1 Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden

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Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg)
Berufliche Gymnasien ohne TG – Analysis, Aufgabe 1
1.1 (7 Punkte)
Das Schaubild P einer Polynomfunktion dritten Grades hat den Wendepunkt W(-4/-4) und bei
x = -2 einen Extrempunkt.
Die Normale von P in W schneidet die x-Achse an der Stelle x = 8.
Bestimmen Sie den zugehörigen Funktionsterm.
1.2
Für jedes k ∈ ist G k das Schaubild von gk mit
1
gk ( x ) = x( x − 2k ) 2 ; x ∈ 4
1.2.1 (8 Punkte)
Welche der folgenden Schaubilder könnten zu einer Funktion gk gehören, welche nicht ?
Begründen Sie Ihre Entscheidung und ermitteln Sie gegebenenfalls den zugehörigen Wert
von k.
Schaubild 1
Schaubild 3
Schaubild 2
Schaubild 4
1
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1.2.2 (7 Punkte)
Bestimmen Sie die Ortskurve der Tiefpunkte aller G k mit k < 0.
1.3
Für jedes t ∈ ist die Funktion f t gegeben durch
f t ( x ) = ( t − x 2 ) ⋅ e − x , x ∈ Das Schaubild von f t heißt K t .
1.3.1 (11 Punkte)
Zeichnen Sie K 4 .
Die Schnittpunkte von K 4 mit der x-Achse und der Punkt P(u / f 4 (u)) mit -2 < u < 2 sind die
Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie u so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks
maximal wird.
Um wie viel Prozent weicht der Flächeninhalt dieses größten Dreiecks vom Inhalt der Fläche
ab, die von K 4 und der x-Achse eingeschlossen wird ?
1.3.2 (5 Punkte)
Die Tangente an K 4 im Schnittpunkt von K 4 mit der y-Achse, die x-Achse und die Gerade
mit der Gleichung x = c begrenzen ein Dreieck.
Berechnen Sie einen Wert von c so, dass das Dreieck den Flächeninhalt 8 hat.
1.3.3 (7 Punkte)
Für welche Werte von t hat K t zwei Punkte mit der x-Achse gemeinsam ?
Ermitteln Sie für diese Werte von t den Abstand dieser beiden Punkte.
Für welche Werte von t hat K t zwei Extrempunkte ?
2
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Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg)
Berufliche Gymnasien ohne TG – Analysis, Aufgabe 2
2.1
Für jedes t > 0 ist die Funktion f t gegeben durch
1
f t ( x ) = − x 4 + x 3 − x ; x ∈ t
Das Schaubild von f t heißt K t .
2.1.1 (9 Punkte)
Zeichnen Sie K 4 .
Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Wendetangenten von K 4 exakt.
2.1.2 (7 Punkte)
Die erste und die zweite Winkelhalbierende sowie die Gerade mit der Gleichung y = 3x-4
begrenzen ein Dreieck.
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
In welchem Verhältnis teilt K 4 diese Dreiecksfläche ?
2.1.3 (6 Punkte)
Für welche Werte von t hat K t einen Wendepunkt mit positiver Steigung ?
2.1.4 (5 Punkte)
Prüfen Sie, ob es ein t gibt, so dass die Gerade mit der Gleichung y = -x das Schaubild K t
senkrecht schneidet.
2.2 (8 Punkte)
Eine Polynomfunktion h hat folgende Eigenschaften:
(1) h(0) = 2
(2) h′( x ) = 0 für x = -4 und für x = 2
(3) h′( x ) ≥ 0 für x ≤ 2
(4) h′′( x ) > 0 für -4 < x < 0
Welche Bedeutung hat jede einzelne Eigenschaft für das Schaubild von h ?
Skizzieren Sie ein mögliches Schaubild von h.
2.3
Für jedes k > 0 ist die Funktion gk gegeben durch
gk ( x ) = cos(kx ) + 2k ; x ∈ Ihr Schaubild ist Gk
2.3.1 (4 Punkte)
Bestimmen Sie die exakten Koordinaten der Hoch- und Wendepunkte des Schaubilds G 3 im
Bereich − 0,5 ≤ x ≤ 2,5 .
