l. Nombre dérivé

DOCUMENT 26
Nombre dérivé et fonctions dérivées
l. Nombre dérivé
1. Recherche d’une meilleure approximation affine pour une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x0 ∈ I. On suppose que I est ouvert bien
que certains résultats restent valables lorsque I est fermé, x0 étant alors une borne de I.
Considérons gk (x) = f (x0 ) + k(x − x0 ), k ∈ R, une fonction affine telle que f (x0 ) = gk (x0 )
et posons :
ek (x) = f (x) − gk (x) = f (x) − f (x0 ) − k(x − x0 ).
|ek (x)| est l’erreur de l’approximation de f par gk . On va chercher s’il existe des applications
affines rendant cette erreur minimun. Tout dépend de la signification de cette expression.
On voit que lim ek (x) = lim f (x) − f (x0 ) et donc la condition lim ek (x) = 0 équivaut à
x→x0
x→x0
x→x0
la continuité de f en x0 . Dans ce cas toute les fonctions affines prenant en x0 la valeur f (x0 )
satisfont cette condition et en particulier la fonction constante x → f (x0 ).
Considérons maintenant la condition plus forte :
lim
x→x0
ek (x)
=0
x − x0
(1).
Cette condition exprime le fait que ek (x) est négligeable devant x−x0 et, plus intuitivement,
que |ek (x)|, l’erreur commise en remplaçant f (x) par gk (x), tend vers 0 infiniment plus vite que
x − x0 .
On a :
ek (x)
f (x) − f (x0 )
=
−k
(2)
x − x0
x − x0
Donc il existe au plus une valeur de k, et donc au plus une application affine gk , qui satisfait la
f (x) − f (x0 )
condition (1) et, lorsque cette valeur existe, elle vaut lim
. Supposons que cette
x→x0
x − x0
f (x) − f (x0 )
limite existe, prenons k = lim
et posons :
x→x0
x − x0
ε(x) =
ek (x)
.
x − x0
La relation (2) équivaut à f (x) = f (x0 ) + k(x − x0 ) + (x − x0 )ε(x) avec lim ε(x) = 0.
x→x0
275
276
26.
NOMBRE DÉRIVÉ ET FONCTIONS DÉRIVÉES
Proposition 26.1. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R et à valeurs
réelles. Pour tout x0 ∈ I, il existe au plus une application affine g telle qu’au voisinage de x0
l’erreur de l’approximation de f par g soit négligeable devant x − x0 .
f (x) − f (x0 )
Cette application affine g existe si et seulement si lim
existe. Lorsque l’application
x→x0
x − x0
g existe alors pour tout x ∈ I,
g(x) = f (x0 ) + k(x − x0 )
où k = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
et on a
x − x0
∀x ∈ I, f (x) = g(x) + (x − x0 )ε(x)
avec lim ε(x) = 0.
x→x0
Exemples
1) La fonction f est définie sur R par f (x) = (1 + x)3 et x0 = 0.
f (x) − f (0)
f (x) − f (0)
= 3 + 3x + x2 et donc lim
existe et vaut 3. La fonction f
On a
x→0
x
x
possède donc une meilleure approximation affine g au voisinage de 0 et g(x) = f (0)+3x = 1+3x.
Application. Le coefficient de dilatation linéaire du fer est donné en fonction de la température
t par 1, 2 × 10−5 t. Un cube de fer a une arête de longueur l0 à 0 degré. On détermine son volume
à t degrés par la formule approchée
V (t) = l03 (1 + 3, 6 × 10−5 t)
Donner une majoration de l’erreur commise si 0 ≤ t ≤ 103 .
Solution. La formule approchée est en fait la meilleure approximation affine du volume qui est
donné par ∆(t) = [l0 (1 + 1, 2 × 10−5 t)]3 . Si x(t) = 1, 2 × 10−5 t alors l’erreur est | e(t) |=|
∆(t) − V (t) |=| l03 (3x(t)2 + x(t)3 ) |. Pour 0 ≤ t ≤ 103 , | e(t) |≤ 5.l03 .10−4 .
√
2) La fonction réelle f √
est définie sur [−1, +∞[ par f (x) = 1 + x et x0 = 0.
f (x) − f (0)
1+x−1
1
f (x) − f (0)
On a
=
= √
et donc lim
existe et vaut
x→0
x
x
x
1+x+1
1
. La fonction f possède donc une meilleure approximation affine g au voisinage de 0 et
2
1
1
g(x) = f (0) + x = 1 + x.
2
2
√
1
−x2
On a e(x) = f (x) − g(x) = 1 + x − (1 + x) = √
.
1
2
4( 1 + x + (1 + x))
2
1
Pour obtenir une majoration simple de l’erreur on peut d’abord remarquer que si x > −
2
√
√
1
1
1 2
x2
2
alors 1 + x > 0 et 1 + x ≤ 1 + x (car 1 + x = 1 + x ≤ (1 + x) = 1 + x + ). Donc,
2
2
2
4
2. DÉFINITION DU NOMBRE DÉRIVÉ ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS
1
pour x > − ,
2
0≤
x2
1
4.2(1 + x)
2
1
x2
Pour | x |< on a donc | e(x) |≤
.
2
8
≤ e(x) ≤
277
x2
x2
√
≤
.
8
4.2 1 + x
p
p
Application. Donner une valeur approchée de 1, 004 et de 4, 008 Pour la première
valeur approchée on peut prendre 1, 002 et l’erreur est plus petite que 2.10−6 . La seconde valeur
approchée peut être 2, 002 avec une erreur majorée par 2.10−6 .
(A l’ère des calculatrices, cette application peut sembler désuète.)
Ce paragraphe a montré l’intérêt de l’étude, pour une fonction f , de la limite du rapport
f (x) − f (x0 )
lorsque x tend vers x0 . Cette étude est l’objet du prochain paragraphe.
x − x0
2. Définition du nombre dérivé et premières propriétés
Soit f : Df → R et x0 ∈ Df . L’introduction a bien montré l’intérêt de l’étude de la limite
f (x) − f (x0 )
lorsque x tend vers x0 du rapport
. Pour pouvoir considérer cette limite il est
x − x0
nécessaire qu’il existe des points de Df aussi près que l’on veut de x0 mais différents de x0 .
Précisons ce point.
On dit qu’un élément x0 ∈ X ⊂ R est non isolé dans X si :
pour tout η > 0, il existe x ∈ X tel que 0 <| x0 − x |< η.
Cela signifie que l’on peut trouver des éléments de X, autres que x0 , qui approchent x0 d’aussi
près que l’on veut. Pour que x0 soit non isolé dans X il suffit qu’il appartienne à un intervalle
non vide, non réduit à un point et contenu dans X.
Remarquons que si une fonction f possède un ensemble de définition Df qui est une réunion
d’intervalles non réduits à un point alors tout élément de Df est non isolé dans Df .
Définition 26.1. Soit f une fonction réelle définie sur Df et x0 un point non isolé de Df .
f (x) − f (x0 )
Si lim
existe, on dit que f est dérivable en x0 et cette limite est appelée nombre
x→x0
x − x0
dérivé de f en x0 . On le note f 0 (x0 ).
