Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik

Transcription

Baudynamik
Christian Bucher
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik
Institut für Hochbau und Technologie
Technische Universität Wien
Letzte Überarbeitung: 4. März 2015
2. Vorlesung: 9. März 2015
Modalanalyse
Bewegungsgleichung
Klassische Modalanalyse
Modale Dämpfung
Software slangTNG
http://info.tuwien.ac.at/bucher/Private/slangTNG.html
MacOS
WIN32
Linux
iOS
2
c Christian Bucher 2007-2015
Systeme mit mehreren Freiheitsgraden
Beispiel: System mit 2 Freiheitsgraden
x1(t)
f1(t) k
k1
x2(t)
f2(t)
2
m
m
c1
c2
Dynamische Gleichgewichtsbedingungen
x1 f1(t)
k1 x1
c1ẋ1
m1ẍ1
x2
k2(x2 − x1)
c2(ẋ2 − ẋ1)
f2(t)
m2ẍ2
Anordnung in Matrix-Vektor-Form
m1 0
ẍ1
c1 + c2 −c2
ẋ1
+
+
0 m2
ẍ2
−c2
c2
ẋ2
k1 + k2 −k2
x1
f1 (t)
+
=
−k2
k2
x2
f2 (t)
3
Allgemeine Form
Für n Freiheitsgrade
Mẍ + Cẋ + Kx = f(t);
x(0) = x0 ;
ẋ(0) = v0
(1)
x . . . Verschiebungsvektor, Größe n
f . . . Kraft-(Last-)vektor, Größe n
M . . . Massenmatrix, (n × n)
C . . . Dämpfungsmatrix (n × n)
K . . . Steifigkeitsmatrix(n × n)
Alle Matrizen sind symmetrisch and positiv semi-definit (M ist
streng positiv definit)
4
Interpretation der Systemmatrizen
Elemente sind Kräfte infolge kinematischer Einheitsgrößen
Kjk . . . Kraft am Freiheitsgrad j infolge einer Einheitsverschiebung
am Freiheitsgrad k
Cjk . . . Kraft am Freiheitsgrad j infolge einer
Einheitsgeschwindigkeit am Freiheitsgrad k
Kjk . . . Kraft am Freiheitsgrad j infolge einer
Einheitsbeschleunigung am Freiheitsgrad k
Zufolge Maxwell-Betti können die Indizes j and k vertauscht werden
Die Matrizen K and M können aus einem Finite-Elemente-Modell
erstellt werden
Die Bestimmung von C erfolgt meist auf der Grundlage
experimenteller Daten
5
Klassische Modalanalyse (1)
Ziel ist dieReduktion der Bewegungsgleichungen (System
gekoppelter Differentialgleichungen in eine einfache lösbare Form)
Einfachste Form: vollständig entkoppelte Gleichungen
Zu jedem Paar symmetrischer und positiv definiter Matrizen K und
M der Größe n × n existiert eine nicht-singuläre Matrix Φ der
Größe n × n (Modalmatrix) mit den Eigenschaften
Φ = I;
Φ T MΦ
6
Φ = diag(ωk2 );
Φ T KΦ
k = 1...n
(2)
Die Spalten φk der Modalmatrix Φ sind Lösungsvektoren des
Eigenwertproblems
K − ωk2 M φk = 0; k = 1 . . . n
(3)
Eine nicht-triviale Lösung kann nur dann existieren, wenn
det K − ωk2 M = 0
(4)
Klassische Modalanalyse (2)
ωk . . . Eigenkreisfrequenzen, φk . . . Eigenschwingungsformen (mode
shapes)
Nun wird eine lineare Transformation auf Grundlage der
Modalmaatrix eingeführt:
x = Φ y;
ẍ = Φ ÿ
(5)
Setzt man dies in die Bewegungsgleichung (1) ein und multipliziert
man von links mit Φ T , so entsteht
Φÿ + Φ T KΦ
Φy = Φ T f(t) = g(t)
Φ T MΦ
Die Gleichungen für die neuen Variablen y sind entkoppelt
ÿk + ωk2 yk = gk (t);
k = 1...n
(6)
Die zugehörigen Anfangsbedingungen ergeben sich durch Inversion
