Ein erstes Maple-Worksheet mit einigen Beispielen linearer

Ein erstes Maple-Worksheet mit einigen Beispielen linearer Gleichungssysteme
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Löse das lineare Gleichungssystem:
x-y+z=0
x+2y=1
x+2z=0
> solve({x-y+z=0,x+2*z=0,x+2*y=1},{x,y,z});
1
1
1
x= ,y= ,z=
2
4
4
Ein anderes Beispiel ist:
> solve({x-y+z=0,x+2*y=1},{x,y,z});
x = 2 y 1, y = y, z = 3 y
1
Das Ergebnis ist so zu verstehen: Für beliebigen Wert von y wird mit diesen Werten von x und z das
Tripel (x,y,z)
eine Lösung des Gleichungssystems, also etwa x=-1, y=1, z=2 oder x=-3, y=2, z=5.
Die Lösungsmenge ist eine Gerade im Raum R3 .
Weitere Beispiele, in denen die Lösungsmengen etwas anders aussehen, sind:
y
Error, missing operator or `;`
> solve({x-y+z=0},{x,y,z});
x = y z, y = y, z = z
Bei der Gelegenheit schauen wir uns an, wie man in Maple Bilder erzeugt; wir laden zunächst das Paket
"plots":
> with(plots):
> implicitplot3d(x-y+z=0,x=-5..10,y=-10..10,z=-20..20,axes=boxed,
style=patchnogrid);
1
Die Lösungsmenge ist hier eine Ebene durch den Ursprung.
Wir fügen noch zwei weitere Gleichungen hinzu und erhalten ein System, das nur die triviale Loesung
x = 0, y = 0, z = 0 hat:
x=0
y=0
z=0
> solve({x-y+z=0,x+2*y=0,x+2*z=0},{x,y,z});
x = 0, y = 0, z = 0
Das naechste Beispiel ist ein inhomogenes System, das genau eine Loesung besitzt (die Loesungsmenge
besteht aus einem Punkt):
> solve({x-y+z=0,x+2*y=1,x+2*z=0},{x,y,z});
1
1
1
x= ,y= ,z=
2
4
4
Das naechste Gleichungssystem hat ueberhaupt keine Loesungen:
> solve({x-y+z=0,x+2*y=1,2*x+y+z=0},{x,y,z});
Das folgende homogenen System von 3 Gleichungen in 3 Unbekannten hat als Loesunsgmenge eine
2
Gerade (durch den Ursprung) im Raum R3 .
R3
> solve({x-y+z=0,x+2*y=0,2*x+y+z=0},{x,y,z});
x = 2 y, y = y, z = 3 y
Wir zeichnen zunaechst diese Gerade:
> g:=spacecurve([-2*z/3,z/3,z],z=-20..20,color=black,axes=boxed,
thickness=2):
> display(g);
Jede der 3 Gleichungen ist die Gleichung einer Ebene durch den Ursprung. Das naechste Plot zeigt diese
3 Ebenen. Man sieht
(hoffentlich), dass die 3 Ebenen sich ein einer gemeinsamen Geraden schneiden (der Loesungsmenge des
Systems):
> implicitplot3d({x-y+z=0,x+2*y=0,2*x+y+z=0},x=-5..10,y=-10..10,z=
-20..20,axes=boxed);
3
Jetzt zeichnen wir zunaechst die erste der 3 Ebenen:
> e1:=implicitplot3d(x-y+z=0,x=-5..10,y=-10..10,z=-20..20,axes=boxed,
color=pink,style=patchnogrid):
> display(e1);
4
Danach ein plot von der ersten und der zweiten der Ebenen; die beiden Ebenen schneiden sich in einer
Geraden:
> e2:=implicitplot3d(x+2*y=0,x=-5..10,y=-10..10,z=-20..20,axes=boxed,
color=yellow,style=patchnogrid):
> display(e1,e2);
5
Schliesslich kommt noch (in gruen) die dritte Ebene hinzu, die ebenfalls durch die Schnittgerade der rosa
Ebene mit der gelben geht.
