Dirichlet (1829) : Notes sur les intégrales définies
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Dirichlet (1829) : Notes sur les intégrales définies
NOTESPELESIXTË~KALËS DËFINIES. PAK (< M. G. LËJEUNE DJRiCHLET, PKOt-.t~KMAit). Crelle, Jonnmt fiir ()«' reim' ()))<)ang<'wan<)tcMathemaiitc. M.~p. *'(-?. \OTKSLRLESIXT~RALESDÉFÎMES. '!f t.-t-ttcnutf. soient comprises ~ttutqtt~ i~ U)t~t':dcs (jui iont ro!t t-n ~randu partif parmi wttcs dont MM. Poisson t-t C~c~n et d'tuttt'e.s savants ont tMt~'ntim''tt's YuL'm'sd:nM ces do'hto's t~taps. }f nif flatta ~ttc c''tte )t<'u\'f)!<' numn't't'd'y paj'Vftm'p~uM'u tntL't'~sst'tles ~'t~et~ {m' soft extt'~m<-~imf:H!.usa~\ fst fou')~ sur ht prupn<tc <(atmt~ (t~s {)Hclt~. pr(M'~<t~~tt mte~rates doubles, d'ctt'~ ttM~~ftKhmtps <!f !'utt.tn*d:nts tt'~nc{ !~s tteux Httc~tti«ns sont c~ctu~'s. C't'st une fxt~~n'H <tc ta tn~thu'k duttt MM. LAt'f.At); et PoniSONont tait un ~tt)j)toi si ht'un'ox 'tans ta th~orn' dfs it)t~"t'n~s 't~<ink"<. Mtns si t'ott d<*it<'nnv<'nh'qtff i:t m(~h'c <Jont it s't)~it a acquis son importance principa)? pat' h's applications tn~nicuscs que k-s ~um~tt't's citfs '')) ont taitt's. ta justice t'xi~' aussi d'attt'Hm'')' a Hcmt; ia p)'cn)icrc' i'tcf <!<faire servir )~ p)'"pri~tc ~nottc~' <)cs iotc~t'ah's fjouttie. a i\a!ttatiut) 'h's intc~ra)cs dcnnifssiotptt-s*). S! t'un tfcsi~ttL'pat' ft ~<'ox coustaot~s pf<siti\s, t't <jU<'J'on ad~pic ta notation de M. LKtjHxuKH.on itm-a p&t-tf simp~ chan~'tHt'ut d~ t'tt (,) ~=~ tes )tnntM t''tant x~t'o et !'itit)tti positif. KrLER a ~t~ conduit par l'induction "L ia, ?6' ~'par )tth'(ptatttitpdp Ja ff)rrn<+Ct kt'eMtpktcet'tit cwMta~ntf partie rc(;m' (''tant tou;om's posith'c. sans <jt)oit'intcgratt- dcvh-ndrait ixtmn'. H. a t~tfnn de ucttt' tna.ntt'rc !qoat!<m sohantf: J'~U"' ) ~<Mm.tft. M. ~'tfrf< '"m. ')/== 7. (~+~ tt~-) \"U-Lt:),Ks)\T);'i){.f.t-:s)tKF[\<)-. (jtti a '-h' \t'ii}t-t- <)~{t)ti.put- M. t~oMsux*). L'~tpMti'mpt'~ccd~ntt' tt u<m .td<tt<t')tt tu-') j~utt)'<!t-sv!t)<'U)'s)'~fIJ('.s''t po.sitm'sdt' U)iust.-)h' -ut's~tt' (')h'ut~'jmtnd m~'tm.'Mts~t'itHtnm~itmit't'.pou)'u~u':t)orstap:u'tt<'t'M')!t'dt'w tt'tt toujours p())titi\-t.. C\->t~(}H'on)wut dftttoxtt'ft't'ttetk'mfhtptu'tt'm~tnf dt'w )w~ Si duncncustMp)'<tC~d~t(Ut!t~'n'[:<ht~)'iti('t'<hut<!<'<')<s st~uottspu)'~ ')))'' qmu~)t'~ ««mttst'it (a ~fn~' t\'stnct!on(t\n'utt'Mtt partt~ tt''<'tt~p<~iti\tt~n?.;t\u)h' <<)/M-== (~-t-Cy-t)" Si !%<))tvotptfK'e <<fts wth' <)cmi('t'('f<t)ttte ht t{)t!mt)tct~ette tjuett'othxt~ et /et<tut't~st~t!tntit~rwit(:'sq)~)conqttfs, pt(t';t'+-r ct~n'on ect'tVt' <'ttstutcsttH~!<'ttK'nt :t ht {Jm'c'!<* ~-h~V– n)) 'M~ << (3) l .f ')<~in))L' uxc ~(Ctrttitc n'st)'i<'ttund'a\'<)h'!t'urs rwth' partes et ft tt vt~nth'a c&tk'-et: .