cw - permutations

CW - PERMUTATIONS
Définition 1 On appelle permutation de l’ensemble {1, 2, . . . , n} toute application bijective σ
de {1, 2, . . . , n} sur lui-même. On note Sn l’ensemble de ces applications bijectives.
Muni de la composition des applications cet ensemble constitue un groupe (non commutatif si n ≥ 3),
contenant n! éléments. On dira « produit de permutations » au lieu de composée, et on notera σ1 σ2 la
composée σ1 ◦ σ2 .
L’ensemble S1 contient uniquement l’identité. Dans ce qui suit on supposera toujours n ≥ 2.
Définition 2 On appelle transposition tout élément de Sn échangeant deux éléments. Une
transposition τ échangeant a et b est donc définie par

 b si k = a
τ (k) =
a si k = b
.

k si k ∈
/ {a, b}
Une transposition est une bijection involutive (τ = τ −1 ).
On notera τa,b la transposition échangeant a et b.
L’ensemble S2 est formé de Id et de τ1,2 .
A toute transposition on peut associer de manière unique la paire {a,
b} des éléments qu’elle échange.
n
Il y a donc autant de transpositions que de paires, c’est-à-dire 2 = n(n − 1)/2. Nous noterons P
l’ensemble des paires.
Théorème 1 Toute permutation de {1, 2, . . . , n} distincte de Id se décompose comme produit
d’au plus n − 1 transpositions, et les transpositions engendrent le groupe Sn .
Soit σ une permutation donnée. Construisons par récurrence une suite τ1 , . . . , τn−1 constituée de transpositions ou de Id, telle que, si l’on pose σk = τk · · · τ1 σ, on ait, pour 1 ≤ k ≤ n − 1,
σk (1) = 1 , . . . , σk (k) = k .
On construit tout d’abord τ1 de la manière suivante :
CW 2
Si σ(1) = 1, on prend τ1 = Id ; dans le cas contraire, on prend pour τ1 la transposition qui échange
σ(1) et 1. On a dans les deux cas
σ1 (1) = τ1 σ(1) = 1 .
Supposons maintenant la suite construite jusqu’au rang k. On a donc
σk (1) = 1 , . . . , σk (k) = k .
Si σk (k + 1) = k + 1, posons τk+1 = Id. Alors
τk+1 σk (1) = 1 , . . . , τk+1 σk (k) = k , τk+1 σk (k + 1) = k + 1 .
Si σk (k + 1) 6= k + 1, et si τk+1 est la transposition échangeant σk (k + 1) et k + 1, on a alors de nouveau
τk+1 σk (1) = 1 , . . . , τk+1 σk (k) = k , τk+1 σk (k + 1) = k + 1 .
On a donc bien trouvé dans les deux cas un élément τk+1 .
En particulier, si k = n − 1,
σn−1 (1) = 1 , . . . , σn−1 (n − 1) = n − 1 .
Mais puisque σn−1 est bijective, on a nécessairement aussi σn−1 (n) = n, et donc σn−1 = Id. Alors
τn−1 · · · τ1 σ = Id ,
d’où l’on déduit
σ = (τn−1 · · · τ1 )−1 = τ1 · · · τn−1 .
On a donc décomposé σ comme produit de n − 1 transpositions au plus.
Théorème 2 Si j est un nombre fixé, les n − 1 transpositions τi,j pour i 6= j engendrent Sn .
D’après le théorème précédent, il suffit de voir que ces transpositions engendrent les autres. Le problème ne se pose que si n ≥ 3.
Soit a et b distincts de i, on voit facilement que
τa,j τb,j τa,j = τa,b .
En effet
a −→ j −→ b −→ b
b −→ b −→ j −→ a
j −→ a −→ a −→ j
Les autres éléments sont invariants dans les trois transpositions.
CW 3
Signature d’une permutation
Si σ est une permutation considérons l’ensemble D des couples (i, j) tels que 1 ≤ i < j ≤ n et
σ(i) > σ(j).
Définition 3 La signature de la permutation σ, est le nombre ε(σ) défini par
ε(σ) = (−1)card D .
Pour les éléments de D, le signe de σ(j) − σ(i) est donc négatif, alors que pour les éléments tels que
1 ≤ i < j ≤ n qui ne sont pas dans D, il est positif. On peut donc écrire également


Y
Y
(σ(j) − σ(i)) .
ε(σ) =
sign(σ(j) − σ(i)) = sign 
{(i,j) | 1≤i<j≤n}
{(i,j) | 1≤i<j≤n}
Enfin, en remarquant que pour une paire {i, j}, le signe de
σ(j) − σ(i)
est le signe de σ(j) − σ(i) si
j−i
i < j et celui de σ(i) − σ(j) si j < i, on peut encore écrire
ε(σ) =
Y
{i,j}∈P
sign
σ(j) − σ(i)
j−i

= sign 
Y
{i,j}∈P

σ(j) − σ(i) 
.
j−i
On a donc en particulier ε(Id) = 1, et pour une transposition τ , on aura ε(σ) = −1 puisque l’on a
a < b et τ (a) = b > a = τ (b) pour un couple et un seul.
Théorème 3 La signature du produit de r transpositions vaut (−1)r .
Montrons tout d’abord le résultat suivant :
Si σ est une permutation et τ une transposition
ε(τ σ) = −ε(σ) .
Posons ϕ = τ σ. Si τ échange a et b, soit u et v tels que σ(u) = a et σ(v) = b. Notons également
Pi = {p ∈ P | card(p ∩ {u, v}) = i} ,
et évaluons le rapport
ϕ(j) − ϕ(i)
pour toute paire p = {i, j}.
j−i
1) Si p appartient à P0 , alors
ϕ(j) − ϕ(i)
σ(j) − σ(i)
=
.
j−i
j−i
CW 4
2) Si p = {u, j} appartient à P1 , alors
σ(j) − σ(v)
ϕ(j) − ϕ(i)
=
.
j−i
j−u
3) Si p = {v, j} appartient à P1 , alors
σ(j) − σ(u)
ϕ(j) − ϕ(i)
=
.
j−i
j−v
4) Si p = {u, v} appartient à P2 , alors
ϕ(j) − ϕ(i)
σ(u) − σ(v)
=
.
j−i
v−u
En séparant les différents cas dans l’expression de ε(ϕ), ce nombre peut s’écrire,

