Les limites des suites - La taverne de l`Irlandais.

Vestiges d'une terminale S – Les limites des suites - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l'Irlandais(www.tanopah.com)
A propos des limites d'une suite
Limites de suites monotones
Contrairement à une fonction, une suite ( u n ) ne peut avoir de limite que lorsque l'entier
naturel n s'en va vers +∞ . Celle-ci peut être un réel ℓ .
Théorème : toute suite croissante majorée est convergente.
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La preuve de ce théorème
( u n ) est une suite croissante majorée.
Définition d'une limite finie d'une suite
Dire que la suite ( u n ) a pour limite ℓ signifie
ℓ+ε
Appelons E = {u 0 ; u1; u 2 ;…} le sous-ensemble de constitué par les termes de ( u n ) .
que pour toute tolérance ε > 0 , il existe un
rang n 0 à partir duquel tous les termes de la
ℓ
ℓ−ε
Comme ce sous-ensemble E est non vide et majoré dans , alors il admet une borne
supérieure, c'est-à-dire qu'il existe un réel A qui est le plus petit de ses majorants.
Comme A est un majorant de la suite ( u n ) alors pour tout entier n, u n ≤ A .
suite ( u n ) sont dans l'intervalle [ ℓ − ε; ℓ + ε] ,
(un )
c'est-à-dire sont tels que ℓ − ε ≤ u n ≤ ℓ + ε .
Nous allons établir que A est la limite de la suite ( u n ) en utilisant la caractérisation
n0
On dit que la suite ( u n ) est convergente.
d'une limite finie ci-contre. Soit ε un réel positif. C'est notre fameuse "tolérance" !
Le nombre A − ε n'est pas un majorant de la suite ( u n ) car le plus petit de ceux-ci est A.
Lorsqu'une suite n'est pas convergente, on dit qu'elle est divergente. Mais cette appellation
recouvre plusieurs réalités. La limite d'une suite divergente peut être infinie ou ne pas
exister.
Donc il existe un terme de la suite que nous notons u n 0 qui est plus grand que A − ε .
Comme la suite ( u n ) est croissante alors pour tout n ≥ n 0 , il vient : u n ≥ u n 0 ≥ A − ε .
Conclusion : nous avons établi que pour toute tolérance ε > 0 , il existe un rang n 0 à
Définition d'une limite +∞ d'une suite
Dire que la suite ( u n ) a pour limite +∞
partir duquel A − ε ≤ u n ≤ A . Donc la suite ( u n ) converge vers le réel A.
signifie que pour tout réel M > 0 , il existe un
rang n 0 à partir duquel tous les termes de la
M
suite ( u n ) sont tels que u n ≥ M .
Corollaire : toute suite décroissante minorée est convergente.
En effet si la suite ( u n ) est décroissante minorée alors son opposée
(un )
Autrement dit, tous les termes de la suite ( u n )
n0
sont dans l'intervalle [ M; +∞[ à partir de n 0
( −u n )
est croissante
majorée donc convergente vers un réel −ℓ . Donc la suite ( u n ) est convergente vers ℓ .
Théorème : toute suite croissante non majorée tend vers +∞ .
Définition d'une limite −∞ d'une suite
Dire que la suite ( u n ) a pour limite −∞
n0
signifie que pour tout réel M < 0 , il existe un
rang n 0 à partir duquel tous les termes de la
suite ( u n ) sont tels que u n ≤ M .
(un )
M
Autrement dit, tous les termes de la suite ( u n )
Prouvons qu'elle tend vers +∞ en utilisant la caractérisation ci-contre.
Soit M un réel positif quelconque.
Comme la suite ( u n ) n'est pas majorée, le réel positif M n'est pas l'un de ses majorants !
Donc l'un des termes de la suite est plus grand que M. Appelons-le u n 0 . Ainsi u n 0 ≥ M
sont dans l'intervalle ]−∞; M ] à partir de n 0 .
Comme la suite ( u n ) est croissante, pour tout entier n ≥ n 0 , nous avons u n ≥ u n 0 ≥ M .
Pour les deux définitions précédentes, nous aurions pu seulement dire : "pour tout réel M".
Enfin il existe des suites qui n'ont pas de limites. Elles aussi sont dites divergentes.
C'est par exemple le cas des suites u n = ( −1) ; vn = ( −3) et w n = cos ( n )
n
La preuve de ce théorème
( u n ) est une suite croissante non majorée.
n
Conclusion : nous avons établi que pour tout réel M > 0 , il existe un rang n 0 à partir
duquel tous les termes de ( u n ) sont supérieurs à M. Donc la suite ( u n ) tend vers +∞ .
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Par conséquent, ( u n ) est convergente vers un réel ℓ .
Corollaire : toute suite décroissante non minorée tend vers −∞ .
En effet si la suite ( u n ) est décroissante et non minorée alors son opposée
( −u n )
est
croissante et non majorée, donc tend vers +∞ . Par conséquent, ( u n ) tend vers −∞ .
De même, la suite ( u n ) étant croissante, il vient que pour tout n∈, u 0 ≤ u n ≤ vn .
Donc la suite décroissante ( vn ) est minorée par le réel u 0 .
Par conséquent, ( vn ) converge vers un réel que nous noterons ℓ′ .
Une question se pose : les deux limites ℓ et ℓ′ sont-elles égales ?
La différence w n = vn − u n tend vers ℓ′ − ℓ .
Suites adjacentes
Définition de deux suites adjacentes
Dire que deux suites ( u n ) et ( vn ) sont
Or comme les suites ( u n ) et ( vn ) sont adjacentes, leur différence w n = vn − u n doit
( vn )
tendre vers 0. Par suite :
adjacentes signifie que :
• La suite u est croissante
( n)

