Teil D: Einführung in die Kointegrationsmethodologie

Teil D: Einführung in die Kointegrationsmethodologie
1. Problem der Scheinregression
Makroökonomische Zeitreihen (z.B. Output, Investitionen, Beschäftigung) sind typischerweise
trendbehaftetete Zeitreihen.
Bruttosozialprodukt und Anlageinvestitionen aller Unternehmen in der Bundesrepublik
(in Preisen von 1985)
2500
450
EIP
400
Bruttosozialprodukt (real)
2000
350
300
1500
250
200
1000
150
100
500
Anlageinvestitionen aller Unternehmen (real)
XGNP
50
1991
1990
1989
1988
1987
1986
1985
1984
1983
1982
1981
1980
1979
1978
1977
1976
1975
1974
1973
1972
1971
1970
1969
1968
1967
1966
1965
1964
1963
1962
1961
0
1960
0
Jahre
Granger/Newbold, 1974 zeigen, daß bei einer Regressionsschätzung mit solchen Zeitreihen die
Gefahr einer Scheinregression (spurious regression) auftritt, d.h. man findet scheinbare
Abhängigkeiten zwischen unabhängigen Zufallsvariablen.
Möglicher Ausweg: Trendbereinigung der Zeitreihen durch Bildung von Veränderungsraten
(Differenzen).
1. Differenz XGNP (real)
1. Differenz EIP (real)
120
40
30
100
20
80
1991
1989
1987
1985
1983
1981
1979
1977
1975
1973
1971
1969
1967
1965
0
1963
40
1961
1. Differenz EIP
1. Differenz XGNP
10
60
-10
20
-20
-30
1991
1989
1987
1985
1983
1981
1979
1977
1975
1973
1971
1969
1967
1965
1963
1961
0
-20
-40
Jahr
Jahr
Regressionsschätzungen dann nur noch mit Veränderungsraten, in der Hoffnung durch die
Trendbereinigung dem Problem der Scheinkorrelation zu entgehen.
Nachteil: Informationsverlust, Langfristige Beziehungen sind nicht mehr ökonometrisch analysierbar,
bzw. testbar.
-2-
Zur Lösung des Problems der adäquaten Modellierung trendbehafteter Zeitreihen werden in der
modernen Ökonometrie in jüngster Zeit sogenannte Fehler-Korrektur-Modelle verwendet:
• Fehler-Korrektur-Modelle haben den Vorteil, daß sowohl die kurz- wie auch die langfristigen
Abhängigkeiten erfassen.
• Die Anwendung von Fehler-Korrektur-Modellen beruht auf bestimmten Annahmen, deren
Vorliegen getestet werden muß.
Zwei Konzepte sind im Zusammenhang mit Fehler-Korrektur-Modellen von besonderer Bedeutung:
• Konzept der Stationarität
• Konzept der Kointegration
-3-
2. Konzept der Stationarität
Definition eines stationären Prozesses:
( ( ) )
• konstanter Erwartungswert E Yt = µ
(
2
• konstante Varianzen Var (Yt ) = E (Yt − µ ) = σ
2
(
[(
)
)(
)])
• zeitunabhängige Autokovarianzen γ k = E Yt − µ Yt + k − µ
unabhängig vom Zeitraum für den die Momente berechnet werden.
Definition eines integrieten Prozesses:
Ein Prozeß der nach n-maligem differenzieren stationär wird, wird als integriert vom Grade n
bezeichnet (I(n)).
-4-
Random Walk Prozeß
Ein integrierter Prozeß der Ordnung 1 (I(1)) ist der Random Walk Prozeß:
Yt = Yt −1 + ε t
wobei ε t ein White Noise Prozeß ist, mit:
E (ε t ) = 0
und
σ 2
E (ε t ε t − τ ) = 
0
für
τ=0
für
τ≠0
Bei gegebenen Anfangswert Y0 = ε 1 kann man den Random Walk auch schreiben als:
t
Yt = ∑ ε j
j =1
Diese Darstellung zeigt, daß vergangene Schocks einen dauerhaften Einfluß auf die Entwicklung
des Prozesses besitzen.
