Méthode des éléments finis

Méthode des éléments finis
Calcul explicite de la matrice de rigidité d'un triangle à 3 noeuds
On considère un matériau élastique linéaire isotrope de coefficients de Lamé l et m et un
tetrèdre de sommets A, B, C de coordonnées xA, xB, ....
1. Montrer que la partie scalaire de la fonction de forme associée au noeud A s'écrit:
wA(x) = (x-xB,xC-xB,i3)/(xA-xB,xC-xB,i3) = (x-xB,xC-xB,i3)/DABC
2. On appelle eA le vecteur unitaire porté par la hauteur issue de A et hA la longueur de cette
hauteur. Montrer que:
—xwA = eA/hA
3. Montrer que le terme gnérique de la matrice de rigidité élémentaire KAaBb s'écrit:
KAaBb = (lBC/hB) [l eAa eBb + m ((eA,eB)dab + eAb eBa)]
4. On suppose que la pièce est soumise à la pesanteur rg. Calculer le vecteur force du système
élément fini FBb.
5. On suppose que le triangle est un triangle de base horizontale BC et de sommet A. La base
est fixe et A ne peut se déplacer que verticalement sous l'effet de la pesanteur dirigée suivant
la verticale. Calculer le déplacement de A.
Conception d’un barrage poids au séisme par éléments finis
On considère un barrage poids, de grande longueur de rive à rive, et dont étudie le
mouvement d’une section transversale. On assimile la section à un triangle de hauteur
H=100m, de base b=10m et construit en béton, supposé élastique isotrope linéaire : E=10
GPa, n=0.3, r=2000 kg/m3, g=10 m/s2.
On veut étudier les déformations et les contraintes sous l’effet du poids, du chargement
hydrostatique, puis d’un séisme, en utilisant la technique des éléments finis.
x2
x1
l
Dans les trois cas, on se limite dans l’étude aux éléments finis à un seul élément et on prend
pour ddl uniquement le déplacements du sommet A. On se limite au cadre des petits
déplacements et petites déformations. On pose : wA(x) = x2 /H et on cherche le champ de
déplacements dans le barrage sous la forme :
u(x,t) = wA(x) (u1(t) i1 + u2(t) i2 )
1. Réponse au chargement gravitaire, réservoir vide
On suppose la base parfaitement rigide. Le barrage est soumis uniquement à la gravité.
1.Ecrire le PPV et les deux équations qu'il génére en retenant pour les déplacements virtuels
les deux champs associés aux deux ddl réels. Interpréter la cinématique retenue et la
signification de u1 et u2.
2. Calculer les déformations ex(wA ia) pour a=1,2 et les contraintes sx(wA ia).
sx(wA ia).eex(wA ib)) dV.
3. Calculer la matrice de rigidité de composante: Kab = ÚW Tr(s
4. Calculer le second membre associé au chargement due à la gravité.
5. Résoudre explicitement le système en u1 et u2 et calculer le champ de contraintes.
6. Examiner comment les contraintes dépendent de H et l.
7. Application numérique: H= 30m, l=10m. La limite d'élasticité du béton est-elle atteinte ?
2. Réponse au chargement hydrostatique
1. Calculer le chargement due à la pression hydrostatique
2. Calculer la réponse du barrage en déplacements et le champ de contraintes associées.
3. On souhaite que les contraintes cumulées de la gravité et de la pression de l'eau au pied
amont du barrage ne soient pas en traction. Examiner comment la contrainte principale
majeure dépend des paramètres H et l.
4. Application numérique: H=30m, l=10m.
3. Réponse sismique
Tous les barrages nouveaux doivent être dimensionnés au séisme. On modèlise le séisme par
une accélération horizontale du sol de fondation de la forme ag(t) donnée.
1. Ecrire le PPV pour le problème toujours limité aux 2 ddl associés au nœud A. Montrer
qu’avec un changement d’inconnue appropriée et en choisissant les déplacements virtuels
convenablement, on peut conserver les 2 ddl précédents.
