Formulario Matemáticas 2015
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Formulario Matemáticas 2015
ÍNDICE MATEMÁTICAS Geometría Trigonometría Números Complejos Geometría Analítica del Espacio Reglas Generales de Derivación Tablas de Integrales Vectores Integrales Múltiples Transformada de Laplace Fórmulas Misceláneas FÍSICA Cinemática Estática Dinámica Trabajo, Energía y Conservación de la Energía Impulso e Ímpetu Electricidad y Magnetismo Termodinámica Óptica Mecánica de Fluidos Constantes Factores de conversión QUÍMICA Serie Electroquímica de los Metales Tabla de Pesos Atómicos Valores de constantes físicas y químicas Datos termodinámicos para compuestos orgánicos a 298K Potenciales estándar de reducción a 25°C Valores de Afinidad Electrónica Valores de Energía de Ionización Tabla Periódica de los Elementos 1 1 2 2 3 4 6 10 11 13 14 15 15 15 16 16 17 17 19 20 20 21 22 23 24 25 27 27 31 32 33 34 1 FORMULARIO DE MATEMÁTICAS GEOMETRÍA Volumen 43 r 3 r Área de la Superficie 4 r 2 r Volumen r 2h h Área de la superficie lateral 2 rh r Volumen 13 r 2h h l Área de la superficie lateral r r h r l 2 2 Volumen 13 h a 2 ab b2 Área de la superficie lateral a b h 2 b a a 2 a b l l h b 2 TRIGONOMETRÍA sen2 A 21 21 cos2 A cos2 A 21 21 cos2 A sen2 A 2 sen Acos A cos 2 A cos2 A sen 2 A sen A B sen A cos B cos A sen B cos A B cos A cos B sen A sen B tanA tanB tan A B 1 tanAtanB sen 2 A cos2 A 1 sec 2 A tan 2 A 1 csc 2 A cot 2 A 1 sen A csc A 1 cos Asec A 1 tan A cot A 1 sen A sen A cos A cos A tan A tan A sen A cos B 1 2 A 1 cos A 2 2 A 1 cos A cos 2 2 sen sen A B sen A B sen A sen B 1 2 cos A cos B 1 2 cos A B cos A B cos A B cos A B Sea el siguiente triángulo plano ABC de lados a, b, c y ángulos A, B, C . A b c C a B Ley de los senos a b c sen A sen B sen C Ley de los cosenos c2 a 2 b2 2 a b cosC Ley de las tangentes a b tan 21 A B a b tan 21 A B Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar NÚMEROS COMPLEJOS Teorema de DeMoivre Raíz compleja r cos i sen r n cos n i sen n n r cos isen 1 n n : número entero 1 n : número entero positivo r n cos 2nk isen 2nk k 0,1,2, , n 1 3 GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO Considerando P1 x1 , y1 , z1 y P2 x2 , y2 , z2 : P1 P2 Vector que une P1 y P2 Distancia entre dos puntos d Recta que pasa por dos puntos Cosenos Directores x x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 x1 y2 y1 z2 z1 l 2 m2 n2 2 2 l , m, n 2 2 Forma paramétrica x x1 lt y y1 mt z z1 nt Forma simétrica x x1 y y1 z z1 t t t l m n x2 x1 l y2 y1 m z z n cos = cos = cos 2 1 = d d d d d d donde , , ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva de los ejes x, y, z , respectivamente cos 2 cos 2 cos 2 1 l 2 m2 n 2 1 Que pasa por un punto P1 x1 , y1 , z1 y tiene vector normal n n1 , n2 , n3 n1 x x1 n2 y y1 n3 z z1 0 Forma general Ecuación del Plano Ax By Cz D 0 Distancia del punto P0 x0 , y0 , z0 al plano Ax By Cz D 0 d Ax0 By0 Cz0 D A2 B 2 C 2 Ángulo entre dos rectas en el plano m m1 tan 2 1 m1m2 Coordenadas: Cilíndricas r , , z x r cos y r sen z z z { 2 2 r x y 1 y o tan x z z P z O x y r y x (x,y,z) (r,z) 4 Esféricas r , , z r x 2 y 2 z 2 x r sen cos y r sen sen o tan 1 xy con x 0 z r cos cos 1 2 z 2 2 x y z { P (x,y,z) (r, r z O x y y x REGLAS GENERALES DE DERIVACIÓN d ( c) 0 dx d cx c dx d cx n ncx n1 dx d du dv u v dx dx dx d du cu c dx dx d dw dv du uvw u v uw vw dx dx dx dx du du v u d u dx dx dx v v2 d n du u nu n1 dx dx dF dF du (Regla de la cadena) dx du dx d dv du uv u v dx dx dx Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas log a e du d log a u a 0, a 1 dx u dx d d 1 du ln u loge u dx dx u dx d u du a a u ln a dx dx d u du e eu dx dx d v d v ln u d du dv u e ev ln u v ln u vu v 1 uv ln u dx dx dx dx dx 5 Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas d du sen u cosu dx dx d du tan u sec2 u dx dx d du sec u sec u tan u dx dx d 1 du sen 1 u dx 1 u 2 dx 2 sen u d 1 du tan 1 u dx 1 u 2 dx 2 tan u 1 1 2 2 d du cosu sen u dx dx d du cot u csc2 u dx dx d du csc u csc u cot u dx dx d 1 du cos 1 u dx 1 u 2 dx 0 cos d 1 du cot 1 u dx 1 u 2 dx si 0 sec u 2 si sec u 2 0 cot 1 1 u u 1 d 1 du 1 du sec1 u dx u u 2 1 dx u u 2 1 dx 1 d 1 du 1 du csc1 u dx u u 2 1 dx u u 2 1 dx 1 si 2 u 0 0 csc u si 2 csc 1 Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas d du sinh u cosh u dx dx d du tanh u sech 2 u dx dx d du sech u sech u tanh u dx dx d 1 du sen h-1u 2 dx u 1 dx d 1 du tanh 1 u dx 1 u 2 dx d 1 du sec h -1u dx u u 2 1 dx d 1 du csc h -1u 2 dx u 1 u dx d du cosh u sinh u dx dx d du coth u csch 2 u dx dx d du csch u csch u coth u dx dx d 1 du cos h -1u dx u 2 1 dx d 1 du 1 u 1 u 1 coth 1 u dx 1 u 2 dx si sech u 0, 0 u 1 si sec h u 0, 0 u 1 1 du si u 0 si u 0 u 1 u 2 dx 1 1 si cosh u 0, u 1 si cosh u 0, u 1 1 1 o u 1 6 TABLAS DE INTEGRALES u dv uv v du 1 undu n 1 un1 C n 1 u ln u C e du e C du u sec u du ln sec u tan u C csc u du ln csc u cot u C u au a du ln a C u sen u du cos u C u C a a 2 u2 du 1 1 u a 2 u 2 a tan a C du 1 u 2 2 a sec1 a C u u a du 1 ua a 2 u2 2a ln u a C du 1 ua u2 a 2 2a ln u a C cos u du sen u C sec csc 2 2 u du tan u C u du cot u C sec u tan u du sec u C du sen 1 u 2 2 a2 a u du a u ln u a 2 u2 C 2 2 2 1 a 2 u2 a ln C 2 2 a u u a u du 2 u2 a 2 u2 du u 2 a2 a 2u2 a 2 u2 ln u a 2 u2 C 8 8 du a 2 u2 C a 2u a 2 u2 a a 2 u2 2 2 du a u a ln C u u u2 a 2 u2 du u 2 2 3/ 2 2 2 2 C a u a a u a u a u du ln u a 2 u2 C 2 u u csc u cot u du csc u C tan u du ln sec u C cot u du ln sen u C 2 2 du a 2 u2 2 2 ln u a u C 2 2 u 2 du u a2 2 2 a u ln u a 2 u 2 C 2 2 2 2 a u a 2 u2 1 2 u du a u2 sen 1 C 2 u u a u a 2 u2 du a 2 u2 du 2 u 2 2 a2 u a u sen1 C 2 2 a u a4 u 2 2 2 2 a u du 2u a a u sen1 C 8 8 a 2 2 a 2 u2 a a 2 u2 2 2 du a u a ln C u u u2 a 2 du u 2 a2 u a 2 ln u u2 a 2 C 2 2 7 2 2 u du a u 2 u u 2 a u a u 2 sen 1 C 2 2 a 2 1 a a 2 u2 C 2 2 a ln u u a u du 1 2 2 2 a 2u a 2 u2 C u a u du a 2 u2 2 du 3 du a 2 u 3 2 2 u 3a 4 u 2u2 5a 2 a 2 u2 sen1 C 8 8 a u a2 a2 u 2 C 4 2 u2 a 2 du u 2 2 2 2 a 2u a u a ln u u2 a 2 C 8 8 u2 a 2 a du u2 a 2 a cos1 C u u u2 a 2 u2 a 2 du ln u u2 a 2 C u2 u du ln u u 2 a 2 C 2 2 u a u 2 du u a2 2 2 u a ln u u 2 a 2 C 2 2 2 2 u a udu 1 a bu b a bu a ln a bu C u2 a 2 2 2 2 2 a 2u C u u a du u u2 du 1 a bu 2b3 a bu 2 4a a bu 