Zinssätze - Mathematics TU Graz

Zinssätze
Elisabeth Köhl
14. Jänner 2009
Inhaltsverzeichnis
1 Allgemeines
1.1 Zinsen und Zinsrechnung . .
1.2 Zinssatz . . . . . . . . . . .
1.2.1 Effektiver Zinssatz .
1.2.2 Nomineller Zinssatz
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2 Verschiedene Zinssätze
2.1 Schatzzins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 LIBOR/EURIBOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Nullkupon Zinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
4
5
3 Anleihen/Bond
3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Nullkupon Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Kupon Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
6
4 Forward Zinsen
6
5 Forward Rate Agreement
6
6 Literaturverzeichnis
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ALLGEMEINES
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1.1
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Allgemeines
Zinsen und Zinsrechnung
Der Zins vom Lateinischen census (Vermögensschätzung) bezeichnet das Entgelt für ein über
einen bestimmten Zeitraum zur Nutzung überlassenes Sach- oder Finanzgut (Kapital), das der
Schuldner dem Gläubiger zahlt. Rechtliche Grundlage dazu sind Verträge wie zum Beispiel ein
Darlehensvertrag oder ein Mietvertrag. Die Höhe des Zinses bestimmt sich in einer Marktwirtschaft nach Angebot und Nachfrage.
Man unterscheidet nun zwischen Zinsen auf Finanzgut und Zinsen auf Sachgut:
Zinsen auf Finanzgut: Vor der Entstehung des Metallgeldes gab es bereits den Naturalzins,
der etwa entstand, wenn vor der Aussaat Getreide geliehen wurde, das dann nach der Ernte mit
Aufschlag von 50 und mehr Prozent zurückgezahlt werden musste.
Aus dem Naturalzins bezieht der Geldzins bis heute seine Legitimation, obwohl der Geldzins aus
anderen Wurzeln entspringt. Sein Ursprung lag in den Herstellungs-, Verwahr-, Verwaltungs- und
Transportkosten des Münzgeldes.
In dem Maße, in dem mit dem Wechsel das Papiergeld der Kaufleute und aus diesem schließlich
die Banknote entstand, sank der Zins, da er sich nun nur noch mit den Herstellungskosten des
Wechsels in Beziehung setzen musste.
Geldmarktzins ist der Zinssatz für Bargeldaufnahme auf dem Geldmarkt, besonders im Verkehr
von Kreditinstituten untereinander oder zwischen Kreditinstituten und Zentralbank, wo er speziell
Leitzins genannt wird.
Kapitalmarktzins ist der Zinssatz für langfristige Buchgeldkredite auf dem Kapitalmarkt.
Zinsähnlich im weiteren Sinne des allgemeinen Sprachgebrauches sind auch Renten, Renditen und
Wertsteigerungen von Aktien, ein Teil der Erfolgsprovisionen bei Investitionen, und allgemein das
Konzept der Kapitaleinkommen.
Zinsen auf Sachgut: Miete oder Mietzins ist das Entgelt für die Überlassung von Immobilien wie Wohnungen, Büroräume, Häuser, Ferienhäuser, Garagen usw. Der Begriff Miete wird aber
auch als Bezahlung für die zeitlich begrenzte Überlassung anderer Objekte und Dienstleistungen
wie Autos, Werkzeug, Bagger, Mietwagen, verwendet.
Pacht oder Pachtzins ist der Zins für die Überlassung von Grundstücken und Immobilien, die der
Pächter nicht nur nutzen, sondern auch bewirtschaften kann.