2. Calculer la matrice de masse de la structure
3. Montrer que la réponse se ramène à celle d'un oscillateur harmonique simple dont on
précisera la fréquence de résonance et que la solution, avec conditions initiales nulles, s’écrit :
u(t) = (1/w) Ú]0,t[ ag(t) sin w(t-t) dt
ag(t)
Dt
a0
4. On suppose qu’on peut approcher l’accélération ag(t) par un
« choc » de durée courte Dt, d’amplitude a 0 de forme
t0
rectangulaire. Approcher l’intégrale précédente par une formule
de quadrature et en déduire une approximation de u(t). Application numérique : a0=3 m/s2,
Dt=0.04 s.
4. Synthèse générale
Discuter les hypothèses générales:
- comparer les résultats obtenus à celui EF fourni en annexe
- comment améliorer la solution approchée examinée ici ?
- comment prendre en compte, simplement, la déformabilité de la fondation ?
t
Solutions MEF
Rigidité élémentaire d'un triangle linéaire
Cas général
Fonction de forme éléments finis wA pour un triangle
wA(x) = (x-xB,xC-xB,i3)/(xA-xB,xC-xB,i3) = (x-xB,xC-xB,i3)/DABC
—xwA = (xC-xB)Ÿi3/DABC = eA/hA
Tr(eex(wAa)) = ∂awA
—xwA,—
—xwB) dab + ∂bwA ∂awB + ∂bwA ∂awB ]
Tr(eex(wAa).eex(wBb)) = 1/4 [ 2 (—
sx(wAa).eex(wBb)) = [l eAa eBb + m ((eA,eB)dab + eAb eBa)]/(hAhB)
Tr(s
sx(wAa).eex(wBb)) dV = (lBC/hB) [l eAa eBb + m ((eA,eB)dab + eAb eBa)]
ÚW Tr(s
2. Construction du second membre
force de volume constante (pesanteur)
ÚW (fV,wBb) dV = ÚW fVb wB dV = r gb ÚW wB dV
ÚW wA dV = ÚW (x-xB,xC-xB,i3) dV/DABC =(xG-xB,xC-xB,i3) = 1/2 DGCB = 1/2 hG lCB
force de surface linéaire (pression hydrostatique) sur parement vertical
Ú∂Ws (fs,w) dS = Ú∂Ws fS1 wB dS
Ú∂Ws x2 wA dS = Ú∂Ws x2 (x2 i2-xB,xC-xB,i3)dS /DABC
= Ú∂Ws x2 (x2 i2-xB,xC-xB,i3)dS /DABC
= Ú∂Ws x22dx2 (i2,xC-xB,i3)/DABC + Ú∂Ws x2dx2 (-xB,xC-xB,i3)/DABC
= h3/3 (i2,xC-xB,i3)/DABC + h2/2 (-xB,xC-xB,i3)/DABC
3. Déplacement lié au poids
2 ddl : le déplacement de A
KA1A1 = (lBC/hA) [l eA1 eA1 + m ((eA,eA) + eA1 eA1)] = (lBC/hA) [l 0 + m (hA2 + 0)] = mhAlBC
KA1A2 = (lBC/hA) [l eA1 eA2 + m (eA2 eA1)] = (lBC/hA) [l 0 + m 0] = 0
KA2A2 = (lBC/hA) [l eA2 eA2 + m ((eA,eA) + eA1 eA1)] = (lBC/hA) [l hA2 + m (hA2 + 0)] = (l+m)hAlBC
On trouve : u2 = rbg/2 hG lCB/((l+m)hAlBC) = rbg hG /(2(l+m)hA)
Vibration d'un barrage
sx(u).eex(w)) dV = ÚW (fV,w) dV + Ú∂Ws (fs,w) dS
1. PPV:
ÚW Tr(s
wAa = wA(x) ia : u(x) = x2/H (u1 i1 + u2 i2),
uA = u(0,H) = (u1 i1 + u2 i2)
Ici, seulement 2 ddl qui sont les déplacements de A, car la fonction de forme wA a été bien
normalisée.
sx(wA ia).eex(wA ib)) dV = ÚW (fV,wA ib) dV
uAa ÚW Tr(s
a,b=1,2
2. Déformations associées
—xwA = iaƒi2/H (ne dépend pas de l)
DxwAa = iaƒ—
ex(wAa) = 1/2H (iaƒi2+i2ƒia)
a=1,2
a=1 => ex(wA1) = 1/2H (i1ƒi2+i2ƒi1) = cisaillement pur
a=2 => ex(wA2) = 1/H (i2ƒi2) = extension simple
Le plus remarquable est que la cinématique linéaire entraîne des déformations constantes dans
tout le barrage. Un peu trop simplifié, on le présage !!
