le probleme de tournees de vehicules avec gestion de stock

8e Conférence Internationale de MOdélisation et SIMulation - MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie
« Evaluation et optimisation des systèmes innovants de production de biens et de services »
ANALYSE D’UN PROBLEME DE TOURNEE DE VEHICULES AVEC
GESTION DE STOCK DANS UN CONTEXTE DE STOCK DE
CONSIGNATION
Z. JEMAI
R. KALAI
Y. REKIK
Chaire Supply Chain
Ecole Centrale Paris
Grande Voie des Vignes
92295 Châtenay-Malabry
[email protected]
Rouen Business School
1, rue du Maréchal Juin
76130 Mont Saint-Aignan
[email protected]
EM Lyon Business School
23 Avenue Guy de Collongue
69134 Ecully cedex
[email protected]
RESUME : Le problème de tournées de véhicules avec gestion de stock (IRP) consiste à déterminer le circuit de
distribution, d'un entrepôt central vers un ensemble de clients, qui optimise conjointement les coûts de transport et de
stockage. Plusieurs travaux montrent l’intérêt de politiques comme le transbordement (transhipment) ou les tournées
dynamiques sur les performances du système. Cependant, dans la pratique, ces politiques sont généralement critiquées
car elles introduisent des contraintes additionnelles. Dans ce travail, nous étudions un problème IRP dans un contexte
de stock de consignation. Nous montrons que le fonctionnement avec un stock de consignation justifie le recours à de
telles politiques (transbordement, tournées dynamiques). Nous nous intéressons au cas de tournées statiques et nous
montrons sur un exemple numérique que le transbordement permet de mieux optimiser ces tournées et d'améliorer ainsi
les performances globales du système.
MOTS-CLES : Tournée de véhicule avec gestion de stock, Stock de consignation, Transbordement.
1
INTRODUCTION
Avec le développement de la notion de chaîne logistique
étendue, les chercheurs ont été amenés à revisiter la plupart des modèles développés dans la littérature sur la
gestion de la production et/ou de stocks, l’objectif étant
d’intégrer deux ou plusieurs maillons comme la production et la distribution ou la distribution et la gestion de
stocks. Même si les résultats obtenus à partir de ces recherches sont très intéressants, leurs applications pratiques ont du mal à se mettre en place dans les chaînes
logistiques. En effet, ces dernières sont souvent formées
de plusieurs entités indépendantes qui ne font pas partie
de la même organisation et qui, de ce fait, optimisent
leurs décisions de façon individuelle en ne prenant en
compte que des critères locaux. Ainsi, l’application
d’une optimisation globale de la chaîne logistique ne
garantie pas en général la satisfaction de tous les acteurs
qui la composent. Elle doit donc être couplée à des mécanismes de collaboration qui permettent un partage des
gains entre les différents acteurs.
coûts de transport et de stockage. Nombre d’auteurs se
sont penchés sur ce problème dans un contexte de VMI
(Vendor Managed Inventory). En effet, comme le fournisseur se charge dans ce cas de gérer les stocks du
client, il est plus en mesure de mieux optimiser ses tournées.
Dans un tout autre contexte, plusieurs travaux ont démontré que l’un des moyens d’augmenter la performance
d’une chaîne logistique est de permettre le transfert de
stocks entre deux entités d’un même niveau de la chaîne,
autrement dit le transbordement2 (généralement de celle
qui est en surstock vers celle qui est en rupture). En
l’absence de contrat de collaboration entre les acteurs, ce
transfert de biens est très difficile à mettre en place, principalement pour des raisons de propriété de stocks. De
plus, celui qui est en position de céder des biens peut
refuser de le faire de peur d’augmenter ses risques de
tomber en rupture. Cette difficulté est facilement écartée
dans le cas d’un système VMI avec stock de consignation où le fournisseur reste propriétaire du stock tant
qu’il n’a pas été consommé par le client.
