corrige du sujet : bts informatique de gestion session 2001 - Web-IG

CORRIGÉ DE L’ÉPREUVE OBLIGATOIRE – SUJET NATIONAL – SESSION 2001
Question
Barème
proposé
Correction
Exercice I
1)
2)a)
On a : h.a = 1 ⇔ h = 1 et a = 1 ⇔ h = 1 et a = 0.
Les individus correspondants sont donc les hommes âgés de moins de cinquante ans
(strictement). Ce sont en fait les individus de la première catégorie.
h
h
a
1
1
1
a
1
1
s
2)b)
2)c)
1
1
0,5
0,5
s
s
On lit : r = a + h + s .
Les individus non concernés par le règlement correspondent à
r = 0 ou r = 1, c'est-à-dire ahs = 1.
On a donc r = 0 ⇔ a = 1 et h = 1 et s = 1.
Les individus non concernés sont donc les hommes (h = 1) salariés (s = 1) âgés d’au
moins (au sens large) 50 ans.
0,5
0,5
r = h.a + s.a + h.s + h.s.a
(
)
= ⎡ h.a + h.a.s + h.s.a ⎤ + s.a + h.s
⎣
⎦
(
)
= h.a + a.s. h + h + s.a + h.s
123
1
⎛
⎞
= h.a + s. ⎜ a{
+ a ⎟ + h.s
⎝ 1 ⎠
3)
= s + s14.h2+ 4h3.s + h.a
2
h
= s + h + h14.a2+ 4h3.a
a
= s+h+a
Exercice II
⎧ A = B + 10
⎧⎪V (1) = 10
⎪
⎪⎧ A = B + 10
⇔⎨
⇔⎨
59 12 + 1 .
⎨
⎪B =
⎩⎪V (12 ) = 61 ⎩⎪12 × B 12 − 1 = 59
132
⎩
(
A)
(
)
)
1,5
Les valeurs arrondies à 10−3 près sont : A = 11,995 et B = 1,995.
et à 10−2 près, on a : A = 12 et B = 2.
(
)
V ( x ) = 0 ⇔ x 12 − 2 x = 0 ⇔ x = 0 ou x = 36 .
B)1)
La valeur 0 est exclue et finalement : V ( x ) = 0 ⇔ x = 36.
(
0,5
)
V ' ( x ) = 12 − ( 2 × 1,5 ) x = 3 4 − x .
(
)
V ' ( x ) est du signe de 4 − x et :
1
V ' ( x ) ≥ 0 ⇔ x ≤ 4 ⇔ x ≤ 16
B)2)
x
V '( x)
V ( x)
1
+
16
0
+∞
0,5
64
10
−∞
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B)3)
C)1)
C)2)
x
V ( x)
1
1
4
32
8
51
12
61
16
64
20
61
24
53
28
40
32
22
36
0
Tracé de la courbe (voir ci-dessous)
La fonction V est maximale pour x = 16 (mois). Janvier 2000 correspondant à x =1,
x = 16 correspond à avril 2001. Le nombre de jeux vendus ce mois-là correspond au
maximum trouvé (en milliers) pour la fonction V, c’est-à-dire 64000 jeux vendus.
Il suffit de dessiner la droite d’équation y = 10 et de chercher son (deuxième) point
d’intersection avec la courbe représentative de la fonction V. L’abscisse de ce point
fournit le moment où la société arrête la production.
Graphiquement, on trouve x = 35, correspondant au dixième mois de l’année 2002, c’està-dire novembre 2002.
1
1
0,5
1
Exercice III
A)1)
A)2)
On répète 300 fois, de manière indépendante, la même expérience, n’ayant que deux
issues possibles :
1
ƒ « l’ascenseur est en panne » avec une probabilité p =
75
ƒ « l’ascenseur n’est pas en panne » avec une probabilité q = 1 − p .
1 ⎞
⎛
On reconnaît un schéma de Bernoulli, la variable X suit la loi binomiale b ⎜ 300 ,
⎟.
75
⎝
⎠
La probabilité demandée correspond au calcul :
P ( X ≤ 2 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1)
=
B)1)
74
75
300
+ 300 ×
1 ⎛ 74 ⎞
×⎜ ⎟
75 ⎝ 75 ⎠
299
2
1
= 0, 09 à 10−2 près.
On sait que lorsqu’une variable aléatoire suivant la loi binomiale b ( n, p ) est approchée
par une variable aléatoire suivant la loi de Poisson p ( λ ) , on a : λ = n. p
Avec n = 300 et p =
1
300
= 4.
, on trouve λ =
75
75
∑
k =6
B)2)
On calcule P (Y > 6 ) = 1 −
k =0
C)1)
C)2)
1
∑
k =6
P ( Y = k ) = 1 − e −4
k =0
4k
= 0,111 à 10−3 près.
k!
1
⎛ Z − 70
⎞
P ( Z ≤ 90 ) = P ⎜
≤ 1,33 ⎟ = Π (1,33) = 0,91 , valeur arrondie à 10−2 près .
15
⎝
⎠
1
⎛ S − 350 500 − 350 ⎞
>
p5 = P ( S > 500 ) = P ⎜
⎟ = 1 − Π 2 5 = 0,000015 .
15 5 ⎠
⎝ 15 5
1
(
)
(avec une interpolation).
⎛ S − 420 8 6 ⎞
⎛8 6 ⎞
⎜ 15 6 > 9 ⎟⎟ = 1 − Π ⎜⎜ 9 ⎟⎟ = 0,0146.
⎝
⎠
⎝
⎠
De même, p6 = P ⎜
1
Conclusion : les normes sont respectées avec 5 passagers, mais pas avec 6 passagers
(puisque : p5 < 0,0001 et p6 > 0,0001 .
Le nombre maximum d’usagers autorisés à emprunter simultanément l’ascenseur est donc
égal à 5.
1
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TRACE DE LA COURBE
QUESTION EXERCICE 2 : B)3)
y
64000
N
y=10000
O1
16
x
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