• La suite ( v n ) est décroissante
• lim v − u = 0
n
 n →+∞ n
lim vn − u n
n →+∞ wn
ℓ = ℓ′
(un )
= ℓ′ − ℓ = 0 d 'où ℓ′ = ℓ
Etablir la convergence d'une suite à l'aide d'une autre suite qui lui est adjacente
Prouvons que la suite u n =
Deux suites adjacentes vont à la rencontre l'une de l'autre et se rejoignent à l'infini.
n
1
1
1
1
+
+
+… +
2
2
2
2
1
2
3
n
=
∑ k2
1
est convergente.
k =1
Somme des inverses des n
premiers carrés d'entiers non nuls
Théorème : deux suites adjacentes convergent vers une même limite finie
1
.
n
est croissante. En effet, pour tout n∈* :
Pour ce faire, nous allons établir qu'elle est adjacente à la suite vn = u n +
La preuve de ce théorème
On considère le couple de suites adjacentes ( u n ) et ( vn ) .
Pour fixer les idées, on décrète que ( u n ) est croissante et ( vn ) est décroissante.
Intéressons-nous à leur différence w n = vn − u n et plus précisément à sa variation.
Pour tout entier naturel n, on peut écrire :
w n +1 − w n = ( vn +1 − u n +1 ) − ( v n − u n )
vn +1 − vn )
(
= vn +1 − vn − u n +1 + u n =
Négatif
car ( v n ) est décroissante
−
u n +1 − u n )
(
Positif
car ( u n ) est croissante
La somme de deux négatifs étant négative, il vient que pour tout n∈ :
w n +1 − w n ≤ 0 ⇔ w n +1 ≤ w n
Donc la suite w n = vn − u n est décroissante.
D'abord, il est clair que la suite ( u n )
1
 1
1
1
1
1
1 
1
−
u n +1 − u n =  +
+… +
+
+
−… +
=
>0.
2
2   2
2
2 
 12 22
n
1
2
n  ( n + 1)2
( n + 1)  

un
u n +1
Ensuite, la suite ( vn ) est décroissante. En effet, pour tout n∈* :
1  
1
1
1
1
1
1

vn +1 − vn =  u n +1 +
−  u n +  = u n +1 − u n +
− =
+
−

2
n +1  
n  n + 1 n ( n + 1)
n +1 n

=
n
n. ( n + 1)
2
+
n2 + n
n. ( n + 1)
2
−
n 2 + 2.n + 1
n. ( n + 1)
2
=−
Enfin lorsque n tend vers +∞ , leur différence vn − u n =
0...en décroissant. Donc ( w n ) est toujours positive ou nulle. Par suite, pour tout n∈ :
Conclusion : les suites ( u n ) et ( vn )
Comme la suite ( vn ) est décroissante alors pour tout entier naturel n, v0 ≥ v n ≥ u n .
Donc la suite croissante ( u n ) est majorée par le réel v0 .
n. ( n + 1)
2
<0
1
tend vers 0.
n
sont adjacentes donc convergentes.
Comme les suites ( u n ) et ( vn ) sont adjacentes, leur différence w n = vn − u n tend vers
vn − u n ≥ 0 d 'où vn ≥ u n
1
Même si nous savons que la suite ( u n ) a une limite finie, nous ignorons qui elle est !