Parmi les problématiques d’intégration les plus étudiées,
on trouve le problème de tournée de véhicules avec gestion de stocks (IRP)1. Ce problème consiste à déterminer
le circuit de distribution, d'un entrepôt central vers un
ensemble de clients, qui optimise conjointement les
Dans ce travail, nous étudions un problème IRP avec un
fournisseur et plusieurs clients dans un contexte de VMI
avec stock de consignation. Le fournisseur peut avoir
recours au transbordement pour satisfaire la demande des
différents clients. Après un état de l’art détaillé en sec-
1
2
Inventory Routing Problem en anglais.
Transshipment en anglais.
MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie
tion 2, nous décrivons le modèle étudié dans la section 3.
Dans la section 4 sont exposées les approches de résolution. Enfin, nous présentons quelques exemples numériques dans la section 5 avant de donner quelques conclusions et perspectives dans la section 6.
2
ETAT DE L’ART
Ces deux dernières décennies ont été marquées par une
littérature abondante sur l’optimisation intégrée de deux
ou plusieurs maillons de la chaîne logistique. (Thomas et
Griffin, 1996) répartissent ces travaux en trois catégories : l’intégration fournisseur-client, l’intégration production-distribution et l’intégration distribution-gestion
des stocks. Cette dernière catégorie, connue sous le nom
d’IRP, est traitée dans un grand nombre d’articles
comme le montrent les états de l’art publiés par (Federgruen et Simchi-Levi, 1995), (Baita et al., 1998) et plus
récemment (Ward et Zhaï, 2004).
(Campbell et al., 1998) définissent l’IRP comme
l’optimisation de la distribution répétée d’un produit, à
partir d’un entrepôt central vers un ensemble de revendeurs ou de clients sur un horizon de planification fini ou
infini. Chaque client est caractérisé par sa capacité de
stockage et sa consommation du produit. Le réapprovisionnement est effectué par une flotte homogène de véhicules. Les distances ou les temps de trajet entre le dépôt et les clients d’une part, et entre les différents clients
d’autre part, sont connus. L’objectif est de planifier les
jours de livraison pour chaque client sur l'horizon de
temps, et ensuite d'organiser les tournées de la flotte de
véhicules afin d'effectuer les livraisons nécessaires. Les
quantités à livrer sont elles aussi des variables de décision. Cette planification doit respecter les contraintes de
niveau de stock chez les clients et minimiser le coût total
de livraison sur l'ensemble de l'horizon. Le problème
ainsi présenté est une extension du problème de tournées
de véhicules classique auquel on a rajouté la notion de
période et intégré des éléments de gestion de stocks dans
la planification du transport.
(Federgruen et Zipkin, 1984) ont été parmi les premiers à
investiguer l’intégration de la gestion de stock aux tournées de véhicules. Ils ont considéré une usine à capacité
finie qui alimente un ensemble de clients caractérisés
essentiellement par un taux de demande stochastique.
L’objectif de leur modèle était d’assurer la distribution
des produits de l’entrepôt aux clients en minimisant les
coûts de transport et de stockage et en réduisant les ruptures de stock à la fin des périodes. Ils ont modélisé leur
problème par un programme non linéaire en nombres
entiers et ont proposé une méthode d’approximation
pour le résoudre. (Golden et al., 1984), traitent le problème IRP en adoptant une heuristique différente qui
consiste à déterminer les localisations à visiter chaque
jour et génère les tournées correspondantes. Un pro-
blème similaire a été traité par (Chien et al., 1989) ; ces
derniers ont formulé le problème par un programme linéaire en nombres entiers résolu par la relaxation de Lagrange. La version stochastique de l’IRP, nommée SIRP
(Stochastic Inventory Routing Problem) a été modélisée
par un processus de décision Markovien dans différents
travaux tels que (Minkoff, 1993), (Kleywegt et al., 2002)
et (Kleywegt et al., 2004).