2.3.2 (6 Punkte)
Welche Auswirkungen hat eine Vergrößerung von k auf das Schaubild ?
Wie muss k gewählt werden, damit die Funktion gk die Periode 4 hat ?
Für welche Werte von k besitzt die Funktion gk Nullstellen ?
3
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Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg)
Berufliche Gymnasien ohne TG – Anwendungsorientierte Aufgabe
Teil 3, Aufgabe 1
1
Nach einem Unfall auf einer Autobahn wird die Überholspur gesperrt. Der Verkehr
rollt auf der anderen Fahrspur mit verminderter Geschwindigkeit an der Unfallstelle
vorbei. Infolge des hohen Verkehrsaufkommens bildet sich ein Stau mit zunächst
zunehmender Länge. Nachdem die Unfallstelle geräumt ist, löst sich der Stau
allmählich wieder auf.
Die Anzahl der Fahrzeuge, die pro Minute in den Staubereich hineinfahren, ist q1 .
Die Anzahl der pro Minute aus dem Staubereich herausfahrenden Fahrzeuge ist q 2 .
Die folgende Tabelle zeigt den Fahrzeugfluss q = q1 − q 2 in Abhängigkeit von der Zeit
t. In einer vereinfachten Betrachtung gibt q die Zahl der Fahrzeuge pro Minute an, um
die sich die Staulänge verändert.
t (Minuten)
q (Anzahl der
Fahrzeuge pro Minute)
0
5
13,5 9,6
10
5
15
0
20
-5
30
-13,5
40
-17,5
50
-14
60
0
Zu Beginn der Messung stehen 405 Fahrzeuge im Stau, 60 Minuten später hat sich
der Stau aufgelöst.
1.1
Stellen Sie q in Abhängigkeit von t grafisch dar.
Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge ihr Maximum erreicht, und den
Zeitpunkt, zu dem sich der Stau am schnellsten abbaut.
Skizzieren Sie in einem Koordinatensystem die Anzahl der Fahrzeuge im Stau in
Abhängigkeit von der Messzeit. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.
(8 Punkte)
1.2
Die zeitliche Entwicklung des Fahrzeugflusses während der Messzeit kann durch
folgende Funktion q beschrieben werden:
q( t ) = a ⋅ ( t + 30 )( t − b)( t − c ) mit t ∈ [0 ; 60].
Bestimmen Sie die Konstanten a, b und c anhand der obigen Tabelle.
(3 Punkte)
1.3
Die zeitliche Entwicklung des Fahrzeugflusses wird durch die Funktion q mit
q( t ) = 0,0005 t 3 − 0,0225 t 2 − 0,675 t + 13,5 ; t ∈ [0 ; 60] beschrieben.
Wie viele Fahrzeuge stehen 40 Minuten nach Messbeginn im Stau ?
(4 Punkte)
-------------15 Punkte
1
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Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg)
Berufliche Gymnasien ohne TG – Anwendungsorientierte Aufgabe
Teil 3, Aufgabe 2
2
In Cuxhaven wurden am 16.10.2007 vom Bundesamt für Seeschifffahrt und
Hydrographie folgende Wasserstände gemessen.
t
h
0
552
2
650
4
666
6
561
8
450
10
385
12
533
14
647
16
675
18
588
20
474
22
403
h ist der Wasserstand (in cm über Pegelnull) zur Uhrzeit t. Dabei entspricht t = 0 der
Uhrzeit 0:00 Uhr um 16.10.2007.
2.1
Stellen Sie den Wasserstand in Abhängigkeit von der Zeit grafisch dar.
(3 Punkte)
2.2
Der Zusammenhang zwischen Wasserstand und Zeit soll durch eine periodische
Funktion beschrieben werden.
Bestimmen Sie einen passenden Funktionsterm.
(2 Punkte)
2.3
Verwenden Sie die in Aufgabenteil 2.2 bestimmte Funktion.
2.3.1
Um wie viel weicht die Periode von 12 Stunden ab ?