ε(ϕ) = sign 
Y
Y
 
{i,j}∈P0
 
ϕ(j) − ϕ(i)  
j−i
Y
ϕ(j) − ϕ(u)  
j−u
 
σ(j) − σ(i)  
j−i
Y
 
σ(j) − σ(v)  
j−u
{u,j}∈P1


Y
ϕ(j) − ϕ(v) 
j−v
Y


σ(j) − σ(u)  σ(u) − σ(v) 
,
j−v
v−u
{v,j}∈P1
ϕ(v) − ϕ(u) 
,
v−u
ou encore

ε(ϕ) = sign 
{i,j}∈P0
{u,j}∈P1
{v,j}∈P1
Mais en regroupant les deux produits centraux

ε(ϕ) = sign 
Y
{i,j}∈P0
 


Y
σ(j) − σ(i)  
σ(j) − σ(v) σ(j) − σ(u)  σ(u) − σ(v) 
,
j−i
j −u
j−v
v−u
j ∈{u,v}
/
et ceci peut encore s’écrire

ε(ϕ) = sign 
Y
{i,j}∈P0
 
 


Y
Y
σ(j) − σ(u)  
σ(j) − σ(v)  σ(u) − σ(v) 
σ(j) − σ(i)  
.
j−i
j−u
j−v
v−u
j ∈{u,v}
/
j ∈{u,v}
/
On remarque alors que par rapport à la signature de σ, seul le dernier facteur a changé de signe. Ce
qui donne le résultat voulu.
Le théorème s’en déduit alors immédiatement par récurrence.
Théorème 4
produit usuel.
L’application ε est un morphisme du groupe Sn sur le groupe {−1, 1} muni du
CW 5
Soit σ1 et σ2 deux permutations. La permutation σi s’écrit comme un produit de ri transpositions.
Donc
ε(σ1 ) = (−1)r1
et ε(σ2 ) = (−1)r2 .
Mais alors σ1 σ2 est un produit de r1 + r2 transpositions, donc
ε(σ1 σ2 ) = (−1)r1 +r2 = (−1)r1 (−1)r2 = ε(σ1 )ε(σ2 ) ,
et ε est un morphisme de groupe.
Corollaire 1 L’ensemble des permutations dont la signature vaut 1 est un sous-groupe de Sn .
De telles permutations sont dites positives et constituent l’ensemble Sn+ ; les autres sont dites
négatives et constituent l’ensemble Sn− . De plus, quel que soit τ dans Sn− , l’application qui à σ
associe τ σ est une bijection de Sn+ sur Sn− , et donc
card(Sn+ ) = card(Sn− ) =
n!
.
2
La propriété annoncée est vraie pour tout morphisme ε d’un groupe G dans {−1, 1}. L’ensemble ε−1 (1)
est l’image réciproque du sous-groupe {1} de {−1, 1}. C’est donc un sous-groupe de G. D’autre part
si ε−1 (1) 6= G, et si τ n’est pas dans ε−1 (1), on pose Φ(σ) = τ σ. Alors,
ε(τ σ) = ε(τ )ε(σ) = −ε(σ) ,
donc Φ est une application de G+ dans G− .
Si τ ′ est donnée dans Sn− . L’équation Φ(σ) = τ ′ équivaut à τ σ = τ ′ et a pour solution unique σ = τ −1 τ ′ .
Mais
ε(τ −1 τ ′ ) = ε(τ )−1 ε(τ ′ ) = (−1)(−1) = 1 ,
donc la solution est dans G+ . Il en résulte que Φ est bijective.
Orbite
Théorème 5 Soit σ une permutation. La relation définie dans {1, . . . , n} par i Rσ j si et seulement
si, il existe r ∈ Z tel que j = σ r (i), est une relation d’équivalence.
Elle est bien réflexive, puisque i = σ 0 (i).
Si l’on a j = σ r (i) on a aussi i = σ −r (j) et la relation est symétrique.
CW 6
Enfin, si l’on a j = σ r (i) et k = σ s (j), on en déduit k = σ r+s (i) et la relation est transitive.
Définition 4 On appelle orbite de i pour σ, et l’on note Oσ (i), la classe d’équivalence de i pour
la relation Rσ .
Les orbites pour une permutation donnée forment donc une partition de {1, . . . , n}.
Théorème 6 Soit O une orbite de σ. Alors, pour tout entier j, on a σ j (O) = O.
Par définition, si i appartient à O, les nombres i et σ j (i) sont équivalents donc se trouvent dans la
même orbite O. Il en résulte que la restriction de σ j à O est une application injective de O dans
lui-même, et comme O est un ensemble fini, on a donc l’égalité σ j (O) = O.
Définition 5 Si O est une orbite, on appelle longueur de O le cardinal de O.
Théorème 7 Soit O une orbite pour σ. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) r est la longueur de O
(ii) Il existe i ∈ O, tel que r soit le plus petit entier pour lequel σ r (i) = i.
(iii) r est le plus petit entier tel que, quel que soit i ∈ O on ait σ r (i) = i.
De plus pour tout i ∈ O, on a O = {σ j (i) | 0 ≤ j ≤ r − 1}.
Soit i un élément de O. La suite (σ j (i))j≥0 est une suite de O. Il existe donc deux éléments de cette
suite qui sont égaux. Si l’on a
σ j (i) = σ k (i) ,
avec k > j, en multipliant par σ −j on en déduit que
σ k−j (i) = i .
L’ensemble A des nombres entiers j > 0 tels que σ j (i) = i n’est donc pas vide. Soit r ′ son plus
′
petit élément. Les nombres i, σ(i), . . . , σ r −1 (i) sont tous différents. Sinon le même raisonnement que
ci-dessus conduirait à deux nombres k et j tels que 0 ≤ j < k ≤ r ′ − 1 vérifiant
σ k−j (i) = i .
Mais alors 0 ≤ k − j < r ′ , et r ′ ne serait pas le plus petit élément de A.
CW 7
Soit maintenant un élément j quelconque de O. Il existe un entier k tel que σ k (i) = j. En effectuant
la division euclidienne (dans Z) de k par r ′ , il existe u et v tels que 0 ≤ v < r ′ et k = r ′ u + v. Alors
′
′
j = σ k (i) = σ r u+v (i) = σ v (σ ur (i)) = σ v (i) .
Il en résulte que O est inclus dans A. Comme la réciproque est vraie on a égalité, et r ′ est la longueur
de l’orbite O. De plus ce calcul est fait quel que soit i dans O.
Il en résulte que si r est la longueur de O, pour tout i ∈ O, on a O = {σ j (i) | 0 ≤ j ≤ r − 1}.
Exemples
– Pour Id toutes les orbites sont de longueur 1.
