TD du Chapitre 3 – Probabilités

PCSI
TD du Chapitre 3 – Probabilités
Exercice 1
Un centre sportif propose les dix activités suivantes : tennis, football, rafting, course à pieds, aviron, natation,
gymnastique, volley-ball, escrime et plongeon. Seules les cinq premières se déroule en plein air. On décide de
pratiquer trois activités différentes choisies au hasard.
a. Décrire l’univers associé à ce choix aléatoire et calculer son cardinal.
b. Déterminer la probabilité de pratiquer au moins un sport aquatique, sachant qu’une et une seule des trois
activités doit se dérouler en plein air.
Exercice 2
On suppose que dans une classe de PCSI, la probabilité pour qu’un étudiant aime les Maths est 0,5 ; la
probabilité pour qu’il aime la Physique est 0,7 ; la probabilité pour qu’il aime à la fois les Maths et la Physique
est 0,3. Calculer les probabilités pour qu’un élève choisi au hasard :
1) aime les Maths et n’aime pas la Physique ;
2) aime les Maths ou la Physique ;
3) n’aime ni les Maths, ni la Physique ;
4) aime aussi les Maths quand il aime la Physique.
Exercice 3
Soit trois évènements A, B et C de même probabilité p et tels que p(A ∩ B ∩ C) = 0 .
2
1) Montrer que p ≤ . Peut-on avoir l’égalité ?
3
2) On suppose en outre que A, B et C sont indépendants deux à deux.
1
Montrer que p ≤ . Peut-on avoir l’égalité ?
2
Exercice 4
Soient A et B deux évènements d’un univers probabilisé Ω.
Montrer que A et B sont indépendants si et seulement si p(A ∩ B) × p(A ∩ B) = p(A ∩ B) × p(A ∩ B) .
Exercice 5
Dans ce pays, s’il fait beau aujourd’hui, on a 2 chances sur 3 qu’il fasse encore beau demain, mais s’il pleut
aujourd’hui, il y a 3 chances sur 4 qu’il pleuve aussi demain. Nous sommes lundi et il pleut. Combien avonsnous de chances de pouvoir pique-niquer mercredi ?
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Exercice 6
C’est officiel, l’Amiral Bill Adama vient d’apprendre que sur les 548 membres de l'équipage de son vaisseau, le
« Battlestar Galactica », il y a 8 Cylons. Les Cylons sont des robots humanoïdes absolument indétectables à
l’œil et qui ont pour but de détruire l’humanité. Heureusement, le Professeur Gaïus Baltar a mis au point un test
pour détecter les Cylons et tous les membres de l’équipage vont y être soumis. Malheureusement, ce test n’est
pas fiable à 100 % : 1 Cylon sur 10 n’est pas reconnu par le test (qui est alors négatif) et dans 5 % des cas, un
humain est donné comme Cylon (le test est positif).
Tout l’équipage a maintenant passé le test (chaque personne a été testée indépendamment des autres). Entre
autres, le test du Lieutenant Sharon « Boomer » Valerii s’est révélé positif et cependant, elle jure qu’elle est
humaine. L’Amiral Adama s’interroge alors : quelle est la probabilité que Boomer dise vrai et plus
généralement, quelle est la probabilité que tous les Cylons soient repérés sans qu’aucune erreur ne soit
commise ?
Exercice 7
On dispose de deux urnes. La première contient six boules blanches et quatre boules noires et la seconde dix
boules blanches et cinq boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher. Pour débuter, on choisit au
hasard l’une des deux urnes. De cette urne, on extrait au hasard une boule que l’on remet dans la même urne. Si
la boule tirée est blanche, on recommence un tirage dans la même urne, sinon on effectue un tirage dans l’autre
urne, puis on recommence chaque tirage de la même façon.
On note E n l’événement : « Le nième tirage se fait dans la première urne » et p n = p(E n ) .
1) Calculer la probabilité de E n +1 sachant E n , puis la probabilité de E n +1 sachant que E n n’est pas réalisé. En
déduire une expression de p n +1 en fonction de p n .