Par ailleurs, beaucoup de travaux ont étudié le rôle des
nouvelles technologies de communication et de partage
d’information dans la création de nouveaux partenariats
industriels entre fournisseurs et clients permettant ainsi
une forte expansion des IRP. Dans un contexte de VMI
par exemple, le fournisseur peut gérer le niveau de stock
de ses clients et peut décider des périodes et des quantités à livrer. (Rusdiansyah et Tsao, 2004) optimisent
l’approvisionnement des distributeurs de biens alimentaires au Japon dans le cas d’une demande déterministe
sur un horizon à court terme. (Aghezzaf et al., 2006) se
sont intéressés à une modélisation d’un IRP à long terme
avec l’objectif de minimiser les coûts de transport et de
possession de stock. Les auteurs intègrent le concept
multi-tours (i.e : un véhicule peut effectuer plusieurs
tournées dans la même journée). Ce problème a été modélisé par un programme non linéaire mixte et résolu par
une méthode fondée sur le principe de génération de
colonnes. (Centikaya et Lee, 2000) utilisent un processus
de renouvellement pour traiter un modèle de consolidation des livraisons dans un contexte VMI sans prise en
compte des tournées. (Centikaya et Lee, 2002) étendent
ce travail en considérant des coûts de distribution et
(Centinkaya et Bookbinder, 2003) y intègrent deux
modes de transport.
(Hu et al., 2003) se sont intéressés à un autre aspect des
IRP: l’IRP dynamique avec mise à jour de l’information
après chaque visite. Les auteurs soulignent deux avantages de ce modèle : une plus grande réactivité par rapport à la variation de la demande et un routage efficace
des véhicules en temps réel. Leur modèle est basé sur un
SVRP (stochastic vehicle routing problem) et résolu par
la technique de branch-and-bound. Dans un contexte
VMI, (Jarugumilli et Grasman, 2007) utilisent un IRP
dynamique facilité par l’utilisation de la technologie
RFID qui permet au véhicule d’accéder, lors de chaque
passage par un client, à l’information concernant le niveau de stock des différents clients et de ré-optimiser
ainsi la tournée et les quantités à livrer. Tous ces travaux
montrent que l’IRP dynamique améliore les performances du système étudié du fait qu’il permet de modifier en temps réel la tournée de véhicule en fonction de la
variation de la demande. Cependant, si chaque acteur est
intéressé par la maximisation de ses propres gains, une
tournée dynamique risque de ne pas lui convenir du fait
que, d’une part, les délais de livraison deviennent stochastiques avec une grande variabilité (ce qui influence
les stocks de sécurité), et d’autre part, les ressources né-
MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie
cessaires à la réception des produits deviennent complexes à planifier.
Comme mentionné plus haut, plusieurs travaux ont démontré que le transbordement constituait l’un des
moyens d’augmenter la performance d’une chaîne logistique. Le premier travail sur le transbordement est celui
de (Krishnan et Rao, 1965) qui étudient une politique
mono-période. (Robinson, 1990) étend ce travail au cas
multi-périodes. (Tagaras, 1989) considère un modèle
multi-périodes avec une hypothèse de regroupement
complet (complete pooling) qui stipule que, si une localisation est à court de stock et qu’une autre a un excès de
stock, alors cette dernière fournit à la première le minimum entre son excès et la quantité manquante. Plusieurs
travaux ((Jönsson et Silver, 1987), (Diks et de Kok,
1996)) et (Evers, 1996)), considèrent que le transbordement s’effectue systématiquement quand une rupture de
stock est éminente. Les travaux cités ci-dessus supposent
que le transbordement est coordonné de manière centralisée. (Rudi et al., 2001) étudient l’influence du transbordement sur le niveau de stock optimal de deux vendeurs indépendants. Nous invitons le lecteur à consulter
les articles de (Chiou, 2008) et de (Paterson et al., 2009)
qui proposent une revue de littérature complète sur le
transbordement.
En l’absence de contrat de collaboration entre les acteurs, le transbordement reste très difficile à mettre en
place pour des raisons de propriété de stocks et des coûts
supplémentaires qu’il peut engendrer (coûts de réception/préparation de commandes, risques de détérioration,…). De plus, le client qui était en surstock à un moment donné peut refuser d’en céder une partie de peur de
tomber en rupture plus tard. Ces difficultés peuvent être
diminuées, voire éliminées, dans certains contextes de
collaboration comme celui d’un stock de consignation.