2a 2 ln a bu C 2 2 3 2 2 2 C u a 2 a u a du u 2 du 2 2 2 2 3 8a 3b u 4abu a bu 15 b a bu u a bu a ln a bu C du 1 b a bu u2 a bu au a 2 ln u C u du 1 a bu a ln C, si a 0 a bu a a bu a 2 a bu tan 1 C , si a 0 a a a bu a bu b du du 2 u u 2 u a bu du 1 a bu udu 2 u a bu du u 2 du a bu u 2 2 u a 1 ln a bu C b a bu b 2 1 1 a bu 2 ln C a a bu a u 1 b3 a budu a2 a bu 2a ln a bu C a bu 3 2 3bu 2a a bu2 C 2 15b udu 2 2 bu 2a a bu a bu 3b sen u n a bu du 2u n a bu 2na u n 1 du b 2n 1 b 2n 1 a bu a bu du a bu b 2n 3 du un a bu a n 1 un1 2a n 1 un1 a bu u n du csc u du 21 csc u cot u 21 ln csc u cot u C 3 sen n u du n1 sen n1 u cos u 2 u du 21 u 14 sen 2u C cos 2 u du 21 u 41 sen 2u C n tan udu cos n 2 3 un a bu 2 na un 1 a bu du b 2n 3 u du n1 cosn1 u sen u n 1 senn2 u du n n 1 cosn2 u du n 1 tan n 1u tan n 2 u du n 1 8 tan 2 u du tan u u C cot u du cot u u C sen u du 2 sen u cos u C cos u du 2 cos u sen u C 2 3 2 1 3 tan u du tan u ln cos u C cot u du cot u ln sen u C 3 sec 1 2 2 u du 21 sec u tanu 21 ln sec u tanu C 3 sen au cosbu du cos a b u cos a b u C 2 a b 2 a b u sen u du sen u u cos u C n sen u du u n cos u n u n1 cos u du sen 1 cos 1 tan u sen ue u du u sen1 u 1 u2 C udu u cos1 u 1 u2 C 1 u du u tan 1u 12 ln 1 u 2 C 1 u du 2u2 1 1 u 1 u2 sen u C 4 4 1 au 1 e au C a2 1 n uneau du a uneau a un1eaudu eau eau sen bu du a 2 b2 a sen bu b cosbu C eau au e cosbu du a 2 b2 a cosbu b sen bu C au du csc n u du 1 n2 cot u csc n 2 u cscn2 u du n 1 n 1 sen a b u sen a b u C 2 a b 2 a b sen a b u sen a b u cos au cosbu du 2 a b 2 a b C sen au sen bu du u n cos u du u n sen u n u n1 sen u du sen n u cosm u du senn1 u cosm1 u n 1 senn2 u cosm u du nm nm senn1 u cosm1 u m 1 senn u cosm2 u du nm nm 2u2 1 1 u 1 u2 1 u cos u du 4 cos u 4 C u 2 1 u 1 u tan u du tan 1u C 2 2 u cos u du cos u u sen u C u u du 2 1 2 3 n 2 1 3 3 1 cot n1 u cot n 2 u du n 1 1 n2 secn u du n 1 tanu secn2 u n 1 secn2 u du cot 1 u sen u du n 1 un1 sen1 u 1 un cos1 u du n 1 un1 cos1 u 1 n n 1 u tan u du u n1du , n 1 1 u2 u n1du , n 1 1 u2 1 n 1 1 u n 1 du u tan u 1 u 2 , n 1 n 1 ln u du u ln u u C u n ln u du un1 n 1 ln u 1 C n 1 2 u ln u du ln ln u C 1 9 senh u du cosh u C cosh u du senh u C tanh u du ln cosh u C coth u du ln senh u C sech u du tan senh u C 1 sech u du ln tan u C sech u du tanh u C csch u du coth u C sech u tanh u du sech u C csch u coth u du csch u C 1 2 2 2 ua a2 a u C 2au u2 cos1 a 2 2 2u au 3a 2 a3 a u C 2au u2 cos1 a 6 2 2au u2 du u 2au u2 du 2a u u 2 a u C du 2a u u 2 a cos1 2 a u 2a u u 2 2 2a u u 2 a u C du cos1 2 a u u u 2 du 2au u 2 u 3a 2 2au u 2 3a 2 a u cos1 C 2 a a u C cos1 a 2a u u u du a u C 2a u u2 a cos1 2 a 2au u du 2 du u 2a u u 2 2a u u 2 C au 10 VECTORES A B A B cos Producto punto donde es el ángulo formado por A y B A B A1B1 A2 B2 A3 B3 donde A A1 , A2 , i A B A1 B1 Producto cruz 0 An y B B1 , B2 , j A2 B2 k A3 B3 Bn A2 B3 A3 B2 ˆi A3 B1 A1B3 ˆj A1B2 A2 B1 kˆ donde A A1 i A2 j A3 k y B B1 i B2 j B3 k Magnitud del producto cruz A B A B sen Sean U U x, y, z , una función escalar, y A A x, y, z , una función vectorial,ambas con derivadas parciales Operador nabla i j k x y