Quanten- und Gravitationsfelder (Quantum and Gravitational Fields)
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Quanten- und Gravitationsfelder (Quantum and Gravitational Fields)
Quanten- und Gravitationsfelder (Quantum and Gravitational Fields) Friedrich-Schiller-Universität Jena Sprecher: Prof. Dr. Andreas Wipf Stellvertreter: Prof. Dr. Bernd Brügmann Prof. Dr. Vladimir Matveev Förderperiode: 01. April 2009 – 30. September 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Teilprojektleiter 1 2 Kooperationsparter 2 3 Zusammenfassung, Summary 3.1 In Deutsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 In Englisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 4 Profil des Graduiertenkollegs 3 5 Forschungsprogramm 5.1 Zentrale Forschungsideen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Q: Quantenfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Q1: Stark korrelierte Fermionsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Q2: Quantenfeldtheorie und Simulation von Nanostrukturen . . . . 5.2.3 Q3: Algorithmen für hochdimensionale Systeme . . . . . . . . . . 5.2.4 Q4: Supersymmetrische Feldtheorien . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.5 Q5: Effektive Wirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 G: Gravitationsfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 G1: Gravitierende Binärsysteme mit Spin . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 G2: Killing-Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 G3: Stationäre und axialsymmetrische Vakuum-Gravitationsfelder 5.3.4 G4: Numerische Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 8 8 10 14 16 19 22 22 25 27 29 6 Qualifizierungskonzept 6.1 Studienprogramm . . . . . . . . . 6.1.1 Stufe 1: Grundausbildung . 6.1.2 Stufe 2: Vertiefungsphase . 6.1.3 Ergänzende Lehrangebote 6.2 Gastwissenschaftlerprogramm . . 6.3 Inhalte der Lehrveranstaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 31 32 33 34 34 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 TEILPROJEKTLEITER 1 Teilprojektleiter Sprecher: Prof. Dr. Andreas Wipf Theoretisch-Physikalisches-Institut, Max-Wien-Platz 1, 07743 Jena Telefon/Fax: 03641/94-7130/7102, email: [email protected] Internet: http://www.tpi.uni-jena.de/qfphysics/members.html Fachgebiet: Quantenfeldtheorie Prof. Dr. Friedhelm Bechstedt Institut für Festkörpertheorie und -optik, Max-Wien-Platz 1, 07743 Jena Telefon/Fax: 03641/94-7150/7152, email: [email protected] Internet: http://www.ifto.uni-jena.de/∼bechsted/ Fachgebiet: Theoretische Festkörperphysik Prof. Dr. Bernd Brügmann Theoretisch-Physikalisches Institut, Max-Wien-Platz 1, 07743 Jena Telefon/Fax: 03641/94-7120/7102, email: [email protected] Internet: http://www.tpi.uni-jena.de/gravity/People/bruegmann/ Fachgebiet: Gravitationsphysik, numerische Relativitätstheorie Prof. Dr. Holger Gies (Heisenbergprofessor) Theoretisch-Physikalisches-Institut, Max-Wien-Platz 1, 07743 Jena Telefon/Fax: 03641/94-7190/7102, email: [email protected] Internet: http://www.tpi.uni-jena.de/qfphysics/members.html Fachgebiet: Quantenfeldtheorie, Teilchenphysik Prof. Vladimir Matveev Mathematisches Institut, Ernst-Abbe-Platz 2, 07743 Jena Telefon/Fax: 03641/94-6140/6162, email: [email protected] Internet: http://www.minet.uni-jena.de/˜matveev Fachgebiet: Differentialgeometrie Prof. Dr. Reinhard Meinel Theoretisch-Physikalisches Institut, Max-Wien-Platz 1, 07743 Jena Telefon/Fax: 03641/94-7113/7102, email: [email protected] Internet: http://www.tpi.uni-jena.de/gravity/People/meinel/ Fachgebiet: Gravitationsphysik Prof. Dr. Erich Novak Mathematisches Institut, Ernst-Abbe-Platz 2, 07743 Jena Telefon/Fax: 03641/94-6141/6102, email: [email protected] Internet: http://www.minet.uni-jena.de/˜novak Fachgebiet: Theoretische Numerik Prof. Dr. Gerhard Schäfer Theoretisch-Physikalisches Institut, Max-Wien-Platz 1, 07743 Jena Telefon/Fax: 03641/94-7114/7102, email: [email protected] Internet: http://www.tpi.uni-jena.de/gravity/People/schaefer/ Fachgebiet: Gravitationsphysik ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder 1 2 3 ZUSAMMENFASSUNG, SUMMARY Prof. Dr. Burkhard Külshammer (assoziiertes Mitglied) Mathematisches Institut, Ernst-Abbe-Platz 2, 07743 Jena Telefon/Fax: 03641/94-6161/6162, email: [email protected] Internet: http://www.minet.uni-jena.de/algebra/ Fachgebiet: Algebra 2 Kooperationsparter Internationale Kooperationspartner (in alphabetischer Ordnung) Prof. M. Asorey, Zaragoza Prof. U. von Barth, Lund Prof. R. L. Bryant, Berkeley Prof. A. Chatterjee, Hyderabad Prof. T. Damour, Bures-sur-Yvette Prof. C. Gattringer, Graz Prof. G. Kresse, Wien Prof. C. Schubert, Morelia Prof. W. Tichy, Boca Raton Prof. P. van Baal, Leiden Prof. J. Bičák, Prag Prof. S. Catterall, Syracuse Prof. P. Chruściel, Oxford Prof. G.V. Dunne, Connecticut Prof. P. Jaranowski, Białystok Prof. N. Ó Murchadha, Cork Prof. L. Scolfaro, Sao Paulo Prof. H. Woźniakowski, New York 3 Zusammenfassung, Summary 3.1 In Deutsch Die Theorie der Quantenfelder ist sowohl aus erkenntnistheoretischer Sicht als auch im Hinblick auf zukunftsorientierte Anwendungen von fundamentaler Bedeutung. Quantenfelder beschreiben die fundamentalen Wechselwirkungen der Elementarteilchenphysik und sind wesentlich für die Konstruktion von Theorien jenseits des Standardmodells. Sie spielen in Mikro- und Nanotechnologie eine zunehmend wichtige Rolle und sind unverzichtbar bei der Untersuchung von Phasenübergängen in Vielteilchensystemen. Die auf großen Skalen dominierende universelle Gravitationskraft wird dagegen sehr erfolgreich durch das Gravitationsfeld beschrieben. Wegen der bevorstehenden Gravitationswellenastronomie mit ihren Implikationen für Astrophysik und Kosmologie, ist eine vertiefte Kenntnis anwendungsbezogener Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen dringend geboten. Die physikalische Forschung auf den Gebieten der Feldtheorie profitiert von der methodischen Nähe und gegenseitigen Befruchtung von Physik und Mathematik. Methoden der modernen Differentialgeometrie sind wichtig bei der Lösung und Untersuchung von nichtlinearen Feldgleichungen. Lösungsansätze mit Symmetrien und die dabei auftretenden integrablen Strukturen bilden eine wichtige Schnittstelle zwischen Feldtheorie und Differentialgeometrie. Optimierte numerische und stochastische Methoden gewinnen zunehmend an Bedeutung bei der Simulation von Quantenfeldtheorien in Teilchen- und Festkörperphysik. Theoretische Physik und Angewandte Mathematik sind Forschungsschwerpunkte der FriedrichSchiller-Universität Jena. Durch eine aktive Berufungspolitik wurden Numerische Relativitätstheorie, Quantenfeldtheorie und Differentialgeometrie nachhaltig gestärkt. Durch die Bündelung der Forschungskompetenzen auf diesen Gebieten, auch dokumentiert durch die Mitwirkung an drei ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder 4 PROFIL DES GRADUIERTENKOLLEGS 3.2 In Englisch 3 Sonderforschungsbereichen und einer Forschergruppe, soll ein attraktives und international sichtbares Graduiertenkolleg ins Leben gerufen werden. Dazu bietet das Kolleg ein klar gegliedertes, abgestimmtes und forschungsorientiertes Angebot an Vorlesungszyklen, Seminaren zu weiterführenden Themen, regelmäßigen Arbeitstreffen und Klausurtagungen sowie ein internationales Gäste- und Austauschprogramm. Darin eingebunden sind auswärtige Partner, die bereit sind, die Ausbildung durch Aufnahme und Beratung der Kollegiaten1 und/oder Gastvorlesungen zu unterstützen. 3.2 In Englisch The Theory of Quantum Fields is of great importance for gaining deeper insight into the fundamental laws of nature and has an increasing impact on novel applications. Quantum fields successfully describe the fundamental interactions in elementary particle physics and are of utmost importance for theories beyond the standard model. At the same time the theory of quantum fields plays an increasingly important role in micro- and nano-technology and is an indispensable tool to study phase transitions in many-body systems. On large scales the universal gravitational force described by the Gravitational Field dominates. Through the burgeoning field of gravitational wave astronomy with its far reaching implications for astrophysics and cosmology, a deeper knowledge of realistic solutions of the Einstein field equations is urgently needed. Research in Field Theory profits considerably from mathematical methods and the interdependency of physics and mathematics. For example, the methods from modern Differential Geometry are needed for solving and investigating nonlinear field equations. Ansaetze and thereby emerging integrable structures are at the interface between Field Theory and Differential Geometry. At the same time numerical and stochastic methods become increasingly important, for example in simulations of quantum field theories in elementary-particle and solid-state physics. Theoretical Physics and Applied Mathematics are main areas of research at the Friedrich-SchillerUniversity Jena. Our hiring policy has strengthened the areas of Numerical Relativity, Quantum Field Theory and Differential Geometry considerably. By combining the research competence of the applicants, as for example documented by their active involvement in three DFG Collaborative Research Centres and one DFG Priority Program an attractive and internationally visible graduate center should emerge. For that purpose we offer a well-structured and research-oriented schedule of lecture courses and seminars on specialized topics, regular workshops, internal meetings and a program of international visitors and exchange opportunities. Partners from various Universities have agreed to cooperate with the graduate centre and to help with the training of the students. This will be achieved by hosting some of the graduate students, by advising them or by offering special lectures. 4 Profil des Graduiertenkollegs Allen mit den Prinzipien der Relativitätstheorie verträglichen Wechselwirkungen liegen nach unserem jetzigen Kenntnisstand kovariante Feldtheorien zugrunde. Die universelle und langreichweitige Schwerkraft wird auf gegenwärtig zugänglichen Skalen sehr erfolgreich durch die nichtlinearen Einsteinschen Feldgleichungen für das metrische Feld mit Ener1 Im Folgenden werden wir zur Vereinfachung durchweg die männliche Form gebrauchen, wo Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler, Antragstellerinnen und Antragsteller, Doktorandinnen und Doktoranden, etc. gemeint sind. ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder 4 PROFIL DES GRADUIERTENKOLLEGS 4 gie und Impuls der Materie als Quelle beschrieben. Mit Hinblick auf die bald erwartete Detektion von Gravitationswellen steht hier eine möglichst genaue Berechnung von Systemen mit kompakten Objekten, zum Beispiel von zwei Schwarzen Löchern, im Vordergrund. Systeme mit starken Gravitationsfeldern werden im Graduiertenkolleg in mehreren konkreten Projekten bearbeitet. Fortschritte sollen im Bereich exakter Lösungen, verbesserter und zum Teil auf effektiven Wirkungen beruhender Näherungen im post-Newtonschen Zugang und der numerischen Relativität mit neuen analytischen und numerischen Methoden erzielt werden. In engem Zusammenhang zu den gravitierenden Binärsystemen mit Spin stehen die differentialgeometrischen Untersuchungen von Erhaltungsgrößen. Die dabei erzielten Resultate sind auch für supersymmetrische Feldtheorien relevant. Unser Verständnis der Wechselwirkungen in der Mikrophysik beruht dagegen auf der Theorie von quantisierten Feldern. Diese ist unentbehrlich bei der Behandlung elementarer oder kollektiver Anregungen in der Elementarteilchenphysik, der Laser-Quantenelektrodynamik oder der Vielteilchenphysik. Fortschritte sind hier von modernen funktionalen Methoden zur Beschreibung effektiver Freiheitsgrade oder verbesserten Algorithmen zur Simulation von Systemen mit sehr vielen Freiheitsgraden zu erwarten. Die Themen im Graduiertenkolleg reichen von Untersuchungen relativistischer Effekte in Festkörpern, kollektiver Freiheitsgrade in stark korrelierten Fermionsystemen, Fluktuations-induzierten Effekten in der Quantenelektrodynamik bis hin zu Untersuchungen supersymmetrischer Feldtheorien. Bei einer numerischen Behandlung von Quantenfeldtheorien treten hochdimensionale Integrale auf, deren Berechnung mit stochastischen Methoden im Kolleg untersucht werden sollen. Diese sind wichtig für Simulationen von Gitterfeldtheorien, Weltliniensimulationen für Quantenkorrelatoren und die Behandlung von Vielkörpersystemen. Die im geplanten Kolleg vertretenen und im Abschnitt 5 im Einzelnen vorgestellten Arbeitsgebiete der Gravitations- und Quantentheorie sind hochaktuell und werden weltweit verfolgt. Dies kommt auch durch die Anbindung der Antragsteller an drei Sonderforschungsbereiche, eine Forschergruppe und ein Schwerpunktprogramm klar zum Ausdruck. Die Gravitationstheoretiker Bernd Brügmann, Reinhard Meinel und Gerhard Schäfer sind Sprecher bzw. Antragsteller des SFB/Transregio-7 Gravitationswellenastronomie“, die Quantenfeldtheoretiker Holger Gies und Andreas Wipf ” sind Projektleiter im SFB/Transregio-18 Relativistic Laser Plasma Dynamics“, Holger Gies wirkt ” bei der Forschergruppe FOR 723 Functional Renormalization Group for Correlated Fermion Sy” stems“ mit und Friedhelm Bechstedt im SFB F25 über Nanostrukturen und Infrarot-Photonik“. ” Das Diagramm auf Seite 6 zeigt wichtige inhaltliche Verbindungen im geplanten Kolleg. Die Antragsteller unterhalten vielfältige Beziehungen zu in- und ausländischen Partnern, wie es auch in ihren Publikationslisten dokumentiert ist. Die Professoren Bechstedt, Matveev, Schäfer, Gies und Wipf sind oder waren Mitglieder von europäischen Netzwerken oder Schwerpunktprogrammen der DFG, so dass die Aktivitäten des Kollegs mit nationalen und internationalen Forschungsprogrammen bestens verzahnt sind. Folgende namhafte Wissenschaftler haben sich bereit erklärt, Doktoranden für einige Zeit an ihrer Einrichtung aufzunehmen und/oder in Jena Vortragsreihen im Rahmen des Kollegs zu halten: M. Asorey (Zaragoza), A. Ashtekar (Penn State), U. von Barth (Lund), T. Baumgarte (Bowdoin), J. Bičák (Prag), R.L. Bryant (Berkeley), S. Catterall (Syracuse), P. Chruściel (Oxford), T. Damour (Bures-sur-Yvette), G. Dunne (Connecticut), J. Fröhlich (Zürich), C. Gattringer (Graz), E. Gourgoulhon (Paris), C. Gundlach (Southampton), S. Hands (Swansea), J.W. van Holten (Amsterdam), G. Huisken (Potsdam), P. Jaranowski (Białystok), P. Laguna (Penn State), C. Lubich (Tübingen), G. Kresse (Wien), G. Münster (Münster), N. Ó Murchadha (Cork), H. Nicolai (Potsdam), L. Rezzolla (Potsdam), K. Ritter (Darm———————————— Quanten- und Gravitationsfelder 4 PROFIL DES GRADUIERTENKOLLEGS 5 stadt), L. Scolfaro (Sao Paulo), C. Schubert (Morelia), W. Tichy (Boca Raton), C. Wetterich (Heidelberg), H. Woźniakowski (Columbia). Die Kollegiaten sollen frühzeitig mit den Partnern des Kollegs bekannt werden und kooperieren. Das auf Seite 31 dargestellte Qualifizierungskonzept soll den Kollegiaten Grundkompetenzen in den Forschungsgebieten vermitteln und sie mit deren wesentlichen Inhalten und Methoden vertraut machen. Es soll ihnen ermöglichen, in den gewählten Disziplinen aktiv an Forschungsprojekten mitzuarbeiten. Dazu