Fiche révisions n°2 TS La démonstration

Fiche révisions n°2 TS La démonstration
La démonstration fait partie des raisonnements déductifs. Déduire c’est tirer de propositions
appelées prémisses une conclusion qui en découle logiquement et nécessairement. Ainsi la
démonstration mathématique est une opération intellectuelle ayant pour fin d’établir la vérité d’une
proposition en la déduisant de prémisses admises ou démontrées. La déduction s’oppose ainsi aux
raisonnements inductifs qui font appel à l’observation et à l’expérimentation. L’induction est
l’opération mentale qui consiste à partir d’une diversité pour en tirer une généralité. Induire
c’est passer de l’observation d’un certain nombre de faits individuels à l’énoncé d’une loi
universelle, c’est-à-dire valable pour tous les temps, tous les lieux et tous les esprits.
La démonstration est-elle dès lors le seul moyen de parvenir à des vérités nécessaires et universelles ?
N’y a-t-il pas d’autres vérités que démontrées mais tout aussi légitimes ?
A- Qu’est-ce que démontrer ?
1- Démontrer, prouver ?
Démonstration = discours qui montre. Démontrer c’est faire voir de la façon la plus manifeste
possible. C’est montrer avec évidence, c’est toujours essayer de convaincre, de parvenir à emporter
une adhésion, de vaincre toutes les critiques et résistances. Plus précisément démonter c’est donner
des preuves dans le but d’établir la vérité avec certitude (exemple des procédures judiciaires où il
s’agit d’apporter des preuves afin de démontrer la culpabilité ou non de l’accusé pour garantir un
jugement équitable). Un résultat même exact est considéré sans valeur lorsqu’il n’est pas accompagné
d’une justification démonstrative. Il s’agit donc d’un processus de validation objective : la
démonstration apporte une preuve qui valide l’obtention d’un résultat.
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2- Ce que la démonstration n’est pas
La démonstration se distingue de l’interprétation qui a un caractère incertain et conjectural car elle
entraîne l’adhésion de façon nécessaire
Les arguments d’autorité sont ruinés par la rigueur de la démonstration.
La démonstration se distingue de la rhétorique dans laquelle l’ornement l’emporte sur la preuve. Dans
la démonstration, l’accord de l’interlocuteur est exigé en vertu seulement des éléments de la preuve, du
contenu des arguments.
3- Les usages de la démonstration
En logique = syllogisme comme première forme de raisonnement logique.
Le syllogisme montre que le raisonnement déductif pur est analytique en tant qu’il ne dit rien de plus
dans ses conclusions que dans les prémisses qui contiennent, en quelque sorte, les conclusions en elles
= vérité formelle. Le raisonnement déductif est alors purement tautologique (proposition
nécessairement vraie en vertu de sa seule forme logique et indépendamment du sens de ses termes,
« tous les célibataires sont célibataires ». La tautologie ne dit rien sur le monde, elle est vide de sens et
a priori (indépendant de l’expérience), et sa valeur de vérité est purement formelle.
En mathématiques = sciences mêmes de la déduction, c’est pourquoi elles sont des sciences pures. Les
déductions mathématiques ne sont pas purement tautologiques mais nous apprennent quelque chose.
Kant souligne qu’elles ne sont donc pas dues à des jugements analytiques mais synthétiques a
priori. Kant appelle jugement synthétique par opposition à jugement analytique, l’opération par
laquelle l’esprit ajoute ainsi une connaissance à un concept.
Mathématiques = « connaissance rationnelle par construction de concepts » Kant
La démonstration mathématique unit donc rigueur et fécondité.
4- La valeur de la démonstration
Il ne suffit pas qu’une démonstration soit rigoureuse pour qu’elle soit vraie. La rigueur et la nécessité
logique des propositions sont une condition nécessaire mais non suffisante pour garantir la vérité de la
conclusion cf cours sur la vérité ; exemple du sophisme = raisonnement fallacieux.
Définition de la démonstration selon Aristote: « savoir c’est connaître par le moyen de la
démonstration » IInds Analytiques.
Connaître scientifiquement c’est connaître la cause, laquelle est exhibée par le syllogisme
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scientifique. La connaissance scientifique porte sur des objets nécessaires.
Les prémisses (points de départs, principes de la démonstration) sont « vraies, premières, immédiates,
plus connues que la conclusion, antérieures à elle. »
La démonstration reposerait donc sur des principes non démontrés puisqu’ils sont immédiats et
premiers. Or, pour Aristote, connaître scientifiquement c'est connaître par le moyen de la
démonstration. Problème: que la démonstration repose sur des principes non démontrés remet-il
en cause la valeur de toute la démonstration et surtout sa conclusion?
Si ce n'est pas le cas cela signifie que toute démonstration repose sur de l'indémontrable et surtout qu'il
y a d'autres moyens que la démonstration pour parvenir à la vérité.
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B- Les limites de la démonstration: limites de la raison?
1- Limites internes: le problème des principes
a) L'indémontrable comme principe de la démonstration
Pascal, De l'esprit géométrique : géométrie comme modèle de démonstration convaincante. Distinction
méthode de la géométrie/méthode encore plus parfaite et accomplie mais impossible à pratiquer.
Méthode idéale = tout définir et démontrer => inapplicable car risque de régression à l'infini.
L'homme est donc limité dans son ambition de fonder un savoir sur une démonstration totalement
achevée. Cependant la méthode géométrique est aussi certaine et consiste en un juste milieu: ne pas
tout définir et démontrer ni ne rien définir ni démontrer, mais définir ce qui est obscure et
démontrer les propositions qui ne sont pas reconnues comme certaines. Ce qu'elle ne définit pas et
ne démontre pas repose ainsi sur la lumière naturelle de l'esprit.
