Synthèse des correcteurs analogiques

Synthèse des correcteurs
analogiques :
Thierry C HATEAU 1
1. L ASMEA, UMR6602 CNRS/UBP
Clermont-Ferrand
T. C HATEAU – P. 1
Plan
1. Problématique
2. Notion de réglabilité
3. Objectifs de la régulation
4. Correcteurs classiques
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Problématique
Pourquoi asservir un système ?
• améliorer la précision statique et dynamique
• améliorer la stabilité (un système instable en BO peut
devenir stable et BF)
• diminuer l’influence des perturbations
• diminuer l’influence des variations des paramètres du
système
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Problématique
Les questions qui conduisent à la mise en oeuvre d’un
correcteur :
• comment diminuer les erreurs stationnaires du système
(augmenter le gain en boucle ouverte) sans pour autant
modifier le facteur de résonance (donc la bande
passante) ?
• comment augmenter la bande passante sans modifier
le facteur de résonance ?
• comment augmenter le degré de stabilité sans diminuer
le gain en boucle ouverte ?
• Comment diminuer le temps de réponse ?
• Comment répondre au cahier des charges ?
T. C HATEAU – P. 4
Problématiques
E(p)
+
e(p)
S(p)
C(p)
T(p)
CORRECTEUR
F IG . 1 – Place du correcteur dans la boucle de
commande
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Problématiques
Dans la littérature, les correcteurs sont séparés en 2
classes :
1. les correcteurs spécifiques : ils sont conçus et
réalisés pour une application particulière,
2. les correcteurs « classiques » : la structure de leur
fonction de transfert est standard, seul les paramètres
peuvent être modifiés pour satisfaire à l’application (ils
sont réalisés et commercialisés, donc leur temps de
mise en place est très court).
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Problématique
De nombreuses méthodes existent pour réaliser la synthèse des
correcteurs.
Dans le cadre de ce cours, seule l’étude dans le plan de
Black est abordée :
• permet la synthèse sans connaître l’expression de la
FT du système (uniquement son lieu de Black
déterminer expérimentalement)
• représentation graphique intuitive des effets des
différents correcteurs
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Notion de réglabilité
y(t)
t
Tr
Tu
Ta
Réglabilité :
• TR : temps de
retard,
• TU : temps de
décollement,
• TA : temps de
montée.
TD = TR + TU ,
Délais
nécessaire pour qu’une
commande
ait
une action significative.
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Notion de réglabilité
Réglabilité :
y(t)
TA
R=
TD
1. Réglabilité
élevée
:
TA
> 10
R=
TD
t
Tr
Tu
Ta
2. Réglabilité
faible
:
TA
R=
<4
TD
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Objectifs de la régulation
1. accroître la stabilité : éloigner le processus du point
d’instabilité. Pratiquement, un réglage de 450 pour la
marge de phase et 10db pour la marge de gain.
2. augmenter le gain du système en boucle ouverte, du
coté des basses fréquences, pour augmenter la
précision statique.
3. augmenter la bande passante pour diminuer le temps
de réponse (glissement des fréquences élevées vers
les gains importants)
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Actions correctives classiques
Action proportionnelle Le signal de commande est
proportionnel au signal d’erreur. C(p) = k (translation
verticale dans le plan de Black)
Action Intégrale C’est une action en régime permanent
1
et en basses fréquences. C(p) =
τi P
Action dérivée C’est une action en régime dynamique
et en hautes fréquences. C(p) = τd P .
Remarque : Les actions intégrale et dérivée ne s’emploient
jamais seules, mais toujours associées à une action
proportionnelle.
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Action proportionnelle
Le plus simple des correcteurs :
def : modification de la consigne à appliquer au système
asservi en amplifiant ou en atténuant le signal d’erreur :
C(p) = k
(1)
k : gain constant positif.
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Action proportionnelle
G/db
k>1
Action dans le diagramme de Black :
Translation verticale
du lieu de Black,
• vers le haut si k >
1 (amplification),
• vers le bas si k <
1 (atténuation).
k=1
0<k<1
O
-180
phi/deg
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Correcteur proportionnel dérivé
Forme théorique :
G/db
C(p) = k(1 + τd .p)
avant
correction
(2)
Ce type de correcteur provoque un
accroissement de
gain et de phase
vers les fréquences
élevées.
après
correction
O
-180
phi/deg
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Correcteur proportionnel dérivé
C(p) = k(1 + τd .p)
(3)
Le but de ce correcteur est d’augmenter la marge de gain,
et, ainsi, d’accroitre la stabilité du système. Pour qu’il
fonctionne correctement, il doit être bien réglé :
1
< ωR
τd
(4)
où ωR est la pulsation de résonance du système.
Problème : ce correcteur n’est pas physiquement
réalisable.
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Correcteur à avance de phase
Le correcteur Prop. Dérivée est approximée par un
réseau à a vance de Phase :
1 + aτ p
, a>1
C(p) =
1 + τp
(5)
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Correcteur à avance de phase
G/db
avant
correction
après
correction
O
-180
phi/deg
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Correcteur à avance de phase
Remarques
• Un réglage correct de ce correcteur est indispensable
pour le bon fonctionnement du système asservi. Un
mauvais réglage peut avoir un effet déstabilisant sur le
système.
• Le gain du système est amplifié pour les très hautes
fréquences. Il en résulte qu’il faut limiter a (souvent à
10) pour éviter une déstabilisation lors des régimes
transitoires.
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Correcteur proportionnel intégral
utilisé pour augmenter la précision statique
1
1 + τi p
C(p) = 1 +
=
τi p
τi p
(6)
G/db
après
correction
avant
correction
O
-180
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Correcteur proportionnel intégral
On remarque que l’influence du correcteur proportionnel
intégral apparaît uniquement en basse fréquence. Il est
important, pour avoir un réglage satisfaisant, de respecter
1
la condition < ωR . Dans ce cas, ni la pulsation de
τi
résonance, ni le facteur de résonance ne sont modifiés.
La précision dynamique du système reste donc
inchangée.
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Correcteur proportionnel intégral
Schéma électrique
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Correcteur à retard de phase
Approximation du correcteur PI
1 + τp
, b>1
C(p) =
1 + bτ p
(7)
′p
1
+
aτ
C(p) = k ′
, a<1
′
1+τ p
(8)
1
< ωR
τ
(9)
Bon réglage :
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Correcteur à retard de phase
G/db
après
correction
avant
correction
O
-180
phi/deg
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Correcteur PID
Il regroupe les 3 actions :
• L’action proportionnelle,
• L’action dérivée,
• L’action intégrale.
Son expression est :
1
+ Td p
C(p) = K 1 +
Ti p
soit,
1 + Ti p + Ti Td p 2
C(p) = K
Ti p
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Correcteur PID
Réglage :
Ti
• On pose : a =
√ Td
a
• pour ω <
, le gain est accru : retard de phase,
Ti
√
a
• pour ω >
, le gain est réduit : avance de phase
Ti
√
a
• pour ω =
, invariance de gain et de phase (si K = 1)
Ti
Pulsation de pivot :
√
a
ωa =
Ti
Rotation du lieu de la BO par rapport au pivot lors de la
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Correcteur PID
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Correcteur PID
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