– ` ~+.t/ ."ont (tcux '{U!t))ttt~ sutomsps !a rëettespostttVHs. Otftre ta t'ut'tuujt- jn~'Mkntt'. t'ut'mu)~'font on est rcf!pva!)t<n M. posith-f ~t dcsi~tmnt une (jnuntite la i'ut')no)<' doxtnous (t~Ucpositt\ nous aurons ~ncor~ h~sotn d'une autt'e LAM.ACK.T.a <'nnst:tntf étant t'~fH~et somnise ht rcstt'iction d'avoir s:t pat't!p }'!t)')uns.t'st t't'tte-C): rl.r cos«.<' 6G NotM t'ect'h'ons d'une )n:tttn~tm < <mx ce o'n est d<;ux :t deux. lit tuats peudiit~'c~tt'. fHt'MHpt:~nt (;os.c.c n:u' ,M,~t ~r. ttttt est eo)HR<ts<~ <M~nents t'int~ratp f .StUM' df si~r~s opposes, ctant ''vtd~nnm'nt )t(dh'. Xoos f'~ttr ~it'-)- toute Mtt)t)i~)<rt7. !r c«)nr<')tt 'r< fMt- h'' o'a-i <t)' .f)rfh;n~ '!nrn"<. h' teUf~t A-t-t <t ~"n'xeMt '(««. t)UMKi<Mreettes et ta pn-tMifre de fh'" i'<'sttire. u~rat~tt ~t+~- -)) s)'r\im a r"<)))t)itrt-r )\'x)'rcssi")) ~('')+'~ t~– t. r 'tiott la ~uittttit~ positif ~+~') et <'< )'i<r'' ')n))ri'< entfc – ~t<'r!))iu")):t))'))t~ti"))tj{~= t.e<tt~p'«iti')n<;)rM'"<ientt"tnt''M)).<crtM'<.t't./t).~i)'))ant«n)' = .+'<'<' <tt<~tttit.-tjH~ttfUMjUt')'~<'tt<'nu t<M!'tMain'. 't~ -!)'' i)t<H')u''rit'h' '['mtttitt'' ,)* ~utNnt)'))):)<)';)) 't)~.)):tttat-ht'!t):ttu.t:tti"n ~<))))''<'tt.)))''<-<'t~'t')uatMhtt'!t!it-t)')):)ttt .))/. ))~')..st-))<'jnt')t'\it'tt-t)<h'~i< t-~ XU'fË SUtt LES iXTKMKALMUHt'iXfM.S. avons t t3 donf~ (4) ;=~ i/eqttation (3) subsistantp<~urtoutes tes. valeurs rentes de a', on peut intégrer ses deux tMembrespar rapport a cette quantité entre des nnntes quelconques,ap!'es les ttvotr atutttptMf;par <~ et par mn-ibnction<}ne)eouquf de Si l'on tnutttptte les deux membres p:u' -<At (c ~tant )'eeHcet positive et conscrvattt sa stgtftficationpt'<!cedente)et qu'oo int~rc eusnite oc. on am'a: depuis a;== –oo jusqu'à .t' === <"° ~-(~ ,r e ~+" < _m -=~ (~·+.x~t~ < G9+x~. Commec-+~ est positive(y ne devant reccvoo'que des v&km'spMtttv<is dsus rint~~ntttonretative à eett~'vanaMe), on tnn'a en vertu de ht tbrtuutf(4): p-~+!.)'t' J~==T~ -un La substitutiou de cette va)em' dans !e premier tnetubre le reduu'n a h) quantité: -j ~e U < ou ce qui est la !nemc chose d'après Fequation(2). la partie reeHede &-< étant évidemmentpositive: ~f(~)c-~ ~+~)' Ëgatant cette quantité au secondmembre et enfant k' facteurf(~) qui se tmavcraMnmtmMx-d<iUL&tnembre~fM~~ur~d6<i~ e-<t t J;(~i)p'~+~+~' x En p:M'ticu!arisant les constantesde cette t'onnuic. on obtiendratoutes cènes dont il est questiondans te Mémoiresur !es intégrâtesdennicsque M.Potssox a insèredans te 18' cahier du Journat de t'Ëcotc Polytechnique. C.LcjfUt)t't)ir)c)t)et'sWpr):< tf)') U4 \"TK Sttt f,t-:S )\'tH'.H.U.Ks [tKt'tXtKS. .<tccfUtnctHtuntt'ttitnt les kttt'~s et thms r~quatton (3), (f ntuttipiit* ses <tcux)uc'ub)'~ pat' ht 'jna))tth*qm st' tt'onvc sous te si~nc dans in t'ot'tnnk (.~) et )<' tes ïnt~t't' ~ttsuit~ (tcpnis .K===–oo jusqu'tt ~==00. On ~H'ctuct'a lit '!otthtc inte~t'att~n <'<MMMtu on l'a fait po))r obtetth' )\~)Mtton (r)) itvccla seu)~<)iH'ct'et)Cf ~u*:t)t Ht'ttde s'appuyer sur Jtt tbrtnu!e (4), il faudra s'appuyer sur i'cquHtiun(.')). · Tout ca)cni t'ait, on tconvct'K: ,1 ~+- – ~.+..