 Si on devait toujours produire de nouvelles prémisses pour démontrer celles qu’on utilise pour
démontrer, la démonstration serait impossible, nous serions nécessairement conduit à une
régression à l’infini : « il est absolument impossible de tout démontrer : on irait à l’infini, de telle
sorte qu’il n’y aurait pas encore de démonstration. » Aristote, Métaphysique G, III
Aristote récuse ainsi l’idée selon laquelle, du fait que les principes soient indémontrables, toute
connaissance scientifique serait impossible = thèse des sceptiques.
b) Le statut problématique des premiers principes
Axiome = une proposition qui n’est pas démontrée ni démontrable car elle n’a pas besoin de
l’être : sa vérité est évidente à tous et c’est pourquoi elle sert de fondement à tous les
raisonnements ultérieurs. On les tient pour des propositions premières du fait de leur évidence
intrinsèque, elles sont évidentes par elles-mêmes et c’est pour cela qu’elles constituent une vérité
première, antérieure à toute démonstration.
Postulat = est lui aussi une proposition non démontrée mais qui, à la différence de l’axiome, n’est
pas nécessairement soutenue par son évidence. Il est demandé de l’admettre à telle ou telle étape
de la démonstration, sans se prononcer sur sa vérité ou sa fausseté.
Théorème= proposition démontrée.
Nécessité technique des axiomes: on n’a ni le temps ni la place de tout démontrer, il est utile de
disposer de ces propositions.
Nécessité théorique des axiomes : on évite grâce aux axiomes une régression à l’infini, et donc une
incomplétude, de la chaîne démonstrative. cf liste des axiomes et postulats d’Euclide
 Toute démonstration repose donc sur un indémontrable. L’impossibilité de tout démontrer n’est pas
seulement une impossibilité de fait tenant aux limites de nos capacités, comme l’affirme Pascal. Il
s’agit plus fondamentalement d’une impossibilité de droit lié à la condition par principe indémontrable
de toute démonstration.
 Force est donc de constater que la possibilité même de la démonstration, à savoir le fait de pouvoir
tenir un discours sur un être, est fondée sur un indémontrable. Dès lors, chercher à tout démontrer
conduit à ruiner les bases sur lesquelles repose la démonstration.
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b) La connaissance des principes
Opération intellectuelle qui pose les premiers principes = l’intuition.
Les premiers principes sont objet d’intuition puisque ce sont des évidences cf fiche méthode 1 =
évidence comme critère du vrai chez Descartes, est obtenue par un acte d’intuition intellectuelle.
D’où la définition de l’axiome comme proposition non démontrée et indémontrable qui s’impose à
l’esprit par son évidence. Les principes seraient donc connus par la seule lumière de la raison et leur
caractère indémontrable serait donc le signe de la puissance de la raison.
Contre cette idée, Pascal dans les Pensées, oppose la raison et le cœur. Pour Pascal l’impossibilité
pour la raison de démontrer tous ses énoncés est le signe de l’impuissance de la raison humaine à
construire une science selon un ordre accompli : la raison a besoin du secours d’une autre faculté pour
rendre possible son exercice et lui permettre un accès à la vérité qui, à défaut, lui serait refusée. Cette
faculté est le cœur = faculté de sentir immédiatement la vérité. Contrairement à Descartes, il ne
s’agit pas d’une intuition intellectuelle mais bien sensible.
 Si la raison ne peut prouver une proposition qu’à partir d’une autre proposition, on ne peut donc éviter
le risque d’une régression à l’infini qui laisserait la raison remonter sans fin en quête d’un introuvable
point de départ. Mais le cœur est justement la faculté qui lui fournit ce point de départ puisque c’est
par lui que nous connaissons les premiers principes. Le cœur sent donc les principes par un sentiment
immédiat qui ne souffre aucun doute.
 Pascal insiste ainsi sur la faiblesse de la raison humaine. elle s’appuie sur les connaissances que le
cœur lui fournit : elle en est donc dépendante pour toute démonstration.
 Par-là Pascal prouve définitivement qu’il est impossible de tout démontrer et même plus, qu’il serait
absurde de chercher à tout démontrer.
2- Limites externes : la nécessité de la croyance
Pascal, dans les Pensées, souligne que la démonstration ne décide pas des choses de l'amour: « On ne
prouve pas qu'on doit être aimé en exposant d'ordre les causes de l'amour; cela serait ridicule. »
On ne peut se faire aimer en démontrant qu’on le mérite. Le langage de la démonstration ne saurait
toucher le cœur. Inversement, on ne peut réellement prouver que l’on aime quelqu’un par le biais
d’une démonstration, qui plus est en usant d’arguments : « le cœur a ses raisons que la raison ne
connaît pas ». On aime quelqu’un sans pouvoir expliquer pourquoi, sans pouvoir en rendre raison,
même s’il peut y avoir des démonstrations affectives de notre attachement. Mais ces démonstrations
ont-elles valeur de preuve ?
Il n’y a pas d’amour sans une confiance (fides : confiance, foi cf fidélité) et donc sans une croyance
car cette confiance ne repose pas sur un savoir mais n’a pas à reposer sur un savoir. Le jaloux n’aime
pas vraiment, puisqu’il n’a aucune confiance : il veut des preuves, comme si l’amour était du même
ordre qu’un fait ou qu’un théorème. Il en vient donc inévitablement à interpréter tout événement
comme un signe d’infidélité.
Dès lors n’y a- t-il pas des domaines où une croyance, si elle est très probable, suffit, comme la vie
courante ou certains domaines de recherche où il n’y a pas de certitude absolue ?