wird in regelmäßigen Abständen ein Zyklus an Vorlesungen und Seminaren gehalten, der auf zwei Stufen den Kollegiaten zunächst eine Grundausbildung in Quantenfeldtheorie, Gravitationstheorie und Mathematischen Methoden vermittelt und sie anschließend an die im Kolleg vertretenen Forschungsgebiete heranführt. Daneben haben die Kollegiaten die Möglichkeit, an den Blockveranstaltungen der etablierten Physik-Combo, einer gemeinsamen Veranstaltung der Theorie-Institute in Halle, Jena und Leipzig, teilzunehmen. Ergänzt wird das Vorlesungsund Seminarprogramm durch Arbeitstreffen und Klausurtagungen sowie ein attraktives Gästeprogramm. Jeder Doktorand hat einen hauptverantwortlichen Betreuer und einen Mentor aus den Reihen der beteiligten Wissenschaftler, mit denen er den aktuellen Stand und Fortgang seiner Arbeit bespricht. Im deutschsprachigen Raum gibt es keine andere Universität an der ähnlich erfolgreich wie in Jena auf dem Gebiet der analytischen und numerischen Gravitation mit Anwendungen in der relativistischen Astrophysik und gleichzeitig auf Gebieten der analytischen und numerischen Quantenfeldtheorie mit Anwendungen in Teilchen- und Vielkörperphysik geforscht und gelehrt wird. Die Forschungsrichtungen haben während der letzten Jahre durch die Berufung von Bernd Brügmann, Holger Gies und Vladimir Matveev eine beträchtliche Stärkung erfahren. Ein weiterer Ruf im Bereich Analysis mit Schwerpunkt Schrödingeroperatoren“ ist kürzlich ergangen. Während des er” sten Jahres der Förderperiode wird sich der Neuberufene sehr wahrscheinlich über einen Nachantrag am Kolleg beteiligen. Er wird den vorliegenden Antrag im Bereich der Quantentheorie weiter stärken. Der Ausbau der Kooperation zwischen Theoretischen Physikern und Mathematikern ist erklärtes Ziel der Physikalisch-Astonomischen Fakultät und Fakultät für Mathematik und Informatik. Bereits in den letzten Jahren ergaben sich zwischen den am Antrag beteiligten Wissenschaftlern enge Beziehungen in Lehre und Forschung. Ihre Forschungsgebiete in einem Kolleg zu bündeln ist daher eine wichtige Weiterentwicklung der Strukturen vor Ort, um in systematischer Synergie Nachwuchswissenschaftler auszubilden und zu fördern. Wir möchten begabten jungen theoretischen und mathematischen Physikern die Chance bieten, an aktuellen Entwicklungen teilzuhaben und diese aktiv mitzugestalten. Dabei wird gerade die Ausbildung in der Breite der modernen Forschungsfelder ein entscheidender Faktor für zukünftigen wissenschaftlichen Fortschritt sein. Ein zweiter wichtiger Faktor ist die internationale Einbettung, die durch direkte Kontakte der Kollegiaten zu kompetenten Wissenschaftlern und den Mitarbeitern der drei Sonderforschungsbereiche und internationalen Netzwerke möglich wird. Wegen der zunehmenden Verzahnung von Quantenfeldtheorie und Gravitationstheorie sowohl auf der Grundlage der mathematischen Methoden als auch in den astrophysikalischen und kosmologischen Anwendungen brauchen wir zukünftig erfolgreiche Quantentheoretiker mit fundierten Kenntnissen der Gravitation ebenso dringend wie erfolgreiche Gravitationstheoretiker mit fundierten Kenntnissen über Quantentheorien. ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder 6 5 FORSCHUNGSPROGRAMM 5 Forschungsprogramm 5.1 Zentrale Forschungsideen Die Theorien der Quanten- und Gravitationsfelder mit wichtigen mathematischen Methoden SFB/F25, SFB/TR-18, FOR 723 Quantenfelder Spineffekte in Festkörpern Stark korrelierte Fermionen Supersymmetrische Theorien Effektive Wirkungen SFB/TR-7 effektive Dynamik starke Felder Gravitationsfelder Schwarze Löcher mit Spin Numerische Relativitätstheorie Anfangs/Randwertprobleme Strenge Lösungen ien en etr thm mm ori Sy Alg n, ne tio ula Sim Dif Dif fer en f.g leic tia lge hu om ng en etr ,D ie isk ret isie run g Mitteldeutsche Physik-Combo SPP 1154 Mathematische Methoden Differentialgeometrie, Integrable Systeme, Symmetrien Partielle Differentialgleichungen, Stochastische Algorithmen stehen im Zentrum des beantragten Graduiertenkollegs. Die Forschungsgebiete mit ihren vielfältigen inhaltlichen und methodischen Gemeinsamkeiten sind im obigen Diagramm dargestellt. Der erste Schwerpunkt des Kollegs ist der quantenfeldtheoretischen Beschreibung fermionischer Vielteilchensysteme und deren Ankopplung an bosonische Felder gewidmet. Im Teilprojekt Q1 stehen Untersuchungen von stark korrelierten Fermionsystemen im Vordergrund. Hier geht es um ein quantitatives Verständnis kollektiver Eigenschaften wie die Kondensation fermionischer Bindungszustände. Mit Hilfe der funktionalen Renormierungsgruppe soll der kontinuierliche Übergang von mikroskopischen fermionischen zu makroskopisch zusammengesetzten bosonischen Freiheitsgraden beschrieben werden. Verwandt damit ist die die analytische und numerische Beschreibung von Nanostrukturen unter Berücksichtigung der elektronischen Spinfreiheitsgrade, die mit Hilfe von Dichtefunktionaltheorie, Molekulardynamiknäherung oder Greenfunktionsmethoden im Teilprojekt Q2 geleistet werden soll. In mehreren Projekten kommen stochastische Methoden zum Einsatz. Auch deshalb sollen im Teilprojekt Q3 randomisierte Algorithmen zur Approximation hochdimensionaler Integrale untersucht, weiterentwickelt und optimiert werden. Hier soll die wichtige Leitfähigkeit von lokalen und globalen Algorithmen für Spinmodelle und nichtlineare Sigma- ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder 5 FORSCHUNGSPROGRAMM 5.1 Zentrale Forschungsideen 7 Modelle abgeschätzt und verglichen werden. Derartige Resultate sind bei der Simulation von Nanostrukturen und der Behandlung von Fermion-Boson-Systemen von Nutzen. Auch im Teilprojekt Q4 kommen stochastische Algorithmen bei der Simulation von supersymmetrischen Gittertheorien zum Einsatz. Die Supersymmetrie ist Bestandteil vieler Versuche eine einheitliche Theorie jenseits des Standardmodells der Teilchenphysik zu finden. Im Projekt sollen nichtstörungstheoretische Effekte wie Phasenübergänge oder die Brechung der Supersymmetrie untersucht werden. Dabei kommen ausgefeilte analytische und numerische Methoden wie die funktionale Renormierungsgruppe oder neueste Simulationsalgorithmen für Gittertheorien mit dynamischen Fermionen zum Einsatz. Bei vielen Untersuchungen von klassischen oder Quantensystemen steht die Berechnung der effektiven Wirkung für relevante und meist makroskopische Freiheitsgrade im Vordergrund. Deshalb ist im Graduiertenkolleg diesem in Quantenfeld- und Gravitationstheorie gleichermaßen universell einsetzbaren Werkzeug ein eigenes Teilprojekt Q5 gewidmet. Es sollen neue Methoden zur Berechnung von effektiven Wirkungen weiterentwickelt und für konkrete physikalische Systeme angewandt werden. Zu diesen Methoden gehören der Weltlinienzugang zur Quantenfeldtheorie, funktionale Methoden sowie inverse Monte-Carlo-Techniken. Von besonderem Interesse sind Anwendungen im Bereich der Quantenelektrodynamik in starken Feldern (wie derzeit in einigen optischen Experimenten realisiert, ein entsprechendes Experiment wird am Institut für Optik und Quantenelektronik in Jena vorbereitet), in Eichtheorien, der effektiven Beschreibung von binären gravitierenden Systemen in der post-Newtonschen Näherung, dem Hawking-Effekt oder der Quantengravitation. Der zweite Schwerpunkt des Graduiertenkollegs handelt von Gravitationsfeldern in der Umgebung von kompakten astrophysikalischen Objekten und der Bewegung derartiger Objekte in starken Gravitationsfeldern. Eine analytische Behandlung der Bewegung von Körpern mit Eigenrotation gehört zu den großen Herausforderungen der Einsteinschen Gravitationstheorie und ist Gegenstand des Teilprojekts G1. Die effektive Dynamik gravitierender Binärsysteme soll hier in der Hamiltonschen Formulierung und post-Newtonschen Näherung möglichst genau berechnet und für konkrete Situationen gelöst werden. Auch die im Teilprojekt Q5 weiterentwickelte Methode der effektiven Wirkungen ist hier anwendbar. Bei der Lösung der Bewegungsgleichungen für Spin und Bahn von kompakten Objekten sind vorhandene Erhaltungsgrößen nützlich, die mit Hilfe von Killing-Tensoren konstruiert werden können. Die Theorie der Killing- und Killing-Yano-Tensoren und ihre Beziehung zu Krümmungsinvarianten werden im Teilprojekt G2 untersucht. Man kann die Killing-Gleichungen als Feldgleichungen interpretieren und mit Methoden der Feldtheorie versuchen, Krümmungsinvarianten zu finden, die genau dann verschwinden, wenn die gegebene Metrik Killing-Tensoren zulässt. Killing-Yano-Tensoren treten auch bei den im Teilprojekt Q4 untersuchten Feldtheorien mit mehreren Supersymmetrien auf. Im Teilprojekt G3 sollen physikalisch relevante stationäre und axialsymmetrische Lösungen der Vakuum-Einstein-Gleichungen konstruiert werden. Die auftretende integrable Ernst-Gleichung wird mit Methoden der Solitonentheorie behandelt. Dabei geht es um physikalische Anwendungen der in Jena mitentwickelten Lösungsmethoden aber auch um die Entwicklung eines allgemeinen Verfahrens zur Lösung von Randwertproblemen der Ernstgleichung. Die Lösungen sind in modifizierter Form auch einsetzbar als axialsymmetrische Anfangsdaten bei der numerischen Lösung der Einsteinschen Vakuumfeldgleichungen im Bereich starker und dynamischer Gravitationsfelder im Teilprojekt G4. Hier soll mit Hilfe von parallelisierten Algorithmen die Bahnbewegung zweier Schwarzer Löcher mit Spin kurz vor ihrer Verschmelzung möglichst lange verfolgt werden, auch um Wellentemplates für die Detektion von Gravitationswellen zu erstellen. Bei der Behandlung des Zweikörperproblems in der Numerischen Relativitätstheorie gab es in letzter Zeit vielbeachtete Beiträge der Jenaer Arbeits- ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder 5 FORSCHUNGSPROGRAMM 5.2 Q: Quantenfelder 8 gruppe Numerische Relativitätstheorie. Anknüpfend an bereits bestehende Forschungsprojekte oder gemeinsame Publikationen zwischen den Antragstellern über konventionelle Fächergrenzen hinweg, z.B. zwischen Meinel und Wipf, besteht der ausdrückliche Wunsch aller Antragsteller, in Zukunft auf den zentralen Forschungsfeldern der beteiligten Institute enger zusammenzuarbeiten und die vorhandenen Kompetenzen zu bündeln, um auf den nun im Einzelnen beschriebenen Teilgebieten der Theorie von klassischen und quantisierten Feldern Fortschritte zu erzielen. 5.2 Q: Quantenfelder 5.2.1 Q1: Stark korrelierte Fermionsysteme Alle bislang bekannte Materie in der Natur ist fermionischen Ursprungs. Insbesondere stark korrelierte Fermionen sind Ursache für eine Vielzahl von physikalischen Phänomenen in Quantensystemen ebenso wie in statistischen Systemen. Stand der Forschung Systeme wechselwirkender Fermionen stellen eine besondere Herausforderung für alle feldtheoretischen Methoden dar. Während die fermionischen Freiheitsgrade auf mikrosopischer Ebene relevant bzw. fundamental sind, können zusammengesetzte, oft bosonische Freiheitsgrade auf makroskopischer Ebene wesentlich für die Physik sein. Besonders deutlich wird dies bei kollektiven Phänomenen wie der Kondensation fermionischer Bindungszustände, z.B. in nicht-relativistischen Theorien beim Übergang in eine BCS suprafluide Phase [1] oder in relativistischen Theorien bei chiralen Phasenübergängen [2], welche kennzeichnend für starke fermionische Korrelation sind. Die Kopplung zwischen fermionischen und bosonischen Freiheitsgraden in fermionischen Systemen ist auch in Projekt Q2 von zentraler Bedeutung. Eine quantitative Beschreibung der Übergänge von mikroskopischen zu makroskopischen Freiheitsgraden ist eine Herausforderung für die Quantenfeldtheorie (QFT). Ein vielfach verwendetes Verfahren beruht auf partieller Bosonisierung (Hubbard-StratonovichTransformation) [3], welche sowohl in Teilchenphysik (z.B. in Niederenergie-QCD-Modellen) als auch in Festkörperphysik (z.B. im Hubbard-Modell oder Hertz-Millis-Theorie) Anwendung findet, und mit weiteren analytischen und numerischen Methoden verknüpft werden kann. Diese analytischen Zugänge, wie z.B. mean-field -Theorie, Bogolyubov-Theorie, ǫ- oder 1/N -Entwicklungen, oder Hartree-Fock-Methoden sind oft nur gültig in bestimmten parametrischen Limites oder berücksichtigen bisweilen vorhandene Symmetrien nur unzureichend. Numerische Simulationsmethoden werden bei fermionischen Systemen oft wegen Vorzeichen-Problemen exponentiell ineffizient oder sind für bestimmte Symmetrien und Zahl von Freiheitsgraden nur beschränkt einsetzbar. Eigene Vorarbeiten Mit Hilfe der funktionalen Renormierungsgruppe (RG) als ab-initio Methode ist es uns gelungen, die Transformation von mikroskopischen fermionischen zu makroskopischen zusammengesetzten bosonischen Freiheitsgraden (z.B. Cooper-Paare, Mesonen) kontinuierlich zu beschreiben [4]. Es zeigt sich, dass diese skalenabhängige Rebosonisierung dem physikalisch kontinuierlichen Aufbau von Bindungszuständen erheblich besser angepasst ist und eine Reihe von technischen Problemen in Standardzugängen direkt löst, so dass die Vorhersagekraft von Approximationsverfahren deutlich verbessert wird. Erfolgreiche Anwendungen dieses Verfahrens haben z.B. in der Ein-Flavor-QCD einen generellen Mechanismus zugänglich gemacht, wie sich das System ausgehend von perturbativen Quarks ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder 5 FORSCHUNGSPROGRAMM 5.2 Q: Quantenfelder 9 in die gebrochene Phase bei niedrigen Energien und einem bosonischen Meson als Freiheitsgrad entwickelt [5]. Desweiteren ließ sich das Jahrzehnte alte Landau-Pol-Problem der QED im Einklang mit Gitterrechnungen klären [6, 7]. Für das derzeit hochaktuelle Problem des BEC-BCS crossover in fermionischen ultrakalten Quantengasen ergibt sich in diesem Zugang ein einfaches Bild für das gesamte Phasendiagramm mit kritischem Verhalten in den O(2) Ising Universalitätsklasse [8]. Das Auftreten von kritischem Verhalten oder kollektiven Phänomenen lässt sich mit der funktionalen RG auch direkt mit Hilfe von charakteristischen fermionischen Instabilitäten entdecken. Damit ist eine genauere Bestimmung der kritischen Flavorzahl in der Viel-Flavor-QCD gelungen [9], jenseits der keine chirale Symmetriebrechung geschieht und quasi-konformes Verhalten einsetzt. Neueste Gitterrechnungen bestätigen diese Vorhersage [10]. Ähnlich gute Übereinstimmung zeigt sich auch bei der Bestimmung der kritischen Temperatur für den chiralen Phasenübergang bei kleineren Flavorzahlen [11]. Ziele und Arbeitsprogramm Das Projekt soll sich aktuellen Herausforderungen in unterschiedlichsten Gebieten mit vereinheitlichender Methodik widmen: Ein erstes Gebiet von sowohl theoretisch als auch phänomenologisch hoher Relevanz ist das quantenkritische Verhalten von 3-dimensionalen relativistisch fermionischen Modellen in Abhängigkeit der Fermionflavorzahl Nf . Insbesondere das Thirring-Modell und QED3 werden derzeit als effektive Theorien für unterschiedliche Bereiche im Phasendiagramm von Hochtemperatur-KupratSupraleitern diskutiert [12]; QED3 ist darüberhinaus eine effektive Theorie für Graphene. Für diese Interpretation ist jedoch die kritische Flavorzahl, jenseits der chirale Symmetriebrechung verloren geht, von fundamentaler Bedeutung und erstes Ziel dieses Projekts. Für das Thirring-Modell oder QED3 liegen Abschätzungen z.B. aus Dyson-Schwinger-Gleichungen im Bereich Nfc ≃ 3/2 . . . ∞; neueste Gitterrechnungen im Thirring-Modell deuten auf Nfc ≃ 6.6 hin [13], für QED3 reichen heutige Rechnerkapazitäten noch nicht aus. Im Rahmen dieser Untersuchung soll zunächst die vollständige Basis von fermionischen 4-Punkt Funktionen im punktförmigen Limes klassifiziert werden, die mit den vorliegenden chiralen Symmetrien kompatibel sind. Im Rahmen einer systematischen Ableitungsentwicklung sollen dann die RG-Flüsse dieser Basisfunktionen bestimmt und auf Instabilitäten hin untersucht werden, wobei die Variation von Nf als Kontrolparameter des quantenkritischen Verhaltens eine Abschätzung der kritischen Flavorzahl Nfc erlaubt. Regulatorstudien können schließlich den systematischen Fehler abgeschätzen, so dass eine quantitative Aussage darüber möglich wird, ob der für Kupratsupraleiter wichtige Wert von Nf = 2 wie erhofft in der chiral gebrochenen Phase liegt. In ultrakalten fermionischen Atomgasen ist insbesondere der BEC-BCS crossover und die Phasenstruktur dieser Quantengase bei ungleichen Spindichten von besonderem Interesse nicht nur für die Atomphysik sondern auch für vergleichbare Systeme in Festkörper-, Kern- und Astroteilchenphysik. Aktuelle Experimente mit kalten Gasen zeigen z.T. widersprüchliche Ergebnisse zur Existenz eines trikritischen Punktes in Abhängigkeit vom spin-imbalance-Parameter. Erste rein fermionische RG-Rechnungen liefern Hinweise auf einen trikritischen Punkt [14], um das volle Phasendiagramm aufzulösen muss aber der Fluss einschliesslich der Transformation zu bosonischen Freiheitsgraden gelöst werden. Aufbauend auf Vorarbeiten [8] und Rebosonisierungstechniken soll also speziell das effektive Potential für Cooper-Paar-Kondensation studiert werden. Daraus sind nicht nur das Phasendiagramm sondern auch experimentell zugängliche Observable wie die Blasenspannung des Kondensates in einer optischen Falle berechenbar. In der QCD steht der fermionische Quarksektor unter starkem Einfluss des gluonischen Sektors. ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder LITERATUR Literatur 10 Das Phasendiagramm entsteht aus einem komplexen Wechselspiel zwischen Quarkfreiheitsgraden, Bindungszuständen und starker gluonischer Kopplung. Aufbauend auf bisherigen Resultaten für die kritische Temperatur des chiralen Phasenübergangs [11] soll die Phasengrenze bei endlichem chemischen Potential µ für die Quarks bestimmt werden. Da die Flussgleichungen in Ableitungsentwicklung analytisch zugänglich sind, sollen insbesondere die Koeffizienten der Phasengrenze in einer Entwicklung nach µ2 /T 2 bestimmt werden, welche direkt mit Gitterrechnungen verglichen werden können. Ansprechpartner: G IES ; B ECHSTEDT, W IPF Beispiele von Promotionsthemen: 1. Quantenphasenübergänge in 3d relativistischen Fermionsystemen 2. Phasenstruktur von ultrakalten Atomgasen mit ungleicher Spindichte 3. Chirale Dynamik und Phasenstruktur der QCD Literatur [1] J. Bardeen, L. N. Cooper and J. R. Schrieffer, Theory Of Superconductivity, Phys. Rev. 108 (1957) 1175. [2] Y. Nambu and G. Jona-Lasinio, Dynamical model of elementary particles based on an analogy with superconductivity, Phys. Rev. 122 (1961) 345; Phys. Rev. 124 (1961) 246. [3] R. Stratonovich, Dokl. Akad. Nauk. 115 (1957) 1097; J. Hubbard, Calculation Of Partition Functions, Phys. Rev. Lett. 3 (1959) 77. [4] H. Gies and C. Wetterich, Renormalization flow of bound states, Phys. Rev. D65 (2002) 065001. [5] H. Gies and C. Wetterich, Universality of spontaneous chiral symmetry breaking in gauge theories, Phys. Rev. D69 (2004) 025001. [6] H. Gies and J. Jaeckel, Renormalization flow of QED, Phys. Rev. Lett. 93 (2004) 110405. [7] M. Gockeler et al., Is there a Landau pole problem in QED?, Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 4119. [8] S. Diehl, H. Gies, J.M. Pawlowski, C. Wetterich, Flow Equations for the BCS-BEC Crossover, Phys. Rev. A76 (Rapid Communications) (2007) 21602. [9] H. Gies and J. Jaeckel, Chiral phase structure of QCD with many flavors, Eur. Phys. J. C46 (2006) 433. [10] T. Appelquist, G. T. Fleming and E. T. Neil, Lattice Study of the Conformal Window in QCD-like Theories, arXiv:0712.0609 [hep-ph]. [11] J. Braun and H. Gies, Running coupling at finite temperature and chiral symmetry restoration in QCD, Phys. Lett. B645 (2007) 53. [12] I. F. Herbut, Effective theory of high-temperature superconductors, Phys. Rev. Lett. 94 (2005) 237001. [13] S. Christofi, S. Hands and C. Strouthos, Critical flavor number in the three dimensional Thirring model, Phys. Rev. D75 (2007) 101701. [14] K.B. Gubbels and H.T.C. Stoof, Renormalization Group Theory for the Imbalanced Fermi Gas, arXiv:0711.2963 [cond-mat]. 5.2.2 Q2: Quantenfeldtheorie und Simulation von Nanostrukturen Die quantenfeldtheoretische Beschreibung und Simulation elektrischer, magnetischer und optischer Eigenschaften von Nanostrukturen soll realisiert werden. Insbesondere werden der Quantentransport auf molekularen Längenskalen sowie molekulare Magneten modelliert. Die dabei ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder LITERATUR Literatur 11 auftretende Beeinflussung der fermionischen Felder durch Anregungen und/oder Ankopplung bosonischer Felder soll unter besonderer Berücksichtigung der Randbedingungen und Spinfreiheitsgrade sowohl analytisch als auch numerisch untersucht werden. Die verwendeten Konzepte reichen von typischen Festkörper-Methoden wie Dichtefunktionaltheorie, Molekulardynamik oder Dichtematrizen bis hin zu der in der Elementarteilchenphysik gebräuchlichen Technik der Greenschen Funktionen (Dyson-Gleichung, Bornsche Näherung, kanonische Transformation, Keldysh-Formalismus). Zur parameterfreien (ab initio) Beschreibung der Effekte der Elektron-Elektron-Wechselwirkung (Exzitonen) und Elektron-Phonon-Wechselwirkung (Polaronen) sowie von Systemen mit intrinsischer Spin-Polarisation (Spin-Bahn und Spin-SpinWechselwirkung, Wechselwirkung mit äußerem Magnetfeld) kommen hochparallelisierte und in Jena entwickelte Finite-Differenzen-Verfahren auf Multigrids bzw. k-Raum-Methoden zum Einsatz. Stand der Forschung Trotz der Wichtigkeit des Spinfreiheitsgrades für die elektronischen Eigenschaften von Festkörpern beschränkt sich seine praktische Behandlung immer noch auf die Annahme kollinearer Spins [1]. Diese Beschränkung gilt für die langjährigen Untersuchungen der Grundzustände im Rahmen von ab initio Dichtefunktionaltheorien, aber auch für die ersten Versuche, die Einteilchenanregungszustände unter Berücksichtigung der Spinpolarisation zu bestimmen [2]. Seit kurzem werden erste Versuche unternommen, zumindest in Bandstrukturberechnungen, den Effekt von nicht-kollinearen Spins und damit der vollen Spin-Bahn-Wechselwirkung einzubeziehen [3]. Es gibt aber noch keinen praktischen Ansatz, Vielteilcheneffekte auf diesem Niveau für Systeme mit schweren Elementen zu beschreiben. Auch die Theorie für spindominierte Quantenfelder (z.B. Spindichte-Wellen) bzw. ladungsstabilisierte bosonenartige Felder (z.B. Exzitonen) ist ziemlich unterentwickelt. Die Nanostrukturierung, also die räumliche Quantisierung, führt zu zusätzlichen Problemen und völlig ungeklärten Fragestellungen. Für eindimensionale Systeme zeigen Modellrechnungen einen Übergang von der Fermi-Flüssigkeit zur Luttinger-Flüssigkeit an [4], der durch die Trennung von Ladung und Spin der wechselwirkenden Elektronen gekennzeichnet sein soll. Die elektronischen Strukturen von Festkörpern mit starker Elektronenkorrelation können immer noch nicht vollständig beschrieben werden [5]. Die stetig zunehmende Erforschung spinabhängiger Phänomene in Festkörpern wirft neue Fragen auf. Es werden ständig neue Effekte wie Quanten-Spin-Ströme [6] und magnetische Eigenschaften von Grenzflächen nichtmagnetischer Materialien [7] entdeckt. Obwohl noch unverstanden, zeichnet sich doch als wichtiger Mechanismus die Beeinflussung der Spin-Bahn-Wechselwirkung durch künstliche räumliche Inhomogenitäten infolge von Nanostrukturierung und damit Grenzflächen ab. Generell ist die Frage der gegenseitigen Beeinflussung von Spinpolarisation und Nanostrukturen eine ungeklärte fundamentale Fragestellung mit möglichen praktischen Auswirkungen auf den Magnetismus von Nanokristallen [8] oder der Präparation von molekularen Magneten [9]. Die Konsequenzen für meßbare spektrale Eigenschaften wie der Rashba-Effekt in niederdimensionalem System sowie die generellen Auswirkungen (Vergrößerung oder Verkleinerung) auf Spin-Aufspaltungen werden kontrovers diskutiert. Nanostrukturen mit ihren Grenzflächen beeinflussen nicht nur den Spinfreiheitsgrad der Elektronen sondern auch die Ladung. Die eigentlich triviale Frage nach dem elektronischen Strom durch ein Molekül oder eine andere Nanostruktur und seine Beeinflussung (etwa durch Ankopplung von Bosonenfeldern der vibronischen Freiheitsgrade) wird weder qualitativ noch quantitativ zufriedenstellend beantwortet [10, 11]. Die Anwendung der traditionellen Landauer-Büttiker-Theorie der Elektronentransmission auf den molekularen Transport liefert nur begrenzt gültige Resultate. Eigene Vorabeiten ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder LITERATUR Literatur 12 Die Arbeitsgruppe Festkörpertheorie war in den letzten Jahren überaus aktiv an der Methodenentwicklung und Beschreibung von elektronischen Anregungen und optischen Eigenschaften kondensierter Materie mittels ab initio Methoden beteiligt. Unsere Untersuchungen zielen dabei sowohl auf ein sehr breites Spektrum an Materialien (Festkörpern und ihre Legierungen, Eis, organische Moleküle, DNA etc.) als auch auf eine Vielzahl experimentell und technologisch relevanter Geometrien (Bulksysteme, Oberflächen, Übergitter, Nanokristalle) [12, 13, 14]. Diese außerordentliche Vielfalt bzgl. Materialien und Geometrien liegt in der Flexibilität des verwendeten Programmpakets Vienna Ab-initio Simulation Package (VASP) begründet. Der Koautor dieses mittlerweile weltweit als Quasi-Standard etablierten Codes ([15], wurde bisher bereits ca. 2000mal zitiert!) ist Jürgen Furthmüller, ein Mitglied unserer Arbeitsgruppe. Damit ist die Gruppe in einer hervorragenden Ausgangsposition, in naher Zukunft auch parameterfreie Berechnungen für Systeme mit intrinsischer Spin-Polarisation durchzuführen. Die dabei zu berücksichtigenden Extraterme infolge der relativistischen Spin-Bahn-Kopplung wurden bereits in die Grundzustandstheorie eingearbeitet. Entsprechende theoretische Vorarbeiten für elektronische Einteilchen- und Paaranregungen im Rahmen der GW-Approximation und erste numerische Tests für einen antiferromagnetischen Isolator (Manganoxid) verlaufen vielversprechend [16]. Weiterhin besitzt die Arbeitsgruppe langjährige Erfahrungen in der theoretischen Beschreibung und Simulation der Anregung, Relaxation und Rekombination von Ladungsträgern in Halbleitern auf ultrakurzen Zeitskalen [17]. Inzwischen sind diese Aktivitäten weiterentwickelt worden zur Beschreibung des elektronischen Transports im Rahmen des Kubo-Formalismus. Karsten Hannewald hat sich dabei besonders um die Berücksichtigung der Ankopplung von bosonischen Feldern von intra- und intermolekularen Gitterschwingungen bemüht [18]. Die Anwendungen erfolgten bisher auf organische Halbleiter. Molekulare Strukturen sind angedacht. Wegen des Fehlens realistischer Parameter werden dabei die elektronischen Zustände, die Schwingungsfrequenzen und die Deformationspotentiale aus begleitenden ab initio Rechnungen entnommen [19]. Ziele und Arbeitsprogramm Die Theorie von Fermionenfeldern soll für den Fall von Vielelektronensystemen mit voller Kopplung von Spin- und Bahnbewegung sowie der Coulomb-Wechselwirkung aller Teilchen formuliert werden. Einerseits soll der Effekt der nicht-kollinearen Spins auf die elektronischen Anregungen wie Spindichtewellen und Paaranregungen ohne festen Gesamtspin untersucht werden. Als grundlegende Approximation wird die Behandlung der Vertexfunktion und der Selbstenergie linear im abgeschirmten Potential angestrebt. Von besonderem Interesse sind Systeme mit einem starken räumlichen Confinement durch Nanostrukturierung. In die Untersuchungen einbezogen werden Materialien mit lokalisierten d- und f -Elektronen und damit erweitert auf stark korrelierte Elektronensysteme. Beide Stoßrichtungen erlauben gemeinsame Diskussion mit einer Reihe von Teilprojekten, wie G1, in denen die Kopplung von Spin- und Bahnbewegung eine Rolle spielen, oder mit dem Teilprojekt Q1 im Hinblick auf die starke Korrelation der Elektronen. Die Untersuchungen zum Quantentransport durch molekulare Strukturen sollen auf drei verschiedenen Ebenen vorangetrieben werden. Erweiterungen der Landauer-Büttiker-Theorie sind erforderlich. Neben den Kontaktfragen soll der Einfluß von Spinpolarisation diskutiert werden. Eine zentrale Fragestellung gilt den Möglichkeiten der Transportsimulation bzw. der Quanten-Leitfähigkeit im Rahmen der Superzellenmethode. Die Erhaltung der Translationssymmetrie würde den weiteren Einsatz der ebenen-Wellen-Codes [15] erlauben. Weiter soll der Einbau der Elektron-PhononWechselwirkung untersucht und die entsprechenden Programme um die Wechselwirkungseffekte erweitert werden. Ansprechpartner: B ECHSTEDT; G IES ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder LITERATUR Literatur 13 Beispiele von Promotionsthemen: 1. Simulation des Quantentransports auf molekularen Längenskalen 2. Konsequenzen von Spin-Bahn-Wechselwirkung und elektronischem Confinement auf Anregungseigenschaften 3. Quantentheorie und ab-initio-Modellierung molekularer Magneten Literatur [1] O. Gunnarson, B.I. Lundqvist, Exchange and correlation in atoms, molecules, and solids by the spin-density functional formalism, Phys. Rev. B13 (1976) 4274. [2] S.V. Faleev, M. van Schilfgaarde, T. Kotani, All-electron self-consistent GW approximation: Application to Si, MnO, and NiO, Phys. Rev. Lett. 93 (2004) 126406. [3] D. Hobbs, G. Kresse, J. Hafner, Fully unconstrained noncollinear magnetism within the projector augmented-wave method, Phys. Rev. B62 (2000) 11556. [4] M.G. Zacher, E. Arrigoni, W. Hanke, J.R. Schrieffer, Systematic numerical study of spin-charge separation in one dimension, Phys. Rev. B57 (1998) 6370. [5] S. Biermann, F. Aryasetiawan, A. Georges, First-Principles Approach to the Electronic Structure of Strongly Correlated Systems: Combining the GW Approximation and Dynamical Mean-Field Theory, Phys. Rev. Lett. 90 (2003) 08402. [6] S. Murakami, N. Nagaosa, S.-C. Zhang, Dissipationless Quantum Spin Current at Room Temperature, Science 301 (2003) 1348. [7] G. Kopnov, Z. Vager, R. Naaman, New Magnetic Properties of Silicon/Silicon Oxide Interface, Adv. Mater. 