Une première caractérisation de l’existence d’un nombre dérivé est donnée par la proposition
suivante. Cette caractérisation permet souvent d’utiliser pour démontrer une propriété de la
dérivabilité le résultat analogue concernant la continuité.
Proposition 26.2. Soit f une fonction définie sur Df et x0 un point non isolé de Df . La
fonction f est dérivable en x0 si et seulement si il existe une fonction φ définie sur Df , continue
en x0 et telle que, pour tout x ∈ Df , f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )φ(x). Si f est dérivable en x0 alors
f 0 (x0 ) = φ(x0 ).
f (x) − f (x0 )
= φ(x). La
x − x0
fonction φ continue en x0 possède la limite φ(x0 ) lorsque x tend vers x0 par valeurs différentes
Preuve. Si la fonction φ existe alors, pour tout x ∈ Df − {x0 },
278
26.
NOMBRE DÉRIVÉ ET FONCTIONS DÉRIVÉES
f (x) − f (x0 )
= φ(x0 ) et f est dérivable en x0 avec f 0 (x0 ) = φ(x0 ). Réciproquement, si
x − x0
f (x) − f (x0 )
f est dérivable en x0 alors on peut définir une fonction φ de Df dans R par φ(x) =
x − x0
si x 6= x0 et φ(x0 ) = f 0 (x0 ). Cette fonction est continue en x0 et pour, tout x ∈ Df , f (x) =
f (x0 ) + (x − x0 )φ(x).
d’où lim
x→x0
Corollaire 26.1. Si une fonction possède un nombre dérivé en x0 alors elle est continue
en x0 .
En effet, avec les notations de la proposition 26.2, f (x) − f (x0 ) = (x − x0 )φ(x). La fonction
φ étant continue en x0 , lim (x − x0 )φ(x) = 0 et donc lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
x→x0
Corollaire 26.2. Si f est définie dans un voisinage de x0 alors f est dérivable en x0 si et
seulement si f possède un développement limité d’ordre un au voisinage de x0 .
Preuve. Supposons f dérivable en x0 et, avec les notations de la proposition 26.2, soit (x) =
φ(x)−φ(x0 ) = φ(x)−f 0 (x0 ). On a, pour tout x ∈ Df , f (x) = f (x0 )+(x−x0 )f 0 (x0 )+(x−x0 )(x).
La fonction φ étant continue en x0 , lim (x) = 0 et f possède un développement limité d’ordre
x→x0
un au voisinage de x0 . Réciproquement, si f possède un développement limité d’ordre un au
voisinage de 0, f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + (x − x0 )(x) avec lim (x) = 0, alors lim f (x) = a0
x→x0
x→x0
d’où a0 = f (x0 ) car x0 ∈ Df . Si l’on pose φ(x) = a1 + (x) alors f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )φ(x)
et φ est continue en x0 .
Remarques.
1) Pour n > 1, si f est n fois dérivable en x0 alors f possède un développement limité
d’ordre n en x0 (formule de Taylor-Young) mais la réciproque n’est pas toujours vraie. Par
exemple, soit f (x) = 1 + x + x2 + x3 sin(1/x) si x 6= 0 et f (0) = 1. Cette fonction possède un
développement limité d’ordre 2 en 0 car lim x sin(1/x) = 0 mais f n’est pas deux fois dérivable
x→0
en 0 car f 0 (x) = 1 + 2x + 3x2 sin(1/x) − x cos(1/x) si x 6= 0, f 0 (0) = 1, et f 0 (x)/x n’a pas de
limite quand x tend vers 0.
2) La fonction f de R dans R définie par f (0) = 0 et f (x) = x sin(1/x) si x 6= 0 est continue
en 0 mais n’est pas dérivable en 0. Plus généralement, il existe des fonctions continues sur R
et dérivable en aucun point. Le premier exemple a été trouvé par K. Weierstrass. Un exemple
particulièrement simple est la fonction
x→
X sin 2k2 x
k>0
2k
(H. Lebesgue, 1940)1.
Un autre exemple, lui aussi obtenu à l’aide d’une série de fonctions, est la fonction de Van
der Waerden.
On désigne par δ l’application qui à un réel x fait correspondre sa distance à Z : δ(x) =
1
min(x − E(x), 1 + E(x) − x). Cette fonction est continue, de période 1 et dérivable sur R − Z.
2
1Voir : Analyse par Jean Mawhin chez De Boeck Université, page 450.
2. DÉFINITION DU NOMBRE DÉRIVÉ ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS
279
1 1
(Le graphe de δ est une ligne brisée passant par les points (n, 0) et (n + , ) avec n ∈ Z.) La
2 2
fonction f de Van der Warden est donnée par
X
2−n δ(2n x).
f (x) =
n≥0
En remarquant que
X
n≥0
2−n δ(2n x) ≤
X
2−n on voit que la série ci-dessus est convergente
n≥0
pout tout x ∈ R et que sa somme est continue (il y a convergence normale de la série de
fonctions). La preuve que f n’est jamais dérivable est plus longue 2.
3) On peut définir de façon analogue le nombre dérivé d’une fonction de R dans Rn et,
en particulier, de R dans C. Une telle fonction est dérivable en x0 si et seulement si ses n
composantes le sont. En revanche, pour les applications de Rn , n > 1, dans R on doit remplacer
le concept de nombre dérivé par celui de différentielle.
4) Quelle relation doit-il exister entre x0 et Df pour pouvoir envisager l’existence d’un
f (x) − f (x0 )
nombre dérivé en x0 ? On peut étudier la limite de
lorsque x tend vers x0 si et
x − x0
seulement si x0 ∈ Df − {x0 } c’est-à-dire, comme x0 ∈ Df , si x0 n’est pas un point isolé de
Df . C’est la contrainte la plus faible que l’on puisse mettre dans la définition d’un nombre
dérivé. Son inconvénient est que x0 peut être non isolé dans les ensembles de définition de deux
fonctions, Df et Dg , et être isolé dans Df ∩Dg = Df +g = Df.g . Cela entraine que f et g peuvent
avoir des nombres dérivés en x0 sans qu’il en soit de même pour f + g et f.g (considérer par
x
exemple, f : R+ → R définie par f (0) = 0 et f (x) =
si x > 0, g : R− → R définie par
ln x
x
si x < 0 et x0 = 0).
g(0) = 0 et g(x) =
ln −x
Lors de l’étude des opérations algébriques sur les nombres dérivés on imposera que x0 appartienne à un intervalle non réduit à un point et contenu dans Df et Dg
Exemples
√
1) Soit f la fonction définie pour x ≥ −1 par f (x) = 1 + x. Pour x0 ≥ −1, x ≥ −1 et
x 6= x0 , on a :
√
√
f (x) − f (x0 )
1 + x − 1 + x0
x − x0
1
√
=
=
=√
√
√
x − x0
x − x0
(x − x0 )( 1 + x + 1 + x0 )
1 + x + 1 + x0
Si x0 = −1 cette expression n’a pas de limite (finie) quand x tend vers x0 et donc f n’est pas
1
1
= √
.
dérivable en −1. Si x0 > −1 alors f 0 (x0 ) = lim √
√
x→x0
2 1 + x0
1 + x + 1 + x0
La fonction f est donc dérivable en tout point de ] − 1, +∞[.
