Moyennes

Moyennes
Il s’agit d’une m o y e n n e q u a d r a t i q u e . Le diamètre d des
nouvelles pièces (diamètre moyen) est de 25,5cm environ (et non pas
25cm, moyenne arithmétique).
5.15. Frères et sœurs
La moyenne nationale tient compte des familles sans enfant. Aucun
étudiant de l’IUT ne provient évidemment d’une famille sans enfant. Les
deux moyennes ne sont donc pas comparables. Il faudrait comparer la
moyenne à l’IUT avec la moyenne nationale des familles ayant au moins
1 enfant.
5.16. Fierté légitime
Imaginons une classe de 20 élèves dont 5 ont fait 0 faute, 8 ont fait
1 faute , 5 ont fait 2 fautes, un a fait 4 fautes (c’est Toto) et le dernier a
fait 60 fautes. La moyenne est de 4,1 fautes. En fait, Toto est avantdernier!!
D’une manière générale, tout ce dont on peut être sûr, c’est que
Toto n’est pas dernier!! Il ne faut pas confondre médiane et moyenne.
Dans l’exemple, la médiane est 1 faute (correspondant au 10ème ou au
11ème élève).
5.17. T.V.A.
Dans ce problème, on peut additionner les prix TTC ou les prix HT,
mais pas les taux et on a la relation!:
Prix TTC = Prix HT x (1+taux)
a) Les prix indiqués sont TTC.
Totaux
Prix TTC
TVA
Calculs
Prix HT
200 ¤
19,6 %
200 x 1/1,196
167,22 ¤
300 ¤
5,5 %
300 x 1/1,055
284,36 ¤
500 ¤
451,58 ¤
Coef. moyen = 500 / 451,58 = 1,1072
Taux moyen de TVA = 10,72 %
Cette moyenne signifie que les deux achats sont équivalents à un
achat unique de 500 Euros TTC avec une TVA à 10,72 %.
Les calculs font appel aux inverses des coefficients!: 1,1072 est la
moyenne harmonique pondérée de 1,196 et 1,055.
b) Il s’agit de prix HT.
Totaux
Prix HT
TVA
Calculs
Prix TTC
200 ¤
19,6 %
200 x 1,196
239,20 ¤
300 ¤
5,5 %
300 x 1,055
316,50 ¤
500 ¤
555,70 ¤
— 38 —
Moyennes
Coef. moyen = 555,70 / 500 = 1,1114
Taux moyen de TVA = 11,14 %
Cette moyenne signifie que les deux achats sont équivalents à un
achat unique de 500 Euros HT avec une TVA à 10,72 %.
Ici, les calculs se font directement!: 1,1114 est la m o y e n n e
arithmétique pondérée de 1,196 et 1,055.
5.18. Moitiés
Les coefficients multiplicateurs successifs sont!:
Vendredi = Lundi x 1,5 x 0,5 x 1,5 x 0,5
4
Vendredi = Lundi x 0,5625 = Lundi x (0,866)
Le travail est multiplié par 0,866 chaque jour en moyenne
(moyenne géométrique), ce qui correspond à une baisse de 13,4% par jour.
5.19. Espérance
Les calculs se font à partir des durées de vie de chaque pile.
Duré de vie
Centres de classes effectifs
produits
400 à 500 h
450 h
10
4.500 h
500 à 600 h
550 h
20
11.000 h
600 à 700 h
650 h
30
19.500 h
700 à 800 h
750 h
30
22.500 h
800 à 900 h
850 h
10
8.500 h
100
66.000 h
Totaux
Les 100 piles ont duré en tout 66.000 heures, soit une durée de vie
moyenne de 660 heures par pile.
Si quelqu’un achète une pile de ce type, il peut “espérer” qu’elle
dure 660 heures. Avec un peu de chance, elle peut durer plus longtemps.
Avec un peu de malchance, elle peut durer moins longtemps. On dit que
la pile a une espérance de vie de 660 heures.
