)
Fig. 9 – Un exemple de circuit en courant alternatif ; la forme électromotrice du
générateur de tension est E(t) = E0 cos(ωt).
Par exemple, la relation matricielle (37) que nous avions discuté dans le cadre du
courant continu s’écrit en régime sinusoı̈dal forcé sous la forme
ZI =E ,
(100)
où le vecteur colonne I est le vecteur colonne des intensités complexes de maille ;
le vecteur colonne E est le vecteur colonne des forces électromotrices complexes de
maille, sommes des forces électromotrices complexes dans chaque maille ; la matrice
Z est telle que ses éléments diagonaux Zii correspondent à la somme des impédances
de la maille numéro i et ses éléments non-diagonaux Zij , i $= j, à l’opposé de la
somme des impédances communes aux mailles numéro i et j.
1. (*) Retrouver, en utilisant la méthode des nombres complexes, la solution des
circuits R, L et R, C en régime sinusoı̈dal forcé.
2. (*) On considère le circuit représenté sur la Fig. 9. Calculer les intensités I1 (t) et
I2 (t) dans le régime sinusoı̈dal forcé. On utilisera deux méthodes : l’une consistant à commencer par remplacer la résistance et le condensateur en parallèles
par une impédance équivalente que l’on calculera ; l’autre utilisant (100).
5. Considérations énergétiques
On se place dans le cas du régime sinusoı̈dal forcé, à la pulsation ω.
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1. (*) Quelle est la puissance instantanée p(t) consommée par effet Joule dans une
inductance L ? Dans un condensateur C ? Dans une résistance R ? Quelles sont
les valeurs moyennes %p& correspondantes ?
2. (*) Un générateur de tension de force électromotrice E = E0 cos(ωt − φ) est
parcouru par une intensité I = I0 cos(ωt−ψ). Quelle est la puissance instantanée
apportée par le générateur de tension (on précisera les conventions d’orientation
utilisées) ? Quelle est la puissance moyenne ?
3. (*) Pour toute quantité de la forme (96), il est d’usage d’utiliser, au lieu de
l’amplitude X0 , la grandeur efficace définie par
X0
Xeff = √ .
2
(101)
(a) Commenter sur l’intérêt d’une telle définition.
(b) La tension de 220 V délivrée chez les particuliers est une tension efficace.
Quelle est la valeur numérique de l’amplitude de la sinusoı̈de correspondante, c’est-à-dire la valeur de la tension maximale ?
6. Le circuit R, L, C
On considère un circuit R, L, C dans lequel on branche un générateur idéal de
tension de force électromotrice
E = E0 cos(ωt) .
(102)
On se place dans le régime sinusoı̈dal forcé.
1. (*) Calculer l’intensité I(t) qui circule dans le circuit. On précisera bien son
amplitude I0 est son déphasage φ.
2. (*) Tracer I0 et φ en fonction de ω. Identifier la fréquence de résonance ωc pour
laquelle I0 est maximale. On calculera cette valeur maximale que l’on notera
Imax .
3. (*) Pourquoi appelle-t-on un tel circuit un filtre passe-bande ?
4. (*) La largeur de la bande est définie comme étant la différence ∆ω = ω2 −ω1 > 0
entre les pulsations ω1 et ω2 > ω1 correspondant à une amplitude I0 (ω1 ) =
√
I0 (ω2 ) = Imax / 2. Calculer ∆ω et en déduire le facteur de qualité du circuit
R, L, C défini par Q = ωc /∆ω. Quelle est la propriété intéressante d’un circuit
R, L, C ayant un fort facteur de qualité ?
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5. Expliquer comment fonctionne le sélecteur de chaı̂ne dans un poste de radio par
exemple.
6. Expliquer le principe de fonctionnement des détecteurs de métaux, qui sont
utilisés par exemple dans les aéroports ou par les chasseurs de trésors.
7. La lévitation magnétique
1. (*) On considère une spire de forme circulaire parcourue pas un courant sinusoı̈dal I = I0 cos(ωt). La spire se trouve sur une plaque conductrice horizontale.
On appelle M la mutuelle inductance entre la spire et la plaque. Pour modéliser
le plus simplement possible le problème, on pourra considérer que la plaque se
comporte comme un circuit électrique de résistance R et d’auto-inductance L,
et que le champ magnétique créé par la plaque varie peu à l’échelle de la spire.
On note &uz le vecteur unitaire normal à la plaque, dirigé vers le haut et z la
distance entre la plaque et la spire.
(a) À l’aide d’un raisonnement qualitatif sans calcul, tracer l’allure des intensités qui circulent dans la spire et dans la plaque et montrer que la spire
lévite. Qu’en est-il si l’on néglige l’auto-inductance de la plaque ?
(b) Calculer la force électromotrice induite dans la plaque et le courant qui y
circule (on ne tiendra pas compte d’un éventuel régime transitoire).
(c) En déduire que la force qui s’éxerce sur la spire est de la forme
F& (t) = −A cos(ωt) cos(ωt − φ)&uz ,
(103)
où A et φ sont des constantes que l’on calculera. Montrer en particulier
que A > 0 et π/2 < φ < π.
(d) Montrer que la force moyenne qui s’exerce sur la spire est
%F& & = −
Lω 2 I02
dM
M
&uz .
2
2
2
2(R + L ω )
dz
(104)
En déduire que la spire lévite. Peut-on expliquer la lévitation sans tenir
compte de l’auto-inductance de la plaque ?
2. On considère un solénoı̈de d’axe vertical parcouru par l’intensité I = I0 cos(ωt).
On pose un petit anneau conducteur au-dessus solénoı̈de. En s’inspirant de
l’exercice de la question précédente, montrer que le petit anneau lévite.
3. Contrairement aux deux exemples précédents, qui utilisent du courant alternatif, nous allons maintenant donner un exemple de lévitation avec du courant
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continu. On considère une plaque conductrice horizontale et un aimant permanent (ou, ce qui est équivalent, un circuit électrique dans lequel circule un
courant continu) dont le moment magnétique est perpendiculaire à la plaque.
L’aimant se déplace avec une vitesse horizontale &v par rapport à la plaque.
(a) Montrer par un raisonnement qualitatif que l’aimant lévite, à condition
que l’on tienne compte de l’auto-inductance de la plaque. C’est le principe
des trains à lévitation magnétique.
(b) Que se passe-t-il si l’aimant (ou le train !) s’arrête ?
4. (*) On considère un aimant permanent fixe, de moment magnétique vertical. On
approche par-dessus l’aimant un petit échantillon de supraconducteur (c’est-àdire un matériau de résistance électrique nulle).
(a) Montrer que le flux du champ magnétique à travers un circuit électrique
fait avec un matériau supraconducteur ne peut pas varier et reste donc nul.
En déduire qu’en réalité, le champ magnétique à l’intérieur d’un supraconducteur est toujours nul.
(b) Expliquer comment cela est possible, même lorsque le supraconducteur est
proche de l’aimant.
(c) Montrer que le supraconducteur lévite au-dessus de l’aimant (c’est le principe du petit train à lévitation magnétique montré en cours).
(d) Que se passe-t-il si l’échantillon se réchauffe ?
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