2) Soit f (x) = xn , n ∈ N∗ et x0 ∈ R. Pour x 6= x0 :
f (x) − f (x0 )
xn − xn0
=
= xn−1
+ x0n−2 x + ... + x0 xn−2 + xn−1
0
x − x0
x − x0
Donc f est dérivable en tout point de R et f 0 (x0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
= nxn−1
.
0
x − x0
2On pourra consulter : Analyse à une variable réelle par A. Tissier et J-N Mialet chez Bréal, page 256.
280
26.
NOMBRE DÉRIVÉ ET FONCTIONS DÉRIVÉES
sin x
= 1 alors sin 0 = 0 montre que la fonction sinus est dérivable en
x→0 x
0 et que son nombre dérivé est 1 = cos 0. On a :
3) Si l’on sait que lim
cos x − cos 0
cos x − 1
sin2 (x/2)
sin(x/2)
=
= −2
= − sin(x/2)
x
x
x
x/2
ce qui montre que la fonction cosinus est dérivable en 0 et que son nombre dérivé est sin 0 = 0
(la fonction sinus, dérivable en 0, est continue en 0). Considérons maintenant x0 6= 0, x ∈ R et
h = x − x0 . On a :
cos x − cos x0
x − x0
cos(x0 + h) − cos x0
cos x0 cos h − sin x0 sin h − cos x0
=
h
h
cos h − 1
sin h
= cos x0 (
) − sin x0
.
h
h
=
La fonction cosinus est donc dérivable en x0 et (cos x0 )0 = − sin x0 . La relation sin x0 = cos(x0 −
π/2) et le théorème sur le nombre dérivé d’une fonction composée (que l’on prouvera bientôt)
entrainent que la fonction sinus est aussi dérivable en x0 avec (sin x0 )0 = cos x0 .
2.1. Nombre dérivé à droite et à gauche.
Définition 26.2. Soit f une fonction réelle définie sur Df et x0 ∈ Df . Si la restriction de
f à Df ∩ [x0 , +∞[ possède un nombre dérivée en x0 alors on dit que f est dérivable à droite en
0
x0 et f|D
(x0 ) est appelé le nombre dérivé à droite de f en x0 , noté fd0 (x0 ). On définit
f ∩[x0 ,+∞[
de façon analogue la dérivabilité à gauche en x0 à l’aide de la restriction de f à Df ∩] − ∞, x0 ].
Exemples et remarques
1) Si f est dérivable à droite (resp. à gauche) en x0 alors f est continue à droite (resp. à
gauche) en x0 .
2) Si f est dérivable à droite et à gauche en x0 et si fg0 (x0 ) = fd0 (x0 ) alors f est dérivable en
x0 et f 0 (x0 ) = fg0 (x0 ). La réciproque est exacte si x0 appartient à l’intérieur de Df .
3) Si f est la fonction de R dans R définie par f (x) =| x | alors fg0 (0) = −1 et fd0 (0) = 1.
La fonction partie entière possède, en tout point n ∈ Z, une dérivée à droite mais elle n’est
pas dérivable à gauche.
4) Si f est une fonction convexe sur un intervalle ouvert I alors f possède en tout point de
I une dérivée à droite et une dérivée à gauche.
2.2. Nombres dérivés et opérations algébriques. Les fonctions usuelles sont, au moins
sur certains intervalles, construites à partir de fonctions dites élémentaires en utilisant les
opérations somme, produit et composition. Pour déterminer le nombre dérivé d’une fonction il
suffit donc de connaitre les nombres dérivés des fonctions élémentaires et le comportement de
l’opération de dérivation à l’égard de la somme, du produit et de la composition. C’est l’objet
de ce paragraphe.
Proposition 26.3. Soient f et g deux fonctions définie sur un intervalle I contenant x0 .
et dérivables en x0 . Les fonctions f+g et fg sont dérivables en x0 et :
(f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ),
(f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 )
2. DÉFINITION DU NOMBRE DÉRIVÉ ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS
281
Preuve. Démontrons la deuxième relation en utilisant la proposition 26.2. Il existe deux
fonctions φ et ψ définie sur I et continues au point x0 telles que, pour tout x ∈ I,
f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )φ(x), φ(x0 ) = f 0 (x0 )
g(x) = g(x0 ) + (x − x0 )ψ(x), ψ(x0 ) = g 0 (x0 )
d’où, pour tout x ∈ I,
f (x)g(x) = f (x0 )g(x0 ) + (x − x0 )(f (x0 )ψ(x) + g(x0 )φ(x) + (x − x0 )φ(x)ψ(x))
= f (x0 )g(x0 ) + (x − x0 )Θ(x).
Par application du théorème sur la continuité d’un produit de fonctions continues, on voit
que Θ est continu en x0 . Le produit f g est donc dérivable en x0 et (f g)0 (x0 ) = Θ(x0 ) =
f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 ).
Proposition 26.4. Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant x0 et dérivable
en x0 . Si f (x0 ) 6= 0 alors 1/f est dérivable en x0 et :
f 0 (x0 )
1
.
( )0 (x0 ) = −
f
f (x0 )2
Preuve. La fonction f étant dérivable en x0 , avec f (x0 ) 6= 0, f est continue en x0 et il existe
un intervalle ouvert dans I, contenant x0 , sur lequel cette fonction ne s’annulle pas. La fonction
1/f est donc définie sur un intervalle ouvert contenant x0 . On a :
1
1
−
f (x0 ) − f (x)
−1
f (x) − f (x0 )
f (x) f (x0 )
=
=
x − x0
f (x)f (x0 )(x − x0 )
f (x)f (x0 )
x − x0
La fonction f étant continue en x0 , lim f (x)f (x0 ) = f (x0 )2 et donc :
x→x0
1
1
−
−f 0 (x0 )
f (x) f (x0 )
lim
=
x→x0
x − x0
f (x0 )2
En utilisant les deux proposition précédentes, on obtient :
Corollaire 26.3. Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et dérivables en
f
x0 ∈ I. Si g(x0 ) 6= 0 alors
est dérivable en x0 et
g
f
f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 )
( )0 (x0 ) =
g
g(x0 )2
Proposition 26.5. Soient f et g deux fonctions telles que f (Df ) ⊂ Dg . Si f est dérivable
en x0 ∈ Df et si g est dérivable en f (x0 ) alors g ◦ f est dérivable en x0 et :
(g ◦ f )0 (x0 ) = f 0 (x0 ).g 0 (f (x0 )).
Preuve. L’ensemble de définition de g ◦ f étant Df , x0 n’est pas isolé dans Dg◦f .
La fonction g étant dérivable en f (x0 ) il existe un fonction φ continue en ce point et telle
que g(x) = g(f (x0 )) + (x − f (x0 ))φ(x) pour tout x ∈ Dg d’où, pour tout x ∈ Df ,
g(f (x)) = g(f (x0 )) + (f (x) − f (x0 ))φ(f (x)).