Um wie viel Uhr ist der Wasserstand am 16.10.2007 zum ersten Mal höchsten ?
Wie lange überschreitet der Wasserstand am 16.10.2007 die 6-m-Marke ?
(5 Punkte)
2.3.2
Um wie viel cm pro Minute steigt das Wasser höchstens ?
Um wie viel Uhr war am 20.10.2007 mit dem ersten höchsten Wasserstand zu
rechnen ?
(5 Punkte)
--------------(15 Punkte)
1
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Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg)
Berufliche Gymnasien ohne TG – Anwendungsorientierte Aufgabe
Teil 3, Aufgabe 3
3
Abbildung 1
Abbildung 2
Die Abbildung 1 zeigt eine Glasschalenlampe mit Schwimmdocht. Bei dieser
Lampenart wird auf das Öl ein schwimmfähiger Docht gesetzt.
Zur Kühlung wird das Öl mit Wasser unterschichtet.
Die Abbildung 2 zeigt den Längsschnitt der rotationssymmetrischen Glasschale.
Der Längsschnitt besteht aus einem Kreisbogen AOB mit dem Mittelpunkt M, an den
sich in A und B die Strecken AD und BC tangential anschließen.
Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
3.1
Zeigen Sie: Die tangential in B anschließende Gerade hat die Gleichung
y = 3 ⋅x−4.
(4 Punkte)
3.2
Die leere Schale wird bis zur Höhe des Punktes B mit Wasser gefüllt.
Wie viel Wasser befindet sich in der Schale ?
(3 Punkte)
3.3
Nun übergießt man das Wasser mit Pflanzenöl, bis die Dicke der Ölschicht 0,5 cm
beträgt. Wie viel Öl wird hierzu benötigt ?
(3 Punkte)
3.4
Um das Licht im Glas noch besser zur Geltung zu bringen, gibt man noch 50 ml
Wasser hinzu. Um wie viel cm wird das Schwimmlicht angehoben ?
(5 Punkte)
-------------15 Punkte
1
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Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG)
Hauptprüfung 2009 Teil 4, Lineare Optimierung, Aufgabe 1
Baden-Württemberg
1
Ein Unternehmen stellt auf einer Produktionsanlage Spezialschrauben der Sorten A, B und C
her. In der betrachteten Produktionsperiode steht die Produktionsanlage höchstens 4000
Zeiteinheiten (ZE) zur Verfügung und es können maximal 1800 Schrauben hergestellt
werden.
Zur Produktion der Schrauben benötigt man 1 ZE für eine Schraube der Sorte A, 2 ZE für
eine Schraube der Sorte B und 3 ZE für eine Schraube der Sorte C.
Der Gewinn je Schraube beträgt 4 Geldeinheiten (GE) für Sorte A, 5 GE für Sorte B und 6
GE für Sorte C.
Das Unternehmen möchte die Produktionsmenge der drei Sorten so wählen, dass maximaler
Gewinn erzielt wird.
1.1
Aus produktionstechnischen Gründen werden 880 Schrauben der Sorte C hergestellt.
Zeichnen Sie das Planungsvieleck.
Bestimmen Sie die optimalen Produktionsmengen der Sorten A und B.
(6 Punkte)
1.2
Bei einer neuen Produktionsanlage würde die Produktionsdauer für die Schrauben der Sorte
A halbiert werden. Alle anderen Bedingungen blieben erhalten.
Untersuchen Sie anhand Ihrer Zeichnung, ob sich der maximale Gewinn dadurch vergrößern
würde.
(2 Punkte)
1.3
Die alte Produktionsanlage wurde neu justiert. Es können nun maximal 1000 Schrauben der
Sorte C hergestellt werden. Alle anderen Bedingungen bleiben erhalten.
Berechnen Sie mittels des Simplexverfahrens eine Möglichkeit, die Produktionszahlen der
drei Schraubensorten so festzulegen, dass maximaler Gewinn erzielt wird. Geben Sie diesen
Gewinn an.
