La mathématique des drapeaux
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La mathématique des drapeaux
La mathématique des drapeaux Van Geet Patricia Congrès SBPMef Mardi 25 Août 2015 Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Introduction Lors d’un concours radiophonique, la question suivante a été posée : Tous les drapeaux européens sont-ils rectangles ? Réponse donnée : oui Réponse attendue : non, deux drapeaux sont carrés, celui de la Suisse et celui du Vatican. Réponse du mathématicien oui, car un carré est un rectangle ! Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Introduction Lors d’un concours radiophonique, la question suivante a été posée : Tous les drapeaux européens sont-ils rectangles ? Réponse donnée : oui Réponse attendue : non, deux drapeaux sont carrés, celui de la Suisse et celui du Vatican. Réponse du mathématicien oui, car un carré est un rectangle ! Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Introduction Lors d’un concours radiophonique, la question suivante a été posée : Tous les drapeaux européens sont-ils rectangles ? Réponse donnée : oui Réponse attendue : non, deux drapeaux sont carrés, celui de la Suisse et celui du Vatican. Réponse du mathématicien oui, car un carré est un rectangle ! Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Introduction Lors d’un concours radiophonique, la question suivante a été posée : Tous les drapeaux européens sont-ils rectangles ? Réponse donnée : oui Réponse attendue : non, deux drapeaux sont carrés, celui de la Suisse et celui du Vatican. Réponse du mathématicien : oui, car un carré est un rectangle ! Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Contexte Lors d’une surveillance, un seul livre se trouve sur mon bureau : le dictionnaire . . . L’heure d’activités mathématiques en 1C . . . Le thème du Congrès : les mathématiques européennes . . . Le projet était né ! Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Contexte Lors d’une surveillance, un seul livre se trouve sur mon bureau : le dictionnaire . . . L’heure d’activités mathématiques en 1C . . . Le thème du Congrès : les mathématiques européennes . . . Le projet était né ! Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Contexte Lors d’une surveillance, un seul livre se trouve sur mon bureau : le dictionnaire . . . L’heure d’activités mathématiques en 1C . . . Le thème du Congrès : les mathématiques européennes . . . Le projet était né ! Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Contexte Lors d’une surveillance, un seul livre se trouve sur mon bureau : le dictionnaire . . . L’heure d’activités mathématiques en 1C . . . Le thème du Congrès : les mathématiques européennes . . . Le projet était né ! Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à lignes Consigne donnée aux élèves : « Dessine le drapeau d’un de ces pays : Espagne, Lettonie, Estonie, Lituanie ». (Drapeaux à lignes horizontales) Les élèves ont accès à Internet. Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à lignes Les élèves ont été attentifs aux dessins et aux couleurs . . . Aucun d’entre eux ne s’est arrêté à l’information de type « 3 : 5 », c’est-à-dire le rapport entre le guidant soit la largeur du drapeau et le battant soit la longueur du drapeau. Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à lignes Nouvelle consigne : Dessine le drapeau de l’Espagne, la Lettonie, l’Estonie ou la Lituanie (sans les armoiries) le plus grand possible, sur une feuille A4 (21 cm/29 cm) en respectant les rapports de chaque drapeau Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à lignes :Espagne En 1981, le drapeau espagnol reprend son ancien dessin, divisé en trois bandes horizontales rouge, jaune, rouge. La bande jaune, aussi haute que les deux rouges réunies, porte les armoiries d’Espagne du côté du hissant. Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à lignes : Espagne CADRE (2 : 3) Proposition des élèves : l = 20 cm et L = 30 cm OU l = 18 cm et L = 27 cm ☞ Et entre les deux ? l = 19 cm et L = 19 + 9,5 = 28, 5 cm ☞ Et si l = 19,5 cm ? L = 19,5 + 9,75 = 29,25 cm Dimensions gardées : l = 19 cm et L = 28,5 cm Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à lignes : Espagne TRACÉS INTÉRIEURS Comment placer 1/2 entre 1/4 et 1/4 ? Solutions proposées : par pliage par division de 19 cm par 4 soit 4,75 cm en dessinant les bandes extérieures de 1/4 soit 4,75 cm ☞ Comment mesurer 4,75 cm ? ☞ Constructions successives de deux médiatrices Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à lignes :Lettonie La couleur rouge du drapeau de la Lettonie est d’un ton sombre particulier, qui est connu sous le nom de « rouge letton » dans le monde entier. Les couleurs du drapeau sont disposées dans les proportions suivantes : 2 : 1 : 2 (les bandes rouges supérieures et inférieures sont toujours deux fois plus larges que la bande blanche du milieu), et la corrélation entre la largeur et la longueur du drapeau est de 1 : 2. Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à lignes : Lettonie CADRE (1 : 2) Proposition des élèves : l = 14,5 cm et L = 29 cm TRACÉS INTÉRIEURS Comprendre que 2 : 1 : 2 signifie respectivement 2/5, 1/5 et 2/5 de la largeur. Il reste à partager 14,5 cm en 5 parts égales. . . ☞ Diviser un segment par Thalès Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à lignes : Estonie Le drapeau national de l’Estonie est composé de trois bandes horizontales égales : de haut en bas, bleu, noir et blanc. La taille normale du drapeau est de 105 × 165 cm. Quel est le rapport l/L ? Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à lignes : Estonie CADRE Besoin de passer par la proportionnalité l L 105 165 7 11 21 33 ? 29 La longueur de 33 cm n’est pas acceptable. La recherche de K, coefficient de proportionnalité, permet de trouver la largeur correspondant à une longueur de 29 cm, soit 18,4545. . . Les mesures gardées sont : l = 18,5 cm et L = 29 cm Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à lignes : Estonie TRACÉS INTÉRIEURS : Trisection d’une diagonale (1) ☞ Pour partager un segment de 18,5 cm en 3 parts égales, commençons par partager la diagonale d’un rectangle en 3 parts égales. |BN| vaut la moitié de |ND| donc le tiers de |BD|. A // b M B // b b N b b b D C Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à lignes : Estonie ☞ Reste à adapter cette technique au côté de 18,5 cm. . . A E B E A H B I F F D C Van Geet Patricia G C D La mathématique des drapeaux Trisection d’un segment Trisection d’un segment (2) B b // b A Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Trisection d’un segment B b // D // b // // // C // b A Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Trisection d’un segment B b // D // b // // // C // b b E A Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Trisection d’un segment B b // D // b // // // O C b // b b E A Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Trisection d’un segment B b // D // b // // // O C b // b b E A Dans cette figure se trouvent deux triangles semblables OCA et OEB ainsi qu’une configuration de Thalès. On peut déduire OA que OB = OC = AC = 12 OE BE Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Trisection d’un segment Trisection d’un segment (3) Le centre de gravité d’un triangle (médianes) partage chaque médiane en deux segments de rapport 12 Trace un segment [AB], segment que l’on va trisecter. Place un point O n’appartenant pas à [AB]. Construis C , image de A par la symétrie de centre O. Construis D, image de C par la symétrie de centre B. Trace le triangle ACD. [AB] est la médiane relative au segment [CD]. Trace [OD], médiane relative au segment [AC].L’intersection de ces médianes est le centre de gravité du triangle ACD. Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux A b b B Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Trisection d’un segment A b O C b b M b b B b D Van Geet Patricia BM MA La mathématique des drapeaux = 1 2 Si les drapeaux n’ont pas tous le même rapport l/L, comment font-ils alors pour obtenir ceci . . . ? Rapports rencontrés 1 : 1 1:2 2:3 3:5 7 : 11 8 : 11 28 : 37 5:8 11 : 18 13 : 15 (Belgique) Soit 1 0,5 0,666 0,6 0,6363 0,7272 0,7567 0,625 0,6111 0,8666 Drapeau du Salvador 189 : 335 ! (0,51642. . .) Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Le Secrétariat Général du Conseil de l’Union Européenne m’informe que les drapeaux extérieurs au Juptis Lipsus (siège principal du Conseil de l’UE et du Secrétariat général du Conseil, rue de la Loi, 175) mesurent tous 3 m/5 m, tandis que les drapeaux au Lex (bâtiment abritant le service de traduction du Secrétariat général du Conseil, rue de la loi 145) mesurent 2 m/3 m). Le drapeau suisse fait exception. . .Néanmoins, lorsqu’il est aligné avec d’autres drapeaux, sa superficie ne peut jamais dépasser celle des autres drapeaux. Un fameux « problème » de non-proportionnalité ! Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à croix Dans un deuxième temps, j’invite les élèves à dessiner un drapeau comportant une croix, à partir de documents que je leur fournis. Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à croix : Danemark Ayant la mesure du cadre, un seul calcul est suffisant pour dessiner la croix de ce drapeau . . . Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à croix : Norvège Le drapeau de la Norvège est rouge, avec une croix bleue bordée de blanc s’étendant jusqu’aux limites du drapeau. Le centre de la croix est décalé vers la hampe du drapeau, de telle sorte que la branche flottante de la croix soit plus longue que les trois autres. Cette particularité est destinée à corriger l’effet d’optique qui aurait fait paraître plus courte la branche de la croix la plus agitée par le vent. Proportion 8 : 11 Les proportions des éléments figurant sur le drapeau sont : En largeur et de gauche à droite, de 6 − 1 − 2 − 1 − 12 En hauteur et de haut en bas, de 6 − 1 − 2 − 1 − 6 Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à croix : Suède Les dimensions et la position de la croix sont données par la loi suédoise. La barre verticale doit être placée entre les 5/16e et les 7/16e de la largeur du drapeau, tandis que la barre horizontale doit être placée entre les 4/10e et les 6/10e de la hauteur du drapeau. Proportion 5 : 8 Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à croix : Finlande Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à croix : Suisse La forme du drapeau suisse, habituellement carrée, n’est pas prescrite par la loi mais fait partie de la tradition. Par contre, sa couleur est définie précisément depuis le 1e janvier 2007 : rouge Pantone 485, soit 100% de magenta et 100% de jaune. Les dimensions de la croix sont également définies : un décret datant de 1889 stipule que les bras de la croix doivent être d’égale longueur et un sixième plus longs que larges. « Le modèle contenu dans l’annexe à la présente loi est déterminant pour la forme, la couleur et les proportions ». https ://www.ige.ch/fileadmin/user_upload/Juristische_Infos/f/j10805.pdf Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à croix : Suisse Le rapport entre la longueur « du bras horizontal de la croix » et la largeur du drapeau est de 5 : 8, ce qui correspond approximativement aux proportions du rectangle d’or. Le drapeau comporte 4 axes de symétrie. Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à croix : Suisse Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à croix : La Grèce Observe. . .puis dessine. . . Proportion 2 : 3 Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à 5 croix : Géorgie Ce drapeau comporte cinq croix : une croix de Saint Georges et quatre croix dites « croix de la Grappe » ou croix de la Sainte Chrétienne de Géorgie (symbole de l’Église orthodoxe de Géorgie). Programme de construction Trace un rectangle de 16 cm sur 24 cm Construis une croix de 4 cm de large, partageant le rectangle en quatre petits rectangles égaux Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à 5 croix : Géorgie Dans chaque petit rectangle Construis, en son centre, un carré de 4 cm de côté, dont les côtés sont parallèles à ceux du rectangle Note A,B,C et D les sommets du plus petit carré sur pointe comportant ce carré À partir du sommet A, trace deux arcs de √ cercle à l’intérieur du carré, le premier de rayon 13 cm et le √ second de 5 cm. Fais de même à partir des sommets B, C et D. Efface les deux carrés Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à 5 croix : Géorgie A D B C Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeau Royaume Uni : superposition de trois croix Le drapeau du Royaume Uni combine la croix de saint Georges du drapeau anglais et la croix de saint André du drapeau écossais. Après l’Union de 1801, ce drapeau fut augmenté de la croix de saint Patrick pour représenter l’Irlande. Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeau Royaume Uni : superposition de trois croix Proportion 1 : 2 Dimensions conseillées : 12 cm/24 cm ☞ Quelle fraction représente la mesure 6 par rapport à la largeur du drapeau ? ☞ Quelle fraction représente la mesure 10 par rapport à la largeur du drapeau ? Utilise ces fractions pour dessiner la croix de saint Georges et la croix de saint André. Pour partager la croix de saint André en six fines bandes obliques de même largeur, utilise le théorême de Thalès. Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à blason : Le Portugal Rapport 2 : 3 Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à blason : Le Portugal Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeau à blason : Croatie Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeau à blason : Croatie Commencer par dessiner le blason. Prends ta feuille A4 dans le sens « paysage » Trace un rectangle ABCD de 5,5 cm sur 3,6 cm, sachant que |AB|= 5,5 cm et |BC|= 3,6 cm. Le point A est placé dans le coin supérieur gauche et les autres points notés dans le sens horloger ; place-le au centre de ta feuille Place le point O à même distance des points C et D, et à 3,3 cm de la droite AB, à l’intérieur du rectangle ABCD Trace un arc de cercle de centre O, reliant les points C et D ; cet arc se construit en dehors du rectangle ABCD Construis la droite perpendiculaire à CD passant par O. Elle coupe l’arc de cercle au point P. Partage le côté AB en 5 parts égales et note les points respectivement E, F, G et H Partage le côté BC en 3 parts égales et note les points I et J Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à blason : Croatie À partir des points E, F, G et H , trace les droites parallèles à AD À partir des points I et J, trace les droites parallèles à AB À partir du point P, trace six segments de 8,4 cm, le premier passant par A, le deuxième par E, le troisième par F, le quatrième par G, le cinquième par