19 (2007) 925. [8] X. Huang, A. Makmal, J.R. Chelikowsky, L. Kronik, Size-dependent Spintronic Properties of Dilute Magnetic Semiconductor Nanocrystals, Phys. Rev. Lett. 94 (2005) 236801. [9] D. Gatteschi, A coupling powered by nature, Nature Materials 6 (2007) 471. [10] Y. Selzer, D.L. Allara, Single-Molecule Electrical Junctions, Ann. Rev. Phys. Chem. 57 (2006) 593. [11] N.J. Tsao, Electron transport in molecular junctions, Nature Materials 1 (2006) 173. [12] P.H. Hahn, W.G. Schmidt, F. Bechstedt, Bulk excitonic effects in surface optical spectra, Phys. Rev. Lett. 88 (2002) 016402. [13] F. Ortmann, W.G. Schmidt, F. Bechstedt, Attracted by long-range correlation: Adenine on graphite, Phys. Rev. Lett. 95 (2005) 186101. [14] A.A. Stekolnikov, K. Seino, F. Bechstedt, S. Wippermann, W.G. Schmidt, A. Calzolari, M.B. Nardelli, Hexagon versus trimer formation in In nanowires on Si(111): Energetics and quantum conductance, Phys. Rev. Lett. 98 (2007) 026105. [15] G. Kresse, J. Furthmüller, Efficient iterative schemes for ab initio total-energy calculations using a plane-wave basis set, Phys. Rev. B54 (1996) 11169. [16] C. Rödl, F. Fuchs, F. Furthmller, F. Bechstedt, Ab initio theory of excitons and optical properties of spin-polarized systems: Application to antiferromagnetic MnO, Phys. Rev. B (submitted). [17] K. Hannewald, S. Glutsch, F. Bechstedt, Quantum-kinetic theory of hot luminescence from pulseexcited semiconductors, Phys. Rev. Lett. 86 (2001) 2451. [18] K. Hannewald, P.A. Bobbert, Anisotropy effects in phonon-assisted charge-carrier transport in organic molecular crystals, Phys. Rev. B69 (2004) 075212. [19] K. Hannewald, P.A. Bobbert, Ab initio theory of charge-carrier conduction in ultrapure organic crystals, Appl. Phys. Lett. 85 (2004) 1535. ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder LITERATUR Literatur 14 5.2.3 Q3: Algorithmen für hochdimensionale Systeme Funktionalintegrale von Gitterfeldtheorien sind hoch-dimensionale (∼ 106 ) Integrale, die möglichst gut approximiert werden müssen. Die Wahl der Verfahren und deren Güte hängen stark vom Integranden ab. Es sollen für Quantenfeldtheorien mit Fermionen, die auf nicht-lokale und stark variierende Integranden führen, möglichst schnelle Algorithmen sowie effektive Inverter für auftretende Matrizen entwickelt und angewandt werden. Es soll untersucht werden, welche hochdimensionalen Probleme in der Quantentheorie mit vertretbarem Aufwand numerisch lösbar sind. Fragen der hochdimensionalen Integration werden seit etwa 15 Jahren systematisch untersucht, der begriffliche Rahmen und die wichtigsten Ergebnisse stammen von Woźniakowski und seinen Kollegen, auch aus Jena. Entscheidend für die Antwort ist neben dem Lösungsoperator die Funktionenklasse der Inputs, die problemabhängig betrachtet werden muß. Viele der bekannten Ergebnisse beziehen sich auf deterministische Algorithmen. Nun sind aber randomisierte Algorithmen (MC-Methoden) gerade im Fall hoher Dimension gebräuchlich und es ist bekannt, daß viele Probleme durch den Übergang zu randomisierten Algorithmen tractable werden. Über die Klassifikation derjenigen Probleme, die im randomisierten Fall tractable sind, ist noch wenig bekannt, es gibt aber erste Ergebnisse. Stand der Forschung R Es sei Fd eine Klasse von Integranden, die auf d oder auf [0, 1]d definiert und integrierbar sind. Das Integrationsproblem heißt tractable für die Klassen Fd für deterministische Algorithmen, falls die Rechenzeit t eines optimalen (deterministischen bzw. stochastischen) Algorithmus polynomial abhängt von d und ε−1 , wobei ε der erlaubte Fehler ist. Es gilt dann also die Abschätzung t(d, ε) ≤ C · dα ε−β mit gewissen Konstanten C, α, β > 0. Für die klassischen Funktionenklassen C k ([0, 1]) gilt t(d, ε) ≍ ε−d/k und das heißt, daß für diese Klassen das Integrationsproblem nicht tractable ist. Seit etwa 15 Jahren wird untersucht, welche Integrationsprobleme tractable sind. Durch die Einführung gewichteter Sobolevräume für die zu untersuchenden Funktionenklassen konnten für deterministische Algorithmen bereits interessante Resultate gefunden werden [1, 19]. Neben den dort untersuchten deterministischen Algorithmen bieten randomisierte Algorithmen (Monte-Carlo-Methoden) viel mehr Möglichkeiten [12] und die Frage, ob bestimmte Funktionenklassen tractable sind, stellt sich erneut. Jedoch ist die Zahl der hierzu bereits erschienen Arbeiten noch überschaubar, genannt seien z.B. [20, 21]. Eine wichtige Klasse randomisierter Algorithmen bilden die Markov-Ketten-Monte-Carlo (MCMC) Algorithmen. Von zentraler Bedeutung ist hierbei die Konstruktion einer geeigneten schnell-mischenden Markov-Kette. Es ist bekannt, daß sich die Eigenschaft der schnellen Mischung asymptotisch charakterisieren läßt durch den zweiten Eigenwert, die Autokorrelationszeit bzw. die Leitfähigkeit (conductance) der Kette, siehe [5, 9, 17]. Enthalten die Integranden Determinanten großer Matrizen, die von den Integrationsvariablen abhängen, dann existieren hierfür eine Reihe sogenannter hybrider Methoden [2, 4]. Diese Klasse von Integranden spielt bei der numerischen Behandlung von Quantenfeldtheorien mit dynamischen Fermionen eine tragende Rolle und so gibt es bis in die Gegenwart Anstrengungen, die verwandten Methoden und Techniken zu verbessern, siehe z.B. [6]. Insbesondere MultigridMonte-Carlo oder Mehrgitterverfahren [3] haben dabei an Bedeutung stark zugenommen. Eigene Vorabeiten Wir haben uns schon lange mit Monte-Carlo-Methoden beschäftigt, die Ergebnisse bis 1988 sind in [12] zusammengefaßt, spätere Ergebnisse findet man in [7, 13]. Seit Ende der neunziger Jahre beschäftigen wir uns intensiv mit hochdimensionalen Problemen, siehe die Übersicht [14]. Die ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder LITERATUR Literatur 15 erste Monographie [16] zu diesem Thema ist in Vorbereitung. Interessant ist wohl, daß einerseits die Stern-Diskrepanz (bzw. das äquivalente Integrationsproblem) tractable ist, siehe [8], aber andererseits die L2 -Diskrepanz nicht tractable ist, siehe [15]. Asymptotische Fehlerabschätzungen für MCMC sind bekannt, siehe [10] und die dort zitierten Arbeiten. Grundlegend ist der Begriff der schnellen Mischung bzw. der conductance (Leitfähigkeit). Die ersten expliziten, also nicht-asymptotischen, Fehlerabschätzungen für MCMC sind enthalten in [18]. Ziele und Arbeitsprogramm Eine wesentliche Frage ist schon ausgesprochen worden: Welche Integrationsprobleme sind tractable für randomisierte Algorithmen und was sind (in Abhängigkeit vom Integranden) optimale Algorithmen? Diese Frage hat mehrere Aspekte, die teilweise getrennt behandelt werden können. Die in [18] beschriebenen nicht-asymptotischen Fehlerabschätzungen sollen zunächst auf Spinsysteme übertragen werden. Von besonderem Interesse ist dabei die Bestimmung der Leitfähigkeit für existierende und Verwendung findende lokale und globale Algorithmen, wie z.B den Metropolis, Heatbath oder Clusteralgorithmus. Eine direkte feldtheoretische Verallgemeinerung von Spinsystemen stellen die nichtlinearen Sigmamodelle, insbesondere die O(N)-Modelle dar. Sie sollen im Anschluss unter denselben Gesichtspunkten untersucht werden. Im Hinblick auf ihre supersymmetrischen Erweiterungen sind während dieser Phase ferner die sogenannten hybriden Algorithmen von besonderer Bedeutung. Ausgehend von diesen Ergebnissen können die weiteren Untersuchungen zwei weiteren aber verschiedenen Verallgemeinerungen zugeordnet werden. Sind die Integrationsgebiete von Spinsystemen und nicht-linearen Sigma-Modellen noch kompakt, soll nun einerseits der Frage nachgegangen werden, inwieweit sich die gefundenen Ergebnisse auf Probleme mit nicht-kompakten Integrationsgebieten erweitern lassen. In diese Klasse fallen insbesondere die linearen Sigma- und Wess-Zumino-Modelle. Andererseits sind für die Behandlung von supersymmetrischen SigmaModellen effiziente Algorithmen zur Behandlung der notwendigerweise zu berücksichtigenden Fermiondeterminante wichtig. Für die damit auf die Form µ[φ] = exp (−S[φ]) · det(M [φ])) verallgemeinerte Integrandenklasse sollen eingeschränkt auf nicht-lineare supersymmetrische SigmaModelle vergleichende Aussagen über die in der Literatur verwandten Algorithmen gewonnen werden. Die beiden letztgenannten Schwerpunkte stehen gleichberechtigt nebeneinander und können wertvolle Impulse für die Untersuchung von supersymmetrischen Eichtheorien geben. Ansprechpartner: N OVAK ; W IPF Beispiele von Promotionsthemen: 1. Welche Integrationsprobleme sind tractable für randomisierte Algorithmen? 2. Funktionenklassen, die durch Feldtheorien auf dem Gitter motiviert sind: optimale Berechnung der Integrale in Abhängigkeit der Klassenparameter 3. Schnell mischende Markovketten für Spin-Modelle, Hard-Core-Modelle, Gitterfeldtheorien Literatur [1] J. Dick, I. H. Sloan, X. Wang, H. Woźniakowski, Liberating the weights, J. Complexity 20 (2004) 593. [2] S. Duane, A. D. Kennedy, B. J. Pendleton, D. Roweth, Hybrid Monte Carlo, Phys. Lett. B195 (1987) 216. [3] R. G. Edwards, J. Goodman, A. D. Sokal, Multi-grid Monte Carlo, Nucl. Phys. B354 (1991) 289. ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder LITERATUR Literatur 16 [4] S. A. Gottlieb, W. Liu, D. Toussaint, R. L. Renken, R. L. Sugar, Hybrid molecular dynamics algorithms for the numerical simulation of quantum chromodynamics, Phys. Rev. D35 (1987) 2531. [5] Y. Guan, S. M. Krone, Small world MCMC and convergence to multi-modal distributions: from slow mixing to fast mixing, Annals Appl. Prob. 17 (2007), 284. [6] M. Hasenbusch, Speeding up the Hybrid-Monte-Carlo algorithm for dynamical fermions, Phys. Lett. B519 (2001) 177. [7] S. Heinrich, E. Novak, H. Pfeiffer, How many random bits do we need for Monte Carlo integration?, In: Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods 2002. H. Niederreiter (ed.), Springer 2004, 27. [8] S. Heinrich, E. Novak, G. W. Wasilkowski, H. Woźniakowski, The inverse of the star discrepancy depends linearly on the dimension, Acta Arithmetica 96 (2001) 279. [9] L. Lovasz, M. Simonovits, Random walks in a convex body and an improved volume algorithm, Random Structures and Alg. 4 (1993), 359. [10] P. Mathé, E. Novak, Simple Monte Carlo and the Metropolis algorithm, J. 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[19] I. H. Sloan, X. Wang, H. Woźniakowski, Finite-order weights imply tractability of multivariate integration, J. Complexity 20 (2004) 46. [20] I. H. Sloan, H. Woźniakowski, When does Monte Carlo depend polynomially on the number of varables?, Monte Carlo and quasi-Monte Carlo methods 2002, p. 407, Springer, Berlin, 2004. [21] G. W. Wasilkowski, On polynomial-time property for a class of randomized quadratures, J. Complexity 20 (2004) 624. 5.2.4 Q4: Supersymmetrische Feldtheorien Supersymmetrische Feldtheorien sind wesentlicher Bestandteil fast aller physikalischen Modelle jenseits des Standardmodells und spielen eine entscheidende Rolle in der modernen Quantenfeldtheorie. Interessante und vielbeachtete Resultate über stark gekoppelte Eichtheorien mit erweiterter Supersymmetrie, zum Beispiel die Seiberg-Witten-Lösung für die N = 2-Eichtheorie [1] oder die von Maldacena vorgeschlagenen Dualitäten zwischen superkonformen Eichtheorien und Supergravitationstheorien im AdS-Raum [2], führten zu neuen und überraschenden Einsichten in das ungelöste Confinement-Problem. Ähnlich beeindruckende Resultate über die Äquivalenz von scheinbar verschiedenen supersymmetrischen Modellen beruhen auf der Mirrorsymmetrie (einer Variante der T-Dualität von Stringtheorien) für Modelle mit N = 2-Supersymmetrie auf der Weltfläche [3]. ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder LITERATUR Literatur 17 In diesen prominenten Beispielen spielt Supersymmetrie eine doppelte Rolle: Sie ermöglicht es, eine äquivalente Beschreibung der Theorien in dualen Variablen zu finden, und sie schützt bestimmte Größen (wie BPS-Zustände und Superpotentiale) vor Strahlungskorrekturen. Diese Nichtrenormierungstheoreme ermöglichen es auch in vielen anderen Fällen, starke Aussage über das Verhalten der Theorien bei niedrigen Energien zu machen (im Falle der Seiberg-Witten-Theorie beispielsweise läßt sich das effektive Potential exakt bestimmen). Stand der Forschung Kinetische D-Terme werden typischerweise nicht durch Supersymmetrie geschützt, ihre Renormierung läßt sich meist nur über störungstheoretische Rechnungen bestimmen. Diese sind in niedrigen Loop-Ordnungen bei schwacher Kopplung möglich und werden in der Arbeitsgruppe Quantenfeldtheorie in den unten beschriebenen Modellen auch durchgeführt. Das Verhalten bei starker Kopplung läßt sich in physikalischen Modellen ohne S-duale Beschreibung nicht mehr störungstheoretisch analysieren. Einen systematischen Zugang bietet hier eine Gitterformulierung von supersymmetrischen Feldtheorien. Allerdings bricht eine naive Gitterregularisierung die Supersymmetrie, und bereits für einfache Modelle mit Wilson-Fermionen sind die Fermion- und Boson-Massen im Kontinuumslimes verschieden [4]. Es lassen sich aber Diskretisierungen mancher supersymmetrischer Kontinuumstheorien konstruieren, bei denen ein Teil der Supersymmetrie erhalten bleibt. Als einfache Modelle, die viele Eigenschaften mit höherdimensionalen Theorien teilen, wurden beispielhaft N = (2, 2) -WessZumino-Modelle in zwei Dimensionen untersucht. Die Konstruktionen beruhen auf der Existenz von Nicolai-Abbildungen [5] (bei Theorien mit erweiterter Supersymmetrie sind diese lokal) oder der Beziehung zwischen supersymmetrischen Modellen und topologischen Feldtheorien [6, 7]. Exakte Gittertheorien in verschiedenen Dimensionen (im flachen Raum) und mit unterschiedlicher Anzahl von Supersymmetrien lassen sich unter bestimmten Bedingungen klassifizieren [8]. Gitterformulierungen von Sigma-Modellen [9] sind sowohl für Untersuchungen zur Mirror-Symmetrie als auch wegen ihrer Ähnlichkeit zur QCD [10] zur Untersuchung von Confinement interessant. Neuere Resultate über Simulationen von supersymmetrischen Feldtheorien (inkl. Brechung der Supersymmetrie) findet man zum Beispiel in [11]. Die Übertragung solcher Zugänge auf komplexere supersymmetrische Theorien und ein Vergleich der verschiedenen Gitterfermionen hinsichtlich ihrer Eignung für supersymmetrische Theorien sind noch weitgehend unerforscht. Eigene Vorarbeiten Supersymmetrische Systeme sind zentrales Forschungsthema der Arbeitsgruppe Quantenfeldtheorie. In [12] wurden die Grundzustände zweidimensionaler Wess-Zumino-Modelle auf Raumgittern im schwachen und starken Kopplungslimes berechnet und bewiesen, dass für einen beliebigen Wert der Kopplungskonstante ihre Anzahl gleich der Anzahl im starken Kopplungslimes ist. Es wurden ausgedehnte analytische und numerische Studien über Wess-Zumino-Modelle mit erweiterter Supersymmetrie auf Raumzeit-Gittern durchgeführt [14]. Ausgehend von einer NicolaiAbbildung wurden Gittermodelle mit exakter Supersymmetrie konstruiert und simuliert. Die Brechung von Symmetrien wurde über die Verletzung von Ward-Identitäten gemessen. Fermionund Bosonmassen wurden für verschiedene Arten von Gitterfermionen mit einer Genauigkeit bestimmt, wie sie für 4-dimensionale Eichtheorien in absehbarer Zeit unerreichbar bleiben werden. Dabei wurde u. a. ein Dirac-Operator mit nicht-standard Wilsonterm und cutoff-Effekten der Ordnung O(a2 ) konstruiert, der zu wesentlich genaueren Resultaten als der Standard-WilsonOperator führt. Die in der Literatur wegen ihrer Nichtlokalität kritisierte chirale und dopplerfreie SLAC-Ableitung führt ebenfalls zu hervorragenden Resultaten. Im vergangenen Jahr wurden in der Arbeitsgruppe Wess-Zumino-Modelle bei starker Kopplung ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder LITERATUR Literatur 18 untersucht [15] und erste Studien zu CP 1 -Modellen in verschiedenen Formulierungen angestellt. Bei den aufwändigen Simulationen mit dynamischen