z Gradiente de U U U U grad U U i j k U i j k x y z x y z Laplaciano de U 2U 2U 2U 2U U x2 y 2 z 2 Divergencia de A div A A i j k A1 i A2 j A3 k x y z A A A 1 2 3 x y z Rotacional de A rot A A i j k A1 i A2 j A3 k x y z i j k x y z A1 A2 A3 A A A A A A 3 2 i 1 3 j 2 1 k y z z x x y 11 INTEGRALES MÚLTIPLES Integrales dobles o integrales de área b f2 ( x ) xa y f1 x d g2 ( y ) y c x g1 y F x, y dydx b F x, y dxdy d x a y c f2 ( x ) y f1 x g2 ( y ) x g1 y F x, y dx dy F x, y dy dx Los anteriores conceptos se pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres dimensiones. Vector tangente unitario En parámetro arbitrario: r(t ) tˆ(t ) r(t ) Vector normal principal nˆ (t ) bˆ(t ) tˆ(t ) Vector binormal r r(t ) bˆ(t ) r r(t ) En parámetro s: tˆ(s) r (s) nˆ ( s) r ( s) r ( s) r ( s) r ( s) bˆ( s) r ( s) Los vectores unitarios tˆ, nˆ, bˆ guardan la relación bˆ tˆ nˆ, nˆ bˆ tˆ, tˆ nˆ bˆ Recta tangente en t 0 Plano osculador tˆ, nˆ en t 0 Ecuación vectorial r r t0 r t0 Ecuación paramétrica x x0 y y0 z z0 x0 y0 x0 Ecuación vectorial r r t0 r t0 r t0 0 Ecuación paramétrica x x0 y y0 z z0 x 0 y 0 z 0 0 x 0 y 0 z 0 Ecuación vectorial r r t0 r t0 0 Ecuación paramétrica x0 x x0 y0 y y0 z0 z z0 0 Ecuación vectorial r r t0 nˆ t0 0 Plano normal Plano Rectificante tˆ, bˆ en t 0 Ecuación paramétrica x - x0 y - y0 x 0 y 0 y 0 z 0 y 0z 0 z 0 x 0 z 0x 0 z - z0 z 0 0 x 0 y 0 x 0y 0 12 t Curvatura y Torsión r t r t r t s r s Componentes Tangencial de la Aceleración Componentes Normal de la Aceleración t 3 r t r t f ' ' ( x) [1 ( f ' ( x)) 2 ] v a aT a T v aN a N v a v F F F F G G F F G F G F G Propiedades de la Divergencia r t r t r t 3 2 2 13 TRANSFORMADA DE LAPLACE L{ f (t )} e s t f (t ) dt 0 No f(t) F(s) 1 C (constante) C s 2 tn 3 tn 4 5 6 7 8 n! , n = 0 y nN s n1 (n 1) , n> -1 s n 1 1 sa a 2 s a2 s 2 s a2 k 2 s k2 s 2 s k2 F ( s a) 9 10 f (t a)U (t a) e as F (s ) 11 t n f (t ) (1) n F ( n ) ( s) 12 f (t ) t F ( p)dp s f ( n ) (t ) s n F ( s) s n1 f (0) s n 2 f ' (0) . . . f ( n 1) (0) f ( )d F (s) s 13 t 14 0 t 15 f g f ( ) g (t )d F (s)G(s) 0 16 f (t ) función periódica de periodo T 1 1 e sT T f (t )e 0 17 (t ) 1 18 (t t 0 ) e t0 s st dt 14 FÓRMULAS MISCELÁNEAS 1 2 r dr 2 Área en coordenadas polares x a t sen t y a 1 cos t Ecuaciones paramétricas de la cicloide para t R W F dr Trabajo a b M x y x, y dA R M y x x, y dA R b Centro de gravedad de una región plana x a b Momento de inercia de R respecto al origen Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y L 1 b 2 f ( x) dx a y2 b f ( x)dx f ( x)dx 2 a 2 dx dy dt dt dt I o x 2 y 2 x, y dA R S 2 F ( x) 1 f ( x) d x b 2 a b V 2 t F (t )d t a b Cálculo del volumen R xf ( x)dx a Longitud de arco en forma paramétrica b m x, y dA Longitud de arco de y f x en a , b a 1 ( y) 2 dx a b Comp ab b V A( x) dx a b V f x dx Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC t r (t ) cos t ,sen t , 2 Duˆ f x, y, z f x, y, z uˆ 1 Lq Rq q E t C Fuerza ejercida por un fluído F y L( y) dy Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo F A2x0 g A2 xg 2 a Ecuación del resorte helicoidal Derivada direccional b a uˆ : Vector unitario