Le stock de consignation (CS) est un stock appartenant
au fournisseur mais stocké et géré dans l’entrepôt du
client. Ainsi, ce dernier peut s’en servir de ce stock
quand il en a besoin. Notons que le stock de consignation reste la propriété du fournisseur jusqu’au moment
où le client l’utilise. Le stock de consignation est étroitement lié au VMI, au point que plusieurs travaux considèrent le CS comme un cas particulier du VMI (Zavanella et Zanoni, 2009). Cependant, il faut garder à l’esprit
que le CS concerne la propriété du stock alors que le
VMI concerne la gestion du stock (Corbett, 2001).
L’un des premiers travaux soulignant l’apport du CS
dans une chaîne logistique collaborative (que l’on notera
CVMI, c'est-à-dire CS dans un contexte de VMI) est
celui de (Valentini et Zavanella, 2003). Les auteurs montrent, en utilisant la simulation, que le CS peut être un
choix rationnel sous certaines conditions et expliquent
l’intérêt croissant des entreprises pour ce mode de fonctionnement. (Braglia et Zavanella, 2003) appuient ces
résultats à travers un modèle analytique d’un modèle de
CVMI dans le cas d’une chaîne logistique à deux acteurs : un fournisseur et un distributeur. Les auteurs
montrent en particulier que cette politique est stratégique
et profitable dans un environnement incertain (i.e. les
délais de livraison et/ou la demande sont variables). (Zanoni et Grubbstrom, 2004) étendent ce modèle en caractérisant analytiquement la solution obtenue. (Persona et
al., 2005) s’intéressent à une politique CVMI dans le cas
de produits sujets à obsolescence. Ils considèrent un modèle à un fournisseur qui livre à un vendeur un produit à
durée de vie limitée. Dans le cas d’une durée de vie déterministe, les auteurs montrent que la prise en compte
de l’obsolescence par rapport au modèle de (Braglia et
Zavanella, 2003) augmente le coût total tout en réduisant
le niveau de stock optimal. Dans le cas d’une durée de
vie stochastique, (Persona et al., 2005) montrent par la
simulation que les quantités livrées sont toujours inférieures à celles du cas avec une durée de vie déterministe. Récemment, (Zavanella et Zanoni, 2009) ont exploré un cas plus général à un fournisseur et plusieurs
clients. Ils présentent un modèle déterministe qui optimise les décisions de réapprovisionnement pour le fournisseur et les différents clients. Les auteurs montrent que
cette politique permet une amélioration des performances de la chaîne logistique comparée à une situation
décentralisée.
La plupart des auteurs reconnaissent que les bénéfices de
la CVMI sont faciles à identifier autant pour la chaîne
logistique globale que pour le maillon aval de la chaîne.
(Gümüs et al., 2008) étudient un modèle déterministe et
s’intéressent aux conditions sous lesquelles le CVMI est
profitable pour les deux maillons de la chaîne logistique,
à savoir le fournisseur et le client. Ils énoncent les conditions nécessaires pour améliorer les performances du
maillon amont de la chaîne logistique.
Dans ce travail, on s’intéresse à un problème de tournées
de véhicules avec gestion de stocks (IRP) dans un contexte de VMI avec stock de consignation (CVMI). Dans
un tel contexte, le recours au transbordement peut être
intéressant du fait que le fournisseur reste propriétaire
des stocks chez le client et a donc la liberté de les utiliser
pour fournir, par exemple, un autre client en rupture de
stock, si ceci permet d’optimiser ses performances. Cette
étude étend le travail de (Zavanella et Zanoni, 2009) en
introduisant la notion de tournée de véhicule et en considérant une demande stochastique. Notre travail propose
également une alternative (le transbordement) aux tournées dynamiques de (Jarugumilli et Grasman, 2007) et
propose un autre contexte (le CVMI) plus approprié à
des politiques tels que le transbordement ou les tournées
dynamiques.
MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie
3
3.1
MODELE ETUDIE ET NOTATIONS
Notations
Soit une chaîne logistique à deux niveaux avec un fournisseur qui fournit un produit à K clients dans un contexte de VMI avec stock de consignation (CVMI).
Chaque entité est localisée dans un sommet k (k = 0 pour
le fournisseur et k = 1 à K pour les clients). dij et cij représentent respectivement la distance et le coût de distribution entre les sommets i et j. Chaque client est caractérisé par une demande modélisée par une loi normale de
moyenne µk et d’écart-type σk par unité de temps.