von (5)
y = Φ −1 x
(7)
→ y0 = Φ T Mx0 ;
ẏ0 = Φ T Mv0
(8)
7
Beispiel - ebener Rahmen (1)
Modell mit linear-elastischen, beidseitig eingespannten Stützen und
starren Deckenplatten
m
EI
H
x2
EI
2m
EI
H
x1
EI
Systemmatrizen
M=m
8
2
0
0
;
1
K=
12EI
H3
4
−2
−2
2
Die charakteristische Gleichung (4) ist
12EI
4 −2
2
det
− mω 2
−2
2
0
H3
Mit der dimensionslosen Variablen µ =
det
4
−2
−2
2
−µ
2
0
0
1
=0
mω 2 H 3
12EI
4 − 2µ
0
−2 = =0
1
−2
2 − µ
Entwicklung der Determinante
µ2 − 4µ + 2 = 0
Lösungen
µ1,2 = 2 ∓
√
2
9
Eigenkreisfrequenzen
r
ω1 = 2.651
EI
;
mH 3
r
ω2 = 6.400
EI
mH 3
Eigenschwingungsformen (massennormiert)
1 0.500
1
0.500
φ1 = √
; φ2 = √
m 0.707
m −0.707
10
Skizze
ϕ1
ϕ2
11
slangTNG code
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
12
- -[[
Simple plane frame with two DOFs
( c ) 2015 Christian Bucher , Vienna University of Technology
- -]]
-- System data
EI = 1
m = 1
H = 1
-- Stiffness matrix
K = tmath.Matrix (–
–4 , -2˝ ,
– -2 , 2˝
˝) *12* EI / H ˆ3
-- Mass matrix
M = tmath.Matrix (–
–2 , 0˝ ,
–0 , 1˝
˝) * m
-- Eigensolution
eig = tm at h. M a t r i x E i g e n S y m (K , M )
eval = eig : Eigenvalues ()
evec = eig : Eigenvectors ()
-- Take square root of eigenvalues to get omegas
omegas = eval : CW () : Sqrt ()
-- Print results
print ( ” omegas ” , omegas )
print ( ” evec ” , evec )
Hochhaus (1)
Realitätsnahes Tragwerksmodell (Platten- und Balkenelemente,
1452 Knoten, 3840 Elemente, 8448 Freiheitsgrade)
Mode 1 (Biegung/Schub in y )
Mode 2 (Biegung/Schub in x)
13
Hochhaus (2)
Dritte und vierte Schwingungsform
Mode 3 (Torsion um z)
14
Mode 4 (Biegung/Schub in y )
Beispiel
Unsymmetrischer Rahmen
Modell
Eigenschwingungsformen 1–3
Livedemo - slangTNG
15
Modale Dämpfung (1)
Nach Entkopplung der Bewegungsgleichungen wird häufig “im
Nachgang” zu jeder einzelnen Gleichung in (6) ein modales Lehr’sches
Dämpfungsmaß ζk festgelegt (z.B. aus Messungen, Erfahrung, etc.) Die
entkoppelten Gleichungen sind damit Form:
ÿk + 2ζk ωk ẏk + ωk2 yk = fk (t);
k = 1...n
(5)
Dies impliziert eine Dämpfungsmatrix, für die gilt (vgl. dazu (1) und
(2)):
Φ = diag(2ζk ωk ); k = 1 . . . n
Φ T CΦ
(6)
Gl.(6) ist speziell gültig für alle C, die gemäß folgender Vorschrift
aufgebaut werden:
C = αK + βM
(7)
Diese sogenannte Rayleighdämpfung wird auch als
“Bequemlichkeitshypothese” bezeichnet. Die Anwendung der Gl.(6)
darauf ergibt:
Φ = α diag(ωk2 ) + βI
Φ T CΦ
16
Modale Dämpfung (2)
woraus für die Rayleighdämpfung unmittelbar folgt:
β
1
αωk +
ζk =
2
ωk
Der Verlauf dieser Abhängigkeit ist in der folgenden Abbildung
dargestellt. Aus dieser Kurve wird erkennbar, dass die modalen
Dämpfungsmaße mit zunehmender Eigenkreisfrequenz asymptotisch
linear ansteigen, und daher Werte ζk > 1 auftreten können. Daher wird
in Anwendungen oft nur der massenproportionale Anteil berücksichtigt,
und der steifigkeitsproportionale Anteil zu Null gesetzt (β = 0).