-5-
Für den Erwartungswert des Random Walk gilt:
t
( )
E (Yt ) = ∑ E ε j = 0
j =1
Für die Varianz erhält man:
( )
Var (Yt ) = Var ∑ ε j = ∑Var ε j = t ⋅ σ 2
t
t
j =1
j =1
Da die Varianz mit der Zeit variiert erfüllt der Random Walk nicht die Kriterien für eine stationären
Prozeß (z.B. im Gegensatz zum White Noise Prozeß).
Bildet man die erste Differenz des Random Walks:
Yt − Yt −1 = ∆Yt = ε t ,
so erhält man einen White Noise Prozeß. Die erste Differenz des Random Walks ist somit stationär
(I(0)). Damit ist gezeigt, daß der Random Walk ein I(1)-Prozess ist.
-6-
Dickey-Fuller-Test auf Stationärität
Um zu entscheiden, ob eine bestimmte Zeitreihe stationär oder nichtstationär ist, ist es möglich eine
Test durchzuführen, der als Null-Hypothese einen bestimmten nichtstationären Prozeß annimmt und
zur Konstruktion ein Alternativemodell schätzt, welches den nichtstationären Prozeß als Spezialfall
enthält (Prinzip des Dickey und Fuller Tests).
Null-Hypothese:
Der wahre Prozeß der beobachteten Zeitreihe folgt einem Random Walk Prozeß:
Yt = Yt −1 + ut ,
d.h. einem Prozeß, der integriert ist vom Grade 1 (I(1)).
Zur Überprüfung der Null-Hypothese wird ein Alternativmodell geschätzt, das den Random Walk
Prozeß als Spezialfall enthält, jedoch die Parameterrestriktion für den Random Walk Prozeß nicht
auferlegt.
Schätzung eines AR(1)-Prozesses als Alternativmodell:
Yt = ρYt −1 + ut
-7-
Beispiel für einen AR(1)-Prozeß ( Yt = ρYt −1 + ut ) mit ρ = 1 (Random Walk (I(1)))
40
30
20
10
0
0
100
200
300
400
500
-10
-20
-30
Yt
ut ~ N(0,1)
Zeit
-8-
600
700
800
900
1000
Beispiel für einen AR(1)-Prozeß ( Yt = ρYt −1 + ut ) mit ρ = 0,5 (I(0))
4
3
2
1
0
0
100
200
300
400
500
-1
-2
-3
-4
-5
Yt
ut ~ N(0,1)
Zeit
-9-
600
700
800
900
1000
Die Vorgehensweise des Dickey-Fuller-Tests besteht nun darin, das allgemeine Modell zu schätzen,
und die durch die Null-Hypothese implizierten Parameterrestriktionen durch eine geeignete
Prüfgröße zu testen.
Es ist also zu testen, ob der geschätzte AR Parameter gleich eins ist ( ρ = 1 ), wie von der Null-
(
)
Hypothese unterstellt. Wie beim t-Test lautet die Prüfgröße hierfür ρ − 1 σ ρ . Zu beachten ist
jedoch, daß diese Prüfgröße unter der Nullhypothese nicht t-verteilt ist. Zur Verteilung der Prüfgröße
und den kritischen Werten siehe Hamilton (1994), S. 763. In den folgenden Beispielen wird daher
zusätzlich zum t-Wert noch die Irrtumswahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung der wahren
Verteilung angegeben. Hieraus wird ersichtlich, ob die Null-Hypothese abgelehnt werden kann oder
nicht.
Der AR(1)-Prozeß läßt sich alternativ auch wie folgt darstellen:
∆Yt = ( ρ − 1)Yt −1 + ut
∆Yt = δYt −1 + ut
wobei δ = ρ − 1 . Schätzt man den AR(1)-Prozeß in der alternativen Darstellungsform, so lautet die
korrespondierende Null-Hypothese δ = 0 .
-10-
Ist bei der Schätzung des Alternativmodells das Residuum ut nicht frei von Autokorrelation d.h. nicht
White Noise, so kann das Alternativmodell modifiziert werden zu:
m
∆Yt = β 1 + β 2 ⋅ t + δYt −1 + α i ∑ ∆Yt −i + ut
i =1
(
)
(
)
wobei t eine Trendvariable ist und z.B. ∆Yt − 1 = Yt −1 − Yt − 2 , ∆Yt −2 = Yt −2 − Yt −3 . Man spricht dann
vom sogenannten Augmented Dicky-Fuller-Test. Für die Null-Hypothese gilt jedoch nach wie vor:
δ = 0 bzw. ρ = 1 . Ziel ist es das Alternativemodell so zu spezifizieren, daß die Residuen ut White
Noise sind.