282
26.
NOMBRE DÉRIVÉ ET FONCTIONS DÉRIVÉES
La fonction f étant dérivable en x0 , il existe une fonction ψ continue en ce point et telle que
f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )ψ(x) pour tout x ∈ Df . On a donc pour tout x ∈ Df :
g(f (x)) = g(f (x0 )) + (x − x0 )ψ(x).φ(f (x))
Les théorèmes sur la continuité d’une fonction composée et d’un produit entrainent que x →
ψ(x).φ(f (x)) est continue en x0 . La fonction g ◦ f est donc dérivable en x0 et (g ◦ f )0 (x0 ) =
ψ(x0 ).φ(f (x0 )) = f 0 (x0 ).g 0 (f (x0 )).
Remarques.
1) La proposition précédente n’est qu’une condition suffisante de dérivabilité. Par exemple,
x → |x2 | est dérivable en 0 alors que x → |x| ne l’est pas.
2) La proposition est fausse dans le cas des nombres dérivés à droite ou à gauche. Par
exemple si f (x) = −x, g(x) = |x| et x0 = 0 on a (g ◦ f )0d (0) = 1 et fd0 (0)gd0 (f (0)) = (−1).1 = −1.
Exemple. L’application x → |x| est dérivable en tout point de R∗ et son nombre dérivé au point
|x0 |
x0 6= 0 peut s’écrire sous la forme
. L’application x → ln |x|, définie sur R∗ , est dérivable
x0
1 |x0 |
1
en tout point de R∗ et(ln |.|)0 (x0 ) =
=
. Si la fonction f est dérivable en x0 et si
|x0 | x0
x0
f 0 (x0 )
f (x0 ) 6= 0 alors x → ln |f (x)| est dérivable au point x0 et (ln |f (.)|)0 (x0 ) =
.
f (x0 )
2.3. Nombre dérivé d’une application réciproque.
Proposition 26.6. Soit f une application continue et strictement monotone sur un intervalle I. Si f est dérivable en x0 ∈ I et si f 0 (x0 ) 6= 0 alors son application réciproque f −1 est
dérivable au point y0 = f (x0 ) de l’intervalle J = f (I) et
(f −1 )0 (y0 ) =
1
f 0 (f −1 (y
0 ))
Preuve. Soit Φ la fonction de I dans R définie par
f (x) − f (x0 )
Φ(x) =
si x 6= x0 ,
x − x0
Φ(x0 ) = f 0 (x0 ).
La fonction Φ est le prolongement par continuité au point x0 du taux d’accroissement de f en
x0 . Elle est continue au point x0 et la fonction composée Φ ◦ f −1 , définie sur J, est continue au
point y0 . Evaluons cette fonction composée pour y ∈ J :
• Si y 6= y0 , f −1 (y) 6= f −1 (y0 ) = x0 et
Φ ◦ f −1 (y) =
f (f −1 (y)) − f (x0 )
y − y0
= −1
f −1 (y) − x0
f (y) − f −1 (y0 )
(Φ ◦ f −1 est donc l’inverse du taux d’accroissement de f −1 en y0 .)
• Φ ◦ f −1 (y0 ) = Φ(x0 ) = f 0 (x0 ).
Comme y0 n’est pas un point isolé de J, la continuité de Φ ◦ f −1 en y0 entraine
y − y0
f 0 (x0 ) = Φ ◦ f −1 (y0 ) =
lim
Φ ◦ f −1 (y) =
lim
.
−1
y→y0 , y6=y0
y→y0 , y6=y0 f
(y) − f −1 (y0 )
3. INTERPRÉTATIONS DU NOMBRE DÉRIVÉ
283
L’hypothèse f 0 (x0 ) 6= 0 implique que
lim
y→y0 , y6=y0
existe et vaut
1
f 0 (x0 )
1
Φ ◦ f −1 (y)
. Autrement dit f −1 est dérivable en y0 et (f −1 )0 (y0 ) =
1
f 0 (x0 )
=
1
f 0 (f −1 (y
0 ))
.
(On peut aussi dire que l’inverse du taux d’accroissement en y0 de f −1 étant prolongeable par
continuité en y0 par la valeur f 0 (x0 ) 6= 0, le taux lui-même est prolongeable par continuité en y0
1
1
par la valeur 0
, ce qui signifie que f −1 est dérivable en y0 et (f −1 )0 (y0 ) = 0
.)
f (x0 )
f (x0 )
Remarques. 1) La proposition précédente est une condition nécessaire et suffisante pour
l’existence d’un nombre dérivé non nul en y0 . En effet si f −1 possède un nombre dérivé non nul
en y0 alors en appliquant cette proposition à f −1 on voit que f possède un nombre dérivé non
1
nul en x0 , f 0 (x0 ) = −10
.
f (y0 )
2) Si l’on sait qu’en x0 f possède un nombre dérivé non nul alors la relation x = f −1 (f (x)) et
1
0
0
.
la proposition 26.5 entraine 1 = f 0 (x0 )f −1 (f (x0 )) d’où f −1 (f (x0 )) = 0
f (x0 )
3) La preuve précédente peut paraı̂tre un peu longue surtout si on la compare à :
lim
y7→y0
f −1 (y) − f −1 (y0 )
x − x0
1
1
1
= lim
= lim
= 0
= 0 −1
.
x7→x0 f (x) − f (x0 )
x7→x0 f (x) − f (x0 )
y − y0
f (x0 )
f (f (y0 ))
x − x0
Le défaut de cette ”démonstration” est que x n’est pas la variable mais une fonction de y
(x = f −1 (y) !).
3. Interprétations du nombre dérivé
3.1. Interprétation géométrique. Donnons une première interprétation géométrique proche
de l’étude de l’introduction.
Considérons l’ensemble Ex0 des fonctions définies sur un intervalle ouvert contenant x0 ∈ R
et soient f et g deux éléments de cet ensemble. On dit que f et g sont tangentes en x0 si
f (x0 ) = g(x0 ) et
f (x) − g(x)
=0
lim
x→x0
x − x0
(ce qui signifie que f (x) − g(x) est négligeable devant x − x0 .)
La relation ” être tangentes en x0 ” est une relation d’équivalence sur Ex0 .
Proposition 26.7. Soit f définie sur un intervalle ouvert contenant x0 .
a) Il existe au plus une application affine tangente à f en x0 .
b) Il existe une application affine tangente à f en x0 si et seulement si f est dérivable en
x0 . Lorsque f est dérivable en x0 , l’application affine g tangente à f en x0 est définie
par :
g(x) = f (x0 ) + (x − x0 )f 0 (x0 )
284
26.
NOMBRE DÉRIVÉ ET FONCTIONS DÉRIVÉES
Preuve. a) Il suffit de montrer que si deux applications affines sont tangentes en x0 alors
elles sont égales. Considérons donc les deux applications affines f (x) = a(x − x0 ) + b et f (x) =
f (x) − g(x)
c(x − x0 ) + b qui ont la même valeur b en x0 . Pour x 6= x0 on a
= a − c et donc
x − x0
a = c si f et g sont tangentes en x0 .