ζk
ωk
17
Freie gedämpfte Schwingung
Für gegebene Anfangsbedingungen x(0) = x0 und ẋ(0) = v0
y0 = Φ T Mx0 ;
ẏ0 = Φ T Mv0
Modale Reaktionen
q
ωk0 = ωk 1 − ζk2
ẏ0,k + ωk y0,k
yk (t) = e −ζk ωk t y0,k cos ωk0 t +
sin ωk0 t
ωk0
(8)
Rücktransformation
x(t) = Φ y(t)
18
3. Vorlesung: 16. März 2015
Erzwungene Schwingung mittels Modalanalyse
Direkte Integrationsverfahren für die Lösung der
Bewegungsgleichungen
Euler’sches Verfahren
Zentrale Differenzen
Newmark’sches Verfahren
Vergleiche
19
Modalanalyse - Erzwungene Schwingung (1)
Allgemeine geschlossene Lösung: Duhamel-Integral X
Numerische Lösung für einen zeit-diskreten Belastungsvektor:
f(ti ) = f (i)
gk
gk(i )
gk(i +1)
∆t
t
ti
ti +1
Annahme: Belastung ist in einem Zeitintervall ∆t konstant, Ansatz
einer konstanten Partikulärlösung für jede modale Koordinate
(i)
yk,p (t) = C =
20
gk
ωk2
Modalanalyse - Erzwungene Schwingung (2)
Homogene Lösung
yk,h (t) = e −ζk ωk t (A cos ωk0 t + B sin ωk0 t)
Ermittlung von A und B aus Anfangs- bzw. Übergangsbedingungen
A = yk(i) −
gk(i)
ζk ωk A + ẏk(i)
; B=
ωk0
ωk2
Lösung am Ende des Zeitintervalls
yk(i+1) =
gk(i)
+ e −ζk ωk ∆t (A cos ωk0 ∆t + B sin ωk0 ∆t)
ωk2
ẏk(i+1) = e −ζk ωk ∆t [(−ζk ωk A + ωk0 B) cos ωk0 ∆t − (ζk ωk B + ωk0 A) sin ωk0 ∆t]
Numerisch effizienter als Duhamel-Integral
21
Direkte Lösungsverfahren
Vereinfachende Annahmen für x(t) innerhalb eines (kleinen)
Zeitintervalls ∆t
Lösung der Differentialgleichungen und diesen Annahmen so, dass
für gegebenes x(t) die Reaktion am Ende des Zeitintervalls
x(t + ∆t) berechnet wird.
Die Gleichungen können als Gleichungen zweiter Ordnung
(abhängig von den Verschiebungen x) oder als Gleichungen erster
Ordnung (abhängig von Verschiebungen x und Geschwindigkeiten
ẋ) geschrieben werden.
Die Formulierungen können explizit sein (die Werte am Ende des
Intervalls brauchen nicht bekannt zu sein) oder implizit (die Werte
am Ende des Intervalls müssen bekannt sein, daher muss
normalerweise iteriert werden)
Implizite Methoden sind i.a. numerisch stabiler, erfordern aber
höheren Berechnungsaufwand
22
Euler’sche Methode
Annahme: x(t) ist eine lineare Funktion von t innerhalb des
Zeitintervalls ∆t
x
t
t
t + ∆t
Verschiebung und Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t + ∆t
x(t + ∆t) = x(t) + ẋ(t)∆t
ẋ(t + ∆t) = ẋ(t) + ẍ(t)∆t
Die Beschleunigung ẍ(t) wird aus der Bewegungsgleichung zum
Zeitpunkt t berechnet.
23
Beispiel - SDOF-System
Freie ungedämpfte Schwingung, Masse m = 1 kg, Steifigkeit k = 1
N/m2 , Anfangsverschiebung x0 = 1, Anfangsgeschwindigkeit v0 = 0
Displacement [mm]
2.0
exact
1.0
∆t = 0.05
0.0
∆t = 0.1
-1.0
-2.0
∆t = 0.2
0
3
6
9
12
15
Time [s]
Energiefehler wächst exponential mit der Zeit
Methode ist nicht langzeitstabil.
24
Zentrales Differenzenverfahren (1)
Annahme: x(t) ist eine quadratische Funktion der Zeit t im
Zeitintervall ∆t.
x
t − ∆t
t
t + ∆t
t
Geschwindigkeit und Beschleunigung zum Zeitpunkt t
x(t + ∆t) − x(t − ∆t)
2∆t
x(t + ∆t) − 2x(t) + x(t − ∆t)
ẍ(t) =
∆t 2
ẋ(t) =
25
(9)
Zentrales Differenzenverfahren (2)
Zusammen mit (1) ausgewertet zum Zeitpunkt t erhalten wir:
1
1
2
M+
C x(t + ∆t) = f(t) − K − 2 M x(t)
∆t 2
2∆t
∆t
1
1
−
M−
C x(t − ∆t)
∆t 2
2∆t
Für gegebene Werte x(t) und x(t − ∆t) können die Werte
x(t + ∆t) daraus durch Lösen eines linearen Gleichungssystems
berechnet werden.
