Limites de suites, cours, première S - MathsFG

Limites de suites, cours, première S
F.Gaudon
13 mai 2010
Table des matières
1 Convergence de suites
2
2 Convergence de suites de référence
3
3 Opérations sur les suites convergentes
3
4 Divergence de suites
4
5 Limites de suites géométriques
5
4.1 Notion de divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Suites de référence divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
4
4
Limites de suites, cours, classe de première S
1
Convergence de suites
Dénition :
Soit (un ) une suite.
On dit que (un ) converge vers un réel l ou a pour limite l lorsque tout
intervalle ouvert contenant l, contient tous les termes de la suite (un ) à
partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est convergente et que
l est sa limite. On note limn→+∞ un = l.
Propriété :
Si (un ) converge vers une limite l, alors celle-ci est unique.
Preuve :
En eet, supposons que (un ) converge vers une limite l et soit l0 un réel diérent de l. On supposera ici
que l0 < l, le cas l0 > l se traitant de la même manière. Il existe donc un nombre réel e positif tel que
l0 < l − e. Comme (un ) converge vers l, à partir d'un certain rang N , tous les termes de la suite sont
dans l'intervalle ]l − e; l + e[ et par conséquent les termes de la suite suivant ce rang n'appartiennent pas
à l'intervalle ]l0 − e; l − e[, qui est un intervalle ouvert contenant l0 . On a trouvé un intervalle ouvert tel
que pour n'importe quel rang les termes suivants N ne sont pas dans l'intervalle ce qui montre que la
suite ne converge pas vers l0 .
Algorithmique :
Soit (un ) suite (un ) dénie à partir d'un rang p par un+1 = f (un ) pour tout n ≥ p et convergente vers
une limite l. L'algorithme suivant donne le rang n du premier terme de la suite situé à une distance
inférieure à un réel positif e de la limite l :
Données : p, up , l, e
Début traitement
u prend la valeur up ;
n prend la valeur p ;
tant que |u − l| < e faire
u prend la valeur f (u) ;
n prend la valeur n + 1
n
Acher n
Fin traitement.
Exemple :
Soit (un ) dénie par un+1 = u2n pour tout entier naturel n non nul et par u1 = 0, 75 n. p désigne le
premier rang de la suite (1 ici) puis les termes successifs. On admettra que la suite (un ) converge vers
0 ; on a donc l = 0 ici. e (ou er sous Xcas où e est une constante xée) désigne la diérence entre les
termes et la limite qui doit être obtenue.
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Limites de suites, cours, classe de première S
TI :
Casio :
Prompt P ,U ,E , L
"P " : ?→ P
While ABS(U − L) > "U " : ?→ U
E
"L" : ?→ L
P +1BP
"E " : ?→ E
2
U BU
While ABS(U − L) >
End
E
Disp "P=",P
P +1→P
U2 → U
WhileEnd
"P " : P
2
XCas :
saisir("Premier rang p :",p);
saisir("Premier terme u_p :",u);
saisir("Limite :",l);
saisir("Différence limite :",err);
tantque abs(u-k)>err faire
u:=u^2;
fpour;
afficher("Rang obtenu : ",u);
Convergence de suites de référence
Propriété :
Les suites ( n1 ), √1n ) et
gentes et on a :
• limn→+∞
• limn→+∞
• limn→+∞
1
np
où p est un entier naturel non nul sont conver-
1
=0
n
1
√ = 0
n
1
=0
np
Preuve :
On justie le premier cas, les deux autres se traitant de la même manière. On considère un intervalle
ouvert contenant 0, soit e un réel positif strictement de cet intervalle. Alors il existe un nombre entier
N tel que N1 < e. Comme ( n1 ) est décroissante, pour tout rang n > N , on a n1 < e donc n1 qui appartient
à l'intervalle. Par conséquent, la suite converge vers 0.
3
Opérations sur les suites convergentes
Propriété :
Soient (un ) et (vn ) deux suites convergentes vers des réels l et l0 respectivement.
• la suite (un + vn ) est alors convergente vers l + l0 ;
• la suite (un × vn ) est alors convergente vers ll0 ;
• si k est un réel, alors la suite (kun ) est convergente vers kl ;
• si l0 6= 0, la suite ( uvnn ) est convergente vers ll0 .
Théorème (dit théorème des gendarmes ) :
Soient u, v et w des suites avec v et w convergentes vers une même limite
l. Si, à partir d'un certain rang, vn ≤ un ≤ wn , alors la suite u est
convergente vers l.
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Limites de suites, cours, classe de première S
Preuve :
On considère un intervalle ouvert contenant l. Il existe donc un nombre réel e strictement positif tel sue
]l − e; l + e[ est inclus dans cet intervalle. La suite (vn ) converge vers l donc à partir d'un certain rang
N , vn est supérieur à l − e. La suite (wn ) est convergente donc à partir à partir d'un certain rang N 0 ,
wn < l + e. En outre, à partir d'un certain rang N 00 , on a vn ≤ un ≤ wn , donc à partir du plus grand des
trois rangs N , N 0 et N 00 , on a un ≤ vn > l − e et un ≥ wn ≤ l + e donc wn est dans l'intervalle considéré.
Ceci montre que la suite converge vers l.
4
4.1
Divergence de suites
Notion de divergence
Dénition :
On dit que la suite (un ) diverge vers +∞ ou a pour limite +∞ (resp.
−∞) lorsque tout intervalle de la forme [a; +∞[ où a est un réel (resp.
] − ∞; a]), contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
On note limn→+∞ un = +∞ (resp. limn→+∞ un = −∞)
4.2
Suites de référence divergentes
Propriété :
On a :
• limn→+∞ n
√= +∞
• limn→+∞ n = +∞
• limn→+∞ np = +∞
où p est un entier naturel non nul.
Preuve :
On justie le premier cas. Pour tout intervalle ]a; +∞[, pour tout rang n tel que n > a, n est dans
l'intervalle ]a; +∞[ donc la suite diverge vers +∞. Pour tout rang n tel n > a2 , on a n2 > a donc la
suite (n2 ) est divergente vers +∞. le dernier cas se traite de la même manière que les autres.
Propriété :
Soit (un ) une suite divergente vers +∞ et (vn ) une suite telle qu'à partir
d'un certain rang vn ≤ un . Alors (vn ) est divergente vers +∞.
Preuve :
On considère un intervalle de la forme ]a; +∞[ où a est un réel. (un ) diverge vers +∞ donc à partir
d'un certain rang N les termes de la suite (un ) sont dans l'intervalle ]a; +∞[. A partir d'un certain rang
N 0 , vn ≤ un donc à partir du plus grand des rang N et N 0 , les termes de la suite (vn ) sont dans ]a; +∞[
ce qui démontre que la suite (vn ) est divergente vers +∞.
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Limites de suites, cours, classe de première S
5
Limites de suites géométriques
Propriété :
Soit q un réel diérent de 1.
• Si q > 1, alors la suite (q n ) est divergente vers +∞ ;
• si −1 < q < 1, alors la suite (q n ) est convergente vers 0 ;
• si q ≤ −1, alors la suite (q n ) n'a pas de limite.
Preuve :
Pas de diculté.
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