2) Il suffit de reprendre la preuve de l’introduction.
La proposition 26.7 donne donc une interprétation du nombre dérivé en x0 lorsqu’il existe
: c’est le coefficient a de l’unique application affine x → a(x − x0 ) + f (x0 ) tangente en x0 à f .
L’introduction a montré que cette application affine est aussi la meilleure approximation affine
de f en x0 .
On peut aussi donner l’interprétation plus traditionnelle suivante du nombre dérivé. Soit P un plan affine
euclidien muni d’un repère orthonormé et f une application définie sur un intervalle I et dérivable en x0 ∈ I.
Soit M0 et M les points de P de coordonnées respectives (x0 , f (x0 )) et (a, f (a)) avec a ∈ I, a 6= x0 . La
droite Ta définie par les points M0 et M est le graphe
de la fonction affine ga donnée par :
f (a) − f (x0 )
(x − x0 ) + f (x0 )
ga (x) =
a − x0
La fonction f est dérivable en x0 si et seulement si le coefficient directeur de cette droite
possède une limite lorsque le point M tend vers le point M0 (car, f étant continue en x0 , M
tend vers M0 est équivalent à a tend vers x0 ). On remarque que, lorsque f est dérivable en x0 ,
la limite du coefficient directeur de Ta est f 0 (x0 ) et que la droite passant par M0 de coefficient
directeur f 0 (x0 ) est le graphe de la fonction affine tangente à f en x0 . Cette droite est encore
appelée la tangente à f (ou au graphe de f ) en x0 (ou en M0 ).
Application : tangente au cercle.
Dans un plan affine euclidien P , soit M un point d’un cercle C de centre O et de rayon R.
Il existe un repère de P d’origine O dans lequel les coordonnées (x0 , yp
0 ) de M sont strictement
positives et le graphe de la fonction f définie sur [−R, R] par f (x) = R2 − x2 est un arc de C
contenant M . La fonction f est dérivable au point x0 et l’équation de la tangente au graphe de
f en M est
x0
x0
y − y0 = − q
(x − x0 ) = − (x − x0 ).
y0
R2 − x20
y0
x. Autement dit, en chaque point
Cette droite est orthogonale à la droite OM d’équation y =
x0
M un cercle de centre O possède une tangente qui est la droite orthogonale à OM passant par
M.
Pour le cercle, la notion de tangente introduite ici dans le cadre de l’analyse coı̈ncide donc
avec celle que l’on peut définir de façon géométrique.
3.2. Autres interprétations. 1) En cinématique. Soit x(t) l’abscisse d’un point M
x(t) − x(t0 )
animé d’un mouvement rectiligne. Le rapport
est la vitesse moyenne de M entre
t − t0
3. INTERPRÉTATIONS DU NOMBRE DÉRIVÉ
285
les temps t0 et t. Si ce rapport possède une limite quand t tend vers t0 (c’est-à-dire, si t → x(t)
est dérivable en t0 ) alors x0 (t0 ) est appelé la vitesse de M à l’instant t0 .
2) En physique. De nombreuses grandeurs physiques sont des dérivés d’autres grandeurs.
Par exemple, si l’on relie les deux bornes d’un condensateur par un fil conducteur l’intensité
i(t) du courant électrique traversant le fil à l’instant t est le nombre dérivé de la quantité q(t)
d’électricité contenue dans le condensateur à cet instant.
3) En économie. Soit C(n) le coût de fabrication de n objets. Le coût Cm (n) pour fabriquer
le (n + 1)-ème objet s’appelle le coût marginal (au niveau de production n) et on peut l’écrire
C(n + 1) − C(n)
Cm (n) =
. Cette écriture évoque le taux d’accroissement d’une fonction et les
(n + 1) − n
économistes considèrent que, pour des objets fabriqués en grande quantité, Cm (n) est la dérivée
de la fonction C au point n. Comme la fonction C est une suite à valeurs entières cela peut
paraı̂tre dénué de sens mais, en général, cette fonction est aussi la restriction à N d’une fonction
de R dans R qui s’exprime par la même formule et c’est cette dernière fonction que l’on dérive
pour des valeurs entières de la variable. Donnons un exemple.
Certaines entreprises décrivent leurs coûts de production par des fonctions du type
C(n) = a + bn + cn2 + dn3 .
La constante a représente les frais généraux indépendants du nombre d’unités produites, b est
le coût de production d’une unité et les termes cn2 et dn3 n’interviennent de façon significative
que pour les grandes valeurs de n. Supposons que C(n) = 5000 + 10n + 0, 01n2 + 0, 0002n3 et
considérons la fonction f de R dans R définie par f (x) = 5000 + 10x + 0, 01x2 + 0, 0002x3 . Pour
n = 1000, on a Cm (1000) = C(1001) − C(1000) = 630, 6102 et f 0 (1000) = 630 d’où une erreur
de 0, 6102 et une erreur relative de 0, 00097. Une étude plus précise de l’erreur s’obtient à l’aide
de la formule de Taylor.
286
26.
NOMBRE DÉRIVÉ ET FONCTIONS DÉRIVÉES
ll. Fonctions dérivées
4. Fonctions dérivées : définitions et opérations
4.1. Définition.
Définition 26.3. Soit f une fonction définie sur Df ⊂ R et à valeurs dans R et soit I une
partie non vide de Df . Si la restriction de f à I possède en chaque point de I un nombre dérivé
alors on dit que f est dérivable sur I et l’application f 0 de I dans R qui à x ∈ I fait correspondre
le nombre dérivé de f en x est appelée la fonction dérivée de f sur I.
En pratique, I est souvent un intervalle. Notons que si I est un intervalle ouvert alors f est
dérivable sur I si et seulement si f est dérivable en tout point de I.
4.2. Opérations algébriques, composition et fonctions réciproques. Pour démontrer
les trois propositions suivantes, il suffit d’appliquer en chaque point les résultats concernant les
nombres dérivés.
Proposition 26.8. Soit f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
(1) Pour tout (λ, µ) ∈ R2 , la fonction λf + µg est dérivable sur I et
(λf + µg)0 = λf 0 + µg 0
(2) La fonction f g est dérivable sur I et
(f g)0 = f 0 g + f g 0 .
(3) Si pour tout x ∈ I, g(x) 6= 0, alors la fonction
f
est dérivable sur I et
g
f 0 g − f g0
f
.
( )0 =
g
g2
L’ensemble des fonctions dérivables sur I est donc un sous espace vectoriel de l’espace des
fonctions définies sur I. C’est aussi une sous algèbre de l’algébre (pour la multiplication des
fonctions) des fonctions définies sur I. Les éléments inversibles de cette sous algèbre sont les
fonctions ne prenant jamais la valeur 0.