– Pour une transposition échangeant a et b, il y a n − 2 orbites de longueur 1 et une orbite {a, b} de
longueur 2.
Théorème 8 Soit S un sous-ensemble de {1, . . . , n} stable par σ. Alors pour toute orbite O, ou
bien S ∩ O est vide, ou bien c’est O.
Si r est la longueur de O, et si i appartient à O ∩ S, on a
O = {i, . . . , σ r−1 (i)} .
Mais comme S est stable par σ, les éléments σ j (i) sont dans S. Il en résulte que O est inclus dans S,
et donc que
S∩O =O.
Corollaire 2 Un sous-ensemble S de {1, . . . , n} est stable par σ si et seulement si il est réunion
d’orbites.
En effet, comme l’ensemble des orbites forme une partition de {1, . . . , n}, on a
{1, . . . , n} =
[
O(i) ,
i
et donc,
S=
[
S ∩ O(i) .
i
Alors, si S est stable par σ, l’ensemble S ∩ O(i) est vide ou vaut O(i), et S est bien réunion d’orbites.
CW 8
Réciproquement, comme les orbites sont stables par σ, il en est de même de leur réunion.
Corollaire 3 L’orbite de i est le plus petit sous-ensemble de {1, . . . , n} stable par σ contenant i.
Si S est un sous-ensemble stable par σ et contenant i, on a S ∩ O(i) = O(i), donc S contient O(i)
qui est lui-même stable par σ. Il en résulte que O(i) est bien le plus petit sous-ensemble de {1, . . . , n}
stable par σ et contenant i.
Commutativité
Si σ est une permutation, notons Iσ l’ensemble des nombres entiers i tels que σ(i) = i, et Jσ son
complémentaire. Comme σ est bijective et que σ(Iσ ) = Iσ , on en déduit, que σ(Jσ ), qui est l’image du
complémentaire de Iσ , est aussi le complémentaire de l’image de Iσ qui n’est autre que Jσ . Alors
σ(Jσ ) = Jσ .
Remarque : pour une permutation σ, l’ensemble Iσ est la réunion des orbites de longueur 1 et l’ensemble Jσ est la réunion des orbites de longueur supérieure ou égal à 2.
Nous donnons maintenant une condition suffisante pour que deux permutations commutent.
Théorème 9 Les permutations σ1 et σ2 commutent si
Jσ1 ∩ Jσ2 = ∅ .
De plus
Iσ1 σ2 = Iσ1 ∩ Iσ2 .
Les conditions données imposent en particulier les inclusions
Jσ1 ⊂ Iσ2
et Jσ2 ⊂ Iσ1 ,
et les ensembles Jσ1 , Jσ2 et Iσ1 ∩ Iσ2 sont deux à deux disjoints et ont pour réunion {1, . . . , n}. En effet
les deux premiers sont les ensembles Jσ1 ∩ Iσ2 et Jσ2 ∩ Iσ1 , et de plus l’ensemble Jσ1 ∩ Jσ2 est vide.
Soit alors i dans {1, . . . , n}. Il y a trois possibilités :
– Si i appartient à Jσ1 , on a aussi i dans Iσ2 , donc
σ1 σ2 (i) = σ1 (i) .
D’autre part puisque Jσ1 est stable par σ1 , le nombre σ1 (i) se trouve dans Jσ1 donc aussi dans Iσ2 .
Alors
σ2 σ1 (i) = σ1 (i) .
CW 9
Finalement
σ1 σ2 (i) = σ2 (i) = σ2 σ1 (i) 6= i.
– Si i appartient à Jσ2 , on a encore, par symétrie du problème,
σ1 σ2 (i) = σ2 (i) = σ2 σ1 (i) 6= i.
– Si i appartient à Iσ1 ∩ Iσ2 ,
σ1 σ2 (i) = i = σ2 σ1 (i).
Il en résulte bien que σ1 σ2 = σ2 σ1 , et de plus σ1 σ2 (i) = i si et seulement si i appartient à Iσ1 ∩ Iσ2 .
On en déduit donc que
Iσ1 σ2 = Iσ1 ∩ Iσ2 .
Corollaire 4 Soit {σ1 , . . . , σk } un sous-ensemble non vide de Sn . Si les ensembles Jσj sont deux
à deux disjoints, le produit est commutatif dans l’ensemble {σ1 , . . . , σk }.
Cycle
Définition 6 On appelle cycle une permutation χ ayant une et une seule orbite O de longueur
supérieure ou égale à 2. Si k est la longueur de cette orbite, on dira que la permutation est un
k−cycle. En particulier les 2−cycles sont les transpositions.
Pour un k−cycle χ, on a donc Jχ = O.
Théorème 10 Si χ est un k−cycle, alors χk = Id.
Pour tout élément i de l’orbite de longueur supérieur ou égale à 2, on a χk (i) = i, mais les autres
orbites sont de longueur 1, donc, pour les autres nombres, on a χ(j) = j, et il en résulte que χk = Id.
Remarque : la condition χk = Id n’est pas suffisante pour avoir un k−cycle. Par exemple la permutation σ : (1, 2, 3, 4) =⇒ (2, 1, 4, 3) vérifie σ 2 = Id mais n’est pas un 2−cycle.
Théorème 11 Toute permutation différente de Id se décompose de manière unique comme produit
de cycles dont les orbites de longueur supérieure ou égale à 2 sont deux à deux disjointes.
CW 10
Soit σ une permutation. Supposons que l’on ait la décomposition en produit de cycles
σ = χ1 . . . χj−1 χj χj+1 . . . χk .
Soit O1 , . . . , Ok les orbites de longueur supérieure ou égale à 2 de χ1 , . . . , χk respectivement. On suppose
que ces orbites sont deux à deux disjointes. On a Jχj = Oj , et, lorsque j varie de 1 à k, ces ensembles
sont deux à deux disjoints. D’après le corollaire 4, le produit est donc commutatif. Alors
χ1 . . . χj−1 χj χj+1 . . . χk = χj χ1 . . . χj−1 χj+1 . . . χk ,
mais, si i appartient à Oj ,
χ1 (i) = . . . = χj−1 (i) = χj+1 (i) = . . . = χk (i) = i ,
et donc
σ(i) = χj χ1 . . . χj−1 χj+1 . . . χk (i) = χj (i) .
Si maintenant i n’appartient à aucun ensemble Oj , on a pour tout j
χj (i) = i ,
donc
σ(i) = χ1 . . . χj−1 χj χj+1 . . . χk (i) = i .
Finalement
σ(i) =