Fermionen, der dabei anfallenden Speicherverwaltung und Programmablaufsteuerung wurde die in Jena entwickelte objektorientierte Bibliothek jenLaTT erfolgreich eingesetzt. Auf der analytischen Seite wurden diese Simulationen durch störungstheoretische Berechnungen der effektiven Wirkung (u. a. bei nichtkonvexen Potentialen; vgl. auch Abschnitt 5.2.5) und der Massenquadrate gestützt. Zusätzlich konnte die Renormierbarkeit von Theorien mit der SLACAbleitung auf niedrigen Loop-Ordnungen gezeigt werden. Ziele und Arbeitsprogramm Bei den bisherigen Untersuchungen deutet sich an, daß das Nicolai-Improvement-Programm zur Konstruktion manifest supersymmetrischer Theorien auf dem Gitter für manche Fragestellungen (wie die Untersuchung der Einpunkt-Funktion eines Bosons in nichtkonvexen Potentialen mit entarteten Minima) bei starken Kopplungen Schwächen aufweist; hier ist eine Untersuchung von möglichen Alternativen geplant. Außerdem sollen Sigma-Modelle mit und ohne Supersymmetrie, das vierdimensionale Wess-Zumino-Modell und supersymmetrische Eichtheorien analytisch untersucht und simuliert werden. Für CP n -Modelle mit minimal gekoppelten Fermionen ist die fermionische Determinante berechenbar. Dies soll auch für die supersymmetrischen Theorien geleistet werden. Anschließend sollen diese mit analytisch berechneter Determinante simuliert werden. Für Wilson-, Overlap- und SLAC-Fermionen sollen topologische Suszeptibilitäten, Kondensate, Massen und Ward-Identitäten, auch bei endlichen Temperaturen und Dichten, bestimmt werden. Die Quantenkorrektur der Targetraumgeometrien und insbesondere der analytisch schwer zugänglichen D-Terme sind hier von Interesse. Erste Vorstudien für unterschiedliche Formulierungen dieser Modelle wurden in der Arbeitsgruppe angestellt. Parallel zu den Simulationen soll mit Hilfe von exakten und supersymmetrischen Flußgleichungen, verbesserten Molekularfeldnäherungen und large-N -Entwicklungen die Phasen und Phasenübergän-ge von Thirring-, Gross-Neveu- und ausgewählten Sigma-Modellen untersucht werden. Für aussagekräftige Vergleiche mit den Kontinuumstheorien werden die Modelle unter Verwendung verschiedener Gitterfermionen auf bis zu 64 × 64 großen Gittern simuliert. Dem Problem sehr kleiner und im Pseudofermionkern vereinzelt auftretender Eigenwerte soll mit einer angepassten Implementierung moderner Varianten des HMC-Algorithmus begegnet werden. Die zu erwartende Laufzeitersparnis ist für Simulationen mit nicht ultralokalen Fermionen notwendig. Dazu wird die am Lehrstuhl verwendete jenLaTT-Programmbibliothek entsprechend erweitert. Für die numerische Berechnung der Funktionalintegrale müssen Algorithmen zur Berechnung hochdimensionaler Integrale mit nicht-lokalen Integranden angepasst und optimiert werden. Dies soll auch in Zusammenarbeit mit den Kollegen des mathematischen Instituts geschehen. Ansprechpartner: W IPF ; G IES, N OVAK Beispiele von Promotionsthemen: 1. Supersymmetrische Eichtheorien bei starker Kopplung 2. Die Phasenstruktur von supersymmetrischen CP n -Modellen 3. Gittertheorien mit exakter getwisteter Supersymmetrie: Wardidentitäten und Spektrum Literatur [1] N. Seiberg, E. Witten, Electric-magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory, Nucl. Phys. B426 (1994) 19. ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder LITERATUR Literatur 19 [2] J.M. Maldacena, The large N limit of superconformal field theories and supergravity, Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 231. [3] W. Lerche, C. Vafa, N.P. Warner, Chiral rings in N=2 superconformal theories, Nucl. Phys. B324 (1989) 427. [4] S. Catterall and E. Gregory, A lattice path integral for supersymmetric quantum mechanics, Phys. Lett. B487 (2000) 349 [5] S. Cecotti and L. Girardello, Local Nicolai mappings in extended supersymmetry, IC/82/105. [6] E. Witten, Topological Quantum Field Theory, Comm. Math. Phys. 117 (1988) 353; S. Catteral, Lattice Supersymmetry and Topological Field Theory, JHEP 0305 (2003) 038; F. 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Catterall and S. Karamov, A Lattice Study of the Two-Dimensional Wess-Zumino Model, Phys. Rev. D68 (2003) 014503. [12] A. Kirchberg, J.D. Länge, A. Wipf, Extended susy and the Dirac operator, Ann. of Phys. 315 (2005) 467. [13] A. Kirchberg, J.D. Länge, A. Wipf, From the Dirac operator to Wess-Zumino-models on spatial lattices, Ann. of Phys. 316 (2005) 357. [14] G. Bergner, T. Kaestner, S. Uhlmann, A. Wipf, Low-dimensional supersymmetric lattice models, Ann. of Phys. 323 (2008) 946. [15] T. Kaestner, G. Bergner, S. Uhlmann, A. Wipf, C. Wozar, 2d Wess-Zumino models at strong coupling: analytical and numerical results, in preparation. 5.2.5 Q5: Effektive Wirkungen Die effektive Wirkung ist ein universelles Werkzeug der Quantenfeldtheorie und Quantenstatistik. Als erzeugendes Funktional für Vertexfunktionen bestimmt sie die Dynamik von Erwartungswerten der Felder. Sie kodiert die Effekte der Quantenfluktuationen in eine makroskopische Sprache, welche direkt mit physikalischen Observablen verknüpft ist. In der Euklidischen Formulierung wird sie zur freien Energie bei vorgegebenen makroskopischen Feld und bestimmt thermische Erwartungswerte. Die Berechnung von effektiven Wirkungen ist ein zentrales Problem in der Quantenfeldtheorie. Stand der Forschung Der Prototyp effektiver Wirkungen ist die Heisenberg-Euler-Wirkung [1, 2, 3], welche die von Quantenfluktuationen induzierte nichtlineare Verallgemeinerung der Maxwellschen Elektrodynamik beschreibt: Makroskopische elektrodynamische Felder können nichtlinear und nichtlokal vermöge virtueller Elektron-Positron-Zwischenzustände miteinander wechselwirken. Allgemeiner beschreiben effektive Wirkungen die fluktuationsinduzierten Wechselwirkungen zwischen makrosko- ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder LITERATUR Literatur 20 pischen Größen wie Hintergrundfeldern, Ordnungsparametern oder Randbedingungen (CasimirEffekt). In diesen verschiedenen physikalischen Situationen ist es oft notwendig, selbst bei schwacher Kopplung den Hintergrund nichtperturbativ zu berücksichtigen. Analytische Lösungen existieren jedoch nur für sehr spezielle Hintergründe mit hoher Symmetrie. Näherungsmethoden wie semiklassische Approximation [4], Ableitungsentwicklung [5], optische Approximation [6] haben in der Regel nur einen eingeschränkten und schwer abschätzbaren Gültigkeitsbereich. Auch die Integration der chiralen oder konformen Anomalie zur vollständigen Berechnung effektiver Wirkungen ist nur für einfache Feldtheorien oder spezielle Hintergrundfelder einsetzbar [7]. Für Quantensysteme bei starker Kopplung kann die inverse Monte-Carlo Methode eingesetzt werden um effektive Wirkungen für makroskopische Freiheitsgrade (coarse grained models) aus ab-initio Simulationen für die mikroskopischen Feiheitsgrade abzuleiten [8]. In vielen Fällen ist diese Rekonstruktion der effektiven Dynamik eindeutig. Die Methode wurde z.B. erfolgreich bei der Modellierung von Atomstrukturen aus Streudaten, effektiver Teilchendynamik in weicher Materie oder der Datenanalyse eingesetzt. Eigene Vorarbeiten Es wurden mehrere effiziente ab-initio Methoden zur Berechnung effektiver Wirkungen entwickelt und erfolgreich bei der Untersuchung physikalisch interessanter Systeme eingesetzt. Für effektive Wirkungen mit Ein-Schleifen-Struktur ist die Weltliniennumerik numerisch exakt und kann algorithmisch unabhängig vom Hintergrund formuliert werden [9, 10]. Sie beruht auf einer Kombination des “string-inspirierten” Weltlinienzugangs zur Quantenfeldtheorie [11] mit numerischen Monte-Carlo-Techniken. Quantenfluktuationen werden auf Zufallspfade abgebildet, welche selbst für komplizierteste Hintergründe numerisch leicht behandelt werden können. Damit konnten zum ersten Mal systematisch Casimir-Effekte in experimentell relevanten Geometrien studiert [12, 13] und Heisenberg-Euler-Wirkungen in der QED für beliebig inhomogene Hintergrundfelder berechnet werden [14]. Darüber hinaus konnten mit Hilfe der Weltliniennumerik erste neue Wege für nichtperturbative effektive Wirkungen beschritten werden [15, 16]. Eine weitere Methode für effektive Wirkungen wurde anhand von effektiven Theorien für Polyakovschleifen entwicklelt. Polyakovschleifen dienen als Ordnungsparameter für das Confinement von Farbladungen in der Gluodynamik bei endlichen Temperaturen. Dazu wurde die in Feldtheorien bisher wenig eingesetzte inverse Monte-Carlo Methode in Kombination mit neuen geometrischen Schwinger-Dyson Gleichungen [19] entwickelt und eingesetzt [17]. Die berechneten effektiven Theorien sind interessante feldtheoretische Verallgemeinerungen der Pottsmodelle, und ihre Phasendiagramme wurden in [18] bestimmt. Ziele und Arbeitsprogramm Ziel des Projekts ist die Fortentwicklung moderner Methoden zur Berechnung effektiver Wirkungen und Potentiale anhand von konkreten physikalischen Systemen. Mit der inversen MC Methode in Kombination mit Schwinger-Dyson Gleichungen oder alternativ mit der Dämon-Methode [20] sollen effektive Wirkungen für ortsabhängige Ordnungsparameter berechnet werden. Zuerst wird die effektive Dynamik der Polyakovloops in der QCD mit statischen Quarks und chemischem Potential modelliert. In der Nähe des Phasenübergangs wird die effektive Wirkung durch verallgemeinerte feldtheoretische Pottsmodelle beschrieben. Mit der inversen MC Methode sollen genaue Werte für die Parameter der effektiven Modelle bei endlicher Temperatur und imaginärem chemischen Potential bestimmt werden. Mit Konfigurationen aus dem International Lattice Data Grid werden anschießend effektive Wirkungen für Polyakovschleifen in der QCD mit dynamischen Quarks extrahiert. Diese sind nicht mehr zentrumsinvariant und enthal———————————— Quanten- und Gravitationsfelder LITERATUR Literatur 21 ten wesentlich mehr Terme als in der Gluodynamik. Für Systeme mit Phasenübergängen erster Ordnung wird die inverse MC-Methode instabil und nach ersten Voruntersuchungen liefert die wenig untersuchte Dämon-Methode hier stabilere Resultate für die effektive Wirkung. Parallel zu den Simulationen soll die vielversprechende Dämon-Methode analytisch untersucht und für ihren Einsatz in Eichtheorien und Supersymmetrischen Feldtheorien weiterentwickelt werden. Auch eine Erweiterung der Weltliniennumerik auf nicht-abelsche Hintergründe öffnet das Tor zur QCD; hier ist das Pendant zur Heisenberg-Euler-Wirkung durch die Quark-Determinante gegeben, welche in Gittersimulationen von Bedeutung ist. Die Effizienz und Genauigkeit der Weltliniennumerik soll zunächst an analytisch bekannten Beispielen getestet werden. Der wesentliche Schritt besteht in der numerischen Implementierung der Pfadordnung entlang der Weltlinien. Schließlich sollen effektive Wirkungen für phänomenologisch relevante Feldformen studiert werden. Diese Wirkungen können bislang beispielosen quantitativen Aufschluß über Quarkfluktuationsrückwirkungen auf nicht-abelschen Feldkonfigurationen geben. Mit Blick auf Anwendungen in der frühen Kosmologie und der Physik Schwarzer Löcher ist die Ausdehung der Weltliniennumerik auf Gravitationshintergründe von Interesse. Analytische Methoden wurden für diesen Fall kürzlich ausgearbeitet [21]. Während die analytischen Techniken im Allgemeinen eine Vielzahl von Weltlinien-Hilfsfeldern (ghosts) benötigen, bietet die Weltliniennumerik die Möglichkeit, gravitative Hintergründe direkt durch eine geeignete Realisierung des Weltlinienpfadintegrals zu implementieren. Die zuvor entwickelten numerischen Techniken können dann sofort auf gravitative Hintergründe verallgemeinert werden. Die wesentliche Aufgabe besteht also in der Entwicklung von geeigneten Algorithmen für die Weltlinienerzeugung. Da lokale update Algorithmen bei ein-dimensionalen Weltlinien zu langen Autokorrelationszeiten führen, sollen alternativ Hybrid-Monte-Carlo Algorithmen entwickelt werden. Erste Tests sollen an effektiven Wirkungen für skalare Fluktuationen auf (Anti-)de-Sitter-Räumen durchgeführt werden. Von besonderem Interesse sind effektive Wirkungen für Quantenprozesse auf Metriken Schwarzer Löcher [22]. Ansprechpartner: G IES, W IPF Beispiele von Promotionsthemen: 1. 2. 3. 4. Polyakovloop-Dynamik bei endlicher Dichte und Temperatur Inverse Monte-Carlo und Dämon-Methoden für Eichfeldtheorien mit dynamischen Quarks Weltlinienmethoden für effektive Wirkungen für nicht-abelschen Feldern Fluktuationsinduzierte effektive Wirkungen für Quantenfeldtheorien mit Gravitation Literatur [1] W. Heisenberg, H. Euler, Consequences Of Dirac’s Theory Of Positrons, Z. Phys. 98 (1936) 714. [2] S. Blau, M. Visser, A. Wipf, Analytical Results for the Eff. Action, Int. J. Mod. Phys. A6, 5409 (1991). [3] W. Dittrich, H. Gies, Probing the quantum vacuum. Perturbative effective action approach in quantum electrodynamics and its application, Monograph, Springer Tracts Mod. Phys. 166 (2000) 1. [4] E. Brezin, C. Itzykson, Pair Production in Vacuum by an Altern. Field, Phys. Rev. D2 (1970) 1191. [5] V. P. Gusynin, I. A. Shovkovy, Derivative expansion of the effective action for QED in 2+1 and 3+1 dimensions, J. Math. Phys. 40 (1999) 5406. [6] A. Scardicchio, R.L. Jaffe, Casimir Effects: An Optical Approach, Nucl. Phys. B704 (2005) 552; Phys. Rev. Lett. 92 (2004) 070402. [7] S. Blau, M. Visser, A. Wipf, Determinants, Dirac Operators and One-Loops Physics, Int. J. Mod. Phys. A4 (1989) 1467. ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder LITERATUR 5.3 G: Gravitationsfelder 22 [8] M. Falcioni, G. Martinelli, M. Paciello, G. Parisi,B. Taglienti, A new proposal for the determination of the renormalization group trajectories by Monte Carlo renormalization group method, Nucl. Phys. B265 (1986) 187. [9] H. Gies, K. Langfeld, Quantum diffusion of magnetic fields in a numerical worldline approach, Nucl. Phys. B613 (2001) 353. [10] H. Gies und K. Langfeld, Loops and loop clouds: A numerical approach to the worldline formalism in QED, Int. J. Mod. Phys. A17 (2002) 966. [11] C. Schubert, Perturbative quantum field theory in the string-inspired formalism, Phys. Rept. 355 (2001) 73; H. Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , World Scientific, Singapore (2004). [12] H. Gies, K. Langfeld, L. Moyaerts, Casimir effect on the worldline, JHEP 0306 (2003) 018. [13] H. Gies, K. Klingmuller, Casimir effect for curved geometries: PFA validity limits, Phys. Rev. Lett. 96 (2006) 220401; H. Gies, K. Klingmuller, Casimir edge effects, Phys. Rev. Lett. 97 (2006) 220405. [14] K. Langfeld, L. Moyaerts, H. Gies, Fermion-induced quantum action of vortex systems, Nucl. Phys. B646 (2002) 158; H. Gies, K. Klingmuller, Pair production in inhomogeneous fields, Phys. Rev. D72 (2005) 065001. [15] H. Gies, J. Sanchez-Guillen, R. A. Vazquez, Quantum effective actions from nonperturbative worldline dynamics, JHEP 0508 (2005) 067. [16] G. V. Dunne, Q. h. Wang, H. Gies, C. Schubert, Worldline instantons. II: The fluctuation prefactor, Phys. Rev. D73 (2006) 065028. [17] L. Dittmann, T. Heinzl, A. Wipf, An effective lattice theory for Polyakov loops JHEP 0406 (2004) 005; T. Heinzl, T. Kaestner, A. Wipf, Effective Actions for the SU(2) Confinement–Deconfinement Phase Transition, Phys. Rev. D72 (2005) 065005. [18] C. Wozar, T. Kaestner, A. Wipf, T. Heinzl, B. Pozsgay, Phase Structure of Z3-Polyakov-Loop Models, Phys. Rev. D74 (2006) 114501. [19] S. Uhlmann, R. Meinel, A. Wipf, Ward Identities for Invariant Group Integrals, J. Phys. A40 (2007) 4367. [20] M. Creutz, A. Gocksch, M. Ogilvie, M. Okawa, Masanori, Microcanonical Renormalization Group, Phys. Rev. Lett. 53 (1984) 875; M. Hasenbusch, K. Pinn, C. Wieczerkowski, Canonical Demon Monte Carlo Renormalization Group, Phys. Lett. B338 (1994) 308. [21] F. Bastianelli, C. Schubert, One loop photon graviton mixing in an electromagnetic field, JHEP 0502 (2005) 069; JHEP 0711 (2007) 099. [22] V. Mukhanov, A. Wipf, A. Zelnikov, On 4-D Hawking Radiation From Effective Action, Phys. Lett. B332 (1994) 283. 