Proposition 26.9. Soit f une application dérivable sur un intervalle I et g une application
dérivable sur l’intervalle f (I). La fonction g ◦ f est dérivable sur I et
(g ◦ f )0 = f 0 (g 0 ◦ f )
Proposition 26.10. Soit f une application continue et strictement monotone sur un intervalle I. Si f est dérivable sur I et si, pour tout x ∈ I, f 0 (x) 6= 0 alors son application réciproque
f −1 est dérivable sur f (I) et
0
f −1 =
f0
1
◦ f −1
4. FONCTIONS DÉRIVÉES : DÉFINITIONS ET OPÉRATIONS
287
Remarques et exemples.
1) La relation donnant la fonction dérivée d’un produit est étroitement lié au calcul des
primitives ou des intégrales par la méthode de l’intégration par parties. En effet, si f et g ont
des dérivées continues sur un intervalle I alors on a f 0 g = (f g)0 − f g 0 . Les trois fonctions f 0 g,
(f g)0 et f g 0 sont continues sur I et donc, pour tout a, b ∈ I,
Z b
Z b
Z b
Z b
0
b
0
0
(f g 0 )(x)dx.
(f g )(x)dx = [(f g)]a −
(f g) (x)dx −
(f g)(x)dx =
a
a
a
a
2) De même, la relation donnant la fonction dérivée d’une fonction composée est à la base
de l’intégration par changement de variables.
Soit φ une fonction ayant une fonction dérivée continue sur un intervalle [a, b], f une application continue sur φ([a, b]) et F une primitive de f . La fonction composée F ◦ φ est dérivable
sur [a, b] et (F ◦φ)0 = φ0 (f ◦φ). La fonction F ◦φ est donc une primitive de l’application continue
g = φ0 (f ◦ φ). Pour x ∈ [a, b] on a
Z x
Z x
Z φ(x)
0
x
g(t)dt =
f (φ(t))φ (t)dt = [F ◦ φ]a = F (φ(x)) − F (φ(a)) =
f (t)dt
a
a
φ(a)
car f est continue sur [φ(a), φ(x)] ⊂ φ([a, b]).
(Dans ces deux preuves, on ne considère que des intégrales de fonctions continues.)
3) Si une application paire (resp. impaire) est dérivable alors sa fonction dérivée est impaire
(resp. paire) : il suffit de dériver les relations f (−x) = f (x) et f (−x) = −f (x).
Si une application périodique, de période T , est dérivable alors sa dérivée est périodique, de
période T . Attention, réciproque fausse.
4) Soit n ∈ N et fn l’application de R+ sur R+ définie par fn (x) = xn . Pour n > 0, la
fonction fn possède une application réciproque notée f1/n et, comme fn posséde un nombre
dérivé non nul en tout point de R+∗ , f1/n est dérivable sur R+∗ . Pour (p, q) ∈ (N∗ )2 on définit
l’application fp/q = fp ◦ f1/q et fp/q (x) est noté xp/q . L’application fp/q est dérivable sur R+∗
et, en utilisant uniquement fn0 = nfn−1 (n > 0) et les propositions donnant la dérivée d’une
fonction composée et d’une fonction réciproque, on obtient :
0
0
fp/q
(x) = (fp ◦ f1/q )0 (x) = fp0 (f1/q (x))f1/q
(x)
= fp0 (f1/q (x))
=
1
fq0 (f1/q (x))
= p(x1/q )p−1
1
q(x1/q )q−1
p 1/q (p−1)−(q−1) p pq −1
(x )
= x
.
q
q
5) Si f est une fonction dérivable en x0 avec f (x0 ) 6= 0 alors ln |f | est aussi dérivable en x0
f 0 (x0 )
. Ce nombre est appelé la dérivée logarithmique de f en x0 . Si f est
et sa dérivée vaut
f (x0 )
dérivable et jamais nulle sur un intervalle I alors sa fonction dérivée logarithmique DL(f ) est
donnée par
f 0 (x)
DL(f ) : x ∈ I →
.
f (x)
f
On montre facilement que DL(f g) = DL(f ) + DL(g), DL = DL(f ) − DL(g), DL(f α ) =
g
αDL(f ) avec f > 0 dans le cas général.
288
26.
NOMBRE DÉRIVÉ ET FONCTIONS DÉRIVÉES
Par exemple, pour |x| > 1,
p
x2 − 1
1
1 2x
3
2x − 3
DL(
= DL(x2 − 1) − 3DL(x − 1) =
−
=− 2
(x − 1)3
2
2 x2 − 1 x − 1
x −1
d’où
f 0 (x) = −f (x)
2x + 3
2x − 3
p
=−
.
2
x −1
(x − 1)3 x2 − 1
4.3. Fonction dérivée n-ième. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et n ∈ N.
On dit que f est n fois dérivable sur I s’il existe une suite finie de fonctions définies sur I,
f0 , . . . , fn telle que :
• f0 = f ,
• Pour tout k ∈ [1, n], fk est la fonction dérivée de fk−1
Si f est n fois dérivable sur I alors la suite f0 , . . . , fn vérifiant les conditions précédentes est
unique et, pour n ≥ 1, fn est appelé le fonction dérivée n-ième de f sur I. Cette fonction est
notée f (n) et la fonction f est parfois notée f (0) . Notons ”l’associativité” de la dérivation n-ième
: si p + q = n, (p, q) ∈ N2 , alors f (n) = (f (p) )(q) .
Il est clair que toute combinaison linéaire de fonctions n-fois dérivables sur un intervalle I
est encore n-fois dérivable sur cet intervalle. La proposition suivante montre que pour le produit
de deux fonctions on a une propriété identique.
Proposition 26.11. (Formule de Leibniz) Soit f et g deux fonctions n fois dérivables sur
un intervalle I. La fonction f g est n fois dérivable sur I et
(f g)(n) =
n
X
Cnj f (j) g (n−j) .
j=0
Preuve. Démontrons par une récurrence finie sur p que pour tout p ∈ [1, n],
(f g)(p) =
p
X
Cpj f (j) g (p−j) .
j=0
L’affirmation de la proposition est vraie pour p = 1. Si elle est vraie jusqu’au rang p − 1 < n
alors
(f g)(p−1) =
p−1
X
j
Cp−1
f (j) g (p−1−j) .
j=0
La fonction (f g)(p−1) est dérivable car chacune des fonctions f (j) g (p−1−j) , 0 ≤ j ≤ p − 1, l’est
et (f g)(p−1) est une combinaison linéaire de ces fonctions. La relation donnant la dérivée d’un
4. FONCTIONS DÉRIVÉES : DÉFINITIONS ET OPÉRATIONS
289
produit permet d’écrire :
(p)
(f g)
(p−1) 0
= ((f g)
) =
p−1
X
j
Cp−1
[f (j) g (p−1−j) ]0
j=0
=
p−1
X
j
Cp−1
[f (j+1) g p−1−j) + f (j) g (p−j) ]
j=0
=
p
X
j−1 (j) (p−j)
Cp−1
f g
j=1
+
p−1
X
f (j) g (p−j)
j=0
= f (p) g +
p−1
X
j−1
j
[Cp−1
+ Cp−1
]f (j) g (p−j) + f g (p)
j=1
=
p
X
Cpj f (j) g (p−j) .
j=0
j
j−1
. La formule de Leibniz est donc vraie au rang p. Elle est donc vraie
+ Cp−1
puisque Cpj = Cp−1
pour p = n.