 χj (i)
 i
si i ∈ Oj
k
S
.
si i ∈
/
Oj
j=1
Alors, si i appartient à Oj de longueur r ≥ 2, on a
Oj = {i, . . . , χjr−1 (i)} = {i, . . . , σ r−1 (i)} ,
ce qui montre que Oj est une orbite de σ.
Donc, si une décomposition existe, les cycles χj qui la composent sont associés à toute orbite Oj de σ
de longueur supérieure ou égale à 2 et vérifient
σ(i) si i ∈ Oj
.
χj (i) =
i
si i ∈
/ Oj
Il y a donc unicité de la décomposition.
Inversement si l’on définit les cycles par les relations précédentes, il reste à vérifier que leur produit
donne bien σ.
On a Jχj = Oj , et lorsque j varie de 1 à k, ces ensembles sont deux à deux disjoints : le produit des
χj est alors commutatif. Donc, si i appartient à Oj
χ1 . . . χj−1 χj χj+1 . . . χk (i) = χj χ1 . . . χj−1 χj+1 . . . χk (i) = σ(i) ,
CW 11
mais
χ1 (i) = . . . = χj−1 (i) = χj+1 (i) = . . . = χk (i) ,
et donc
χj χ1 . . . χj−1 χj+1 . . . χk (i) = χj (i) = σ(i) .
Par ailleurs, si i appartient à Iσ , alors i ne se trouve dans aucun des Oj donc χj (i) = i, et l’on a
χ1 . . . χj−1 χj χj+1 . . . χk (i) = i = σ(i) .
Finalement on a bien
χ1 . . . χj−1 χj χj+1 . . . χk = σ .
Théorème 12 Tout k−cycle peut se décomposer comme produit de k − 1 transpositions.
Soit χ un k−cycle. Notons O = {a1 , . . . , ak } l’orbite de longueur supérieure ou égale à 1, où aj = χj (a1 ).
On a donc χ(aj ) = aj+1 si 1 ≤ j ≤ k − 1 et χ(ak ) = a1 . On vérifie facilement que
τa2 ,a3 · · · τak−1 ,ak τak ,a1 = χ .
En effet
a1
a2
···
ak
−→ ak
−→ a2
··· ···
−→ a1
−→ ak−1 −→ · · ·
−→ a2 −→ · · ·
···
···
··· ···
−→ a1 −→ · · ·
−→ a3
−→ a2
··· ···
−→ a1
−→ a2
−→ a3
··· ···
−→ a1
et les autres éléments sont invariants dans le produit de transposition.
Corollaire 5 Pour toute permutation σ, on a
ε(σ) = (−1)n−m
où m est le nombre d’orbites de σ.
Il résulte du théorème précédent que la signature d’un k−cycle vaut (−1)k−1 .
Si σ est une permutation, on décompose σ comme produit de cycles, χ1 , . . . , χr , où l’orbite de longueur
supérieure ou égale à 2 de χj est une orbite de σ. Notons ki la longueur de cette orbite. On a alors
ε(χj ) = (−1)ki −1 .
Donc
ε(σ) = (−1)k1 −1 · · · (−1)kr −1 = (−1)k1 +···+kr −r .
CW 12
Cherchons maintenant le nombre d’orbites de σ. Il y a r orbites de longueur supérieure ou égale à 2 :
ils utilisent k1 + · · · + kr éléments. Il reste donc n − (k1 + · · · + kr ) orbites de longueur 1, et finalement
m = n − (k1 + · · · + kr ) + r orbites. Alors n − m = k1 + · · · + kr − r et donc ε(σ) = (−1)n−m .
Permutation circulaire
Définition 7 Une permutation circulaire π est une permutation pour laquelle il existe k dans
{1, . . . , n − 1} tel que
i+k
si 1 ≤ i ≤ n − k
π(i) =
.
i + k − n si n − k + 1 ≤ i ≤ n
Nous notons πk cette permutation circulaire. On peut remarquer que la définition précédente revient
à écrire,
πk (i) ≡ i + k mod n .
Il y a n − 1 permutations circulaires.
Si k′ est un entier quelconque, et si k est un entier de {0, 1, . . . , n − 1} congru à k′ modulo n, on peut
définir πk′ comme étant πk si k′ n’est pas divisible par n, et Id sinon.
L’application πk ne dépend que de la classe de k dans Z/nZ . Cela permet de définir une application
de Z/nZ dans Sn , en associant à la classe [k] de k la permutation circulaire πk .
Théorème 13 L’application qui à [k] dans Z/nZ associe πk est un morphisme injectif du groupe
(Z/nZ , +) dans (Sn , ·).
L’application est visiblement injective, et l’on a, modulo n,
πk πk′ (i) ≡ πk (i + k′ ) ≡ i + k + k′ ≡ πk+k′ (i) ,
Donc
πk πk′ = πk+k′ .
Le sous-groupe de Sn constitué des permutations circulaires est donc commutatif.
On peut calculer la signature d’une permutation circulaire.
Théorème 14 Si 0 ≤ k ≤ n − 1, on a ε(πk ) = (−1)k(n−k) .
CW 13
Le nombre πk (j) − πk (i) = j − i est strictement positif lorsque 1 ≤ i < j ≤ n − k, et lorsque
n − k + 1 ≤ i < j ≤ n. Par contre lorsque 1 ≤ i ≤ n − k < j ≤ n, on a
πk (j) − πk (i) = j + k − n − (i + k) = j − i − n < 0 .
Il suffit de compter les couples (i, j) vérifiant les conditions ci-dessus. Le nombre i peut prendre n − k
valeurs, et le nombre j peut prendre k valeurs. Il y a donc k(n − k) couples, et
ε(πk ) = (−1)k(n−k) .
On peut chercher les permutations circulaires qui sont des n−cycles.
Théorème 15 Une permutation circulaire πk est un n−cycle si et seulement si n et k sont premiers
entre eux.
On a
πki (1) ≡ 1 + ik
mod n .
Supposons que πk ne soit pas un n−cycle. Il existe j compris entre 0 et n − 1 tel que 1 ≡ 1 + jk modulo n, c’est-à-dire tel que jk soit divisible par n. Il en résulte que k et n ne sont pas premiers entre eux.
Inversement si n et k ne sont pas premiers entre eux, soit a le PGCD de n et de k. On a donc n = aj
et k = ai. Alors
1 + jk ≡ 1 + jai ≡ 1 + ni ≡ 1 mod n .
Donc πk n’est pas un n−cycle.
Par exemple, pour π2 : (1, 2, 3, 4) → (3, 4, 1, 2), on a π22 = Id, et π2 n’est pas un 4−cycle.
Corollaire 6 Si n est premier, toute permutation circulaire est un n−cycle.