Die Zinsen Z hängen vom Kapital K, der Laufzeit t und dem Zinsfuß p ab. Als Zinssatz i
in Prozent bezeichnet man mit i = p/100. Es gilt nun die Formel für die einfache Verzinsung:
Z := K ·
p
·t
100
Wenn man mit K0 das Anfangskapital und mit Kt das Kapital zum Zeitpunkt t bezeichnet, ergibt
sich aus Kt = K0 + Z die Endwertformel der einfachen Zinsrechnung:
Kt := K0 · (1 +
p
· t)
100
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ALLGEMEINES
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Daraus ergibt sich auch die Barwertformel der einfachen Zinsrechnung:
K0 :=
Kt
1+
p
100
·t
Ein besonderes Augenmerk ist auf die Laufzeit t, die Differenz zwischen den Zeitpunkt t0 und t1 ,
zu legen, da es unterschiedliche Berechnungsmethoden gibt:
• Deutsche Methode: Das Jahr wird mit 360 Tagen gerechnet, jeder Monat immer mit 30
Tagen. (30/360)
• Euromethode oder Französische Usance: Das Jahr wird mit 360 Tagen gerechnet, beim Monat
zählen die tatsächlichen Tage (actual, ’kalendermäßig’). (act./360)
• Englische Methode: Das Jahr wird als kalendermässiges Gemeinjahr mit 365 Tagen gerechnet,
beim Monat zählen die tatsächlichen Tage. (act./365)
• Tagesgenaue Methode: Sowohl das Jahr als auch der Monat werden mit den tatsächlichen
Tagen gerechnet. Dabei wird die Zinsperiode aufgeteilt, wenn Schaltjahre enthalten sind,
und für jeden Teil werden die zugehörigen Teiler verwendet. (act./act.)
Beispiel: 20. Dezember 2007 bis 20. Januar 2008: 31 Tage, aufgeteilt in 11 Tage / 365 und
20 Tage / 366
1.2
Zinssatz
Der Zinssatz ist nun der in Prozent ausgedrückte Preis für geliehenes Kapital, also der Zins als
Prozentangabe.
Eine Zinssatz (auch Zinsrate genannt) bezieht sich immer auf eine bestimmte Zeiteinheit, beispielsweise spricht man von einer jährlichen Zinsrate von 6 %.
Die Konversionsperiode ist jenes Zeitintervall, an dessen Ende der Zins zum Kapital gutgeschrieben wird. Falls die Konversionsperiode mit der Zeiteinheit (wo also der Zins am Ende der
Zeiteinheit gutgeschrieben wird) identisch ist, handelt es sich um einen effektiven Zinssatz.
Falls die Konversionsperiode nicht mit der Zeiteinheit identisch ist, handelt es sich um einen nominellen Zinssatz.
1.2.1
Effektiver Zinssatz
Der effektive Zinssatz beziffert die jährlichen und auf die nominale Kredithöhe bezogenen Kosten von Krediten. Er wird in Prozent angegeben. Bei Krediten, deren Zinssatz oder/und andere
preisbestimmende Faktoren sich während der Laufzeit ändern (können), wird er als anfänglicher
effektiver Jahreszins bezeichnet. Der Effektivzinssatz wird im Wesentlichen vom Nominalzinssatz, dem Auszahlungskurs (Disagio), der Tilgung und der Zinsfestschreibungsdauer bestimmt.
1.2.2
Nomineller Zinssatz
Beim Nominalzinssatz handelt es sich um einen vertraglich festgelegten Zinssatz, den ein Darlehensnehmer an den Darlehensgeber jährlich zu zahlen hat. Hinzu kommt natürlich der jeweils
vereinbarte Tilgungssatz, den der Darlehensgeber zu zahlen hat. Allerdings gilt: Nominalzinssatz
und Tilgungssatz allein, geben keinen Aufschluss darüber, welchen Betrag der Darlehensnehmer
nun wirklich regelmäßig an das Kreditinstitut zu zahlen hat. Denn im Nominalzins sind weder die
Kreditnebenkosten, noch die verschiedenen Verrechnungsmethoden der Kreditinstitute, sowie ein
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VERSCHIEDENE ZINSSÄTZE
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eventuelles Disagio enthalten. Daher gibt der Nominalzinssatz keinen Aufschluss über die tatsächliche Kostenbelastung.
Die Kreditinstitute sind heutzutage verpflichtet nicht nur den Nominalzinssatz, sondern auch den
Effektivzins anzugeben. Denn der Effektivzinssatz berücksichtigt auch die Nebenkosten- und Berechungsmethoden.
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2.1
Verschiedene Zinssätze
Schatzzins
Man unterscheidet zwischen Bundesanleihen und Bundesschätzen. Bundesschätze sind Wertpapiere der Republik Österreich, deren Verkauf, im Unterschied zu Bundesanleihen, ausschließlich
über das Internet direkt bei der Republik erfolgt. Sie wurden speziell entwickelt, um dem Wunsch
der Konsumenten nach Sparen mit kurzen und längeren Bindungsfristen bei hohen Zinserträgen
und optimaler Sicherheit zu entsprechen.