-11-
Beispiel: Ist die Zeitreihe des realen BSP von 1960 bis 1990 stationär?
∆BSPt = 23,921+ 0,0143⋅ BSPt −1
( 0 , 979 )
R 2 = 0,0269
( 0 ,896 /
0 , 9941)
DW = 1,249
∆BSPt = 15,6621+ 0,0089⋅ BSPt −1 + 0,375 ⋅ ∆BSPt −1
( 0 , 614 )
R 2 = 0,1512
( 0 ,542 /
0 , 9854 )
DW = 1,837
∆BSPt = 21,7381+ 0,0097⋅ BSPt −1 + 0,4423⋅ ∆BSPt −1 − 0.5505⋅ ∆BSPt − 2
( 0 , 77 )
R 2 = 0,1942
( 0 ,548 /
0 , 9855)
( −1,155)
( 2 .234 )
DW = 1,94
Ergebnis: Die Nullhypothese, daß die Zeitreihe des realen Bruttosozialprodukts integriert ist vom
Grade 1 (I(1)), kann nicht verworfen werden (Irrtumswahrscheinlichkeit: 98,55%).
-12-
3. Konzept der Kointegration
Formale Definition von Kointegration:
Es seien X t und Yt I(1)-Prozesse. Dann ist im allgemeinen eine Linearkombination der beiden
Prozesse wieder ein I(1)-Prozeß. Gibt es aber einen Parameter β , so daß die Linearkombination:
Yt − βX t = ut
[
stationär ist, d.h. ut ist I(0), so heißen X t und Yt kointegriert. In diesem Zusammenhang wird 1,−β
als kointegrierender Vektor bezeichnet.
]
Eine Regression mit nichtstationären Variablen (I(1)) liefert nur dann sinnvolle Abhängigkeiten (und
keine scheinbaren Korrelationen), wenn beide Variablen kointegriert sind, d.h., wenn der geschätzte
Parameter eine Linearkombination aus beiden Variablen erzeugt, die stationär ist.
-13-
Verbale Beschreibung von Kointegration:
• Rein optisch läßt sich Kointegration so beschreiben, daß zwei nichtstationäre Variablen eine
langfristig gemeinsame Entwicklung aufweisen und nicht auseinanderlaufen können.
Unterschiedliche Entwicklungen sind nur kurzfristig möglich.
• Ökonomisch läßt sich diese Beziehung auch als ein langfristiges Gleichgewicht interpretieren. Von
diesem Gleichgewicht kann es zwar Abweichungen geben, diese sind jedoch wegen ökonomische
Mechanismen (Arbitrage, Preisunterbietungen, etc.) immer nur kurzfristiger Natur.
-14-
Ein formales Beispiel für einen kointegrierten bivariaten Prozeß:
Gegeben seien die folgenden zwei Prozesse:
Yt = βX t + ut ,1
X t = X t −1 + ut ,2
wobei ut ,1 und ut ,2 unkorrelierte White Noise Prozesse sind.
Die zweite Gleichung beschreibt einen Random Walk, die erste Gleichung beschreibt Yt als
proportional zu diesem Random Walk plus einer White Noise Komponente.
Hier liegt nun eine Kointegrationsbeziehung zwischen den Variablen Yt und X t vor, da:
1. Beide Variablen den gleichen Integrationsgrad I(1) auf weisen. Die ersten Differenzen beider
Variablen folgend nämlich stationären Prozessen (I(0)):
X t − X t −1 = ∆X t = ut ,2
Yt − Yt −1 = ∆Yt = βX t + ut ,1 − βX t −1 − ut −1,1 = β ( X t − X t −1 ) + ut ,1 − ut −1,1 = βut ,2 + ut ,1 − ut −1,1
2. Obwohl Yt und X t I(1) Prozesse sind, ist die Linearkombination aus beiden Variablen:
-15-
(Y − βX ) = u
t
t
stationär (I(0)).
t ,1
[
]
In obigen Kointegrationsbeziehung ist 1,−β der kointegrierende Vektor.