Woraus lässt sich schließen, dass es eine weitere Möglichkeit für die Festlegung der
Produktionszahlen geben könnte ?
(7 Punkte)
1
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Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG)
Hauptprüfung 2009 Teil 4, Lineare Optimierung, Aufgabe 2
Baden-Württemberg
2.1
Die Abbildung zeigt die Lösungsmenge einer Optimierungsaufgabe.
Stellen Sie mittels linearer Ungleichungen geeignete Restriktionen auf.
(4 Punkte)
2.2
In einem Betrieb werden die Produkte P1 und P2 auf den Maschinen A, B und C gefertigt.
Die Fertigungszeit pro Stück in Stunden und die maximalen Laufzeiten der Maschinen pro
Woche in Stunden sind der nachfolgenden Tabelle zu entnehmen.
Maschine A
Maschine B
Maschine C
Fertigungszeit P1
2
1
1
Fertigungszeit P2
1
1
3
Max. Laufzeit
120
70
150
Der Reingewinn für P1 beträgt 10 Euro pro Stück, für P2 15 Euro pro Stück.
2.2.1
Bestimmen Sie den maximalen Gewinn, wenn alle hergestellten Produkte verkauft werden.
Begründen Sie, dass es nicht möglich ist, alle Maschinen voll auszulasten.
(7 Punkte)
2.2.2
Gibt es Produktionsmengen, bei welchen die Maschinen A und C gleiche Laufzeiten haben
und die Maschine B vierzig Stunden weniger läuft als Maschine A ?
(4 Punkte)
-------------15 Punkte
1
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Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG, BTG)
Hauptprüfung 2009 Teil 2, Stochastik, Aufgabe 1
Baden-Württemberg
1
Ein Stapel von 9 Spielkarten enthält 2 Asse, die restlichen Karten sind Buben.
1.1
Es werden nacheinander zufällig drei Karten aus dem Stapel gezogen und nicht
zurückgelegt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die zweite gezogene Karte ein Bube ist.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die dritte gezogene Spielkarte ein Ass ist,
wenn man weiß, dass die zweite gezogene Karte ein Bube war ?
(5 Punkte)
1.2
Ihnen wird folgendes Glücksspiel angeboten:
Es werden drei Karten nacheinander gezogen. Nach jedem Zug wird die gezogene Karte
wieder in den Stapel gelegt und der Stapel wird neu gemischt. Für drei gezogene Asse
erhalten Sie den zehnfachen Einsatz ausbezahlt, für genau zwei gezogene Asse den
doppelten Einsatz und für genau ein gezogenes Ass den 1,5-fachen Einsatz.
Ist das Spiel bei einem Einsatz von 20 Cent fair ?
(6 Punkte)
1.3
Wie oft muss man aus dem Stapel eine Karte ziehen, damit man mit einer
Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% mindestens ein Ass erhält, wenn jede gezogene Karte
vor dem nächsten Zug wieder in den Stapel gelegt und der Stapel neu gemischt wird ?
(4 Punkte)
1
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Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG, BTG)
Hauptprüfung 2009 Teil 2, Stochastik, Aufgabe 2
Baden-Württemberg
2
Es wird mit drei verschiedenen Polyedern gespielt:
- einem Tetraeder, beschriftet mit 1, 2, 3 und 4.
- einem Hexaeder (Würfel), beschriftet mit 1, 2, 3, 4, 5 und 6
- einem Oktaeder, beschriftet mit 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 und 8
Die drei Polyeder werden gleichzeitig geworfen.
2.1
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A: Alle drei Polyeder zeigen die gleiche Zahl.
B: Genau zwei der drei Polyeder zeigen eine Eins.
(4 Punkte)
2.2
Für einen Einsatz von 60 Cent darf ein Spieler die drei Polyeder einmal werfen. Die Anzahl
der gewürfelten Einsen erhält er in Euro ausbezahlt.
Welchen Gewinn kann der Anbieter bei 100 Würfen erwarten ?
(6 Punkte)
2.3
Die Augensumme ist die Summe der drei gewürfelten Zahlen.