Les paramètres de coût, supportés par le fournisseur, au
niveau de chaque sommet sont définis ci-dessous :
• p : coût unitaire du produit. Il peut inclure le
coût de revient et les coûts variables de transport et de manipulation de la commande
• ak : coût fixe de passation de commande. Ce
coût peut inclure tous les coûts fixes liés à la
commande (coûts fixes de transport, coûts administratifs, coûts fixes de préparation de la
commande de chargement/déchargement…).
• hk : coût unitaire de stockage par unité de temps
qui se compose généralement des coûts financiers
d’immobilisation,
des
coûts
d’obsolescence. Généralement, dans un contexte de CVMI, les coûts physiques de stockage
restent à la charge du client.
• bk : coût unitaire de rupture. Il est souvent fixé
entre les deux acteurs de la chaîne logistique
sous forme de pénalité de rupture ou de retard
que paye le fournisseur au client.
3.2
Modèle étudié et hypothèses
Le fournisseur adopte une politique de type (R,s,S)k où R
est le temps de cycle, s est le stock d’alerte et S est le
niveau de recomplètement. En début de chaque période
Rk, le fournisseur observe le niveau de stock Ik,
k=1,…,K, des différents sommets concernés. Lorsque le
stock baisse au dessous d’un niveau sk, une livraison
d’une quantité Sk-Ik est alors programmée. Ainsi, au début de chaque journée, le fournisseur dispose d’un ensemble de localisations à fournir. Il décide alors du circuit de distribution optimal.
Nous supposons que le fournisseur opte pour un fonctionnement de type voyageur de commerce tout en prenant en considération la capacité du véhicule utilisé. Un
camion de capacité CAP part de l’entrepôt central (sommet 0) pour visiter les différentes localisations programmées avant de retourner au point de départ. Si la
capacité du camion ne permet pas de satisfaire toute la
demande, le fournisseur peut intégrer d’autres sommets
dans le circuit afin de faire du transbordement entre les
différentes localisations. Nous supposons que
l’information n’est pas mise à jour en cours de journée,
ce qui permettra de figer les paramètres de décision (en
l’occurrence, quantités à livrer, quantités à récupérer,
circuit à suivre) avant le début de la tournée.
4
APPROCHES DE RESOLUTION
Dans cette section, nous présentons les approches de
résolution des différentes problématiques étudiées. Une
première phase consiste à déterminer les paramètres de
la politique de gestion de stocks. La deuxième phase
permet de déterminer la tournée à suivre ainsi que les
quantités à livrer ou à récupérer des différentes localisations.
4.1
Politique de gestion de stock
Comme décrit précédemment, le fournisseur adopte une
politique de gestion de stocks de type (R,s,S)k. Cette politique est adaptée à des mécanismes de collaboration de
type VMI et/ou CS (Valentini et Zavanella, 2003). En
effet, dans un contexte de CS, le client offre au fournisseur la possibilité d’utiliser son entrepôt pour stocker. En
contre partie, le fournisseur s’engage à garantir un niveau de stock compris entre une borne minimale et une
borne maximale et à payer une pénalité en cas de rupture. La borne minimale, sk, correspond à un compromis
entre le coût de stock et la pénalité de rupture. La borne
maximale, Sk, est généralement un compromis entre économie d’échelle et coût de stock, et tient compte parfois
de la capacité de stockage du client.
Plusieurs travaux ont proposé des méthodes de calcul des
paramètres sk et Sk. (Schneider et Ringuest, 1990) considèrent un modèle (R, s, S) avec une contrainte de qualité
de service et proposent une approximation « Power approximation » pour le résoudre. (Ehrhardt et Mosier,
1984) développent une approche similaire dans le cas de
la prise en compte de coûts de rupture. (Silver et al.
2007) proposent une revue complète des méthodes de
calcul des paramètres s et S. Dans ce travail, nous utilisons l’approximation proposée par (Ehrhardt et Mosier,
1984) comme définie ci-dessous :
Soient Gk et zk tel que :
Gk = 1.3( µk )
et zk =
Gk
0.494
 ak 
 
 hk 
0.506
 σ k2, Rk
1 + 2
µk

hk
σ k , R bk



0.116
(1)
(2)
k
alors, pour tout sommet k, k∈{1,...,K} :
 0.183

sk = 0.973µk , Rk + σ k , Rk 
+ 1.063 − 2.192 zk  (3)
 zk

(4)
et Sk = sk + Gk
MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie
avec
µk , R = ( Rk + 1) µk et σ
4.2
Optimisation du circuit de distribution
k
2
k , Rk
= ( Rk + 1)σ .