U et le sixième par B. Note les extrémités de ces segments respectivement A’, E’, F’, G’, H’ et B’. Trace deux arcs de cercle de 1 cm, l’un de centre A’ et l’autre de centre E’ : note S le point d’intersection le plus éloigné du rectangle ABCD, S. Trace [A’S] et [E’S] Trace deux arcs de cercle de 1 cm, l’un de centre E’ et l’autre de centre F’ : note T le point d’intersection le plus éloigné du rectangle ABCD, T. Trace [E’T] et [F’T] Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à blason : Croatie Fais de même entre les paires de points F’et G’, G’ et H’, H’ et B’ Trace un arc de cercle de centre P, reliant les points A à B Prolonge [AB] de 12 cm de chaque côté et note X et Y les extrémités de ce nouveau segment Trace les parallèles à [XY], distantes de 4,9 cm ; le blason est centré dans le drapeau Construis le drapeau comportant ce blason sachant qu’il est constitué de trois bandes horizontales d’égale distance et que son rapport l/L est 1 : 2 Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeau « soleil » : République de Macédoine Rapport 1 : 2 Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeau à une étoile : la Turquie Ce drapeau est consisté d’une lune décroissante et d’une étoile à cinq branches, les deux de couleur blanche, sur un fond rouge. Proportion 2 : 3 Dimensions proposées : 16 cm/24 cm Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeau à une étoile : la Turquie Le calcul des mesures s’effectue par groupe, en fonction des dimensions choisies pour le drapeau. Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux à triangle : la Tchèquie Dessiner l’intérieur du drapeau en utilisant uniquement le compas et la règle non graduée. Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux non-européens Un seul drapeau a, pour proportion, le nombre d’Or . . . Le drapeau du Togo (proportion 1 : 1, 618) Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux non-européens Drapeau comportant trois losanges, en forme de V Saint-Vincent-et-les-Grenadines (Etat des petites Antilles, dans les Caraïbes) Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux non-européens Drapeau en éventail, non symétrique Drapeau des Seychelles Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux non-européens Comparaison des angles // // Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Drapeaux non-européens Le seul drapeau national non-rectangulaire, qui est plus haut que large. Drapeau du Népal Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Mon drapeau Merci pour votre écoute et votre participation ! Et un remerciement particulier à Cédric de Fougerolle, secrétaire général de la Société française de vexillologie. Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Bibliographie https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau _ de _ l’estonie http ://svowebmaster.free.fr/drapeaux _ Espagne.htm www.bibliomonde.com/donnee/lettonie-drapeau-442.htm https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau _ de _ la _ lituanie https ://fr.wikipedia.org/wiki/Croix_ scandinave http ://svowebmaster.free.fr/drapeaux_ suede.htm http ://svowebmaster.free.fr/drapeaux_ danemark.htm https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Finlande http ://tavmjong.free.fr/INKSCAPE/MANUAL/html_ fr/AShortExample.html Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Bibliographie https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Norvege http ://www.vtg.admin.ch/internet/vtg/fr/home/themen/internation kooperation/MP/organisation_ von_besuchen.parsysrelated1.7593.downloadList.80882.DownloadFile (annexe page 49) https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Grece https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Georgie https ://fr.wikipedia.org/wiki/Croix_ de_ la_Grappe https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ du_ Royaume-Uni http ://www.jdawiseman.com/papers/union-jack/unionjack.html http ://www.collegeleseyquems.fr/IMG/jpg/consignes_ drapeau.jpg (à modifier, mais une bonne base pour démarrer) https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Macedonie Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux Bibliographie https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Turquie https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ la_ Republique_ Tcheque https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ du_ Togo https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ de_ Saint-Vincent-et-les-Grenadines https ://fr.wikipedia.org/wiki/Drapeau_ des_ Seychelles http ://statistique.blogs.sciencesetavenir.fr/archive/2015/05/06/ledrapeau-du-nepal-23256.html (version officielle : http ://www.servat.unibe.ch/icl/np01000_.html) https ://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/Flag_of_P http ://www.portugalmania.com/savoir/drapeau.htm Le Secrétariat Général du Conseil de l’Union Européenne Van Geet Patricia La mathématique des drapeaux