-16-
Schätzung einer Kointegrationbeziehung und Test auf Kointegration:
Ein geeignete Möglichkeit den Kointegrationparameter der beiden I(1)-Prozesse X t und Yt zu
schätzen, ist eine Kleinst-Quadrate-Schätzung der Regression:
Yt = βX t + ut ,
Für eine geschätzten Parameter verschieden vom Kointegrationsparameter ergibt sich ein
nichtstationärer Restgrößenprozeß. Entspricht jedoch der geschätzte Parameter dem
Kointegrationsparameter, dann ist der Restgrößenprozeß stationär.
Da Kointegration somit eine stationäre Restgröße impliziert, liegt es nahe, den Dickey-Fuller-Test auf
die geschätzten Residuen ( ut ) anzuwenden.
Die Null-Hypothese lautet:
ut = ut −1 + ε t ,
d.h. die geschätzten Residuen sind integriert von Grade 1 (I(1)).
-17-
Entsprechend lautet das Alternativmodell:
ut = ρut −1 + ε t
bzw.
∆ut = ( ρ − 1)ut −1 + ε t = δut −1 + ε t
wobei δ = ρ − 1 .
Kann die Null-Hypothese δ = 0 (bzw. ρ = 1 ) verworfen werden, so sind die geschätzten Residuen
[
]
( ut ) stationär, d.h. X t und Yt sind kointegriert, wobei 1,− β der kointegrierender Vektor ist. Mithin
liefert die Kleinst-Quadrate-Regression der beiden I(1) Variablen X t und Yt ( Yt = βX t + ut ) eine
konsistente Schätzung von β .
-18-
Beispiel für die Schätzung einer Kointegrationsbeziehung: Schätzung einer theoretische
fundierten Arbeitsnachfragefunktion für den Zeitraum 1960-1990.
Gemäß der neoklassischen Theorie erhält man für die Faktornachfrage nach Arbeit im Fall einer
CES Produktionsfunktion folgenden funktionalen Zusammenhang (siehe z.B. Hansen (1993)):
ln( Lt ) = c0 + c1 ⋅ ln(Yt ) + c2 ⋅ ln( wt ) + c3 ⋅ t
mit:
L:
Y:
w:
t:
Arbeit
Output
Reallohnsatz
Zeittrend
(beschäftigte Arbeitnehmer)
(reales BSP)
(reales Durchsch. Eink. je Beschäftigter)
3 Schritte einer Kointegrationsanalyse.
-19-
1. Schritt: Test auf Integrationsgrad der verwendeten Variablen unter Verwendung des Augmented
Dickey-Fuller-Test:
m
∆Yt = β1 + β 2 ⋅ t + δYt −1 + α i ∑ ∆Yt −i + ut
i =1
Alle verwendeten Variablen müssen in den Niveaus I(1) sein, d.h. ihre ersten Differenzen I(0). Für
Variablen mit ungleichem Integrationsgrad gibt es keine stationäre Linearkombination.
Ergebnisse für die Niveaus der verwendeten Variablen:
Variable
ln( Lt )
ln(Yt )
ln( wt )
β1
β2
δ
m
DW
0,0343
(0,234)
0,1652
(0,842)
0,1141
(1.136)
-
-0,0092
(-0.195/0.9285)
-0,019
(-0,741/0,8195)
-0,0241
(-0,735/0,9609)
2
2,008
4
1,979
1
1,955
-0.0005
(-0.531)
-20-
Ergebnisse für die ersten Differenzen der verwendeten Variablen:
Variable
∆ ln( Lt )
∆ ln(Yt )
∆ ln( wt )
β1
β2
δ
m
DW
0,0057
(2,119)
0,0256
(3,254)
0,0408
(3.383)
-
-0,7954
(-4,194/0,0026)
-0,8482
(-3,759/0,0079)
-0,76
(-4.767/0,0199)
1
2,011
1
1,91
-
1,93
-0.0012
(-2.869)
2.Schritt: Schätzung Kointegrationsbeziehung:
ln( Lt ) = 0,1317 + 0,5451⋅ ln(Yt ) − 0,2642⋅ ln( wt ) − 0,0024⋅ t
( 0 , 277 )
( 6 , 004 )
( −4 , 636 )
( −1,567 )
R 2 = 0,9586
3. Schritt: Test auf Kointegration: Die Residuen müssen stationär sein
Variable
ln(ut )
β1
β2
δ
m
DW
-0,0002
(-0,147)
-
-0,6231
(-3,828/0,0067)
2
2,02
-21-
4. Fehler-Korrektur-Modelle
Fehler-Korrektur-Modelle erfassen sowohl die kurzfristige Dynamik wie auch der langfristigen
Gleichgewichtsbeziehung. Dabei nutzen sie die Konzepte der Stationarität und Kointegration.