2
k
En début de chaque période, le fournisseur dispose d’un
ensemble de localisations à fournir (l’ensemble K’ des
sommets dont le niveau de stock Ik est inférieur ou égal à
sk). Il connait ainsi la quantité exacte à livrer (Dk = Sk-Ik
avec k appartenant à K’) et décide du circuit de distribution optimal.
Le fournisseur opte pour un fonctionnement de type
voyageur de commerce (TSP). Ainsi, si la demande totale
D=
∑D
k∈K '
k
est inférieure à la capacité CAP du camion, la solution
sélectionnée correspond à l’optimisation du TSP.
Chaque sommet est caractérisé par ses coordonnées géographiques (Xk,Yk). La distance considérée dij séparant
deux localisations i et j est la distance euclidienne :
dij = ( X i − X j ) 2 + (Yi − Y j ) 2 .
Nous supposons que les coûts de transports sont proportionnels à la distance : cij = γdij avec γ un facteur de proportionnalité.
Si la capacité du camion ne permet pas de satisfaire toute
la demande, le fournisseur peut intégrer d’autres sommets dans le circuit (ceux qui sont en surstock) afin de
faire du transbordement entre les différentes localisations. L’intégration d’un nouveau sommet à visiter affecte le coût total du fournisseur de deux manières : un
surcoût journalier dû à l’augmentation de la distance de
la tournée optimale et un coût à plus long terme correspondant à l’augmentation des fréquences des visites de
chaque localisation à cause des quantités à récupérer par
le transbordement.
Afin de tenir compte de ces deux points, nous déterminons, pour chaque localisation k∈K\K’, une quantité
maximale disponible au transbordement, notée Qkmax,
calculée à partir du niveau du stock physique. En effet,
pour un niveau de service donné θk, nous calculons la
couverture de stock Lk (i.e. le nombre de jours de consommation auquel le niveau de stock actuel peut faire
face). La quantité maximale disponible au transbordement dans la localisation Qkmax est déterminée de façon à
ce que le stock restant garantisse un niveau de service
minimal θkmin sur une même durée Lk. Par exemple, considérons un client k dont la demande suit une loi normale
N(58,45) par unité de temps. Si le niveau de stock est
I=415, alors pour un niveau de service θ=99,99%, sa
couverture de stock est L=3 unités de temps. Pour un
même L et pour un niveau de service θmin=80%, le niveau de stock requis est de 240 unités. Ainsi, la quantité
disponible au transbordement est Qmax=175. Une deuxième approche possible est de fixer un Lkmin inférieur à
Lk et chercher la quantité maximale disponible de telle
sorte que le stock restant garantisse le même taux de
service θk sur Lkmin. Nous nous contenterons de la première approche.
D’autres méthodes exactes basées sur la relaxation lagrangienne permettent de déterminer, pour un jour donné, les quantités à récupérer à partir des sites de transbordement. Ces méthodes permettent d’optimiser les
coûts de distribution sur une seule période et ne tiennent
pas compte du surcoût lié à l’augmentation des fréquences de visites des différentes localisations.
Une fois les quantités Qkmax calculées, nous utilisons une
heuristique qui permet de déterminer le circuit de distribution optimal. Cette heuristique cherche d’abord la liste
des ensembles de localisations qui permettent de répondre à la demande (i.e. la quantité calculée couvre la
différence entre la demande et la capacité du camion).
Ces ensembles sont introduits un à un dans l’algorithme
du TSP afin de sélectionner la meilleure solution de distribution.
Une dernière vérification permet de tester si l’ordre de
passage permet de respecter les deux contraintes suivantes :
• En aucun moment, la quantité transportée ne
doit être supérieure à la capacité du camion.
• En arrivant à une localisation, la quantité transportée doit couvrir la livraison prévue.