Interprétation d’une permutation comme matrice
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et (U1 , . . . , Un ) une base de E. A toute permutation σ
de {1, . . . , n} on associe la matrice Mσ de l’endomorphisme Φσ de E défini par :
∀i, 1 ≤ i ≤ n
Φσ (Ui ) = Uσ(i) .
Théorème 16 L’application σ 7→ Mσ est un morphisme injectif du groupe Sn dans le groupe des
matrices carrées d’ordre n inversibles.
Le groupe image est l’ensemble des matrices carrées orthogonales d’ordre n possédant un nombre 1
et un seul dans chaque ligne et dans chaque colonne, les autres termes étant nuls.
De plus ε(σ) = det Mσ .
CW 14
L’application linéaire est totalement définie par ses images sur les vecteurs de base.
On a
Φσ ◦ Φσ′ (Ui ) = Φσ (Uσ′ (i) ) = Uσ(σ′ (i)) = Uσσ′ (i) = Φσσ′ (i) .
Donc
Mσ Mσ′ = Mσσ′ .
En particulier MId = I et Mσ−1 = (Mσ )−1 .
Par ailleurs Mσ = I si et seulement si, pour tout i, on a Uσ(i) = Ui , c’est-à-dire si et seulement si
σ = Id. L’application est bien injective. Son image est, par construction, formée des matrices carrées
d’ordre n possédant un nombre 1 et un seul dans chaque ligne et dans chaque colonne, les autres termes
étant nuls. De plus Mσ est une matrice orthogonale et donc Mσ−1 = tMσ .
Calculons le déterminant de la matrice Mσ . Notons mij les coefficients de Mσ . On a
1 si i = σ(j)
mij =
.
0 si i 6= σ(j)
Ecrivons la formule du déterminant. On a
det Mσ =
X
ε(τ )mτ (1)1 · · · mτ (n)n .
τ ∈Sn
Dans la formule précédente, si τ 6= σ un au moins des termes du produit mτ (1)1 · · · mτ (n)n est nul. Par
contre si τ = σ, tous les termes sont égaux à 1. Finalement
det Mσ = ε(σ) .
Centre de Sn
Théorème 17 Si n ≥ 3, le centre de Sn est réduit à Id.
Soit σ une permutation différente de Id. Il existe a tel que σ(a) 6= a. Soit alors b n’appartenant pas à
{a, σ(a)}. Donc σ(a) est distinct de a et de b. Alors
τa,b σ(a) = σ(a) et στa,b (a) = σ(b) ,
et puisque a est distinct de b, on a σ(a) distinct de σ(b). Il en résulte que τa,b σ 6= στa,b . Le seul élément
qui commute à tout élément de Sn est Id. (Ceci montre en fait que le centralisateur de l’ensemble des
transpositions est Id).
Remarque : si n = 2 le groupe est commutatif et le centre est S2 .
CW 15
Groupe des isométries d’une figure
Soit A1 , . . . , An des points d’un ensemble euclidien E. L’ensemble A des isométries de E qui envoient
{A1 , . . . , An } sur lui-même est un groupe pour la composition des applications. Si I est une telle
isométrie, il existe donc une permutation σ de {1, . . . , n} telle que, pour tout i de {1, . . . , n}
I (Ai ) = Aσ(i) .
On obtient alors un morphisme injectif de groupe en associant à I la permutation σ, et l’image de A
par ce morphisme est un sous-groupe de Sn .
Si de plus A contient toutes les isométries I qui échangent deux des points et laissent invariants les
autres, alors l’image contient les transpositions, et les groupes A et Sn sont isomorphes. (C’est le cas
évidemment si n = 2).
Nous nous intéressons tout d’abord au cas où les points sont les n sommets d’un polygone régulier de
centre O du plan. Le groupe A contient les n rotations de centre O et d’angle 2kπ/n (k ∈ Z).
Si n est pair, on a également les n/2 symétries par rapport aux droites joignant deux sommets opposés,
et les n/2 symétries par rapport aux médiatrices de côtés opposés.
Si n est impair, on a n symétries par rapport aux médiatrices de chaque côté. Donc dans tous les cas,
card(A ) = 2n. On constate que, dans le cas du triangle équilatéral, on a A = S3 , et que l’on n’a pas
l’égalité si n > 3. Par exemple le groupe des isométries du carré est un sous-groupe à 8 éléments de S4 .
Si les points sont les sommets d’un tétraèdre régulier, les symétries par rapport au plan médiateur d’un
côté échangent deux sommets, et le groupe des isométries du tétraèdre est S4 .
Par contre le groupe des isométries du cube n’est pas S8 , car il n’y a pas d’isométrie échangeant seulement deux sommets. Cependant, nous allons montrer que le sous-groupe A + des isométries directes
du cube est isomorphe à S4 . (Une telle isométrie “revient” en fait à faire une permutation sur les 4
diagonales).
On peut remarquer aussi qu’une isométrie directe du cube transforme la base orthonormée directe
→
→
−
→ −
→ −
−
→ −
→ −
( i , j , k ) en une base orthonormée directe composée à partir des vecteurs (± i , ± j , ± k ). La matrice de l’isométrie est une matrice (3, 3), comportant une nombre non nul et un seul dans chaque ligne
et dans chaque colonne, ce nombre étant +1 ou −1, et ayant un déterminant égal à 1. Remarquons que
les matrices sont orthogonales et ont donc pour inverse leur transposée. Elles forment un sous-ensemble,
noté M , de l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3.
Nous donnons ci-dessous la liste des isométries du cube, avec la matrice et une permutation associée.
1
Identité