<.v~t)<' (<+. <- (A+~ (A+~ En fOtitinoMtitde prwc<)(~'itinsi. on Mtïivct'a <t cette funuuie: (a) 'L f (~-V-~ ~t' t 6"(A+~ 'hm:<ht~uettetes iuetem's: 1 1 (~i~ ~C;i)~ (<+~-i)._i_ (&+~' (~1?' i (<i+~ · _I soitt t'n nombre quelconque. H faut se rappek't' <;uec désigneune quttnttte ou (h) moins les purties reeHesde posithe et ejue ces quantitéssont élément positives. Lit t'omutte(6) ibut'mt un grand nombre()e conséquences:je me contentm'aid'en indiquerune sente. Si Fon désignepar A une quantité positivesupcneurett Funitë~ou une quantité imapimircayant pour partie r~eue une tene quantité, et par une quantité reçue quiconque, la partie rceUede ta.quantité /(/t-t-;cV–i) sent positive*). Onpom'F&par conséquenti& mettre ia,ptace de A-t-~t~-id~ns t~ i'ormuie(2). On aura ainsi, en remptaçuntde ptus par (y ctant uneqna,ntité du tnemegenre, c'est-à-diresoumiseaux mCmest'estt*ictions que /)')f M)et t<etitut r<?e))cset m df pht!) positive et la partie r~'Ue 'te ') Soit t=m-}-)tj/–t, MMfc <)uirevient ail HK'tne,de <[m+(M-t-–f] sera ~["t-("+~], vatettr t)Mt«'ra tott<<+r/–î) at)-(te<i<mft)'* tx 'i'tanOtt jfmr< positive, attendu <)uc)!t tjXimtit~m~-t-(t)-)-]-)~ne p'tttrnt jumitis 'i':)tK)i<se)' ))"sitivt m' et :<fortiori pa'i ;m ')<su)tf <te)'ttu!t~, ftaot > !).')-) ~TKSr){Lt:s~TKf.MAU-;s~)\U':s. .– (7) <4'')~== Oll 'l' ou~t'onect'itsitnhtemettt 1~()Ill'Cl'It ~~t' 1. 1 a 1 1 ttiap)ace<!e' (/,+.<–t~ t· ,·r'+rl .p 1 x r (/<+j.l~ ~(/<+~]< -~== Je u~titipjie tes deux nK'tHbresde cette (tt't'ui~t'f equHtton p:u' ia ~uantit~ qui ((!) ~tje les ixt~t't'ensuite dt'puts sftronvf~uus!fsi~)tc/dtttM)'uqt)attou .t' = – oc jusqu'tt ir ==oo: J y- __t__ ,.j~ -(~y~' (~). 1 t! ~1_ ~'+~+~t~ (A'+.l~ '[/(/<l)f L'itttëgrate tftattve ? a' (tu pc~tmet'tHembre s'obtifnt an moyen de ta ibrmuie (6), y ét&nt positive. En retïectuant, le pt'ftnift' tncmbfe s~ t'eduira :<: L.(~p/~ (&+.7'y' '(-y- ~1 (<+.A/' Si l'on nK't dans cette quantité :t tu ptacc de !'int(!~nde s!t \dfUt': r~) î~+~F' qu'on i~~ate au second membre de Fequation précédente et qu'on eHacc le facteur commun jT(~), on aura: f* ~~J y ~'+..v-i~ 7 [~+~])]. 1 1 1 1 ~-+. t~+~)v \(&)7' Si ron accentue les !etttf:s &et~ dansta. tot'mutp(7), qu'on nMtttpue tes deux (tans t'equation (8) et membres par !a. quanttte qui se trouve sous le ~nc/ qu'on les intègre' ensnite dcpn!s .r=~ –ce ju~qn'!< .=='3c.. ou :u'nve)'a a umdeux formule semblable à !a &)rmute(8). dans iaquette U y aura. sous le ~ne tactexrsdeiatbrnie: ~x t~/ (~i)f. [/(A+..v-i~ [~'+,t)]., tj* tl<!(; Ux X"ft:sLt(L)-sfXTK<~<ALHSM:nXtt:.s. puxt'nt thtr'~inirc tk wttu n~uicrc titi notMbm ~udcot~m' (if ces fa<;t<;ut's, <'t''}ttido()ftft'!t)at'u)mt)tc (~ h'~ K. tt ""f t '(~-+~t == t E~+~t/- f '(~+~ t ~t/-i~1 '7 (~+/ ~[/(&.+.[~+~7 '):ms taqH~tteon suppose c posttivc, tes pni-Hea ~di~s dfs (~MmtMsA: k, k'. < < A, A', A", cg~etHHnt postttvct!, et en ouHf i~ {Mt'tiest'eeitfs dfs ~uantttt!s de dernière scne A, A", sappt'icm'es~t'xnitf.