Géométrie dans l`espace
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Géométrie dans l`espace
Géométrie dans l’espace Classe de seconde - Lycée Saint-Charles Patrice Jacquet - www.mathxy.fr Objectifs : • Savoir manipuler et construire des solides. • Savoir représenter des solides en perspective cavalière. • Savoir effectuer des calculs de longueur, aire et volume. 1 Les solides usuels Définition 1 – Pavé droit (parallélépipède rectangle) Un pavé droit est un solide dont toutes les faces sont des rectangles. Exemple 1 : Une boîte d’allumette. Définition 2 – Pyramide Une pyramide est constituée d’un polygone de base relié à un sommet par des arêtes. Exemple 2 : Une pyramide égyptienne est une pyramide à base carrée. Définition 3 – Cône de révolution Un cône de révolution est un disque de base relié à un sommet. Le sommet appartient à la perpendiculaire au disque de base passant par le centre de ce disque. Remarque : Un cône de révolution est obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour de l’un des deux côtés de l’angle droit. 1 Classe de seconde Géométrie dans l’espace http://www.mathxy.fr/ Définition 4 – Cylindre de révolution Un cylindre de révolution est composé de 2 disques de base parallèles et superposables reliés par une surface enroulée autour des bases. Remarque : Un cylindre de révolution est obtenu en faisant tourner un rectangle autour de l’un de ses côtés. Exemple 3 : Une pièce de monnaie. Définition 5 – Boule La boule de centre A et de rayon r est l’ensemble des points M de l’espace tels que AM 6 r. Remarque : Une boule est obtenue en faisant tourner un disque autour de l’un de ses diamètre. Remarque : L’ensemble des points M de l’espace tels que AM = r s’appelle la sphère de centre A et de rayon r. 2 Patrons d’un solide Définition 6 Le patron d’un solide est une figure géométrique plane qui permet d’obtenir le solide, en vraie grandeur, après pliage. Remarque : On peut faire plusieurs patrons d’un même solide. 2 Classe de seconde 3 Géométrie dans l’espace http://www.mathxy.fr/ Représentation d’un solide : perspective cavalière Principe : Les règles de la perspective cavalière ont été définies pour représenter des solides en conservant le maximum de propriétés mathématiques. Règle n°1 – Trois points alignés sont représentés par trois points alignés. Règle n°2 – Deux droites parallèles sont représentées par deux droites parallèles. Règle n°3 – Le milieu d’un segment est représenté par le milieu du segment dessiné. Règle n°4 – La figure située de face est représentée par une figure de même forme. Règle n°5 – Les lignes cachées sont dessinées en pointillés. 4 Aires et Volumes 3 Classe de seconde 5 Géométrie dans l’espace http://www.mathxy.fr/ Positions relatives de deux droites 5.1 Droites sécantes Deux droites sont sécantes si elles ont un seul point commun. Les droites (DC) et (BC) sont sécantes en C. 5.2 Droites parallèles Deux droites sont parallèles si elles sont dans le même plan et n’ont pas de point commun. Les droites (AB) et (DC) sont parallèles. Elles sont dans le plan (ABC). 5.3 Droites confondues Deux droites sont confondues si elles ont tous leurs points confondus. 5.4 Droites non coplanaires Deux droites sont non coplanaires si elles ne sont pas dans un même plan. Les droites (EG) et (DC) sont non coplanaires. 4 Classe de seconde 6 Géométrie dans l’espace http://www.mathxy.fr/ Positions relatives droites-plans 6.1 Droites sécantes à un plan Une droite est sécante à un plan si elle a un unique point commun avec lui. La droite (AF ) est sécante au plan (ABC) en A. 6.2 Droites parallèles à un plan Une droite est parallèle à un plan si elle n’a aucun point commun avec lui. La droite (F G) est parallèle au plan (ABC). 6.3 Droites contenues dans un plan Une droite est contenue dans un plan si tous ses points appartiennent au plan. La droite (AC) est contenue dans le plan (ABC). 5 Classe de seconde 7 Géométrie dans l’espace Positions relatives de deux plans 7.1 Plans sécants Deux plans sont sécants si leurs points en commun forment une droite. Les plans (AEG) et (AEF ) sont sécants selon la droite (AE). 7.2 Plans parallèles Deux plans sont parallèles s’ils n’ont aucun points en commun. Les plans (AEF ) et (DCG) sont parallèles. 7.3 Plans confondus Deux plans sont confondus s’ils ont tous leurs points en commun. 6 http://www.mathxy.fr/