5.20. Triangles rectangles
On peut essayer des moyennes quadratiques!:
Qa=
42 +122
= 80
2
Qb=
32 +52
= 17
2
Qc=
52 +132
= 97
2
2
2
2
Cette fois-ci, on vérifie bien que Q a + Q b = Q c . Le triangle moyen est
bien rectangle.
†
†
— 39 —
Moyennes
5.21. Salaires
La somme des salaires est de 8.000¤ pour 4 personnes, soit une
moyenne de 2.000¤ par personne. Cette moyenne résume très mal la
situation!: personne ne gagne autour de 2.000¤ par mois. Il faudrait
considérer à part le groupe des bas salaires.
5.22. Taux de change
Le cours du dollar est variable. Les prix en dollars sont les effectifs
(nombre de dollars). Il faut calculer les prix en Euros et les additionner!:
Totaux
Prix
effectifs ni
$ 300.000
$ 100.000
$ 400.000
Cours du dollar
variable xi
1,00 ¤
0,80 ¤
Prix en Euros
n i x 1/xi
300.000 ¤
125.000 ¤
425.000 ¤
Le cours moyen du dollar ressort à 400.000/425.000 =0,94 ¤
environ. Il s’agit d’une moyenne harmonique.
5.23. Ratios
a) La moyenne arithmétique de 5 et 4 est 4,5.
b) On pourrait tout aussi bien former les ratios inverses 1/5 et 1/4. La
moyenne arithmétique est alors 9/40 = 0,225.
c) Bien entendu, on constate malheureusement que!:
1/0,225 = 40/9 = 4,444 ≠ 4,5
La moyenne arithmétique est donc mal adaptée pour les ratios.
Si on ne veut pas privilégier un sens particulier pour le calcul des ratios,
on pourrait lui préférer la moyenne géométrique. En appelant G1 la
moyenne géométrique de 5 et 4 et G 2 la moyenne géométrique de leurs
inverses, on a!:
G1 = 5 ¥ 4 = 20 ª 4,472
G2 =
1 1
1
1
¥ =
=
5 4
20 G1
On peut aussi remarquer que 40/9 est la moyenne harmonique de 5 et 4
et vérifier les formules!:
†
40 9
G1 = HA =
¥ = 20
9 2
H < G1 < A
La moyenne géométrique est intermédiaire entre la
†
harmonique et la moyenne arithmétique.
— 40 —
moyenne
Moyennes
5.24. Hommes et femmes
Notons f la proportion d’hommes et 1–f la proportion de femmes
dans l'entreprise. La moyenne générale est la moyenne pondérée des
moyennes dans chaque catégorie!:
15.600 f + 12.600 (1–f) = 15.000
f = 2.400 / 3.000 = 0,80
Il y a 80% d’hommes et 20% de femmes dans l’entreprise.
5.25.
Progressions
Notons i le taux de variation annuelle du chiffre d’affaires. Chaque
année, le chiffre d’affaires est multiplié par 1+i. On doit donc avoir!:
CA x (10,50) = CA x (1+i)5
1+i = (0,50)1/5 = 0,871
soit une baisse de 12,9% par an.
Pour l’entreprise concurrente!:
CA x (1+0,50) = CA x (1+i)5
1+i = (1,50)1/5 = 1,084
soit une hausse de 8,4% par an.
5.26. Bon vent
Il faut calculer la durée du vol aller et celle du vol retour.
Aller
Retour
Ensemble
Distance
500 km
500 km
1.000 km
Vitesse
300 km/h
500 km/h
Vmoy
1 heure
8/3 h = 2 h 40 min
Durée
5/3 h = 1 h 40 min
Vmoy =
1000 3000
=
= 375 km/h < 400 km/h
8
8
3
• 375 est la moyenne harmonique de 500 et 300.
• 400 est la moyenne arithmétique de 500 et 300.
†
Sans vent, le trajet dure 1h 15min à l’aller comme au retour. Le
vent fait donc perdre plus de temps à l’aller qu’il n’en fait gagner au
retour. À la limite, avec un vent de 400 km/h, la durée du retour serait
divisée par 2, mais la durée de l’aller deviendrait infinie!!
```
— 41 —