Test de comparaison de moyennes

Université de Paris Ouest – UFR SEGMI
Statistiques appliquées à la gestion
L3 Gestion « Apprentissage »
2016-2017
Test de comparaison de moyennes
On rappelle quelques quantiles d’une loi normale centrée réduite Z :
QZ (0.90) = 1.282 QZ (0.95) = 1.645 QZ (0.975) = 1.96 QZ (0.99) = 2.326 QZ (0.995) = 2.576
Exercice 1. Dans une enquête, on a relevé simultanément le prix du gazole dans deux stations
services, notées A et B, à différents moments d’une l’année choisis au hasard. Les résultats observés
sont résumés dans la table 1. On note µA le prix moyen du gazole à la station service A et µB le prix
moyen du gazole à la station service B.
1. Dans quelle station service a-t-on observé
(a) le prix du gazole le plus élevé ?
(b) le prix du gazole le moins élevé ?
(c) le prix du gazole médian le plus élevé ?
2. Donner une estimation ponctuelle de µA − µB .
3. A partir des résultats observés, peut-on conclure, au seuil 0.05, que les prix moyens du gazole à
la station service A et à la station service B sont différents ? Donner la définition de la p-valeur
que vous avez utilisé pour conclure.
4. Calculer un intervalle de confiance à 0.95 sur µA − µB .
Exercice 2. Une compagnie aérienne dont la flotte est constituée de deux types d’avions (type A et
B) a relevé sur 36 avions de type A choisis au hasard et sur 36 avions de type B choisis au hasard
le nombre d’incidents relevés sur chaque avion pour une période donnée et identique pour tous les
avions. On note µA le nombre moyen d’accidents des avions de type A et µB le nombre moyen
d’accidents des avions de type B.
1. Pour quel type d’avions a-t-on observé (en indiquant la table ou le graphique que vous avez
utilisé pour conclure)
(a) le nombre d’incidents le plus élevé ?
(b) le nombre d’incidents le moins élevé ?
(c) le nombre d’incidents médian le plus élevé ?
2. Donner une estimation ponctuelle de µB − µA .
3. Au vu des résultats observés, peut-on conclure, au seuil 0.01, qu’en moyenne, les avions de type
B ont plus d’accidents que les avions de type A ? Donner la définition de la p-valeur que vous
avez utilisé pour conclure.
4. Calculer un intervalle de confiance à 0.99 sur µB − µA .
1
Exercice 3. Au cours d’une année, on a relevé dans une métropole américaine le taux d’ozone sur
116 jours choisis au hasard. Les résultats observés sont résumés dans la table 3. On note µ1 le taux
d’ozone journalier moyen au premier semestre et µ2 le taux d’ozone journalier moyen au second
semestre.
1. A quelle période de l’année a-t-on observé
(a) le taux d’ozone journalier le plus élevé ?
(b) le taux d’ozone journalier le moins élevé ?
(c) le taux d’ozone journalier médian le moins élevé ?
2. Donner une estimation ponctuelle de µ1 − µ2
3. A partir des résultats observés, peut-on conclure, au seuil 0.05, que le taux moyen journalier d’ozone au second semestre est supérieur au taux moyen journalier d’ozone au premier
semestre ? Donner la définition de la p-valeur que vous avez utilisé pour conclure.
4. Calculer un intervalle de confiance à 0.95 sur µ1 − µ2 .
Exercice 4. Une compagnie forestière utilise des méthodes différentes pour mesurer la taille des
arbres selon qu’ils sont debouts ou au sol. 35 arbres choisis au hasard sont mesurés debout, par une
méthode trigonométrique. Puis les arbres sont mesurés au sol après abattage. Les résultats observés
sont résumés dans la table 4. On note µA le prix moyen journalier de gazole à la station service A et
µB le prix moyen journalier de gazole à la station service B.
1. Comparer les trois quartiles empiriques des deux séries d’observations.
2. Donner une estimation ponctuelle de µA − µB .
3. A partir des résultats observés, peut-on conclure, au seuil 0.1, que les deux méthodes de mesures
donnent en moyenne des résultats différents ? Donner la définition de la p-valeur que vous avez
utilisé pour conclure.
4. Calculer un intervalle de confiance à 0.9 sur µA − µB .
2
Sorties de l’exercice 1
Station service
A
B
Échantillon
50
50
Moyenne
1.3465
1.3350
Écart-Type
0.001313
0.001325
A
B
Table 1 – Résumé des observations
1.25
1.30
1.35
1.40
Figure 1 – Boites à moustaches
z-test
data: A and B
z= 1.7043 p-value= 0.0883
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
3
Sorties de l’exercice 2
Type d’avion
A
B
Échantillon
36
36
Moyenne
8.5000
10.9091
Écart-Type
4.031129
5.664154
A
B
Table 2 – Résumé des observations
5
10
15
20
Figure 2 – Boites à moustaches
z-test
data: A and B
z= -2.4507 p-value= 0.0071
alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
4
Sorties de l’exercice 3
Semestre
S1
S2
Échantillon
35
81
Moyenne
25.1143
34.4815
Écart-Type
20.858395
34.319527
S1
S2
Table 3 – Résumé des observations
0
50
100
150
Figure 3 – Boites à moustaches
z-test
data: S1 and S2
z= -1.7856 p-value= 0.0742
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
5
Sorties de l’exercice 4
Méthode
Debout
Couché
Échantillon
35
35
Moyenne
27.6833
28.0083
Écart-Type
2.974288
3.138327
Debout
Couché
Table 4 – Résumé des observations
20
22
24
26
28
30
Figure 4 – Boites à moustaches
z-test
data: Debout and Couché
z= -1.6699 p-value= 0.9525
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
6