Enoncé et corrigé pdf

Amérique du sud 2015. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les
mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :
• en 2010, la population compte 90 millions de ruraux et 30 millions de citadins ;
• chaque année, 10 % des ruraux émigrent à la ville ;
• chaque année, 5 % des citadins émigrent en zone rurale.
Pour tout entier naturel n, on note :
• un la population en zone rurale, en l’année 2010 + n, exprimée en millions d’habitants ;
• vn la population en ville, en l’année 2010 + n, exprimée en millions d’habitants.
On a donc u0 = 90 et v0 = 30.
Partie A
1) Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant un et vn .
2) On utilise un tableur pour visualiser l’évolution des suites (un ) et (vn ).
Quelles formules peut-on saisir dans les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas, permettant d’obtenir la feuille
de calcul ci-dessous :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
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15
16
17
18
19
20
21
22
59
60
61
62
63
A
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
...
57
58
59
60
61
B
Population en zone rurale
90
82,5
76,125
70,706
66,100
62,185
58,857
56,029
53,625
51,581
49,844
48,367
47,112
46,045
45,138
44,368
43,713
43,156
42,682
42,280
41,938
...
40,005
40,004
40,003
40,003
40,002
C
Population en ville
30
37,5
43,875
49,294
53,900
57.815
61,143
63,971
66,375
68,419
70,156
71,633
72,888
73,955
74,862
75,632
76,287
76,844
77,318
77,720
78,062
...
79,995
79,996
79,997
79,997
79,998
3) Quelles conjectures peut-on faire concernant l’évolution à long terme de cette population ?
Partie B
On admet dans cette partie que, pour tout entier naturel n,
un+1 = 0, 85un + 6.
1) a) Démontrer par récurrence que la suite (un ) est décroissante.
b) On admet que un est positif pour tout entier naturel n.
Que peut-on en déduire quant à la suite (un ) ?
2) On considère la suite (wn ), définie par : wn = un − 40, pour tout n ! 0.
a) Démontrer que (wn ) est une suite géométrique de raison 0, 85.
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b) En déduire l’expression de wn puis de un en fonction de n.
c) Déterminer l’expression de vn en fonction de n.
3) Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question 3) de la partie A.
4) On considère l’algorithme suivant :
Entrée :
n et u sont des nombres
Initialisation :
n prend la valeur 0
u prend la valeur 90
Traitement :
Tant que u ! 120 − u faire
n prend la valeur n + 1
u prend la valeur 0, 85 × u + 6
Fin Tant que
Sortie :
Afficher n
a) Que fait cet algorithme ?
b) Quelle valeur affiche-t-il ?
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Amérique du Sud 2015. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 : corrigé
Partie A
1) Pour tout entier naturel n, un + vn = u0 + v0 = 120.
2) Soit n un entier naturel. La population en zone rurale l’année 2010 + n + 1, à savoir un+1 est obtenu en retirant
10% de la même population l’année 2010 + n (10% qui émigrent vers la ville) et en ajoutant 5% de la population en
zone urbaine l’année 2010 + n ou encore
un+1 = un − 0, 1un + 0, 05vn = 0, 9un + 0, 05vn .
Dans la case B3, il faut donc écrire : =0,9*B2+0,05*C2
D’autre part,
vn+1 = 120 − un+1
et donc, dans la case C3, il faut écrire : =120-B3
3) Il semble que la population en zone rurale décroisse pour se stabiliser à long terme autour de 40 millions de
personnes et qu’inversement la population en zone urbaine croisse pour se stabiliser à long terme autour de 80 millions
de personnes.
Partie B
Remarque. Pour tout n ∈ N, un+1 = 0, 9un + 0, 05vn = 0, 9un + 0, 05 (120 − un ) = 0, 85un + 6.
1) a) Montrons par récurrence que pour tout n ! 0, un+1 " un .
• u1 = 0, 85u0 + 6 = 0, 85 × 90 + 6 = 82, 5. Donc, u1 " u0 . L’inégalité à démontrer est vraie quand n = 0.
• Soit n ! 0. Supposons que un+1 " un . Alors
un+2 = 0, 85un+1 + 6
" 0, 85un+1 + 6 (par hypothèse de récurrence)
= un+1 .
On a montré par récurrence que pour tout n ! 0, un+1 " un .
La suite (un )n∈N est décroissante.
b) La suite (un )n∈N est décroissante et minorée par 0. On en déduit que la (un )n∈N converge.
2) a) Soit n ∈ N.
wn+1 = un+1 − 40 = 0, 85un + 6 − 40 = 0, 85un − 34 = 0, 85 (un − 40) = 0, 85wn .
Donc, la suite (wn )n∈N est une suite géométrique de raison q = 0, 85.
b) D’autre part, w0 = u0 − 40 = 50. On en déduit que pour tout entier naturel n,
wn = w0 × q n = 50 × (0, 85)n
puis que un = 40 + wn = 40 + 50 × (0, 85)n .
c) Enfin, pour tout n ∈ N, vn = 120 − un = 80 − 50 × (0, 85)n .
Pour tout n ∈ N, un = 40 + 50 × (0, 85)n et vn = 80 − 50 × (0, 85)n .
3) Puisque −1 < 0, 85 < 1, on sait que
lim (0, 85)n = 0. On en déduit que
n→+∞
lim un = 40 et
n→+∞
lim vn = 80. Ceci
n→+∞
valide les conjectures émises dans la partie A.
4) a) L’algorithme calcule les valeurs successives de la suite (un )n∈N en testant à chaque étape si un " vn .
L’algorithme s’arrête à la première valeur de n pour laquelle un < vn et l’affiche. Cet algorithme affiche donc le numéro
de la première année pour laquelle le nombre de personnes habitant en zone rurale est strictement inférieur au nombre
de personnes habitant en zone urbaine.
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b) Soit n ∈ N.
un < vn ⇔ 40 + 50 × (0, 85)n < 80 − 50 × (0, 85)n ⇔ 100 × (0, 85)n < 40
⇔ (0, 85)n < 0, 4
⇔ ln (0, 85)n ) < ln(0, 4) (par stricte croissance de la fonction ln sur ]0, +∞[)
⇔ n ln(0, 85) < ln(0, 4)
ln(0, 4)
(car ln(0, 85) < 0)
ln(0, 85)
⇔ n > 5, 6 . . .
⇔n>
⇔ n ! 6.
L’algorithme affiche la valeur 6 ou encore en 2016, le nombre de personnes habitant en zone rurale devient strictement
inférieur au nombre de personnes habitant en zone urbaine pour la première fois.
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