5.3 G: Gravitationsfelder 5.3.1 G1: Gravitierende Binärsysteme mit Spin Für kompakte Binärsysteme mit nicht-rotierenden Komponenten haben sich post-Newtonsche (pN) Näherungsverfahren als besonders erfolgreich erwiesen (in expliziten analytischen Rechnungen wurde hierin die 3,5pN-Ordnung erreicht, d.h. Ordnung (1/c2 )3,5 , wobei c die Lichtgeschwindigkeit bedeutet). Obgleich pN-Näherungsverfahren schwache Gravitationsfelder und kleine Geschwindigkeiten (v < c/3) voraussetzen, eignen diese sich zur Beschreibung der Niedergeschwindigkeitsbewegung von kompakten Objekten (Neutronensterne, Schwarze Löcher), da dabei die starke Eigengravitation der Himmelskörper in hohem Maße eingefroren und somit von der Bahnbewegung abgekoppelt ist. Stand der Forschung ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder LITERATUR 5.3 G: Gravitationsfelder 23 Als isolierte Einzelobjekte sind rotierende Schwarze Löcher wohlbekannte strenge Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen. Die Bewegung von Testteilchen ohne Spin (Monopol-Teilchen) oder mit Spin (Pol-Dipol-Teilchen) wurde in der Kerr-Metrik oder ihrem spinlosen Grenzfall der Schwarschild-Metrik vielfach untersucht und beschrieben, basierend auf den Bahn- und SpinBewegungsgleichungen von Papapetrou [1]. Als äußerst schwierig hat es sich jedoch erwiesen, die Bewegungsgleichungen von zwei (oder auch mehreren) rotierenden selbstgravitierenden Körpern in deren gemeinsamen Gravitationsfeld zu formulieren [2, 3, 4], und außer den führenden post-Newtonschen Ordnungen der Spin-Bahn- (1,5pN-Ordnung) und Spin-Spin- (2pNOrdnung) Wechselwirkung, siehe z.B. [5, 6], sind nur Wechselwirkungsausdrücke auf der nächst höheren post-Newtonschen Ebene bekannt; das ist für die Spin-Bahn-Kopplung, die 2,5pN-Ebene [7, 8, 9, 10] und für die Spin-Spin-Kopplung, die 3pN-Ebene [11]. Somit liegt gegenwärtig im Problem der Bewegung eines Systems zweier rotierender Schwarzer Löcher nur ein sehr grobes Model von zwei Pol-Dipol-Teilchen mit in führenden Ordnungen gravitativ wechselwirkender Teilchen vor. Die durch die Rotation der Schwarzen Löcher bedingten Deformationen und die daraus resultierenden höheren Multipole der Schwarzen Löcher sind in einem Binärsystem auf der Quadrupolebene in führender Ordnung bekannt, siehe etwa [12], und können bei Bedarf in die Binärdynamik mit einbezogen werden. Einige Wechselwirkungsterme der nächst höheren pN-Ordnung wurden in [13] angegeben. Eigene Vorbeiten: Frühere eigene Vorarbeiten liegen auf dem Gebiet der Dynamik von binären Schwarzen Löchern ohne Spin. Hierbei wurde erstmalig die Bahndynamik binärer Schwarzer Löcher voll-explizit bis zur 3,5pN-Ordnung einschließlich berechnet [14, 15]. In neuester Zeit wurden richtungsweisende Resultate auf dem Gebiet der Dynamik binärer Schwarzer Löcher mit Spin erzielt [10, 13, 11], insofern als kürzlich ein Durchbruch in Richtung Hamiltonscher Formulierung der gravitativen Wechselwirkung kompakter Objekte mit Spin gelungen ist. Des weiteren wurden analytische Lösungen der Bahnbewegungen spinfreier Binärsysteme auf der 3pN-Ebene konstruiert [16], und es wurden explizite Lösungen der Bahn- und Spinbewegungen unter Einbeziehung der Spin-BahnWechselwirkung führender Ordnung gefunden [17, 18]. Ziele und Arbeitsprogramm Ziele sind die Herleitung von post-Newtonschen Bahn- und Spin-Bewegungsgleichungen höherer pN-Ordnung für zwei rotierende Schwarzer Löcher im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie sowie die Konstruktion analytischer Lösungen dieser Bewegungsgleichungen für Spezialfälle bzw. numerische Lösungen für allgemeinere Fälle. Das Arbeitsprogramm sieht vor: (i) die explizite Berechnung der Spin- und Bahn-Bewegungsgleichungen für Schwarze Löcher in Hamiltonscher Form auf der 3,5pN-Spin-Bahn-Wechselwirkungsebene, (ii) die Konstruktion analytischer und semi-analytischer Lösungen der Bewegungsgleichungen aus (i), (iii) die explizite Berechnung der Spin- und Bahn-Bewegungsgleichungen Schwarzer Löcher in Hamiltonscher Form auf der 4pN-Spin-Spin-Wechselwirkungsebene, (iv) die Konstruktion analytischer und semi-analytischer Lösungen der Spin- und Bahnbewegungsgleichungen aus (iii). Das Forschungsprogramm ist von großer Bedeutung für die Numerische Relativitätstheorie (G4), da im physikalischen Überlappungsbereich beider Vorgehensweisen Vergleiche angestellt und wechselseitig Daten übernommen werden können. Im Schwerpunktsystem, d.h. beim effektiven Einkörperproblem, wird es Verbindungen zu Killing(-Yano)-Tensoren und damit zu G2 geben insofern geeignet genäherte effektive Metriken Symmetrien aufweisen können. Des Weiteren gibt es interessante methodische Beziehungen zu Teilprojekten im ersten Schwerpunkt, insbesondere Q2, die auf der Behandlung von wechselwirkenden Objekten mit Spin sowie der Verwendung von ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder LITERATUR Literatur 24 Energie-Impuls-Tensoren beruhen. Ansprechpartner: S CH ÄFER , B R ÜGMANN Beispiele von Promotionsthemen: 1. Die Energie-Impuls-Tensor-Stromalgebra gravitierender klassischer Teilchen mit Spin 2. Hamiltonsche 3,5pN-Spin-Bahn- und 4pN-Spin-Spin-Dynamik binärer Schwarzer Löcher 3. Bahn- und Spin-Bewegungen binärer Schwarzer Löcher in hohen pN-Ordnungen Literatur [1] A. Papapetrou, Spinning test-particles in general relativity. I, Proc. Roy. Soc. London A209 (1951) 248. [2] W. Tulczyjew, Equations of motion of rotating bodies in general relativity, Acta Phys. Polon. 18 (1959) 37; Motion of multipole particles in general relativity, Acta Phys. Polon. 18 (1959) 393. [3] W. G. 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Schäfer, The binary black-hole dynamics at the third-and-a-half postNewtonian order in the ADM-formalism, Phys. Rev. D68 (2003) 044004. [16] R.-M. Memmesheimer, A. Gopakumar, G. Schäfer, Third post-Newtonian accurate generalized quasi-Keplerian parametrization for compact binaries in eccentric orbits, Phys. Rev. D70 (2004) 104011. [17] C. Königsdörffer, A. Gopakumar, Post-Newtonian accurate parametric solution to the dynamics of spinning compact binaries in eccentric orbits: The leading order spin-orbit interaction, Phys. Rev. D71 (2005) 024039. [18] C. Königsdörffer, A. Gopakumar, Parametric derivation of the observable relativistic periastron advance for binary pulsars, Phys. Rev. D73 (2006) 044011. ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder LITERATUR Literatur 25 5.3.2 G2: Killing-Tensoren Killing- und Killing-Yano-Tensoren entsprechen Erhaltunsgrössen, die polynomial in der Geschwindigkeitsvariablen sind. Seit Jacobi ist bekannt, dass solche Erhaltungsgrössen für die qualitative und quantitative Beschreibung von Geodäten nützlich sind. Zum Beispiel erlaubt uns die Existenz von Killing-Tensoren der Stufe 2 ein Koordinatensystem zu finden, für das die Geodätengleichungen in der Kerr-Metrik ungekoppelte gewöhnliche Differentialgleichungen einer Variablen sind. Killing-Tensoren kommen auch in apriori rein geometrischen Aufgaben natürlich vor. In vorliegenden Projekt werden sie in der Theorie von geodätisch äquivalenten Metriken angewendet. Zwei Metriken g und ḡ heissen geodätisch äquivalent sind, falls jede (umparametrisierte) g−Geodäte eine ḡ−Geodäte ist. Die Theorie ist sehr klassisch: die ersten Beispiele fand Lagrange 1789, die ersten nichttrivialen Ergebnisse stammen von Beltrami 1865 und Levi-Civita 1896. Im vorliegenden Teilprojekt sollen Krümmungsinvarianten konstruiert und untersucht werden, die genau dann verschwinden, wenn die gegebene Metrik Killing-Tensoren bzw. eine geodätisch äquivalente Metrik zuläßt. Schwerpunktmässig werden Einstein Metriken untersucht. Hier ist Zusammenarbeit mit Teilprojekten G1 und G3 geplant: die Metriken (und auch die effektiven Metriken), die in diesen Teilprojekten vorkommen, werden nach Killing- und nach Killing-Yano-Tensoren (weil die letzte für Untersuchung von Systeme mit Spin besser geeignet sind) gründlich untersucht, was eventuell auch eine quantative Beschreibung von Trajektorien in solchen Metriken erleichtern kann. Die Metriken, die mehrere (≥ dim(M )) unabhängige Killing-Tensoren gestatten (sogenannte superintegrable Metriken) kommen auch bei der Untersuchung von Supersymmetrien vor; hier besteht eine Verbindung zum Teilprojekt Q4. Stand der Forschung Die Untersuchung von Killing-Tensoren ist ein klassisches Gebiet der mathematischen Physik und Differentialgeometrie. Hauptsächlich hat man Killing-Tensoren für spezielle Metriken untersucht (etwa für die Räume von konstanter Krümmung, sieh z.B. [13]), und Beispiele von Metriken gesucht, die mehrere Killing-Tensoren gestatten, siehe z.B. [2]. Man hat bereits mehrere Beispiele von Einstein-Metriken gefunden, die Killing-Tensoren gestatten, siehe z.B. [21, §35.3] oder [8]. Da die Killing-Gleichungen linear und von endlichen Typ sind, kann man mit Hilfe der prolongationprojection method algorithmisch die Krümmungsinvarianten konstruieren, die genau dann verschwinden, falls die Metrik Killing-Tensoren gestatten. In Wirklichkeit ist der Algorithmus rechnerisch zu kompliziert (sogar im 2-dim Fall, siehe z.B. [14, 7]), um ihn direkt anzuwenden. Die neuen Methoden, Killing-Tensoren zu studieren kommen aus der Feldtheorie: die Killing-Gleichungen kann man als Zusammenhang (dieser wird Killing-Zusammenhang heißen) auf dem projektiven Traktor-Bündel betrachten, und die Krümmungsinvarianten, die für Existenz von Lösungen von Killing-Gleichung verantwortlich sind, sind die Krümmungen des Zusammenhangs [10, 11]. Man kann solche Krümmungsinvarinaten mit Hilfe von sogenannten Traktor-Kalkül gewinnen. Diese Methode ist für Untersuchung von Einstein-Metriken ganz gut geeignet, weil in diesem Fall der projektive Zusammenhang besonders einfach aussieht. Wir hoffen in diesem Fall alle solche Krümmungsinvarianten explizit konstruieren. Man kann geodätisch äquivalente Metriken als Spezialfall von Killing-Tensoren 2. Stufe betrachten, siehe [3, 22]. Diese Beobachtung hat uns erlaubt, die lokalen Ergebnisse der Theorie von geodätisch äquivalenten Metriken global (d.h., wenn die Mannigfaltigkeit kompakt oder vollständig ist) anzuwenden, und im Riemannschen Fall mehrere klassische Aufgaben zu lösen, siehe [15, 16, 18]. Die lokale Untersuchung von geodätisch äquivalenten Einstein-Metriken wurde für 4-dim ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder LITERATUR Literatur 26 Ricci-flachen Metriken z.B. in [1, 20, 12] durchgeführt. Wir werden diese Ergebnisse für alle Dimensionen und für beliebige Einstein-Metriken verallgemeinern und für vollständige Mannigfaltigkeiten anzuwenden. Eigene Vorarbeiten Killing-Tensoren und geodätisch äquivalente Metriken sind das zentrale Forschungsthema der Arbeitsgruppe Geometrie. Haupsächtlich wurden die Riemannschen Metriken untersucht, unter der Annahme, dass die Mannigfaltigkeit kompakt oder vollständig ist. In diesem Fall haben wir fast alle natürlichen Probleme gelöst, wie z.B. das Problem von Beltrami [15, 17] und die Vermutung von Lichnerowicz. Aus diesen Ergebnissen folgt insbesondere, dass die Riemannschen Einstein Metriken auf kompakten oder vollständigen Mannigfaltigkeiten geodätisch starr sind, d.h., die unparametrisierte Geodäten bestimmen die Metrik bis auf Vielfachheit. Außerdem haben wir neue Beispiele von Metriken auf kompakten Flächen konstruiert, die Killing-Tensoren 3. Stufe gestatten, siehe [9]. Die Arbeitsgruppe versucht jetzt, ähnliche Methoden für pseudo-Riemannschen Metriken anzuwenden. Vor kurzen ist es uns gelungen, zwei klassische Probleme von S. Lie 1882 zu lösen [6, 19] sowie alle pseudo-Riemannschen 2-dim Mannigfaltigkeiten, die Killing-Tensoren der 2. Stufe gestatten, vollständig zu beschreiben [4, 5]. Ziele und Arbeitsprogramm Es sollen Krümmungsinvarianten für die Einstein-Metriken konstruiert werden, die verschwinden falls der Raum von Killing-Tensoren (geodätisch äquivalente Metriken, Killing-Yano-Tensoren) genügend gross ist. Schwerpunktmässig werden auch die Metriken aus den Teilprojekten G1, G3 untersucht; für die im Teilprojekt G1 auftretenden Metriken wird auch der Raum der Killing-YanoTensoren grundsätzlich untersucht. Es sollen alle Metriken gefunden werden, deren Raum von Killing-Tensoren genügend gross ist. Hier besteht eine Querverbindung zu den Untersuchung von supersymmetrischen Modellen im Teilprojekt Q4. Die folgende Starrheitsvermutung (die im Riemannschen Fall richtig ist, und lokal falsch ist) soll bewiesen oder widerlegt werden: Die unparametrisierten Geodäten der vollständigen EinsteinMetriken bestimmen die bis auf Vielfchheit Metriken eindeutig. Ansprechpartner: M ATVEEV; S CH ÄFER , W IPF Beispiele von Promotionsthemen: 1. Killing-Tensoren zweiter Stufe und Erhaltungsgrößen für Systeme mit Spin auf kompakten Mannigfaltigkeiten 2. Existenz einer Einstein-Metrik mit gegebenem projektiven Zusammenhang 3. Killing-Tensoren 2. Stufe für Einstein-Metriken und Quanten-Integrabilität 4. Projektive Transformationen von Einstein-Räumen Literatur [1] A. Barnes, Projective collineations in Einstein spaces. Classical Quantum Gravity 10 (1993) 1139. [2] S. Benenti, Special symmetric two-tensors, equivalent dynamical systems, cofactor and bi-cofactor systems, Acta Appl. Math. 87 (2005) 33. [3] A. V. Bolsinov, V. S. Matveev, Geometrical interpretation of Benenti’s systems, J. of Geometry and Physics, 44 (2003) 489. ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder LITERATUR Literatur 27 [4] A. V. Bolsinov, V. S. Matveev, G. Pucacco, Dini theorem for pseudo-Riemannian metrics, arXiv:0802.2346. [5] A. V. Bolsinov, V. S. Matveev, G. Pucacco, Normal forms for pseudo-Riemannian 2-dimensional metrics whose geodesic flows admit integrals quadratic in momenta, arXiv:0803.0289, submitted to J. Geom. Phys. [6] R. L. Bryant, G. Manno, V. S. Matveev, A solution of a problem of Sophus Lie: Normal forms of 2-dim metrics admitting two projective vector fields, Math. Ann., 340 (2008) 437. [7] R. L. Bryant, M. Dunajski, M. Eastwood, Metrisability of two-dimensional projective structures, arXiv:0801.0300 [8] Z.