3. Contraintes
sx(wAa) = l Tr(eex(wAa)) I + 2m ex(wAa)
a=1 => sx(wA1) = m/H (i1ƒi2+i2ƒi1)
a=2 => sx(wA2) = (1/H) (l i1ƒi1 + (l+2m) i2ƒi2)
a=1 => sx(wA1) = m/H (i1ƒi2+i2ƒi1)
a=2 => sx(wA2) = (1/H) (l i1ƒi1 + (l+2m) i2ƒi2)
Remarque: les contraintes locales sont constantes et donc ne vérifient pas les équations
d'équilibre fortes associées à la gravité. C'est toujours effrayant sur des maillages grossiers,
mais ça marche quand même "en moyenne". Par ailleurs, elles ne vérifient pas non plus les
conditions aux limites de surface libre sur les parements amont et aval !!! => Adaptativité…
4. Rigidité
sx(wAa).eex(wAb))
Energie: Tr(s
sx(wA1).eex(wA1)) = m/2H2 Tr[(i1ƒi2+i2ƒi1).(i1ƒi2+i2ƒi1)] = m/H2
Tr(s
sx(wA1).eex(wA2)) = m/2H2 Tr[(i1ƒi2+i2ƒi1).(i2ƒi2)] = 0
Tr(s
sx(wA2).eex(wA2)) = 1/2H2 Tr[(l i1ƒi1 + (l+2m) i2ƒi2).(i2ƒi2)] = (l+2m)/2H2
Tr(s
sx(wAa).eex(wBb)) dV = Hl/2 Tr(s
sx(wAa).eex(wBb))
Kab = ÚW Tr(s
K11 = ml/2H, K12=0, K22 = (l+2m)l/2H
remarque: la matrice de rigidité est en N/m2 en 2D ( N/m et par mètre en x3)
5. Chargement gravitaire
ÚW (fV,wAa) dV = ÚW (-rg i2,wAa) dV = -rg d2a ÚW x2/H dV
= -(rg/H) d2a (Hl/2) xG2 = -(rglH/6) d2a = -P/3 d2a
6. Solution
uV1 = 0
uV2 = -(rglH/6)/K22 = -rgH2/3(l+2m)
(Remarque sur les unités)
Contraintes:
sx(uV) = uV1 sx(wA1) + uV2 sx(wA2) = uV2 sx(wA2)
= -rgH/3 (l/(l+2m) i1ƒi1 + i2ƒi2)
Rappel: l=En/(1+n)(1-2n ), m=E/2(1+n) => l+2m=E(1-n)/(1+n)(1-2n ) => (l+2m)/l =(1-
n)/n.
sx(uV) = -rgH/3 (n/(1-n) i1ƒi1 + i2ƒi2)
pas de cisaillement, superposition de deux compression simple.
l n'intervient pas. Si n=0, uniquement compression simple verticale. Si n->0.5, la contrainte
latérale croît (due à la cinématique frustre)
Ici, les équations d'équilibre sont vérifiées, mais pas les conditions aux limites !!! C'est
seulement le travail qui est vérifié pour une cinématique particulière.
Résultats avec maillage réaliste
L’effet du poids engendre un tassement et un mouvement latéral vers l’extérieur. Il y a des
concentrations de contraintes au pied.
2. Chargement due à la pression d'eau
1.
