Fiche d`exercices - Lycée Jean

Exercices sur le calcul vectoriel
Première S
→
−
→
−
Exercice 1 On considère les vecteurs u et v ci-dessous :
−−→ →
− →
−
1. Construire le point B tel que AB = u + v ;
−−→
→
−
→
−
2. Construire le point C tel que AC = 2 u − 3 v ;
−−→ →
−
→
−
3. Démontrer que :BC = u − 4 v
→
−
v
→
−
u
b
A
→
− →
−
Exercice 2 On donne une base ( i ; j ) de vecteurs. Exprimez les vecteurs suivants dans cette base :
C
b
−−→
1. AB = . . .
−−→
2. AC = . . .
−−→
3. B A = . . .
−−→
4. BC = . . .
−−→
5. AD = . . .
−−→
6. C D = . . .
b
D
B
b
b
→
−
j
A
→
−
i
Exercice 3 On considère un parallélogramme M N PQ.
1. Construire :
−−→ −−→
– le point R tel que Q N = N R ;
−−→
−−→
– le point S tel que M S = −4M P ;
−−−→
−−−→
– le point T tel que M T = 4M N ;
−−→
−−→ −−−→
2. Exprimez le vecteur T S en fonction des vecteurs QP et Q M .
−−→
−−→ −−−→
3. Exprimez le vecteur T R en fonction des vecteurs QP et Q M .
−−→ −−→
4. En déduire que les vecteurs T S et T R sont colinéaires.
5. Que peut-on dire des points T, S et R ?
Exercice 4 ABC est un triangle quelconque. On définit les points M , N et P par les relations :
−−−→ 3 −−→ −−→ 3 −−→ −−→ 1 −−→
AM = AC ; AN = AB ; B P = BC
2
4
2
Démontrer que les points M , N et P sont alignés.
Exercice 5 Soit ABC un triangle quelconque et G son centre de gravité. Démontrer que :
−−→ −−→ −−→ →
−
G A + GB + GC = 0
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Exercices sur le calcul vectoriel
Première S
Exercice 6 ABC est un triangle quelconque. Les points D et E sont définis par :
−−→
−−→ −−→ −−→ 1 −−→
AD = 2 AB + AC et B E = BC
3
Démontrer que les points A, D et E sont alignés.
Exercice 7 On considère un triangle ABC quelconque. On appelle O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC , A ′ le
milieu du segment [BC ],B ′ le milieu du segment [AC ] et C ′ le milieu du segment [AB ].
−−→ −−→ −−→ −−→
1. On considère le point H défini par la relation : OH = O A + OB + OC .(1)
−−−→
−−→ −−→
(a) Justifier que OB + OC = 2O A ′ ;
−−−→
−−→
(b) En déduire de la relation (1) que : AH = 2O A ′
(c) Démontrer alors que les droites (AH ) et (BC ) sont perpendiculaires.
(d) De la même façon, en déduire que les droites (B H ) et (AC ) sont perpendiculaires.
(e) Que représente le point H pour le triangle ABC ?
2. On appelle G le centre de gravité du triangle ABC .
−−→ −−→ −−→ →
−
(a) Démontrer que : G A + GB + GC = 0
−−→ −−→ −−→ −−→
(b) En déduire que : 3OG = O A + OB + OC
−−→ −−→
(c) En déduire d’après les questions précédentes que :3OG = OH
(d) Que peut-on dire de l’orthocentre, du centre de cercle circonscrit et du centre de gravité d’un triangle ?
La droite qui passe par les points O, H et G est appelée droite d’EULER du triangle.
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