Beim Kauf entscheidet man welche Laufzeit (1, 3, 6, 12 Monate, 2, 5 oder 10 Jahre) man für
die Veranlagung wählen möchten. Damit legt sich auch gleichzeitig den geltenden Zinssatz fest.
Dieser Zinssatz ist für die gesamte gewählte Laufzeit gleich. Die Zinssätze werden um 11.30 Uhr jeweils 3 Bankarbeitstage vor dem Tag, ab dem man Gültigkeit haben, auf bundesschatz.at bekannt
gegeben.
2.2
LIBOR/EURIBOR
London Interbank Offered Rate (auch LIBOR) ist der seit 1984 täglich festgelegte Referenzzinssatz im Interbankengeschäft, der an jedem Arbeitstag um 11:00 Uhr Londoner Zeit fixiert
wird. Es handelt sich um Sätze, welche die wichtigsten international tätigen Banken der British
Bankers’ Association (BBA) in London festlegen, zu denen sie am Markt Gelder von anderen
Banken aufnehmen beziehungsweise angeboten bekommen. LIBOR-Zinsen sind daher Angebotszinsen.
Die BBA hat 221 Kreditinstitute als Mitglieder unter andren auch die Deutsche Bank AG und die
Bank of China.
Der LIBOR wird für sehr kurze und monatliche, bis hinauf zu einjährigen Notierungen fixiert.
LIBOR-Zinssätze werden für 10 verschiedene Währungen berechnet, es handelt sich hierbei um
Australischer Dollar, Kanadischer Dollar, Schweizer Franken, Dänische Krone, Euro, Pfund Sterling, Yen, Neuseeland Dollar, Schwedische Krone und den US-Dollar.
Der BBA LIBOR wird für den Euro, hervorgehend aus der Formel für einfache Verzinsung, folgendermaßen berechnet: (Z . . . Habenzinsen, L . . . LIBOR-Zinssatz, K . . . Kapital und act . . . tatsächliche Anzahl der Tage)
Z=K·
L act
·
100 360
Bei der Berechnung ist auf die Währung zu achten, da das Bankjahr in Großbritannien 365 Tage
und nicht 360 Tage hat. Bei Veranlagungen von drei Monaten macht es nämlich einen Unterschied
ob es 88 oder 93 Tage (actual) sind.
Zu vergleichen mit dem LIBOR ist der EURIBOR. Der EURo InterBank Offered Rate
(kurz EURIBOR) ist der Zinssatz für Termingelder in Euro im Interbankengeschäft. Er hat den
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ANLEIHEN/BOND
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FIBOR (Frankfurt Interbank Offered Rate) als Referenzzinssatz bei Krediten und Anlageprodukten seit 1. Januar 1999 ersetzt.
Die Quotierung dieses Zinssatzes erfolgt durch repräsentative Banken (57 EURIBOR Panel-Banken),
die sich durch aktive Teilnahme am Euro-Geldmarkt auszeichnen. Dabei werden die jeweils höchsten und tiefsten Werte eliminiert (je 15 Prozent).
Für die Berechnung des EURIBOR übermitteln die Panel-Banken täglich Briefsätze, das sind
Sätze zu denen eine Bank Kredite anbietet, für Interbankenkredite an den Bildschirmdienst Bridge
Telerate nach Brüssel. Bridge Telerate errechnet dann aus den Angaben eine arithmetische Durchschnittszinsrate, die um 11 Uhr Brüsseler Zeit (MEZ) für die unterschiedlichen Laufzeiten weltweit
veröffentlicht wird.
Für die unterschiedlichen Fristigkeiten (1 Monat/3 Mo/6 Mo/9 Mo/12Mo) gibt es unterschiedliche
Zinssätze.
2.3
Nullkupon Zinsen
Nullkupon Zinsen oder auch Zero Rates sind Geschäfte, bei denen Zins- und Zinseszins erst
am Ende der Laufzeit gezahlt werden.