-W. Chong, G. W. Gibbons, H. Lu, C.N. Pope, Separability and Killing tensors in Kerr-Taub-NUT-de Sitter metrics in higher dimensions, Phys. Lett. B609 (2005) 124. [9] H. R. Dullin, V. S. Matveev, New integrable system on the sphere, Math. Res. Lett. 11 (2004) 715. [10] M. Eastwood, Notes on projective differential geometry, Symmetries and Overdetermined Systems of Partial Differential Equations (Minneapolis, MN, 2006), 41-61, IMA Vol. Math. Appl., 144 (2007), Springer, New York. [11] M. Eastwood, V. S. Matveev, Metric connections in projective differential geometry, Symmetries and Overdetermined Systems of Partial Differential Equations (Minneapolis, MN, 2006), 339–351, IMA Vol. Math. Appl., 144 (2007), Springer, New York. [12] G. S. Hall, Symmetries and curvature structure in general relativity, World Scientific Lecture Notes in Physics, 46 (2006). [13] E. G. Kalnins, Separation of variables for Riemannian spaces of constant curvature, Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 28. Longman Scientific & Technical, Harlow; John Wiley & Sons, Inc., New York, 1986. [14] B. Kruglikov, Invariant characterization of Liouville metrics and polynomial integrals, arXiv:0709.0423 [15] V. S. Matveev, Three-dimensional manifolds having metrics with the same geodesics, Topology 42 (2003) 1371. [16] V. S. Matveev, Hyperbolic manifolds are geodesically rigid, Invent. math. 151 (2003) 579. [17] V. S. Matveev, Beltrami problem, Lichnerowicz-Obata conjecture and applications of integrable systems in differential geometry, Tr. Semin. Vektorn. Tenzorn. Anal, 26 (2005), 214. [18] V. S. Matveev, Proof of projective Lichnerowicz-Obata conjecture, J. Diff. Geom. 75 (2007) 459. [19] V. S. Matveev, A solution of another problem of Sophus Lie: 2-dimensional metrics admitting precisely one projective vector field, arXiv:0802.2344, submitted to Math. Ann. [20] A. Z. Petrov, Einstein spaces, Pergamon Press, Oxford-Edinburgh-New York 1969. [21] H. Stephani, D. Kramer, M. MacCallum, C. Hoenselaers, E. Herlt, Exact solutions of Einstein’s field equations. Second edition, Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, Cambridge, 2003. [22] P. J. Topalov, V. S. Matveev, Geodesic equivalence via integrability, Geometriae Dedicata 96 (2003) 91. 5.3.3 G3: Stationäre und axialsymmetrische Vakuum-Gravitationsfelder Die stationären und axialsymmetrischen Vakuum-Einstein-Gleichungen, wie sie im Außenraum rotierender Gleichgewichtskonfigurationen gelten, sind äquivalent zur sogenannten Ernst-Gleichung, die mit Methoden aus der Solitonentheorie (“Bäcklundtransformation”, “inverse Streumethode”) behandelt werden kann. Mittels Bäcklundtransformation können spezielle exakte Lösungen gewonnen werden. Die inverse Streumethode gestattet im Prinzip die Lösung von Randwertproblemen. Im Rahmen dieses Teilprojektes sollen weitere Beiträge hierzu geleistet und physikalische ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder LITERATUR Literatur 28 Anwendungensmöglichkeiten untersucht werden. Stand der Forschung Bisher gibt es zwei strenge Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen, die das globale Gravitationsfeld rotierender Objekte beschreiben: Die Kerr-Lösung für ein rotierendes Schwarzes Loch [1] und die Neugebauer-Meinel-Lösung für eine mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierende Staubscheibe [2]. Beide Lösungen können mit Hilfe der inversen Streumethode systematisch hergeleitet werden, da sich die entsprechenden physikalischen Probleme als Randwertprobleme für die Ernstgleichung formulieren lassen [3]. Probleme differentiell rotierender Staubscheiben (d.h. mit ortsabhängiger Winkelgeschwindigkeit) oder auch rotierender Staubringe mit zentralen (ebenfalls rotierenden) Schwarzen Löchern lassen sich auch als Randwertprobleme der Ernstgleichung formulieren, bisher gibt es jedoch nur numerische Resultate [4, 5]. Die Anwendung der inversen Streumethode ist hier wesentlich komplizierter, für das letztgenannte Problem insbesondere wegen der veränderten Topologie. Eigene Vorbeiten Neben den bereits genannten Arbeiten [2] und [3] ist eine Arbeit zu Dirichlet-Problemen der Ernstgleichung zu nennen, in der Solitonenmethoden (hier: Bäcklundtransformationen) mit numerischen Verfahren verbunden werden [6]. Dabei konnte unter anderem gezeigt werden, daß Dirichlet-Probleme der Ernstgleichung nicht immer eine Lösung haben. In den letzten Jahren wurden außerdem Gleichgewichtskonfigurationen rotierender Flüssigkeitskörper im Rahmen des SFB/TR 7 “Gravitationswellenastronomie”, Teilprojekt B1 “Rotierende Neutronensterne und Schwarze Löcher”, systematisch untersucht, siehe zum Beispiel [7, 8, 9, 10, 11]. Es ist zu beachten, daß die Einsteinschen Feldgleichungen nur im Außenfeld äquivalent zur Ernstgleichung sind, die Solitonenmethoden für das Innere der Flüssigkeit also nicht anwendbar sind. Deshalb sind numerische Verfahren hier unvermeidlich – spektrale Methoden haben sich bestens bewährt. Ziele und Arbeitsprogramm Geplant ist die Konstruktion von Lösungen für differentiell rotierende Staubscheiben und für rotierende Staubringe mit zentralem Schwarzen Loch. Dabei sollen Methoden der Solitonentheorie (insbesondere die inverse Streumethode) zur Anwendung kommen. Die Untersuchung der Stabilität derartiger Konfigurationen kann dann mit Methoden der Numerischen Relativitätstheorie (G4) in Angriff genommen werden. Daneben sollen die Lösungsmethoden selbst weiterentwickelt und zur Beantwortung von Fragen nach der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung von Randwertproblemen herangezogen werden. Ein großes Ziel ist dabei die Entwicklung eines allgemeinen Verfahrens zur Lösung von Randwertproblemen der Ernstgleichung, welches mit der Lösung des Cauchy-Problems der Korteweg-de Vries-Gleichung über die Gelfand-Levitan-MarchenkoGleichung – eine lineare Integralgleichung, deren Kern durch die Anfangsdaten bestimmt wird, vergleichbar ist, siehe zum Beispiel [12]. Ansprechpartner: M EINEL ; B R ÜGMANN Beispiele von Promotionsthemen: 1. Differentiell rotierende Staubscheiben in der allgemeinen Relativitätstheorie 2. Rotierende Staubringe mit zentralem Schwarzen Loch 3. Behandlung von Randwertproblemen der Ernstgleichung mit der inversen Streumethode ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder LITERATUR Literatur 29 Literatur [1] R. Kerr, Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics, Phys. Rev. Lett. 11 (1963) 237. [2] G. Neugebauer, R. Meinel, General relativistic gravitational field of a rigidly rotating disk of dust: Solution in terms of ultraelliptic functions, Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 3046. [3] G. Neugebauer, R. Meinel, Progress in relativistic gravitational theory using the inverse scattering method, J. Math. Phys. 44 (2003) 3407. [4] M. Ansorg, Differentially rotating disks of dust: Arbitrary rotation law, Gen. Rel. Grav. 33 (2001) 309. [5] A. Lanza, Self-gravitating thin disks around rapidly rotating black holes, Astrophys. J. 389 (1992) 141. [6] M. Ansorg, A. Kleinwächter, R. Meinel, G. Neugebauer, Dirichlet boundary value problems of the Ernst equation, Phys. Rev. D65 (2002) 044006. [7] M. Ansorg, A. Kleinwächter, R. Meinel, Highly accurate calculation of rotating neutron stars, Astron. Astrophys. 381 (2002) L49. [8] M. Ansorg, A. Kleinwächter, R. Meinel, Highly accurate calculation of rotating neutron stars: Detailed description of the numerical methods, Astron. Astrophys. 405 (2003) 711. [9] M. Ansorg, A. Kleinwächter, R. Meinel, Relativistic Dyson rings and their black hole limit, Astrophys. J. 582 (2003) L87. [10] M. Ansorg, T. Fischer, A. Kleinwächter, R. Meinel, D. Petroff, K.Schöbel, Equilibrium configurations of homogeneous fluids in general relativity, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 355 (2004) 682. [11] R. Meinel, M. Ansorg, A. Kleinwächter, G. Neugebauer, D. Petroff, Relativistic Figures of Equilibrium, Cambridge University Press, Cambridge 2008. [12] R. Meinel, G. Neugebauer, H. Steudel, Solitonen – Nichtlineare Strukturen, Akademie Verlag, Berlin 1991. 5.3.4 G4: Numerische Relativitätstheorie Die Arbeitsgruppe Numerische Relativitätstheorie arbeitet daran, die Orbitalbewegung zweier Schwarzer Löcher zu berechnen. Das Zweikörperproblem der Allgemeinen Relativitätstheorie im Bereich starker Felder blieb lange im Wesentlichen ungelöst, aber gerade in letzter Zeit wurden signifikante Fortschritte erzielt. Die numerische Lösung der vollen Einsteingleichungen (in ihrer Standardform zehn nichtlineare, gekoppelte Partielle Differentialgleichungen) ist ein sehr komplexes Problem, wobei für Schwarze Löcher die Problematik der Raumzeitsingularität im Inneren der Schwarzen Löcher hinzukommt. Hauptaugenmerk von Projekt G4 sind die letzten 10 Umläufe, bei denen die Spirale immer steiler wird. Es soll aber auch die nachfolgende Kollision und Verschmelzung berechnet werden, so dass Gravitationswellenformen für den gesamten starkrelativistischen Bereich der Bewegung zweier Schwarzer Löcher zur Verfügung stehen. Dieses Arbeitsgebiet der Numerischen Relativitätstheorie erfordert die Entwicklung neuartiger analytischer und numerischer Methoden sowie deren Implementierung auf Höchstleistungsrechnern. Direkte Verbindungen bestehen auf physikalischer Seite zu den analytischen pN-Methoden von G1 und den axialsymmetrischen Anfangsdaten von G3. Stand der Forschung Numerische Simulationen von Schwarzen Löchern in der Allgemeinen Relativitätstheorie erforderten eine Vielzahl von analytischen und technischen Entwicklungen. Insbesondere bei zwei Schwarzen Löchern ergaben sich numerische Stabilitätsprobleme, die lange Zeit die Evolution von mehreren Orbits eines Binärsystems verhinderten. In 2004 wurde die erste Simulation eines ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder LITERATUR Literatur 30 kompletten Orbits zweier Schwarzer Löcher vorgestellt [1]. Die Jahre 2005 und 2006 brachten den endgültigen Durchbruch für die weitgehend stabile Simulation von mehreren Orbits [2, 3, 4]. Mittlerweile gibt es Ergebnisse für bis zu fünfzehn Orbits, für die Kollision und Verschmelzung der Schwarzen Löcher und für die dabei erzeugten Gravitationswellen. Der einfachste, häufig studierte Testfall sind zwei Schwarze Löcher mit gleicher Masse und verschwindenem Spin auf quasi-zirkulären Spiralbahnen. Neue Untersuchungen beschäftigen sich mit ungleichen Massen (Massenverhältnissen 1:1 bis 1:4), Spin und exzentrischen Umlaufbahnen. Eigene Vorabeiten Als Vorarbeiten für Orbitrechnungen sind anzuführen: die erste 3D Kollision am Ende der Einspiralphase [5], streifenden Kollisionen mit Wellenextraktion [6], die Lazarusmethode für den Sturz vom ISCO [7], und schließlich die erste Orbitsimulation für zwei Schwarze Löcher [1]. Für Stabilität bei mehreren Orbits verwenden wir die “Moving Puncture Method” [3, 4, 8], die eine direkte Erweiterung von der von Brandt und Brügmann in [9] entwickelten Punkturmethode zur Behandlung von Schwarzen Löchern darstellt. Wichtige Ergebnise wurden für den Gravitationswellenrückstoß bei ungleichen Massen [10] und bei rotierenden Schwarzen Löchern erzielt [11]. Zudem konnte in [12] eine erste, partielle Erklärung für den Erfolg der neuen Punkturmethoden gegeben werden. Für die Simulationen in G4 existiert das Computerprogramm BAM, welches gezielt für die effiziente Gruppenarbeit entwickelt wurde [1, 8]. Ziele und Arbeitsprogramm Das Ziel ist, den Parameterraum von binären Schwarzen Löchern in Masse, Spin und Exzentrizität zu erkunden. Insbesondere für die Detektion und Analyse von Gravitationswellensignalen ist es erforderlich, einen vollständigen Katalog von Wellentemplates zu erstellen. Dazu müssen die zum Teil noch großen Einschränkungen in Genauigkeit, Umfang und Effizienz der existierenden Simulationen überwunden werden. Konkret soll die Punkturmethode weiterentwickelt werden, insbesondere um die Genauigkeit bei größeren Massenverhältnissen (z.B. 1:10 oder 1:20) zu erhöhen. In diesem Bereich gibt es noch keine Untersuchungen zu exzentrischen Orbits und Schwarzen Löchern mit Spin. In Hinblick auf rotierende Schwarze Löcher ist festzuhalten, dass ein Kerr-Parameter a > 0.85 neue Untersuchungen nötig macht, da hier die numerische Konvergenz höhere Auflösungen erfordert, als zur Zeit mit vertretbaren Computerresourcen erreichbar ist. Zudem ist bekannt, dass die für gewöhnlich verwendeten Anfangsdaten für rotierende Schwarze Löcher (mit Spin nach Bowen-York) nicht bis zum Extremfall a = 1 existieren. Hier sollen neue Ansätze für Anfangsdaten untersucht werden, die auf nicht-konform-flachen Metriken beruhen. Da ein rotierendes Schwarzes Loch in Axialsymmetrie beschrieben werden kann, ergeben sich Anknüpfungspunkte zu G3 für (nicht-stationäre) Vakuum-Gravitationsfelder. Sowohl im Bereich großer Spins, als auch bei Massenverhältnissen um 1:10 ist der Übergang zwischen pN-Methoden und numerischen Simulationen noch zu untersuchen, was in Zusammenarbeit mit G1 geschehen soll. Ansprechpartner: B R ÜGMANN ; S CH ÄFER Beispiele von Promotionsthemen: 1. Orbitsimulationen von Schwarzen Löchern für großen Spin 2. Adaptive Eichbedingungen für ungleiche Massen in der Punkturmethode 3. Zeitentwicklung von post-Newtonschen Anfangsdaten mit den vollen Einsteingleichungen ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder 6 QUALIFIZIERUNGSKONZEPT Literatur 31 Literatur [1] B. Brügmann, W. Tichy, N. Jansen, Numerical simulation of orbiting black holes, Phys. Rev. Lett. 92 (2004) 211101. [2] F. Pretorius, Evolution of binary black hole spacetimes, Phys. Rev. Lett. 95 (2005) 121101. [3] M. Campanelli, C. Lousto, Y. Zlochower, Accurate evolutions of orbiting black-hole binaries without excision, Phys. Rev. Lett. 96 (2006) 111101. [4] J. Baker, J. Centrella, D.-I. Choi, M. Koppitz, J. van Meter, Gravitational-wave extraction from an inspiraling configuration of merging black holes, Phys. Rev. Lett. 96 (2006) 111102. [5] B. Brügmann, Binary black hole mergers in 3D numerical relativity, Int. J. Mod. Phys. D8 (1999) 85. [6] M. Alcubierre, W. Benger, B. Brügmann, G. Lanfermann, L. Nerger, E. Seidel, R. Takahashi, 3D Grazing collision of two black holes, Phys. Rev. Lett. 87 (2001) 271103. [7] J. Baker, B. Brügmann, M. Campanelli, C. O. Lousto, R. Takahashi, Plunge waveforms from inspiralling binary black holes, Phys. Rev. Lett. 87 (2001) 121103. [8] B. Brügmann, J. A. González, M. Hannam, S. Husa, U. Sperhake, W. Tichy, Calibration of moving puncture simulations, Phys. Rev. D77 (2008) 024027. [9] S. Brandt, B. Brügmann, A Simple Construction of Initial Data for Multiple Black Holes, Phys. Rev. Lett. 78 (1997) 3606. [10] J. A. González, U. Sperhake, B. Brügmann, M. Hannam, S. Husa, Total recoil: the maximum kick from nonspinning black-hole binary inspiral, Phys. Rev. Lett. 98 (2007) 091101. [11] J. A. González, M. D. Hannam, U. Sperhake, B. Brügmann, S. Husa, Supermassive recoil velocities for binary black-hole mergers with antialigned spins, Phys. Rev. Lett. 98 (2007) 231101. [12] M. Hannam, S. Husa, D. Pollney, B. Brügmann, N. Ó Murchadha, Geometry and regularity of moving punctures, Phys. Rev. Lett. 99 (2007) 241102. 6 Qualifizierungskonzept Mit mathematisch-physikalischen Methoden lassen sich große Teile der Natur beschreiben und viele Phänomene voraussagen. Physiker und Mathematiker arbeiten heute in vielen Bereichen der Forschung, Industrie und Wirtschaft, die besondere Ansprüche an analytische, systematische und methodische Fähigkeiten stellen. Aufgrund ihrer breiten und anspruchsvollen Ausbildung eignen sie sich als Generalisten“ in einem weiten Spektrum von Berufen. Die Berufsaussichten für ” Theoretische Physiker und Mathematiker sind seit vielen Jahren glänzend. Die Halbwertszeit von Spezialwissen wird immer kürzer. Im Graduiertenkolleg Quanten- und Gra” vitationsfelder“ soll deshalb eine über die engeren Forschungsprogramme hinausgehende strukturierte Doktorandenausbildung in theoretischer und mathematischer Physik stattfinden. Die Forschungsprojekte werden durch ein optimiertes fortgeschrittenes Studienprogramm flankiert, dass über die Dauer des Graduiertenkollegs hinaus die Qualifizierung des wissenschaftlichen Nachwuchses gewährleistet. Ziel der Maßnahmen ist eine forschungsnahe, nicht-verschulte Ausbildung der Doktoranden, die die Projektarbeit auf breiterer Wissensbasis unterstützt. 