Lektion 1. Beschreibung parametrisierter Flächen

Differentialgeometrie II (Flächentheorie)
WS 2013-2014
Lektion 1
16. Oktober 2013
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Daria Apushkinskaya
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Flächentheorie:
Lektion 1
16. Oktober 2013
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Organisatorisches
Allgemeines
Dozentin: Dr. Darya Apushkinskaya
[email protected]
Geb. E2 4, Zi. 433
Sprechstunde: Fr. 10:30-11:30 Uhr oder nach Vereinbarung
Übungsleiterin: Tina Rohrbacher
[email protected]
Informationen zur Vorlesung:
http://www.math.uni-sb.de/ag/fuchs/ag-fuchs.html
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Flächentheorie:
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Organisatorisches
Übungsbetrieb
Übungsbetrieb:
Übungsblätter: mittwochs auf der Vorlesungswebseite (ab dem
23.10.2013)
Abgabe: 1 Woche später mittwochs vor der Vorlesung
Abgabe in Teams bis zu 2 Personen
Übungen werden korrigiert und mit Punkten bewertet
1. Übungstermin: Mo. 04.11.13
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Organisatorisches
Klausurzulassung
Voraussetzungen für die Klausurzulassung:
50% der Übungspunkte
maximal zwei Blätter weniger als 25 %
aktive Teilnahme an den Übungen
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Organisatorisches
Klausuren
Klausuren:
Je nach Teilnehmerzahl werden eine mündliche Prüfung oder eine
Abschlussklausur angeboten
oder
Ohne Abschlussprüfung. Abschlussnote ergibt sich aus den Noten
der Präsenzübungen und aus den Punkten der Übungsblätter
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Organisatorisches
Vorlesungsthemen
Vorlesungsthemen:
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1
Elementare Konzepte wie der Begriff der Tangentialebene,
Beispielflächen;
2
Definition und Eigenschaften der Gauß-Abbildung;
3
Krümmungsbegriffe für Flächen;
4
Flächen als zweidimensionale Mannigfaltigkeit in R3 ;
5
Die innere Geometrie von Flächen;
6
Globale Aussagen der Flächentheorie.
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Organisatorisches
Script
Script:
Es ist geplant, ein Script im Nachgang zur Vorlesung online bereit zu
stellen.
Dies ist keine Fernstudiumsveranstaltung!!!
Script und Webseite ersetzen nicht den Vorlesungsbesuch!!!
In der Vorlesung und in den Übungen können jederzeit zusätzliche
wesentliche Informationen gegeben werden, die nicht online abrufbar
sind. Es ist in Ihre Verantwortung gestellt, sich diese Informationen zu
verschaffen.
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Organisatorisches
Maple
Maple:
Gelegentlich wird es sich anbieten, Beispiele und
Übungsaufgaben mit dem Computeralgebrasystem MAPLE
anzusehen und zu bearbeiten.
Auf den Rechnern des CIP-Pools läuft neuerdings die aktuelle
Version MAPLE 17.
Die Campuslizenz der Universität für MAPLE erlaubt seit kurzem
auch Studierenden, kostenlos MAPLE zu beziehen und auf ihren
persönlichen Computern zu installieren. Informationen hierzu
erhalten hier
https://unisb.asknet.de/cgi-bin/product/P11605
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Organisatorisches
Literatur
Literatur:
Manfredo P. do Carmo,
Differentialgeometrie von Kurven und Flächen.
Braunschweig; Wiesbaden : Vieweg, 1998.
Cristian Bär,
Elementare Differentialgeometrie.
de Gruyter, 2010.
Jost-Hinrich Eschenburg und Jürgen Jost,
Differentialgeometrie und Minimalflächen.
Springer, Berlin ; Heidelberg [u.a.], 2007.
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§1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe
§1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe
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§1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe
Die Theorie differenzierbarer Kurven fasst die Kurven als
Abbildungen
α : R ⊃ I → R2 oder R3
auf.
Wir übertragen diesen Standpunkt sinngemäß auf Flächen und
betrachten zunächst global parametrisierte Flächen.
Später erweitern wir diese Vorstellung und definieren Flächen als
Punktmengen in R3 , die lokal parametrisiert werden können.
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§1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe
Definition 1.1 (parametrisierte Flächen)
Sei Ω ⊂ R2 offen.
a) Eine (beliebig oft) differenzierbare Abbildung X : Ω → R3 heißt
parametrisiertes Flächenstück bzw. Fläche, falls gilt
(1) Für alle (u, v ) ∈ Ω hat die Ableitung
DX (u, v ) : R2 → R3
maximalen Rang (= 2).