3
Anleihen/Bond
3.1
Allgemeines
Eine Anleihe oder Bond ist eine in- oder ausländische, festverzinsliche Schuldverschreibung.
Ebenso wie Aktien sind auch Anleihen Wertpapiere, die normalerweise an der Börse gehandelt
werden. Sie sind formal gleich aufgebaut: Der Mantel verbrieft das Hauptrecht des Inhabers, der
Bogen verbrieft Nebenrechte wie z.B. Zinsansprüche. Doch im Gegensatz zum Inhaber von Aktien
besitzt der Inhaber einer Anleihe damit keine Besitzrechte. Eine Anleihe ist eine Schuldverschreibung, die zu einem festgelegten Satz verzinst wird.
Anleihen werden ausgegeben
• von der öffentlichen Hand (Bundes-, Länder- u.a. Anleihen, Bundesschatzbriefen);
• von öffentlich rechtlichen Kreditinstituten und Banken (Pfandbriefe, Kommunalobligationen,
Bankschuldverschreibungen);
• von der gewerblichen Wirtschaft (Industrieobligationen).
Je nach Sitz des Ausstellers unterscheidet man zwischen Inlandsanleihen und Auslandsanleihen.
Je nach Währung der Schuldverschreibung gibt es Euro-Anleihen oder Währungsanleihen.
Der Nutzen für den Emittenten (Anleihe ausgebende Unternehmen, Geldinstitute, Kommunen
usw) besteht natürlich darin, dass er Geld bekommt. Die Gesamtheit der Anleihen Inhaber gewährt
ihm sozusagen einen Kredit für seine Projekte. So werden Anleihen herausgegeben zur Finanzierung von bestimmten Investitionen oder auch von Organisationen auf nationaler oder internationaler Ebene. Der Emittent verpflichtet sich im Gegenzug, dem Anleger das geliehene Geld zu
einem bestimmten Zeitpunkt mit einer vorher festgelegten Verzinsung zurückzuzahlen.
3.2
Nullkupon Bond
Eine Nullkuponanleihe auch Nullkupon Bond oder Zero-Bond ist die Bezeichnung für eine Anleihe ohne Zinsschein (Kupon). Hierbei gibt es keine Zinszahlungen während der Laufzeit. Dafür
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FORWARD ZINSEN
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ergibt sich für den Anleger der Ertrag aus der Differenz zwischen Rückzahlungskurs und Emissionskurs. Dementsprechend kostet ein Zero-Bond je nach Laufzeit oft nur zwischen 20 und 50
Prozent des Nennwertes. Am Ende der Laufzeit wird der Nennwert d.h. die vollen 100 % zurückgezahlt.
Der Vorteil einer solchen Anleihe ist, dass sich der Anleger auch keine Gedanken über die Wiederanlage der Erträge machen muss, da es während der Laufzeit der Anleihe zu keiner Auszahlung
kommt.
3.3
Kupon Bond
Kupon Bonds sind Anleihen mit Zinsansprüchen, die durch den Kupon verbrieft sind.
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Forward Zinsen
Unter dem Terminzins (auch forward rate oder Forward Zinsen) versteht man den Zinssatz,
welcher für Kapitalanlagen fällig wird, deren Laufzeit nicht sofort, sondern an einem bestimmten
Zeitpunkt in der Zukunft beginnt und eine bestimmte Laufzeit hat. Es ist derjenige Zinssatz, der
heute für eine Mittelanlage oder Kreditaufnahme im Zeitpunkt s für die Frist t − s vereinbart
wird. Man spricht dann von einem Zinssatz s gegen t Monate. Somit erfolgt die Mittelanlage in s
bis t.
Die Notierung des Terminsinssatzes ist üblicherweise rs,t wobei s der Start der Laufzeit und t das
Ende der Laufzeit ist.
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Forward Rate Agreement
Unter einen Forward Rate Agreement (auch FRA) werden Vereinbarungen zwischen zwei Parteien mit unterschiedlichen Zinsinteressen bzw. Zinserwartungen verstanden, die sich gegen künftige Zinsschwankungen absichern wollen. Sie legen zum Zeitpunkt t0 für eine bestimmte Periode
t1 − t2 einen Zinssatz fest und ermitteln zum Zeitpunkt t1 die Differenz zwischen dem festgelegten
und dem aktuellen Zinssatz. Liegt der aktuelle Zinssatz zum Zeitpunkt t1 über dem festgelegten
Zinssatz, erhält der Käufer die Ausgleichszahlung. Liegt er hingegen darunter; erfolgt die Zahlung
an den Verkäufer des FRA.