1
0
0
0
1
0
0
0
1


(1, 2, 3, 4) −→ (1, 2, 3, 4)
CW 16
2
−
→ −
→
Rotation : i + j , π

3
→
−
→ −
Rotation : i + k , π

4
→
−
→ −
Rotation : j + k , π

5
−
→ −
→
Rotation : i − j , π


(1, 2, 3, 4) −→ (1, 2, 4, 3)
6
→
−
→ −
Rotation : i − k , π


(1, 2, 3, 4) −→ (1, 4, 3, 2)
7
→
−
→ −
Rotation : j − k , π


(1, 2, 3, 4) −→ (1, 3, 2, 4)
8
→
−
→ −
→ −
Rotation : i − j + k , −2π/3


(1, 2, 3, 4) −→ (2, 3, 1, 4)
9
→
−
→ −
→ −
Rotation : i − j + k , 2π/3


(1, 2, 3, 4) −→ (2, 4, 3, 1)
→
−
→ −
→ −
Rotation : − i + j + k , −2π/3


(1, 2, 3, 4) −→ (3, 2, 4, 1)
→
−
→ −
→ −
Rotation : − i + j + k , 2π/3


(1, 2, 3, 4) −→ (3, 1, 2, 4)
→
−
→ −
→ −
Rotation : i + j − k , −2π/3


(1, 2, 3, 4) −→ (4, 1, 3, 2)
10
11
12


0
1
0
1
0
0
0
0 −1
0
0
0 −1
1
0
−1
 0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0 −1
0
 −1
0
0
0
0 −1
0
0 −1
 0 −1
0
−1
0
0
−1
0
0
 0
0 −1
0 −1
0
0
 −1
0


0 −1
0
0
1
0
0 −1
0
0
0 −1
1
0
0
0
0 −1
1
0
0
0 −1
0
0 −1
 0
0
−1
0
0
0
 −1
0
0 −1
0
1
0
1
0
0

(1, 2, 3, 4) −→ (2, 1, 3, 4)

(1, 2, 3, 4) −→ (3, 2, 1, 4)

(1, 2, 3, 4) −→ (4, 2, 3, 1)











CW 17
13
→
−
→ −
→ −
Rotation : i + j − k , 2π/3

14
→
−
→ −
→ −
Rotation : i + j + k , 2π/3

15
→
−
→ −
→ −
Rotation : i + j + k , −2π/3

16
−
→
Rotation : k , π

17
−
→
Rotation : j , π

18
−
→
Rotation : i , π

−
→
Rotation : i , π/2

−
→
Rotation : i , −π/2

−
→
Rotation : j , π/2

−
→
Rotation : j , −π/2

−
→
Rotation : k , π/2

19
20
21
22
23
0
 0
−1
1
0
0 −1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
−1
0
 0 −1
0
0
0
0
1


−1
 0
0



1
0
0
0 −1
0
0
0 −1
1
0
0

0
0
0 −1
1
0
1
0
0
0
0 −1
0
 0
−1

0
0
1
0
0 −1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0 −1
1
0
0
0
0 −1
1
0
0
0
0
0
1

(1, 2, 3, 4) −→ (4, 2, 1, 3)

(1, 2, 3, 4) −→ (1, 4, 2, 3)

(1, 2, 3, 4) −→ (1, 3, 4, 2)

(1, 2, 3, 4) −→ (2, 1, 4, 3)

(1, 2, 3, 4) −→ (3, 4, 1, 2)

(1, 2, 3, 4) −→ (4, 3, 2, 1)

(1, 2, 3, 4) −→ (3, 1, 4, 2)

(1, 2, 3, 4) −→ (2, 4, 1, 3)

(1, 2, 3, 4) −→ (2, 3, 4, 1)

(1, 2, 3, 4) −→ (4, 1, 2, 3)

(1, 2, 3, 4) −→ (4, 3, 1, 2)