Für den Start des Algorithmus müssen die Werte x(−∆t) bekannt
sein. Dafür werden die Anfangswerte x0 und v0 zum Zeitpunkt
t = 0 herangezogen. Aus (9):
x(−∆t) = x0 − v0 ∆t +
∆t 2
ẍ(0)
2
Die Beschleunigung ẍ(0) wird aus (1) für t = 0 ermittelt:
ẍ(0) = −M−1 [Cv0 + Kx0 − f(0)]
26
Displacement [mm]
1.0
exact
0.5
∆t = 0.5
0.0
∆t = 1.0
-0.5
-1.0
∆t = 2.0
0
3
6
9
12
15
Time [s]
Gesamtenergie bleibt über die Zeit konstant
Frequenzfehler nimmt mit der Größe des Zeitschritts zu (die
Frequenz steigt an)
DEMO: slangTNG
27
Numerische Stabilität (1)
Das zentrale Differenzenverfahren ist nur bedingt stabil, dh. für
∆t > ∆tcrit divergiert die numerische Lösung exponentiell.
Der kritische Zeitschritt ist gegeben durch
∆t ≤ ∆tcrit =
2
ω0
Zur Herleitung wird das rekursive zentrale Differenzenschema für
die ungedämpfte frei Schwingung eines SDOF-Systems (Masse m,
Steifigkeit k)als Matrix-Vektor-Operation geschrieben:
x(t + 2∆t)
x(t + ∆t)
=
2−
2
k
m ∆t
1
−1
0
x(t + ∆t)
x(t)
=Z
x(t + ∆t)
x(t)
Zur Berechnung von mehreren Zeitschritten wird dieses Schema
mehrfach ausgeführt, dh. der Zustandsvekrot wird immer wieder
mit der Matrix Z multipliziert. Dies führt zu einem exponentiellen
Wachstum der berechneten Lösung, wenn mindestens ein
Eigenwert λmax der Matrix Z einen Betrag |λmax | > 1 besitzt.
28
Numerische Stabilität (2)
Die Eigenwerte λ1,2 sind gegeben durch
r
a
a2
λ1,2 = 1 − ± −a + ;
2
4
a=
k 2
∆t
m
Für a < 4 sind die Eigenwerte komplex, und wir erhalten
Eigenwerte vom Betrag 1:
a 2
a2
|λ1,2 |2 = 1 −
+a−
=1
2
4
Für den Fall a ≥ 4 sind die Eigenwerte reell. Dann ist λ2 jener mit
dem größeren Betrag und aus
r
r
a
a2 a
a2
|λ2 | = 1 − − −a + = + −a +
−1>1
2
4 2
4
erhalten wir die Bedingung für numerische Instabilität:
r
r
a
a2
m
2
+ −a +
> 2 → a > 4 also ∆t > 2
=
2
4
k
ω0
29
Newmark’sche Methode
Implizites Verfahren, das unbedingt stabil ist
Kinematische Annahmen:
ẋ(t + ∆t) = ẋ(t) +
∆t
[ẍ(t) + ẍ(t + ∆t)]
2
(10)
∆t 2
x(t + ∆t) = x(t) + ẋ(t)∆t +
[ẍ(t) + ẍ(t + ∆t)]
4
Zusammen mit (1) zum Zeitpunkt t + ∆t:
Mẍ(t + ∆t) + Cẋ(t + ∆t) + Kx(t + ∆t) = f(t + ∆t)
ergibt sich für lineare Systeme
4
2
K + 2M +
C x(t + ∆t) = f(t + ∆t)
∆t
∆t
4
4
2
+M
x(t) +
ẋ(t) + ẍ(t) + C
x(t) + ẋ(t)
∆t 2
∆t
∆t
30
(11)
Displacements [mm]
1.0
exact
0.5
∆t = 0.5
0.0
∆t = 1.0
-0.5
-1.0
∆t = 2.0
0
3
6
9
12
15
Time [s]
Gesamtenergie bleibt über die Zeit konstant
Frequenzfehler nimmt mit dem Zeitschritt zu (abnehmende
Frequenz)
DEMO: slangTNG
31

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