Ein FRA ist ein außerbörsliches Zinstermingeschäft. Innerhalb dieses Termingeschäfts vereinbaren
die Vertragspartner im voraus für einen bestimmten Betrag einen Zinssatz für eine in der Zukunft
liegende Periode (Referenzperiode, deren Beginn in der Zukunft liegt) und ein zugrunde liegendes Nominalvolumen. Ein Kapitaltransfer erfolgt nicht. Die Gesamtlaufdauer eines FRA beträgt
höchstens 24 Monate und gliedert sich in eine Vorlaufzeit (beträgt mindestens einen Monat) und
die daran anschließende Referenzperiode (läuft über maximal (12 Monate). Längere Zinsperioden
können durch Verknüpfung mehrerer FRA’s abgesichert werden.
FRA’s werden in den unterschiedlichsten Laufzeiten gehandelt. Dabei wird die Kontraktzeit z. B.
durch 3 gegen 6 Monate, 1 gegen 9 Monate, 6 gegen 12 Monate ausgedrückt. Der Kontrakt 3 gegen
6 Monate bedeutet z. B., dass die Vertragspartner eine Zinssatz (Kontraktzinssatzt) für einen 3
Monats-Zeitraum (Vorlaufzeit) mit Laufzeitbeginn in 3 Monaten (4. bis 6. Monat) vereinbaren.
Zwei Banktage vor dem Datum des Zinslaufbeginns (Beispiel: Anfangs des 4. Monats) wird auf
der Basis eines vereinbarten Referenzzinssatzes der dem Geschäft zugrunde liegende Marktzinssatz ermittelt und die sich ergebende Differenz zum Kontraktzins zwischen den Vertragspartnern
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FORWARD RATE AGREEMENT
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ausgeglichen. Da die Zinsdifferenz vor Beginn der vereinbarten Laufzeit entrichtet wird, erfolgt
eine Diskontierung. Forward Rate Agreements sind demnach vorwiegend Hedginginstrumente
durch deren Einsatz sich der Käufer gegen das Risiko steigender Zinsen, der Verkäufer gegen das
Risiko sinkende Zinsen absichern kann.
Dem internationalen FRA-Handel liegen im Regelfall die Bedingungen der British Banker’s Association for Forward Rate Agreements (FRABBA terms) zugrunde.
FRA’s ermöglichen die Begrenzung des Zinsänderungsrisikos ohne Einfluß auf die Liquiditätsposition. Das Kontrahentenrisiko ist auf die Höhe der Zinsausgleichszahlung begrenzt. Im Vergleich
zu Financial Futures bieten die FRA’s die Vorteile der größeren Flexibilität, des Fehlens von Einschußverpflichtungen und der maßgeschneiderten Gestaltung entsprechend der Zinsinkongruenzen
und Zinserwartungen.
Neben der Nutzung des Forward Rate Agreement als Hedging-Instrument ist aber auch die Nutzung als spekulatives Instrument denkbar, indem mit Abschluß eines FRA zugleich eine offene
Position gehalten wird.
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6
LITERATURVERZEICHNIS
8
Literaturverzeichnis
1. Hans U. Gerber. Lebensversicherungsmathematik. Springer, Berlin, 1986.
2. Stefan Ebenfeld. Grundlagen der Finanzmathematik. Schäffer-Poeschel Verlag, Stuttgart,
2007.
3. Anton Timpe. Einführung in die Finanz- und Versicherungsmathematik. Springer, Berlin,
1934.
4. Markus Fulmek. Finanzmathematik. Skriptum, Universität Wien, 2005.
5. Hansjörg Albrecht. Finanz- und Versicherungsmathematik 1. Skriptum, TU Graz, 2006.
6. bundesschatz.at, www.bundesschatz.at
7. Wirtschaftslexikon24.net, www.wirtschaftslexikon24.net
8. Österreichische Nationalbank, www.oenb.at