5
ANALYSES NUMERIQUES
Dans cette section, nous illustrons l’approche présentée
plus haut en effectuant quelques analyses sur un exemple
numérique (1 entrepôt et 10 clients). Les coûts de stockage hk et de passation de commande ak sont fixés respectivement à 1 et 150 et la période Rk=1 pour k=1,..,K.
Nous considérons deux ensembles de demandes (une
demande à faible variabilité et une demande à forte variabilité). Les localisations des clients, les caractéristiques de la demande ainsi que les paramètres de gestion
de stocks sont donnés dans les tableaux 1 et 2 ci-dessous.
Localisations
Indice
X
0
4
1
6
2
6
3
6
4
4
5
3
6
2
7
1
8
2
9
2
10
5
Coûts
bk
Y
5
6
4
7
1
1
3
5
7
6
7
15
14
13
12
13
14
16
17
20
19
Demande (Faible
variabilité)
Mu
Sigma
93
154
95
87
72
130
95
132
82
228
40
47
32
18
15
23
31
22
25
36
Demande (Forte
variabilité)
Mu
Sigma
93
154
95
87
72
130
95
132
82
228
121
141
95
55
44
69
93
66
76
107
Tableau 1 : Données de l’étude numérique
MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie
CAP
Location
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Politique de stock
(faible variabilité)
s
S
211
329
197
164
135
252
203
259
176
461
371
530
357
314
272
435
362
444
324
702
800
1000
1200
1400
1600
Politique de stock
(forte variabilité)
s
S
380
518
311
216
175
324
324
334
281
601
563
740
488
375
320
516
501
526
443
851
Nous considérons un horizon de 25 périodes et nous effectuons des tirages aléatoires pour la demande à chaque
période et pour chaque localisation. Dans le cas d’une
demande à forte variabilité, la probabilité d’avoir des
demandes négatives est non négligeable. Nous avons
considéré dans ce cas que la demande est nulle. Nous
faisons varier la capacité du camion de 800 à 1800 (la
demande moyenne par période est proche de 1200 unités) et nous calculons le coût total moyen ainsi que le
nombre moyen de localisations visitées par période.
Nous testons trois scénarios S1, S2 et S3 qui diffèrent en
fonction de l’organisation de la distribution :
•
•
S1 illustre la méthode développée dans ce papier avec une modélisation de type voyageur de
commerce : à chaque période, on livre les localisations programmées (Ik ≤ sk) avec possibilité
de transbordement à partir des autres localisations,
S2 propose une résolution de type voyageur de
commerce qui, à chaque période, ne visite que
les localisations programmées et adapte les
quantités distribuées en fonction de la capacité
du véhicule.
S3 propose une résolution classique de type
tournée de véhicules afin de répondre à toute la
demande (plusieurs véhicules).
Pour chaque scénario, nous calculons le coût moyen sur
l’horizon considéré. Les résultats obtenus sont présentés
dans les tableaux 3 et 4 ci-dessous. Notons que le facteur
de proportionnalité γ est égal à 10, θ est égale à 99,9% et
θmin égal à 75%.
CAP
800
1000
1200
1400
1600
Scénario 1
194,46
19,39%
175,59
10,18%
157,03
8,25%
152,83
3,01%
148,63
-1,47%
Coûts moyens
Scénario 2
241,23
0,00%
195,49
0,00%
171,14
0,00%
157,57
0,00%
146,48
0,00%
Coûts moyens
Scénario 2
217,64
0,00%
196,12
0,00%
164,80
0,00%
146,44
0,00%
140,37
0,00%
Scénario 3
187,46
13,87%
179,55
8,45%
165,36
-0,34%
149,30
-1,95%
147,24
-4,89%
Tableau 4 : Coûts totaux moyens (cas forte variabilité)
Tableau 2 : Paramètres des politiques de stock
•
Scénario 1
183,90
15,50%
168,33
14,17%
151,71
7,95%
144,03
1,64%
142,63
-1,61%
Scénario 3
186,44
22,71%
174,77
10,60%
167,78
1,96%
157,00
0,36%
154,65
-5,58%
Tableau 3 : Coûts totaux moyens (cas faible variabilité)
Les résultats obtenus montrent que, dans le cas d’une
demande à faible variabilité, chaque scénario est adéquat
pour une certaine plage de la capacité du véhicule. Pour
une capacité faible (inférieure à 1000), les scénarios 1 et
3 sont plus performants que le scénario 2. Le scénario 1
devient meilleur pour une capacité plus importante (entre
1000 et 1600). Donc, pour une capacité limitée du véhicule, le transbordement permet de réaliser des gains intéressants. Ces gains sont encore plus intéressants quand la
variabilité de la demande augmente comme le montre le
tableau 4. Remarquons que les écarts entre les trois scénarios diminuent en fonction de la capacité du véhicule
et tendent vers la même solution pour des valeurs importantes de CAP.