(2) X ist injektiv und X −1 : X (Ω) → Ω ist stetig.
b) Der Untervektorraum DX (u, v ) R2 heißt in diesem Fall
Tangentialebene an X in (u, v ), seine Elemente heißen
Tangentenvektoren an X in (u, v ).
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§1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe
Bemerkungen
DX (u, v ) wird repräsentiert durch die Matrix (Xu Xv )(u, v ) mit den
Vektoren
∂X
∂X
Xu :=
und Xv :=
.
∂u
∂v
Die Rangbedingung besagt, dass Xu und Xv an jeder (u, v ) des
Parametergebiets Ω linear unabhängig sind.
Man schreibt T(u,v ) X für die Tangentialebene und hat die
Darstellung
T(u,v ) X = {λXu (u, v ) + µXv (u, v ) : λ, µ ∈ R} .
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§1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe
Bemerkung
Sei (u0 , v0 ) fixiert in Ω, ξ := X (u0 , v0 ) ∈ R3 .
Man setzt
n
o
e(u ,v ) X := α0 (0) : α : (ε, ε) → R3 Kurve mit Spur α ⊂ X (Ω), α(0) = ξ ,
T
0 0
d.h. man betrachtet die Tangentenvektoren an Kurven mit Spur in
X (Ω) durch ξ.
Dann
e(u ,v ) X .
T(u0 ,v0 ) X = T
0 0
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§1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe
Bemerkung
Der Satz über die inverse Abbildung liefert bei entsprechender
Anwendung, dass X : Ω → R3 alleine mit a) (1) zumindest lokal injektiv
ist und lokal eine stetige Inverse hat.
Das bedeutet nicht die globale Inejktivität von X , die Fläche kann
Selbstdurchschneidungen haben, was wir mit a) (2) ausschließen.
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§1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe
Beispiel: parametrisierte Ebene
Beispiel: parametrisierte Ebene
Seien A, B, C ∈ R3 und X : R2 3 (u, v ) 7→ C + uA + vB.
Dann ist DX (u, v ) = (AB), also: Rg DX (u, v ) = Rg (AB), und der Rang
ist maximal genau dann, wenn A und B linear unabhängig sind.
Nehmen wir dies an, so ist X natürlich injektiv, also eine
parametrisierte Fläche.
Offenbar gilt
Bild (X ) = {uA + vB + C : u, v ∈ R} = affine Hyperebene durch C.
An jeder Stelle (u, v ) ist dagegen
T(u,v ) X = {λA + µB : λ, µ ∈ R} ,
denn Tangentialebenen gehen per Definition immer durch 0 ∈ R3 .
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§1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe
Beispiele: parametrisierte Graphen
Beispiele: parametrisierte Graphen
Es sei Ω ⊂ R2 offen und f : Ω → R differenzierbar.
Wir definieren die Graphenabbildung
X : Ω 3 (u, v ) 7→ (u, v , f (u, v )) .
Dann ist X eine parametrisierte Fläche im Sinne der Definition 1.1.
Differenzierbarkeit und Injektivität sind klar.
∂f
∂f
Xu = 1, 0, ∂u
und Xv = 0, 1, ∂v
, so dass Xu und Xv überall
l.u. sind.
Für die Tangentialebene gilt
∂f
∂f
T(u,v ) X = λ 1, 0,
+ µ 0, 1,
: λ, µ ∈ R
∂u
∂v
∂f
∂f
=
λ, µ, λ
+µ
: λ, µ ∈ R
∂u
∂v
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Beispiele: parametrisierte Graphen
Beispiele-Fortsetzung
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§1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe
Beispiele: parametrisierte Graphen
Beispiele - Fortsetzung
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§1. Beschreibung parametrisierter Flächen - Grundbegriffe
Beispiele: parametrisierte Graphen
Definition 1.2 (Umparametrisierung)
Sei X : Ω → R3 eine Fläche.
e ⊂ R2 offen und ϕ : Ω
e → Ω ein Diffeomorphismus, so heißt
Ist Ω
e :Ω
e → R3 ,
X
e = X ◦ ϕ,
X
die mit ϕ umparametrisierte Fläche.
Ist Det (Dϕ) > 0, so heißt die Umparametrisierung orientierungstreu.
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Lektion 1
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