> e3:=implicitplot3d(2*x+y+z=0,x=-5..10,y=-10..10,z=-20..20,axes=
boxed,color=green,style=patchnogrid):
> display(e1,e2,e3,g);
6
Mit Maple koennen wir auch Gleichungssysteme in mehr als 3 Variablen loesen (hier: 4 bzw. 2
Gleichungen in 5 Unbekannten):
> solve({x-y+z+w1+w2=0,x+2*y=1,x+2*z=0,w1+2*w2+z=0},{x,y,z,w1,w2});
1
1
w1 = 5 z 1, w2 = 3 z
, x = 2 z, y = z
,z=z
2
2
> solve({x-y+z+w1+w2=0,x+2*y=1},{x,y,z,w1,w2});
w1 = 3 y 1 z w2, w2 = w2, x = 2 y 1, y = y, z = z
Wir können auch Gleichungssysteme mit unbekannten Koeffizienten a,b,c in den Variablen x,y,z lösen:
> solve({x-y+z=a,x+2*y=b,x+2*z=c},{x,y,z});
1
1
1
1
1
x=
b a
c, y =
b
a
c, z =
2
2
4
2
4
1
b
4
1
a
2
3
c
4
Das funktioniert aber nicht immer:
> solve({x-y+z=a,x+2*y=b,2*x+y+z=c},{x,y,z});
Warum hat das hier nicht geklappt?
Das sehen wir später.
Vielleicht sehen Sie es ja jetzt schon!
7
In der Notation einfacher ist Matrixschreibweise, dafür müssen wir zuerst das
Paket "LinearAlgebra" laden:
> with(LinearAlgebra):
> M := <<1,1,1,4>|<1,1,-2,1>|<3,1,1,8>|<-1,1,-1,-1>|<0,1,1,0>>;
1 1 3 1 0
M
1
1 1
1 1
1
2 1
1 1
4
1 8
1 0
Wir wenden hierauf das Kommando "LinearSolve" an,
es löst das Gleichungssystem
x + y +3z-w=0
x + y + z +w=1
x -2y+ z-w= 1
4x+ y+8z-w=0
> LinearSolve(M);
25
6
4
3
5
2
2
Alternativ können wir die auf der linken Seite des Gleichungssystems auftretenden Koeffizienten
in einer Matrix M1 zusammenfassen und anschließend die rechte Seite als zweites Argument
in das Kommando "LinearSolve" eingeben:
> M1 := <<1,1,1,4>|<1,1,-2,1>|<3,1,1,8>|<-1,1,-1,-1>>;
1 1 3 1
M1
1
1 1
1
1
2 1
1
4
1 8
1
> LinearSolve(M1, <0,1,1,0>);
8
25
6
4
3
5
2
2
Mit dem naechsten Kommando koennen wir aus einer Matrix und einem Vektor (mit gleicher Zeilenzahl)
ein Gleichungssystem erzeugen:
> GenerateEquations(M1,[x,y,z,w],<0,1,1,0>);
x y 3 z w = 0, x y z w = 1, x 2 y z w = 1, 4 x y 8 z w = 0
Natuerlich liefert uns "solve" die gleiche Loesungsmenge:
> solve({x+y+3*z-w = 0, x+y+z+w = 1, x-2*y+z-w = 1, 4*x+y+8*z-w = 0},
{x,y,z,w});
25
4
5
w = 2, x =
,y= ,z=
6
3
2
Damit schauen wir uns ein größeres Beispiel an:
> M:=RandomMatrix(9,10,generator=1..100);
70 79 95 27 7 50 48 37 57 51
21 61 78 14 13 21 79 27 72 86
84 89 26 92 46 96 19 99 73 82
35 81
M
2
7 11 59 30 92 92 44
74 62 53 35
3 97 10 96 27
5
39 79 13 28 60 81 13 62 41 38
1 92
3 69 87 40 72 10 18 87
100 80 53 87 98 46 13 59 36
24 62
9 23 77
6
6 50
3
4 65
> v:=LinearSolve(M);
9
54637872441203362
12066476436030579
26371555033122787
12066476436030579
10145923191623309
4022158812010193
10001963301980704
4022158812010193
v
2762164461145076
4022158812010193
8336801382499373
12066476436030579
37683837055196056
12066476436030579
7274450485356208
12066476436030579
11744849437408085
12066476436030579
Um die Einträge des Lösungsvektors in Dezimalbruchschreibweise zu sehen, multiplizieren wir ihn mit
1.0:
> 1.0*v;
4.528071864
2.185522441
2.522506859
2.486715162
0.6867367974
0.6909060343
3.123019156
0.6028645167
0.9733454086
Wenn Sie wollen können Sie auch genauer rechnen:
> Digits:=50;
Digits
50
> 1.0*v;
10
4.5280718634691326297707094277803172164092979031646
2.1855224408657649252198619032178004613692101755903
2.5225068590846076934033679309083282091647681589764
2.4867151620455102289365470520452561821665093177666
0.68673679738781932806093931966530088506973940642065
0.69090603430887483849530213563279958623328509696951
3.1230191560041395001675491125306977324865778898404
0.60286451673950569391744036182409021787905981414602
0.97334540863461071037302792600319492133890313946993
11