Jemand behauptet, dass die Augensumme 6 häufiger auftritt als die Augensumme 15, weil
die kleinen Zahlen auf den drei Polyedern häufiger vorkommen als die großen Zahlen.
Überprüfen Sie diese Behauptung.
(5 Punkte)
1
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Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG)
Hauptprüfung 2009 Teil 4, Vektorgeometrie, Aufgabe 1
Baden-Württemberg
1
Gegeben sind die Punkte A(-1/8/4), B(2/-7/-2) und für alle t ∈ die Punkte
C t ( t − 2 / t + 1/ t ) und D t ( t / 1 − t / 2t + 5) .
1.1
Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und B.
Bestimmen Sie den Punkt von g, der in der x 2 − x 3 -Ebene liegt.
Für welchen Wert von t legen die Punkte A, B und C t kein Dreieck fest ?
(6 Punkte)
1.2
Die Punkte A, B und C 0 legen eine Ebene fest.
Prüfen Sie, ob es ein t gibt, so dass D t in dieser Ebene liegt.
(4 Punkte)
1.3
Untersuchen Sie, wie groß der Abstand zwischen den Punkten C t und D t mindestens ist.
(5 Punkte)
-------------15 Punkte
1
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Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG)
Hauptprüfung 2009 Teil 4, Vektorgeometrie, Aufgabe 2
Baden-Württemberg
2.1
Für t ∈ ist das folgende lineare Gleichungssystem gegeben:
x1
tx 1
+ 4x 2
tx 2
+ 4tx 2
+ tx 3
+ 2x 3
+ 4tx 3
=
2
=
3t
= 3t − 4
2.1.1
Bestimmen Sie für t = 4 die Lösungsmenge des Gleichungssystems.
(3 Punkte)
2.1.2
Für welche Werte von t hat das lineare Gleichungssystem
- keine Lösung
- unendlich viele Lösungen
- genau eine Lösung ?
(4 Punkte)
2.2
Das Viereck ABCD ist der Grundriss einer Freilichtbühne (siehe Abb.).
Das Viereck ABCD liegt in der x 1x 2 -Ebene.
Die Bühne soll ein schräg stehendes, ebenes Dach erhalten, dessen Ecken sich senkrecht
über den Punkten A, B, C und D befinden.
Dazu werden an den Punkten A, B und C senkrechte Masten aufgestellt.
Die Masthöhen betragen 4m bei A, 2m bei B und 3m bei C.
2.2.1
Geben Sie eine Gleichung der Ebene an, in der das Dach liegt.
In welcher Höhe befindet sich die Ecke des Daches, die senkrecht über D liegt ?
(6 Punkte)
1
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2.2.2
Das Dach wird durch einen Balken getragen, der die oberen Enden der bei A und C
aufgestellten Masten verbindet.
Berechnen Sie die Länge des Balkens.
(2 Punkte)
-------------15 Punkte
2
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Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG)
Hauptprüfung 2009 Teil 4, Wirtschaftliche Anwendungen, Aufgabe 1
Baden-Württemberg
1
In einem Betrieb werden aus den Rohstoffen R 1 , R 2 , R 3 und R 4 die Bauteile B1 , B 2 und
B 3 und aus diesen die Endprodukte E1 , E 2 und E 3 gefertigt.
Der Materialfluss ergibt sich aus folgenden Tabellen, wobei die Rohstoffe in ME, die Bauteile
und Endprodukte in Stück angegeben sind:
B1
B2
B3
R1
2
4
4
R2
1
3
5
R3
2
4
8
R4
5
1
3
Die Rohstoffkosten in € je ME betragen k R
die Fertigungskosten in € je Bauteil k B
T
T
B1
E1
1
E2
4
E3
x
B2
B3
2
2
2
0
y
z
= (20 50 30 40 ) ,
= (180 120 200 ) ,
die Fertigungskosten in € je Endprodukt k E
T
= (670
360 620 ) .
1.1
Die folgende unvollständige Tabelle gibt an, wie viele ME der Rohstoffe R 2 , R 3 und R 4 für
ein Stück E 3 benötigt werden.