CW 18
24

0
 −1
0
−
→
Rotation : k , −π/2
1
0
0
0
0
1


(1, 2, 3, 4) −→ (3, 4, 2, 1)
On peut identifier les différents types de permutations suivants :
–
–
–
–
–
1
6
8
3
6
application identique : 1
transpositions : de 2 à 7
cycles de longueur 3 : de 8 à 15
doubles transpositions : de 16 à 18
cycles de longueur 4 : de 19 à 24
On a bien 24 éléments dans M .
On obtient des permutations circulaires en 17, 21, 22.
La bijection de l’ensemble M sur S4 a été établie de la manière suivante :
les trois permutations échangeant 1 avec un autre élément ont été associées à une des rotations (2),
(3) et (4) d’angle π, puis les autres permutations ont été déduites à l’aide de la formule figurant dans
la démonstration du théorème 2 :
τa,b = τa,1 τb,1 τa,1 .
Ensuite les cycles ont été obtenus à l’aide de la formule figurant dans la démonstration du théorème 12.
Enfin les doubles transpositions sont obtenues par produit de transpositions d’orbites disjointes.
A partir de là, on peut former les tables d’opérations dans les deux groupes et constater que ce sont
les mêmes.
Voici la table d’opération obtenue avec Maple.
CW 19
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
2
2
1
8
9
16
12
11
3
4
21
7
6
20
22
19
5
23
24
15
13
10
14
17
18
3
3
11
1
10
13
17
8
7
24
4
2
19
5
20
23
22
6
21
12
14
18
16
15
9
4
4
12
13
1
10
9
18
23
6
5
22
2
3
24
21
19
20
7
16
17
15
11
8
14
5
5
16
10
13
1
14
15
21
20
3
19
22
4
6
7
2
24
23
11
9
8
12
18
17
6
6
9
17
12
15
1
14
20
2
19
24
4
23
7
5
21
3
22
10
8
16
18
13
11
7
7
8
11
18
14
15
1
2
21
24
3
23
22
5
6
20
19
4
17
16
9
13
12
10
8
8
7
2
21
20
23
3
11
18
9
1
15
16
13
17
14
12
10
6
22
24
5
19
4
9
9
6
20
2
21
4
24
17
12
16
14
1
8
18
10
15
13
11
5
23
19
7
3
22
10
10
19
5
3
4
24
21
15
17
13
16
11
1
9
18
12
14
8
22
6
23
2
7
20
11
11
3
7
24
22
19
2
1
10
18
8
17
14
16
12
13
15
9
23
5
4
20
6
21
12
12
4
23
6
19
2
22
13
1
15
18
9
17
11
16
10
8
14
21
3
5
24
20
7
13
13
22
4
5
3
20
23
18
14
1
12
16
10
17
8
11
9
15
2
24
7
19
21
6
14
14
20
24
22
7
5
6
9
16
11
17
13
18
15
1
8
10
12
3
21
2
23
4
19
15
15
21
19
23
6
7
5
16
8
17
10
18
12
1
14
9
11
13
24
2
20
4
22
3
Voici les procédures suivies :
with(linalg) :
C :=[1,2,3,4],[2,1,3,4],[3,2,1,4],[4,2,3,1],[1,2,4,3],[1,4,3,2],[1,3,2,4],
[ 2,3,1,4],[2,4,3,1],[3,2,4,1],[3,1,2,4],[4,1,3,2],[4,2,1,3],[1,4,2,3],
[1,3,4,2],[2,1,4,3],[3,4,1,2],[4,3,2,1],[3,1,4,2],[2,4,1,3],[2,3,4,1],
[4,1,2,3],[4,3,1,2],[3,4,2,1] :
ta :=proc() global M ;for i to 24 do for j to 24 do for l to 24 do if
[C[j][C[i][k]]$k=1..4]= C[l] then f(j,i) :=l ;fi od od od ;
M :=matrix(24,24,f) ;end :
A(1) :=matrix(3,3,[1,0,0,0,1,0,0,0,1]) :
A(7) :=matrix(3,3,[-1,0,0,0,0,-1,0,-1,0]) :
A(5) :=matrix(3,3,[0,-1,0,-1,0,0,0,0,-1]) :
A(15) :=matrix(3,3,[0,1,0,0,0,1,1,0,0]) :
A(14) :=matrix(3,3,[0,0,1,1,0,0,0,1,0]) :
A(6) :=matrix(3,3,[0,0,-1,0,-1,0,-1,0,0]) :
A(2) :=matrix(3,3,[0,1,0,1,0,0,0,0,-1]) :
A(18) :=matrix(3,3,[1,0,0,0,-1,0,0,0,-1]) :
A(13) :=matrix(3,3,[0,1,0,0,0,-1,-1,0,0]) :
A(22) :=matrix(3,3,[0,0,-1,0,1,0,1,0,0]) :
16
16
5
21
20
2
22
19
10
13
8
15
14
9
12
11
1
18
17
7
4
3
6
24
23
17
17
24
6
19
23
3
20
14
11
12
9
10
15
8
13
18
1
16
4
7
22
21
5
2
18
18
23
22
7
24
21
4
12
15
14
13
8
11
10
9
17
16
1
20
19
6
3
2
5
19
19
10
15
17
12
11
16
5
3
23
21
24
6
2
22
4
7
20
18
1
13
9
14
8
20
20
14
9
16
8
13
17
24
22
2
6
5
21
23
3
7
4
19
1
18
11
15
10
12
21
21
15
16
8
9
18
10
19
23
20
5
7
2
4
24
6
22
3
14
12
17
1
11
13
22
22
13
18
14
11
16
12
4
5
7
23
20
24
19
2
3
21
6
8
10
1
17
9
15
23
23
18
12
15
17
8
13
22
7
6
4
21
19
3
20
24
2
5
9
11
14
10
16
1
24
24
17
14
11
18
10
9
6
19
22
20
3
7
21
4
23
5
2
13
15
12
88
1
16
CW 20
A(23) :=matrix(3,3,[0,-1,0,1,0,0,0,0,1]) :
A(12) :=matrix(3,3,[0,0,1,-1,0,0,0,-1,0]) :
A(10) :=matrix(3,3,[0,0,-1,1,0,0,0,-1,0]) :
A(24) :=matrix(3,3,[0,1,0,-1,0,0,0,0,1]) :
A(3) :=matrix(3,3,[0,0,1,0,-1,0,1,0,0]) :
A(11) :=matrix(3,3,[0,-1,0,0,0,1,-1,0,0]) :
A(17) :=matrix(3,3,[-1,0,0,0,1,0,0,0,-1]) :
A(20) :=matrix(3,3,[1,0,0,0,0,1,0,-1,0]) :
A(21) :=matrix(3,3,[0,0,1,0,1,0,-1,0,0]) :
A(9) :=matrix(3,3,[0,-1,0,0,0,-1,1,0,0]) :
A(8) :=matrix(3,3,[0,0,-1,-1,0,0,0,1,0]) :
A(4) :=matrix(3,3,[-1,0,0,0,0,1,0,1,0]) :
A(19) :=matrix(3,3,[1,0,0,0,0,-1,0,1,0]) :
A(16) :=matrix(3,3,[-1,0,0,0,-1,0,0,0,1]) :
A(i)$i=1..24 ;
tb :=proc() global N ;
for i to 24 do for j to 24 do for l to 24 do if convert(multiply(A(i),A(j)),listlist)=convert(A(l),listlist)
then h(i,j) :=l ; fi od od od ; N :=matrix(24,24,h) ;end :
ta() ;
tb() ;
evalm(M-N) ;
C donne la liste des permutations de S4 en écrivant les images de (1, 2, 3, 4)
A donne la liste des matrices de M
ta donne la table de multiplication dans le groupe S4 , et tb la table de multiplication dans le groupe M .
evalm(M-N) donne la matrice nulle et indique donc que les deux tables sont identiques.
Bijections de Z/nZ sur lui même
Un élément de Sn s’identifie naturellement à une bijection de Z/nZ sur lui même de la manière suivante :
si σ appartient à Sn on lui associe l’application σ
e qui à la classe de j associe la classe de σ(j).
Notons Bn l’ensemble des bijections de Z/nZ sur lui même. Nous avons en particulier le résultat suivant :
Théorème 18 Si σ appartient à Bn , on a
X
σ([i]) = [n(n − 1)/2] .
0≤i≤n−1
CW 21
Comme σ est une bijection de Z/nZ sur lui même, on a