2) Donner p1 , exprimer p n en fonction de n puis déterminer lim p n .
n→+∞
Exercice 8
Deux joueurs s’adonnent à une partie d’un poker simplifié. Ils jouent avec un jeu de 16 cartes (comprenant les
valets, dames, rois et as) et distribuent quatre cartes chacun.
1) a. Calculer le nombre de distributions possibles en supposant que le 1er joueur reçoit ses 4 cartes d’abord.
b. Calculer le nombre de distributions possibles en supposant que huit cartes sont d’abord sélectionnées puis
réparties en deux. Que constatez-vous ?
 n  p   n   n − k 
c. Prouver la formule    =   
 (avec k ≤ p ≤ n) et l’interpréter à la lumière de a. et b.
 p  k   k   p − k 
2) Calculer la probabilité que le premier joueur ait un brelan (trois cartes identiques et la 4ème différente).
3) Calculer la probabilité que le premier joueur ait un brelan et que son adversaire :
a. n’ait pas la quatrième carte complétant le brelan en carré.
b. ait la quatrième carte complétant le brelan en carré.
4) Le premier joueur sait qu’il a un brelan, calculer la probabilité que son adversaire n’ait pas la quatrième carte
complétant le brelan en carré.
5) Le premier joueur a un brelan. Il jette une carte et en pioche une autre parmi les huit cartes restantes.
Calculer la probabilité qu’il ait alors un carré.
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Exercice 9
On considère un univers probabilisé Ω contenant quatre issues : a, b, c et d. Soient x, y et z trois réels compris
entre 0 et 1.
1) Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur x, y et z pour que l’on ait :
p ({a, b, c}) = x , p ({a, b,d}) = y et p ({a, c, d}) = z .
2) Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur x, y et z pour que l’on ait :
p ({a, b}) = x , p ({a, c}) = y et p ({a, d}) = z .
Exercice 10
Marcel possède 14 paires de chaussettes : 6 paires de noires, 5 paires de bleues et 3 paires de marrons. Marcel
n’est pas très ordonné et ses chaussettes sont toutes en vrac dans un tiroir.
En se réveillant tôt un sombre matin d’hiver, Marcel a la mauvaise surprise de découvrir que son électricité est
en panne. Il doit pourtant se rendre au travail où il a une réunion cruciale. Evidemment, comme Marcel n’est
pas ordonné, il ne trouve ni lampe de poche, ni bougie et comble de malchance la batterie de son téléphone est à
plat. Il va donc devoir s’habiller dans le noir total… Un problème s’impose rapidement à lui : il va falloir qu’il
pioche ses chaussettes à l’aveugle…
1) Dans un premier temps, Marcel choisit deux chaussettes au hasard. Quelle est la probabilité qu’elles soient
de la même couleur ?
Comme Marcel doit être très smart à son travail, il voudrait des chaussettes noires.
2) S’il en pioche deux au hasard, quelle est la probabilité d’obtenir une paire de noires ?
3) Rusé, Marcel décide de changer de stratégie. Il décide de piocher quatre chaussettes au hasard (comme ça il
aura au moins une paire assortie, au pire pas noire). Quelle est la probabilité alors la probabilité d’obtenir
une paire de chaussettes noires ?
4) Encore peu satisfait, il se rend compte que s’il se met à sa fenêtre, il peut distinguer la couleur d’une
chaussette. Il pioche alors deux chaussettes dans le tiroir et va vérifier leur couleur. S’il obtient tout de suite
deux chaussettes noires, il est content, sinon, il met de côté la ou les chaussette(s) non noire(s) et retourne
piocher une chaussette s’il en a déjà une noire et deux sinon. Trouvant ces va-et-vient un peu fatigants, il
décide de retourner au plus deux fois au tiroir (dans ce cas encore, il aura au pire une paire de chaussettes
assorties). Quelle est la probabilité qu’il s’en sorte avec deux magnifiques chaussettes noires au pied ?
Cette stratégie, bien que plus fatigante, est-elle meilleure que celle de la question précédente ?