Für die beiden I(1)-Prozesse X t und Yt lautet beispielsweise ein Fehler-Korrektur-Modell:
p
q
∆Yt = α 0 + γ (Yt −1 − βX t −1 ) + ∑ α ⋅ ∆X t − j + ∑ α Yj ⋅ ∆Yt − j + ut ,
j =0
(
X
j
j =1
)
wobei Yt −1 − βX t −1 den Fehlerkorrekturterm bezeichnet. Sind Yt und X t kointegriert, so treten im
Fehler-Korrektur-Modell nur stationäre Variablen auf. Das Problem der Scheinregression wird somit
vermieden.
Zweistufiges Engel-Granger-Schätzverfahren:
Engel und Granger haben vorgeschlagen das Fehlerkorrekurmodell in zwei Stufen zu schätzen:
• Kleinst-Quadrate-Schätzung der Kointegrationsbeziehung.
• Kleinst-Quadrate-Schätzung des Fehler-Korrektur-Modells unter Verwendung der geschätzten
Residuen aus der Kointegrationsbeziehung als Fehlerkorrekturterm.
-22-
Aus ökonomischer Sicht bringt das Fehler-Korrektur-Modell folgendes zum Ausdruck:
• Der Parameter β im Fehlerkorrekturterm erfaßt die von der Theorie postulierte langfristige
Gleichgewichtsbeziehung.
• Der Parameter des Fehlerkorrekturterms ( γ ) erfaßt Anpassungsprozesse in der gegenwärtigen
Periode (z.B. Arbitrage, Wanderung, etc.) aufgrund einer Abweichungen vom langfristigen
Gleichgewicht in der Vorperiode.
• Die Parameter α j ( α j ) erfassen Veränderung von Yt im Zeitpunkt t aufgrund von zeitlich
verzögerten Veränderungen eben dieser Variablen Y und Veränderungen aufgrund von X in der
laufenden Periode und in früheren Perioden. M. a. W. diese Parameter erfassen die kurzfristige,
transitorische Dynamik.
Y
X
-23-
Beispiel: Schätzung eines Fehler-Korrektur-Modells für eine dynamischen
Arbeitsnachfragefunktion für den Zeitraum 1960-1990 (Engel-Granger-Verfahren).
∆ ln( Lt ) = − 0,0053− 0,2109⋅ ∆ ln( wt ) + 0,4723⋅ ∆ ln(Yt ) + 0,5015⋅ ∆ ln( Lt −1 ) − 0,3753⋅ FKTt −1
( −2 , 401)
( −2 , 907 )
( 6 , 905)
( 6 , 396 )
( −3, 780 )
FKT = ln( L) − 0,1317 − 0,5451 ⋅ ln(Y ) + 0,2642 ⋅ ln( w) + 0,0024 ⋅ t
R 2 = 0,85
DW = 2,151
Zur Interpretation:
Wenn es sich bei den verwendeten Variablen um Logarithmen der eigentlichen Variablen handelt,
können die Koeffizienten als Elastizitäten interpretiert werden. Die obige Schätzung weist z.B. eine
langfristige (kurzfristige) Lohnelastizität von 0,2642 (0,2109) aus. Ferner wird ein bestehendes
Ungleichgewicht der Vorperiode zu etwa einem Drittel in der laufenden Periode abgebaut.
-24-
Literatur:
Franz, W. (1994): Arbeitmarktökonomik, 2. Auflage, Berlin.
Gujarati, D. N. (1995): Basic Econometrics, New York.
Hamilton, J. D. (1994): Time Series Analysis, Princton.
Hansen, G. (1993): Quantitative Wirtschaftsforschung, München.
Hujer, R. und J. Grammig (1997): Skriptum zur Vorlesung Zeitreihenökonometrie und Anwendung
auf Finanzzeitreihen.
Wolters, J. (1995): Kointegration und Zinsentwicklung im EWS - Eine Einführung in de
Kointegrationsmethodologie und deren Anwendung - , in: Allg. Statistisches Archiv 79, 146-169.
-25-