Planche B

Université du Sud-Toulon-Var / UFR-Sciences et Techniques
Exercice 2. Évaluez la complexité du crible d'Erathostène pour déterminer si un entier
N
Maîtrise de mathématiques TD B
est premier.
Exercice 3. Montrez que le problème du circuit hamiltonien se transforme polynomia-
1. Complexité
lement en le problème du voyageur de commerce :
VOYAGEUR DE COMMERCE
Exercice 1. On considère l'algorithme d'Euclide soustractif :
Instance : Un graphe
Algorithme 1 : Euclide
Entrée : deux entiers positifs
Sortie :
a
et
Question : Existe-t-il
b, a ≤ b.
d(vσ(n) , vσ(1) ) +
d = (a, b).
distance
∑
d : V × V → R+ ,
un entier positif
B.
d(vσ(i) , vσ(i+1) ) ≤ B ?
1≤i<n
Règles :
(1a)
(a, b) 7→ (a, b − a),
si
0 < u ≤ v.
(1b)
(a, b) 7→ (a − b, b),
si
0 < v ≤ u.
(1c)
(a, b) 7→ a,
si
b = 0.
(1d)
(a, b) 7→ b,
si
a = 0.
V = {v1 , . . . , vn } ?
en notant
(1) Calculez
Fn
f1 := 1,
en fonction de
où
λi , 1 ≤ i ≤ p
fn+1 := fn + fn−1 .
f
f
de
0
Π
vers
Π;
Π;
est une transformation polynomiale.
3SAT est NP-complet. pour cela, transformez
Ci de clauses à trois littéraux de manière à
seulement si les clauses de Ci le sont.
Montrez que le problème
chaque clause
ci
ce que
de SAT en un ensemble
satisfaisable si et
ci
soit
Exercice 5. Montrez que le problème du décodage d'un code linéaire binaire est NP-
complet à l'aide du problème des mariages tri-dimensionnels :
1 ≤ i ≤ p, 0 ≤ k ≤ ri − 1,
p
valeurs propres de multiplicités respectives
(
1
1
1
0
ri
DÉCODAGE
de
Question
MARIAGES TRIDIMENSIONNELS
Instance : Un sous-ensemble
est le
de même cardinal
n
où
X, Y
et
Z
sont trois ensembles nis
M ⊆ T de cardinal q telle que ∀x ∈ X (resp. ∀y ∈
∃!(a, y, c) ∈ M, ∃!(a, b, z) ∈ M ?
Indication : Considérez la matrice binaire à |T | lignes et n = 3q colonnes dénie de la
manière suivante : chaque ligne est indexée par un triplet (x, y, z) de T , les q premières
colonnes sont indexées par les éléments de X , les q suivantes par ceux de Y et les q
dernières par les éléments de Z . Sur chaque ligne de la matrice il y a exactement trois
termes non-nuls, les colonne indicées par x, y et z en supposant que c'est le triplet
(x, y, z) qui indice cette ligne.
Y, ∀z ∈ Z), ∃!(x, b, c) ∈ M
règles, alors
a ≥ dfn+2 ,
T ⊆ X × Y × Z,
q.
Question : Existe-t-il une partie
(3) Montrez par récurrence le théorème de Lamé (1845) : si l'algorithme d'Euclide
s'arrête après l'application de
H une matrice de contrôle binaire n × n − k , un syndrome s de longueur n − k
w.
n
: Existe-t-il y ∈ F2 tel que yH = s ?
Instance :
et un poids
)
√
√
n
Déduisez que fn est l'entier le plus proche de φ / 5 où φ = ( 5 + 1)/2
3
nombre d'or. Montrez alors que n ≤ 1 +
2 log2 (fn+1 ).
a > b.
NP-complet proche de
(3) Construire une transformation
(4) Montrer que
l'endomorphisme représenté par la matrice
en supposant que
Π ∈ NP ;
0
problème Π
n. On rappelle que la suite (fn ) est une combinaison
nk λni ,
sont les
est NP-complet se
(1) Montrer que
linéaire des suites de la famille
n 7→
Π
décompose en quatre étapes :
L'objet de l'exercice est de montrer que le nombre de règles à appliquer pour calculer
3
le pgcd de deux entiers a et b à l'aide de cet algorithme est majoré par 1 + log2 (fn+1 )
2
où (fn )n∈N désigne la suite de Fibonacci :
f0 := 0,
Qu'en déduisez-vous ?
Exercice 4. Le principe général pour démontrer qu'un problème
(2) Choisir un
(2)
G = (V, E), une
σ ∈ Sn tel que
b ≥ dfn+1 ,
Concluez.
(4) Donnez une majoration du nombre d'opérations arithmétiques nécessaires et
une majoration élémentaire du coût de chaque opération en fonction de la taille
des entiers manipulés.
1
resp.