CAP
800
1000
1200
1400
1600
Nombre moyen de sommets
visités (faible variabilité)
S1
S2
S3
7,71
7,85
4,40
6,65
6,29
4,40
5,74
5,43
4,40
5,06
4,95
4,40
4,79
4,57
4,40
Nombre moyen de sommets
visités (forte variabilité)
S1
S2
S3
7,53
7,38
4,60
6,40
6,62
4,60
5,19
5,41
4,60
4,78
4,79
4,60
4,72
4,64
4,60
Tableau 5 : Nombre moyen de localisations visitées par
période
Concernant le nombre moyen de localisations visitées
par période, le transbordement (scénario 1), ne génère
pas un nombre de sommets visités plus important que le
scénario 2 (voir tableau 5). D’autre part, même si l’écart
peut être important par rapport au scénario 3, qui représente le nombre minimal de sommets visités, le scénario
1 reste compétitif et même meilleur sur une large plage
de valeurs de la capacité du véhicule comme le montrent
les tableaux 3 et 4.
Notons que les résultats obtenus ci-dessus dépendent des
paramètres choisis, en particulier de la période Rk et du
taux de service minimal θmin. En effet, quand θmin augmente, la quantité Qkmax disponible au transbordement
diminue, ce qui augmente les coûts du scénario 1.
D’autre part, si Rk augmente, la quantité Qkmax augmente
ce qui améliore les performances du scénario 1.
Par ailleurs, dans ce travail, nous avons considéré que les
coûts de passation de commande sont identiques pour les
trois scénarios. Néanmoins, en pratique, le scénario 3
génèrerait des coûts plus importants que les scénarios 1
et 2 du fait de l’utilisation de plusieurs véhicules, ce qui
dégraderait les performances obtenues pour ce scénario
dans les tables 3 et 4 et renforcerait ainsi l’apport du
transbordement. D’autres coûts peuvent aussi être consi-
MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie
dérés comme les coûts de chargement/déchargement qui
diffèrent d’un scénario à l’autre.
6
Campbell, A.M. and Savelsbergh, M.W.P. 2004. A decomposition approach for the inventory-routing problem, Transportation Science, 38 (4), p.488–502.
CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES
Dans ce travail, nous avons étudié un problème de tournée de véhicule avec gestion de stock (IRP) dans un contexte de VMI avec stock de consignation. Nous avons
utilisé l’approximation de (Ehrhardt et Mosier, 1984)
pour déterminer les paramètres de la politique de gestion
de stock et nous avons proposé une méthode de détermination de la tournée de distribution qui prend en compte
les possibilités de transbordement entre les différentes
localisations. Le recours au transbordement généralement critiqué en pratique est justifié par l’utilisation du
stock de consignation.
L’analyse numérique réalisée montre que la méthode
proposée améliore les performances par rapport à l’IRP
classique et l’écart peut être important pour certaines
plages de la capacité du véhicule. Notons que, dans ce
travail, nous avons considéré que le fournisseur doit
choisir l’un des scénarios proposés. Il serait intéressant
de voir ce que donne la combinaison des trois scénarios
en termes d’amélioration des performances du système
étudié.
Parmi les perspectives de ce travail, nous pouvons citer
l’apport de la technologie RFID soit dans un contexte
statique avec la connaissance des niveaux réels des
stocks à chaque passage par une localisation, soit dans
un contexte dynamique avec ré-optimisation du circuit
de distribution.
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