Remarque. Contrairement à la preuve de la formule du binôme, la récurrence ne doit pas
portée sur n qui est ici un entier donné.
Exemples.
1) Les fonctions x → sin x et x → cos x ont pour tout entier n une dérivée n-ème définie
sur R. Par une récurrence simple, on montre que la dérivée n-ème de la fonction sinus est
x → sin(x + nπ/2) et la dérivée n-ème de la fonction cosinus est x → cos(x + nπ/2). Cela
permet, après linéarisation de sink x et cosk x, d’exprimer simplement les dérivées n-èmes de
x → sink x et x → cosk x, k ∈ N.
2) Si f est n fois dérivable sur l’intervalle I et g n fois dérivable sur l’intervalle f (I) alors
g ◦ f est n fois dérivable sur I. Comme pour le produit de deux fonctions, il existe une formule,
démontrée par récurrence, qui donne la dérivée n-ème de g ◦ f .
1
3) On vérifie que la dérivée n-ème de x →
, sur un intervalle ne contenant pas a,
x−a
(−1)n n!
est x →
. Pour calculer simplement la dérivée n-ème d’une fraction rationnelle, on
(x − a)n+1
commence par décomposer la fraction en éléments simples sur C, on détermine la dérivée nème de chacun de ces éléments simples par la formule précédente et on ajoute ces dérivées en
1
regroupant celles qui correspondent à des pôles conjugués. Faire l’expérience avec x → 2
.
x +1
√
4) Exercice. Soit f : R → R définie par f (x) = sin x e 3 x . Calculer f (n) (0).
Par la formule de Leibniz,
f
(n)
(0) =
n
X
k=0
Cnk
π
π
√ n
i
i
kπ √ n−k
nπ
2
sin
( 3
) = Im[(e + 3) ] = Im[(2e 6 )n ] = 2n sin
.
2
6
290
26.
NOMBRE DÉRIVÉ ET FONCTIONS DÉRIVÉES
4.4. Fonctions de classe C n , C n -difféomorphismes.
Définition 26.4. On dit qu’une fonction f est de classe C n , n ∈ N∗ , sur un intervalle I si
f est n-fois dérivable sur I et si f (n) est continue sur I. La fonction f est de classe C 0 si f est
continue sur I et de classe C ∞ si f est de classe C n pour tout entier n.
Une fonction f est dite de classe C n par morceaux sur un segment [a, b] s’il existe un suite
strictement croissante a0 = a, a1 , . . . , an = b telle que la restriction de f à chacun des ]ai , ai+1 [
soit prolongeable en une fonction de classe C n sur [ai , ai+1 ] ; elle est dite de classe C n par
morceaux sur un intervalle quelconque si sa restriction à tout segment est de classe C n par
morceaux.
Exemples.
1) Les fonction x → sin x, x → cos x, x → ex sont de classe C ∞ sur R. Les fonctions
logarithmes sont de classe C ∞ sur R∗+ .
2) La fonction x → E(x) est de classe C ∞ par morceaux sur R. Il en est de même pour
x → |x|.
3) Soit f : R → R la fonction 1-périodique définie par :
f (0) = 0,
f (x) = cos πx, x ∈]0, 1[.
C∞
Cette fonction est de classe
par morceaux sur R. En effet, soit [a, b] un segment de R. Si ce
segment ne contient aucun entier alors la restriction de f à ]a, b[ est définie pour tout x ∈]a, b[
par f (x) = cos πx et il est clair que cette application est prolongeable en une fonction de classe
C ∞ sur [a, b]. Sinon, ce segment contient un nombre fini d’entiers n1 , . . . , nk et on définit une
suite croissante d’éléments de [a, b] par a0 = a, a1 = n1 ,. . . , ak = nk , ak+1 = b. En supprimant
éventuellement a0 si a = n1 et ak+1 si nk = b on obtient une suite finie strictement croissante de
premier terme a et de dernier terme b. La restriction de f à tout intervalle de la forme ]ai , ai+1 [
est définie par f (x) = cos πx qui est une fonction prolongeable en une fonction de classe C ∞ sur
[ai , ai+1 ].
4) La fonction x → tan x est de classe C ∞ sur ] − π/2, +π/2[. Elle n’est pas C 1 par morceaux
sur ] − π/2, 3π/2[.
5) Il est clair que l’ensemble des fonctions de classe C n sur un intervalle est stable par
combinaisons linéaires. A l’aide de la formule de Leibniz, on voit qu’il est aussi stable par
produits.
6) Si f est de classe C n sur l’intervalle I et si g est de classe C n sur l’intervalle J ⊃ f (I) alors
g ◦ f est de classe C n sur I. La démonstration se fait par récurrence. Elle utilise en particulier
la formule de Leibniz et la remarque (g ◦ f )(k+1) = (f 0 .g 0 (f ))(k) si 1 ≤ k < n.
1
7) Si f est de classe C n sur I et si f ne s’annule pas sur I alors est encore de classe C n sur
f
1
I. Pour prouver ce résultat, on remarque d’abord que g : x → est de classe C ∞ sur ] − ∞, 0[
x
et ]0, +∞[ et donc aussi sur f (I). L’application g ◦ f est donc de classe C n sur I.
Définition 26.5. Soit f une bijection d’un intervalle I sur un intervalle J et n ∈ N. On
dit que f est un C n -difféomorphisme si f est de classe C n sur I et f −1 de classe C n sur J. Si f
est, pour tout entier n, un C n -difféomorphisme alors on dit que c’est un C ∞ -difféomorphisme.
Soit f une application définie sur un intervalle I. L’application f est un C 1 -difféomorphisme
si et seulement si f est de classe C 1 sur I et si f 0 ne prend jamais la valeur 0. En effet si f est
un C 1 -difféomorphisme, f est bijective et de classe C 1 . Comme f −1 est dérivable sur f (I), la
4. FONCTIONS DÉRIVÉES : DÉFINITIONS ET OPÉRATIONS
291
dérivée de f ne prend jamais la valeur 0. Réciproquement, si f est de classe C 1 sur I et si sa
dérivée n’est jammais nulle alors cette dérivée est strictement positive ou strictement négative
sur I et f est donc strictement monotone. La fonction f est une bijection de I sur l’intervalle
1
0
J = f (I) et, comme f 0 n’est jamais nul, f −1 est dérivable sur J. On a f −1 = 0
ce qui
f ◦ f −1
0
montre que f −1 est continue (car f 0 et f −1 le sont).
Plus généralement :
Proposition 26.12. Soit I et J deux intervalles de R et f une application de I sur J.
L’application f est un C n -difféomorphisme si et seulement si f est de classe C n sur I et si f 0 ne
prend jamais la valeur 0.
Preuve. La condition est nécessaire : voir la preuve ci-dessus.