X
X
X
σ([i]) =
[i] = 
0≤i≤n−1
0≤i≤n−1
0≤i≤n−1

i = [n(n − 1)/2] .
On peut se poser alors la question de la stabilité de Bn par les opérations de l’anneau Z/nZ . On
constate facilement que si σ appartient à Bn , il en est de même de −σ, et donc que la somme σ − σ = 0
n’est plus dans Bn . On peut donner les résultats suivants :
Théorème 19 Si n est pair, la somme de deux éléments de Bn n’est pas dans Bn .
Soit σ et σ ′ dans Bn . Supposons par l’absurde que σ + σ ′ soit dans Bn . Alors
X
(σ + σ ′ )([i]) = [n(n − 1)/2] ,
0≤i≤n−1
mais on a également
X
(σ + σ ′ )([i]) =
0≤i≤n−1
X
σ([i]) +
0≤i≤n−1
X
σ ′ ([i]) = 2[n(n − 1)/2] ,
0≤i≤n−1
donc
[n(n − 1)/2] = 0 .
Mais si n = 2p, on a
[n(n − 1)/2] = [p(2p − 1)] = [np − p] = [p] 6= 0 ,
d’où une contradiction.
Théorème 20 Si n est impair, et si σ appartient à Bn , alors 2σ appartient aussi à Bn .
Si n = 2s − 1, alors [2] a pour inverse [s] dans Z/nZ . Donc, si y est donné, l’équation
2σ([i]) = [y]
équivaut à
σ([i]) = [sy]
et a pour solution
[i] = σ −1 ([sy]) .
Il en résulte que 2σ est surjective, donc bijective.
CW 22
On déduit du théorème 19 le résultat suivant :
Théorème 21 Si n est pair, tout élément de Sn se décompose comme le produit d’une permutation
circulaire et d’une permutation ayant au moins deux points fixes.
Si n est impair, tout élément de Sn sans point fixe se décompose comme le produit d’une permutation
circulaire et d’une permutation ayant au moins deux points fixes.
Le résultat est vrai quel que soit l’ordre dans lequel on effectue le produit.
Soit σ un élément de Bn . D’après le théorème 19, l’application σ − Id n’est pas dans Bn si n est
pair. D’autre part si n est impair, le fait que σ n’ait pas de point fixe implique que l’on ne peut avoir
(σ − Id)([j]) = 0, donc que σ − Id n’est pas surjective : elle n’est pas dans Bn dans ce cas non plus. Il
en résulte que σ − Id n’est pas injective et il existe donc [i] et [j] distincts tels que
σ([i]) − [i] = σ([j]) − [j] .
Si [k] = [i] − σ([i]) = [j] − σ([j]), soit πk la permutation circulaire qui vérifie pour tout u
πk ([u]) = [u + k] ,
on a alors
πk σ([i]) = [i] et
πk σ([j]) = [j] ,
alors, si l’on pose τ = πk σ, la permutation τ possède deux points fixes i et j, et
σ = (πk )−1 τ = π−k τ .
Donc σ est le produit d’une permutation circulaire et d’une permutation ayant au moins deux points
fixes.
Mais on peut aussi écrire
σπk ([σ(i)]) = [σ(i)]
et
σπk ([σ(j)]) = [σ(j)] ,
alors, si l’on pose τ ′ = σπk , la permutation τ ′ possède deux points fixes σ(i) et σ(j), et
σ = τ ′ (πk )−1 = τ ′ π−k .