Ú∂Ws (fS,wAa) dS = Ú∂Ws (-rfg (H-x2) n,wAa) dS = rfg d1a Ú]0,H[ (H-x2)x2/H dx2 = rfgH2/6 d2a
2. Déplacement lié à ce chargement
K11 uS1 = rfgH2/6 => uS1 = (rfgH2/6)/(ml/2H) = rfgH3/3ml
Cette fois-ci l intervient. On diminue le déplacement horizontal quand l augmente. Il
augmente comme H3 par ailleurs. Inversement proportionnel à m.
sx(uS) = uS1 sx(wA1) + uS2 sx(wA2) = uS1 sx(wA1) = (rfgH3/3ml) (m/H) (i1ƒi2+i2ƒi1)
sx(uS) = (rfgH2/3l) (i1ƒi2+i2ƒi1)
le matériau n'intervient pas !! (du à l'extrême simplicité de la cinématique retenue).
3. On peut calculer l'état de contraintes dues aux 2 chargements par superposition (linéarité)
sx(uV+uS) = -rgH/3 (n/(1-n) i1ƒi1 + i2ƒi2) + (rfgH2/3l) (i1ƒi2+i2ƒi1)
On peut alors calculer Von Mises.
Pour le risque de fissuration due à une traction en pied, le problème est que la compression
due au poids croît comme H et le cisaillement du à l’eau comme H2. faut calculer les
contraintes principales: on trouve que la contrainte ppale majeure vaut:
s1/gH ~ -480 + 330 [0.3 + (h/l)2]1/2 £ 0 (pour rester en compression) ,=> h/l < 1
Si on dépasse cette valeur, il faut armer le béton, ou calculer des contraintes plus précises, ou
penser à un barrage voûte (si c'est possible).
La comparaison avec la solution EF avec plusieurs éléments est intéressante, en particulier
l’influence des conditions aux limites de surface libre sur les isovaleurs. Concentration de
contraintes au pied.
3. Chargement sismique
Le PPV s'écrit ici:
sx(wAa).eex(wAb)) dV = 0
uAa'' ÚW (r wAa,wBb) dV + uAa ÚW Tr(s
On posera:
u(x,t) = ug(t) i1 + u*(x,t)
par intégration double de l’accélération)
pour a,b=1,2
( ug(t) est le déplacement du sol, obtenu
On se ramène alors au cas précédent avec deux ddl pour u* qui doit s'annuler à la base. Le
problème s'écrit alors, en se limitant à a=1, car les deux équations sont manifestement
découplées et que le chargement sismique n'agit que selon i1:
sx(wA1).eex(wA1)) dV = -ug'' ÚW (r wA1,wB1) dV
uA1'' ÚW (r wA1,wA1) dV + uA1 ÚW Tr(s
Calcul du terme M11 de la matrice de masse ( MA12 = 0)
M11 = ÚW (r wA1,wA1) dV = ÚW r (x2/H)2 dV = r/H2 Ú]0,H[ x22 l(1-x2/H) dx2 = rlH/12 = m/3
(Unité: c'est bien un masse par mètre selon x3)
L'oscillateur s'écrit alors:
rlH/12 u1'' + ml/2H u1 = - rlH/12 ug''
soit:
u1'' + 6m/rH2 u1 = - ug''
w2 = 6m/rH2 , cS=(m/r)1/2 (vitesse des ondes de cisaillement)
w ~ 61/2 cS/H
période de résonance: T= 2p/w = (2/3)1/2 pH/cS ~ H/2000 ~.08 s
on vérifie en dérivant que :
u(t) = (1/w) Ú]0,t[ ag(t) sin w(t-t) dt
est bien la solution avec C.I. nulles.
Si ag est un créneau, on peut approcher u(t) par :
u(t) = (a0Dt/w) sin w(t-t0) pour t>t0, =0 pour t£t0.
On obtient donc une vibration libre de fréquence w. L’amplitude est (a0Dt/w).
A.N. a0=30 m/s2, Dt=0.03 s, w= 61/2 cS/H = 80 s-1 => umax ~ 30x0.03/80 ~ 1 cm.
Ici barrage en béton : H= 20m, l=15 m (un peu différent)
Chargement de gravité
Déformée et isovaleurs de la norme des déplacements ---------------- Isovaleurs de sxx
Isovaleurs de sxy ---------------- Isovaleurs de syy
Chargement due à la pression
Déformée et isovaleurs de la norme des déplacements ---------------- Isovaleurs de sxx
Isovaleurs de sxy ---------------- Isovaleurs de syy