La condition est suffisante. On démontre par récurrence finie sur p, p ∈ [1, n], que f est un
C p -difféomorphisme. Pour p = 1 la preuve a déjà été faite. Supposons donc le résultat vrai au
rang p < n. Par hypothèse de récurrence les fonctions f −1 et f 0 sont de classe C p sur J et donc
1
est
aussi la fonction f 0 ◦ f −1 . Cette dernière fonction ne prend jamais la valeur 0 donc 0
f ◦ f −1
1
0
0
, f −1 est de classe C p et donc f −1 est de classe C p+1 .
aussi de classe C p . Comme f −1 = 0
−1
f ◦f
Le résultat est vrai au rang p + 1. Il est donc vrai pour tout p ∈ [1, n] et en particulier pour
n = p.
Remarque. Soit f la fonction qui à x ∈] − π/2, π/2[ fait correspondre tan(x). La fonction f est
de classe C ∞ sur I =]−π/2, π/2[. On a f 0 (x) = 1+tan2 (x) et donc f 0 est un C n -difféomorphisme
pour tout entier n. On a f (2) (x) = 2 tan(x)(1 + tan2 (x)) et donc f (2) (0) = 0. La dérivée d’un
C 2 -difféomorphisme n’est pas en général un C 1 -difféomorphisme (mais la dérivée d’une fonction
de classe C n+1 est de classe C n ).
4.5. Propriétés particulières aux fonctions dérivés. Toute fonction n’est pas la fonction dérivée d’une fonction. Dans ce paragraphe, nous allons voir que les fonctions dérivées ont
des propriétés particulières et donc chaque fonction qui ne vérifie pas l’une de ces propriétés
n’est pas une dérivée.
1) Les fonctions dérivées vérifient le théorème des valeurs intermédaires, voir le document
27 ”Image d’un intervalle par une fonction continue”. Il en résulte que toute fonction dérivée
monotone est continue et, en particulier, toute fonction convexe dérivable possède une dérivée
continue.
Ce résultat est aussi utile pour montrer qu’une fonction n’est pas une fonction dérivée. Par
Z b
exemple, la fonction x 7→ E(x) n’est pas une fonction dérivée et
E(x)dx n’est pas de la forme
a
F (b) − F (a), la fonction F étant une primitive de la fonction partie entière.
2) Si pour un point x0 non isolé de l’ensemble de définition d’une fonction f ,
lim
x→x0 ,x6=x0
f (x)
existe alors, si cette limite ne vaut pas f (x0 ), la fonction f n’est pas continue au point x0 . Il
n’en est pas ainsi pour les fonctions dérivées et on a le résultat suivant.
292
26.
NOMBRE DÉRIVÉ ET FONCTIONS DÉRIVÉES
Proposition 26.13. Soit f une application continue sur [a, b] et x0 ∈]a, b[. Si f est dérivable
f 0 (x) existe et vaut l alors f est dérivable en x0 , f 0 (x0 ) = l et
sur ]a, x0 [∪]x0 , b[ et si
lim
f 0 est continue en x0 .
x→x0 ,x6=x0
Preuve Soit > 0. Il existe η > 0 tel que si x ∈]a, b[ et 0 < |x − x0 | < η alors |f 0 (x) − l| < .
Soit x ∈]a, b[ tel que 0 < |x − x0 | < η. On peut appliquer le théorème des accroissements finis à
f sur [x, x0 ] si x < x0 et sur [x0 , x] si x > x0 : il existe c ∈]a, b[ tel que 0 < |x0 − c| < |x0 − x|
et tel que f (x) − f (x0 ) = f 0 (c)(x − x0 ) d’où :
|
f (x) − f (x0 )
− l| = |f 0 (c) − l| < .
x − x0
La fonction f est donc dérivable en x0 et f 0 (x0 ) = l. Comme f 0 (x0 ) =
f 0 est continue en x0 .
lim
x→x0 ,x6=x0
f 0 (x) la fonction
Remarques et exemples.
1) Il existe d’autres versions de ce résultat qui sont obtenues en considérant les dérivés à
droite ou à gauche ou en prenant pour x0 l’une des bornes de [a, b].
2) La proposition 26.13 possède des versions relatives au cas où la limite de la fonction
dérivée est infinie. Par exemple, soit f une application continue sur [a, b] et x0 ∈]a, b[. Si f est
f (x) − f (x0 )
dérivable sur ]a, x0 [∪]x0 , b[ et si
lim
f 0 (x) = +∞ alors
lim
existe aussi
x→x0 ,x6=x0
x→x0 ,x6=x0
x − x0
et vaut +∞. En particulier, f n’est pas dérivable en x0 et le graphe de f possède en (x0 , f (x0 ))
une tangente verticale.
1
3) Soit f : R → R définie par f (0) = 0 et f (x) = x3 sin pour x 6= 0. La fonction f est
x
1
1
∗
0
2
dérivable sur R et f (x) = 3x sin − x cos . On a lim f 0 (x) = 0 et donc f est dérivable
x→x,x6=0
x
x
0
0
en 0, f (0) = 0 et f est continue en 0. La fonction f est de classe C 1 sur R.
1
Si l’on considère maintenant g : R → R définie par g(0) = 0 et g(x) = x2 sin pour x 6= 0
x
1
1
∗
0
alors g est dérivable sur R et g (x) = 2x sin − cos . Cette fonction n’a pas de limite lorsque
x
x
x tend vers 0 mais un calcul direct montre que g est dérivable en 0 avec g 0 (0) = 1. On peut
donc affirmer que g 0 n’est pas continue en 0.
p
1 − x2 + arcsin x. Pour x ∈] − 1, 1[, on a
4). Soit
f
:
[−1,
1]
→
R
définie
par
f
(x)
=
x
p
0
0
f (x) = 2 1 − x2 et, comme lim f (x) = 0, la proposition 26.13 entraine que f est de classe
px→±1
1
0
C sur [−1, 1] avec f (x) = 2 1 − x2 . On peut remarquer que f est la somme de deux fonctions
non dérivables en −1 et 1.
3) Ensemble des points de continuité d’une dérivée
On vient de voir une première propriété des fonctions dérivées liée à la continuité. Une
seconde est la suivante.
Proposition 26.14. Soit f une application dérivable sur un intervalle I. L’ensemble des
points de I où la fonction dérivée f 0 est continue est dense dans I.
4. FONCTIONS DÉRIVÉES : DÉFINITIONS ET OPÉRATIONS
293
L’ingrédient essentiel de la preuve de ce résultat est :
Toute fonction réelle définie sur un intervalle I de R qui est limite simple d’une suite de
fonctions continues est continue sur une partie dense dans I.
(Une telle fonction f est dite de première espèce ou de première catégorie.)
Connaissant ce résultat il suffit de considérer la suite de fonctions (gn )n>0 avec gn définie
1
par gn (x) = n[f (x + ) − f (x)]. Pour tout x de I, lim gn (x) = f 0 (x).
n→+∞
n
Remarquons cependant que dense n’est pas synonyme de très grand : Q est dense dans R
alors que Q est seulement dénombrable.
294
26.
NOMBRE DÉRIVÉ ET FONCTIONS DÉRIVÉES