E1
E2
E3
R1
…
…
…
R2
…
…
16
R3
…
…
26
R4
…
…
22
Berechnen Sie die Werte von x, y, z in der Bauteil-Endprodukt-Tabelle und die fehlenden
Werte in der Rohstoff-Endprodukt-Tabelle.
(4 Punkte)
1.2
Im Lager befinden sich noch 100 ME von R 1 , 80 ME von R 2 und je 50 Bauteile B1 und B 2 .
Wie viele ME der einzelnen Rohstoffe und wie viele Bauteile sind nach der Produktion von
10 Stück von E1 und 12 Stück von E 2 im Lager, wenn alle vorhandenen Materialien
verwendet werden ?
Wie viele ME der einzelnen Rohstoffe müssen bestellt werden ?
(4 Punkte)
1
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1.3
Ein Kunde erteilt einen Auftrag über 5 Stück von E1 , 10 Stück von E 2 und 11 Stück von E 3 .
Es fallen Fixkosten in Höhe von 4750 € an.
Wie hoch müssen die Stückpreise für E1 , E 2 und E 3 sein, damit der Gewinn 10% der
Gesamtkosten beträgt und die Stückpreise im selben Verhältnis wie die variablen
Herstellkosten je Stück der Endprodukte stehen ?
(7 Punkte)
--------------15 Punkte
2
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Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG)
Hauptprüfung 2009 Teil 4, Wirtschaftliche Anwendungen, Aufgabe 2
Baden-Württemberg
2
Ein Pharmaunternehmen stellt Brause- und Filmtabletten her.
Als Rohstoffe werden Geschmackstoff (GS), Natriumhydrogencarbonat ( NaHCO 3 ),
Calciumchlorid ( CaCl 2 ) und Trägermaterial (TM) verwendet.
Die Tabletten werden in drei verschiedenen Auslieferungseinheiten A 1 , A 2 und
A 3 angeboten.
Das Diagramm zeigt die quantitativen Zusammenhänge zwischen den Rohstoffen in
Mengeneinheiten (ME) je Tablettenpackung und zwischen den Tablettenpackungen in Stück
je Auslieferungseinheit.
2.1
Erstellen Sie die Tabelle, die den Rohstoffbedarf pro Auslieferungseinheit angibt.
(3 Punkte)
2.2
Die Rohstoffkosten in Geldeinheiten (GE) pro ME sind folgender Tabelle zu entnehmen.
GS
Rohstoffkosten je ME
0,001
NaHCO 3
0,005
CaCl 2
0,002
TM
0,003
Die Fertigungskosten für eine Packung Brausetabletten betragen 0,2 GE und die
Fertigungskosten für eine Packung Filmtabletten betragen 0,4 GE.
Die Versandkosten je Auslieferungseinheit sind für A 1 um 5 GE höher als für A 3 .
Die Versandkosten je Auslieferungseinheit sind für A 2 um 3 GE höher als für A 3 .
Zusätzlich hat das Unternehmen Fixkosten von 275 GE.
Der Erlös je Auslieferungseinheit beträgt 160 GE für A 1 , 53 GE für A 2 und 10 GE für A 3 .
Der Auftrag besteht aus 2 Auslieferungseinheiten A 1 , 5 Auslieferungseinheiten A 2 und 15
Auslieferungseinheiten A 3 .
Berechnen Sie die Versandkosten bei einem Gewinn von 119,45 GE.
(8 Punkte)
1
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2.3
Das Pharmaunternehmen erhält einen Auftrag über 3 Auslieferungseinheiten A 1 und 7
Auslieferungseinheiten A 2 .
Am Lager befinden sich 510 ME von GS, 2550 ME von NaHCO 3 und 13620 ME von CaCl 2 .
Trägermaterial wird dem Bedarf entsprechend zugekauft.
Von den restlichen Rohstoffen sollen Auslieferungseinheiten A 3 hergestellt werden.
Wie viele Auslieferungseinheiten A 3 können zusammengestellt werden und wie viele ME
Trägermaterial werden benötigt ?
(4 Punkte)
--------------15 Punkte
2