6.1 Studienprogramm Das Studienprogramm soll den Kollegiaten Grundkompetenzen in den Forschungsgebieten Quantenfeldtheorie und Gravitationstheorie vermitteln und sie mit deren wesentlichen Inhalten und physikalischen sowie mathematischen Methoden vertraut machen. Des weiteren soll es ihnen ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder 6 QUALIFIZIERUNGSKONZEPT 6.1 Studienprogramm 32 ermöglichen, in den gewählten Disziplinen aktiv an Forschungsprojekten mitzuarbeiten. Die Ausbildung gliedert sich in die erste Phase der Grundausbildung“, in der die Standardmethoden der ” Bereiche des Kollegs gelehrt werden, und eine Vertiefungsphase“, in der spezielle Verfahren tief” gründig behandelt werden und auf neue Entwicklungen eingegangen wird. Mit der Grundausbildung wird eine gemeinsame Wissensbasis zur Verfügung gestellt, die auch den Austausch der Kollegiaten untereinander erleichtert. Im Kolleg werden jedes Jahr vierstündige zentrale Vorlesungen über Quantenfeld- und Gravitationstheorie von den theoretischen Physikern angeboten. Differentialgeometrische Methoden und Symmetrieüberlegungen spielen in der Feldtheorie eine wichtige Rolle und werden den Kollegiaten von den Mathematikern Matveev und Külshammer in der Vorlesungen Differentialgeometrie und Liegruppen und -Algebren nahegebracht. Eine tabellarische Übersicht der Vorlesungen, Seminare und weiteren Veranstaltungen in der Grundausbildung findet sich im nächsten Abschnitt Grundausbildung“. In den Spezialisie” rungsrichtungen wird es weitere 2-stündige Vorlesungen sowie Tagungen zur Gravitations- und Quantenfeldtheorie und wichtige mathematische Methoden geben. Eine Beschreibung findet sich im Abschnitt Vertiefungsphase“ auf Seite 33. ” 6.1.1 Stufe 1: Grundausbildung In den ersten drei Semestern werden folgende Vorlesungen angeboten2 Bereich Q: Quantentheorie G: Gravitation M: Methoden M: Methoden Vorlesungstitel Quantenfeldtheorie Gravitationstheorie Differentialgeometrie Liegruppen und -Algebren Typ/SWS 4V+2Ü 4V+2Ü 4V+2Ü 3V+1Ü Leitung Gi, Wi Br, Me, Sch Ma Kü, Ma Die aktive Teilnahme an drei Veranstaltungen, aus jedem Bereich mindestens eine, sind in der Regel verbindlich. Wir setzen aber Vorkenntnisse der Kollegiaten in einem der drei Bereiche voraus, so dass der Besuch einer von drei Vorlesung erlassen werden kann. Die Vorlesungen werden, soweit möglich, von den Dozenten des Kollegs durchgeführt und die zugehörigen Übungen von den Postdoktoranden geleitet. Die Vorlesungen und Übungen werden von Seminaren und wissenschaftlichen Treffen begleitet: Veranstaltung Kollegiaten-Seminar Kollegskolloquium Physik-Combo Klausurtagung Zielgruppe alle alle alle alle Frequenz wöchentlich jede zweite Woche sechs Wochenenden im Jahr drei Tage pro Jahr Das selbstorganisierte Kollegiatenseminar ist verpflichtend für alle Doktoranden und dient der Gruppenbildung und dem wissenschaftlichen Austausch. Es wird von fortgeschrittenen Kollegiaten geleitet. Hier wird jeder Doktorand in regelmäßigen Abständen über seine Fortschritte berichten. Weiterhin werden wichtige aktuelle Literaturarbeiten vorgestellt und Vorträge von eingeladenen Wissenschaftlern organisiert. Im ebenfalls verpflichtenden Kollegskolloquium, das ggf. mit den Institutskolloquien verbunden werden kann, tragen in der Regel auswärtige Wissenschaftler vor, die dafür einige Tage nach Jena kommen. 2 die Abkürzungen bedeuten: Be = Bechstedt, Br = Brügmann, Gi = Gies, Kü = Külshammer, Ma= Matveev, Me = Meinel, No = Novak, Sch = Schäfer, Wi = Wipf ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder 6 QUALIFIZIERUNGSKONZEPT 6.1 Studienprogramm 33 Seit 12 Jahren organisiert der Antragsteller Andreas Wipf mit Kollegen aus Halle und Leipzig die Mitteldeutsche Physik-Combo, bei der an drei Wochenenden im Semester Blockvorlesungen in mathematischer und statistischer Physik, Quantenfeld- und Gravitationstheorie, Teilchenund theoretischer Festkörperphysik angeboten und von den Studenten aller umliegenden Universitäten wahrgenommen werden. Dieses von mehreren Stiftungen geförderte Pilotprojekt wird den Kollegiaten offen stehen und soll vom Kolleg unterstützt werden. Wir erwarten, dass die Kollegiaten an mindestens drei Wochenenden im Jahr diese Weiterbildungsveranstaltung für Doktoranden besuchen. Ihr Kontakt mit den vortragenden Wissenschaftlern aus dem deutschsprachigen Raum und den Doktoranden von etwa 5 − 8 Hochschulen ist ein erwünschter Nebeneffekt. Einmal im Jahr zieht sich das Kolleg für drei Tage zu einer Klausurtagung außerhalb Jenas zurück. Moderiert von einem etablierten Wissenschaftler werden dort wissenschaftliche Themen von allgemeinerem Interesse besprochen sowie Forschungsergebnisse des Kollegs vorgestellt und evaluiert. Die persönlichen Kontakte während der Tagung sind wichtig für den Zusammenhalt des Kollegs. 6.1.2 Stufe 2: Vertiefungsphase Während dieser dreisemestrigen Phase werden folgende Vorlesungen und Seminare angeboten: Titel Typ/SWS Vorlesungsprogramm Quantenfeldtheorie II 2V+1Ü Quantenfeldtheorie des Festkörpers 2V+1Ü Funktionale Renormierungsgruppe 2V+1Ü Supersymmetrie 2V+1Ü Gravitationswellen 2V+1Ü Relativistische Astrophysik 2V+1Ü Numerische Relativität 2V+1Ü Monte-Carlo Methoden 3V+1Ü Symplektische Geometrie und Integrable Systeme 3V+1Ü Titel Typ/SWS Bereich Seminarprogramm Aspekte der Feldtheorie 2S Q+G Green-Funktions-Methoden 2S Q Weltlinienformalismus 2S Q Gravitationstheorie 2S G Bereich Q Q Q Q G G G M M Leiter Wi, Gi Be Gi Wi Sch, Me Me, Sch Br No Ma Leiter Wi, Gi, No Be, Wi Gi, Wi Br, Me, Sch Jedes Semester wird mindestens eine Vorlesung aus jedem der Bereiche Q und G gehalten und jedes Jahr mindestens eine Vorlesung aus dem Bereich Methoden (M). In der Vertiefungsphase soll jeder Doktorand mindestens zwei Spezialvorlesungen hören und mindestens zwei Seminare besuchen. Die Spezialvorlesungen werden von Jenaer Dozenten oder Gastdozenten gelesen. Die Themen und Inhalte, die auf Seite 35 näher spezifiziert werden, sind aus heutiger Sicht sehr wahrscheinlich, werden aber an die Weiterentwicklung des Profils der beteiligten Institute und die aktuelle Forschung angepasst. ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder 6 QUALIFIZIERUNGSKONZEPT 6.2 Gastwissenschaftlerprogramm 34 Als regelmäßige und übergreifende Veranstaltungen des Kollegs finden ähnlich wie in der Grundausbildung Kollegiaten-Seminar, Kollegskolloquium und Klausurtagung statt. Der Besuch von Seminar und Kolloquium ist verpflichtend. Seminar, Kolloquium und Klausurtagung werden durch die Physik-Combo und jährlich stattfindende Arbeitstreffen ergänzt: Titel Physik-Combo Arbeitstreffen Zielgruppe alle nach Bedarf Frequenz 6 Wochenenden im Jahr 5 Tage im Jahr Diese sind nicht ausbildungsspezifisch angelegt und können von verschiedenen Doktorandengenerationen gleichzeitig besucht werden. Die Arbeitstreffen mit internationaler Beteiligung führen die Teilnehmer in einem Schul- und einem Konferenzteil noch weiter an die Spitzenforschung heran. Hier soll sich das Kolleg und seine Mitglieder nach außen präsentieren. Diese Treffen werden die Attraktivität des Kollegs für Interessenten erhöhen und sollen jährlich stattfinden. 6.1.3 Ergänzende Lehrangebote Die Lehrveranstaltungen beider Fakultäten der beteiligten Antragsteller sind offen für alle Kollegiaten. Die Fakultäten modularisieren zur Zeit ihre Studiengänge. In der Physik gibt es im MasterStudiengang die Module 1. Optik, 2. Festkörperphysik und Materialwissenschaft, 3. Astrophysik und 4. Gravitations- und Quantentheorie. Insbesondere die Vorlesungen Solitonen oder Standardmodell der Teilchenphysik aus dem Schwerpunkt Gravitations- und Quantentheorie, Kosmologie aus dem Schwerpunkt Astrophysik, Supraleitung aus dem Schwerpunkt Festkörperphysik/Materialwissenschaft und Nichtlineare Dynamik, Physik bei hohen Laserintensitäten und Relativistische Laser-Plasma-Physik aus dem Schwerpunkt Optik sind sinnvolle Ergänzungen der Grundausbildung der jeweils fachnahen Doktoranden. In der Mathematik sind dies zum Beispiel die Vorlesungen Analysis auf Mannigfaltigkeiten, Darstellungstheorie und Spektraltheorie aus dem Modul Reine Mathematik oder die Vorlesungen Partielle Differentialgleichungen und Wissenschaftliches Rechnen aus dem Modul angewandte Mathematik. Weiterhin besteht in der Jenaer theoretischen und mathematischen Physik eine langjährige Erfahrung in der Doktorandenweiterbildung durch Sommerschulen: Seit 1995 organisiert Andreas Wipf (mit Kollegen aus Berlin, Hannover, München und Potsdam) jedes Jahr in Thüringen die zweiwöchige Doktorandenschule Grundlagen und neue Methoden der theoretischen Physik“. ” Das Ziel der Schule, Doktoranden mit neuen Forschungsgebieten und Methoden direkt vertraut zu machen, wird durch Vorlesungsreihen von fünf international ausgewiesenen Wissenschaftler und durch ausführliche Übungen konsequent umgesetzt. Da sich gerade dieses freiwillige Qualifizierungsangebot in der forschungsnahen Graduiertenausbildung hervorragend bewährt, sollen die Teilnahmekosten der Kollegiaten an dieser oder ähnlichen Schulen aus den Mitteln des Graduiertenkollegs finanziert werden können. 6.2 Gastwissenschaftlerprogramm Gastwissenschaftler spielen für das Gelingen des geplanten Kollegs eine entscheidende Rolle. Erfahrungsgemäß sind Diskussionen von Doktoranden mit Gästen oft fruchtbar für den weiteren Fortschritt ihrer Arbeit. Bei kürzeren Besuchen in Jena werden die Gastwissenschaftler ihre neuesten Forschungsergebnisse im Kollegiaten Seminar oder dem Kollegskolloquium vorstellen. ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder 6 QUALIFIZIERUNGSKONZEPT 6.3 Inhalte der Lehrveranstaltungen 35 In der Regel werden Gäste, die sich länger in Jena aufhalten, auch Spezialvorlesungen im Rahmen des Studienprogramm oder der Physik-Combo anbieten. Folgende international bekannten Theoretischen Physiker und Mathematiker sind bereit, in einem Graduiertenkolleg Quanten- und ” Gravitationsfelder“ Vorlesungen über ihr Spezialgebiet anzubieten: A. Ashtekar (Penn State): Quantum Gravity; Quasi-local Description of Black Holes P. van Baal (Leiden): Non-Perturbative Quantum Field Theory U. von Barth (Lund): Free Energy Functionals of Green Functions T. Baumgarte (Bowdoin): Topics in Numerical Relativity for Neutron Stars J. Bičák (Prag): Gravitomagnetism R. Boltje (Santa Cruz): Representation theory H. Carmichael (Auckland): Quantum Fluctuations of the Electromagnetic Field S. Catterall (Syracuse): New Approaches to Lattice Supersymmetry A. Chatterjee (Hyderabad): Large N expansions in quantum mechancs, Polarons G.V. Dunne (Connecticut): Effective actions in quantum field theory P. Forgacs (Tours): Solitons in Field Theories J. Fröhlich (Zürich): Ausgewählte Kapitel der Quantenfeldtheorie C. Gundlach (Southampton): Hyperbolicity of Various Formulations of the Einstein Eqs. S. Hands (Swansea:) Strongly-Correlated Fermionic Systems on the Lattice M. Henneaux (Brüssel): Asymptotic Structure of Gravity at (Spatial) Infinity J.W. van Holten (Amsterdam): Susy Quantum Mechanics and Supersymmetry G. Huisken (Potsdam): Energy Inequalities and Hypersurfaces of Prescribed Mean Curvature in Asymptotically Flat Spacetimes P. Jaranowski (Białystok): Regularization of Point Masses in General Relativity P. Laguna (Penn State): Gravitational Waves from Binary Black Hole Spacetimes C. Lubich (Tübingen): Geometric Numerical Integration G. Münster (Münster): Introduction to Lattice Gauge Theory H. Nicolai (Potsdam): Introduction to Supersymmetry and Supergravity L. Rezzolla (Potsdam): Lectures on Hydrodynamics in Strong Gravitational Fields K. Ritter (Darmstadt): Stochastische Algorithmen A. Smilga (Nantes): Higher-Derivative Gauge Theories N. Straumann (Zürich): The Four Laws of Black Hole Physics W. Tichy (Florida Atlantic): Initial Data for Black Hole Spacetimes S. Vandoren (Utrecht): Solitons and Instantons H. Woźniakowski (Columbia): Computation of High Dimensional Integrals 6.3 Inhalte der Lehrveranstaltungen Die genaue Zusammenstellung der Themen liegt in der Verantwortung des jeweiligen Dozenten. Mögliche Inhalte sind etwa folgende: Vorlesungen Grundausbildung Q UANTENFELDTHEORIE Einführung: Nichtrelativistische QED ⋆ Klassische Felder ⋆ Prinzipien für relativistische Quantenfeldtheorien ⋆ Funktionalintegrale ⋆ Erzeugende Funktionale und effektive Wirkungen ⋆ Spontane Symmetriebrechung ⋆ Störungstheorie ⋆ Regularisierung und Renormierung ⋆ Einführung in Eichtheorien G RAVITATIONSTHEORIE ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder 6 QUALIFIZIERUNGSKONZEPT 6.3 Inhalte der Lehrveranstaltungen 36 Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie ⋆ Einsteinsche Feldgleichungen ⋆ Grenzfall Newtonscher Gravitation ⋆ Gravitationswellen ⋆ Schwarze Löcher ⋆ Friedmann-Kosmologie und Urknall D IFFERENTIALGEOMETRIE Mannigfaltigkeiten und Tangentialräume ⋆ Tensoren ⋆ Riemansche Metriken ⋆ Zusammenhang und kovariante Ableitung ⋆ Geodäten und Bewegungsgleichungen ⋆ Liegruppen und Faserbündel ⋆ Krümmung und Feldgleichungen ⋆ Differentialformen und Integration L IEGRUPPEN UND -A LGEBREN Lineare Lie-Gruppen ⋆ Mannigfaltigkeiten und Lie-Gruppen ⋆ Lie-Gruppen und Lie-Algebren ⋆ Halbeinfache und kompakte Lie-Gruppen ⋆ Homogene und symmetrische Räume ⋆ Anwendungen Vorlesungen Vertiefungsphase Q UANTENFELDTHEORIE II Quantenfeldtheorien bei endlichen Temperaturen ⋆ Spinmodelle und Transfermatrix ⋆ MC-Simulationen ⋆ Molekularfeldnäherung ⋆ Dualitäten ⋆ Energie-Entropie Argumente und Korrelationsungleichungen ⋆ Renormierungsgruppe ⋆ Fermionen auf dem Gitter ⋆ Gittereichtheorien Q UANTENFELDTHEORIE DES F ESTK ÖRPERS Adiabatische Näherung ⋆ Fermionen-Felder und Spin ⋆ Longitudinale und transversale Elektron-ElektronWechselwirkungen ⋆ Austausch und Korrelation ⋆ Hartree-Fock-Näherung ⋆ Spindichtefunktionaltheorie ⋆ Elementare Anregungen (Elektronen, Löcher, Exzitonen, Plasmonen, Spindichtewellen) F UNKTIONALE R ENORMIERUNGSGRUPPE Perturbative Renormierung ⋆ Ising-Modelle und Blockspin-Transformationen ⋆ Phasenübergänge, kritische Phänomene und Fixpunkte ⋆ Flussgleichungen der funktionalen Renormierungsgruppe ⋆ Renormierungsflüsse skalarer Theorien ⋆ fermionische Systeme ⋆ Flussgleichungen für Eichtheorien S UPERSYMMETRIE Supersymmetrische Quantenmechanik ⋆ Supersymmetrie und integrable Systeme ⋆ Symmetrien und Spinoren ⋆ Wess-Zumino-Modelle ⋆ Supersymmetrie-Algebren und Darstellungen ⋆ Superraum und Superfelder ⋆ Supersymmetrische Yang-Mills-Theorien ⋆ Spezielle Lösungen G RAVITATIONSWELLEN Gravitationswellen im Minkowskiraum ⋆ Strahlungsfelder selbstgravitierender Systeme ⋆ Rückwirkung abgestrahlter Gravitationswellen ⋆ Astrophysikalische Quellen von Gravitationswellen ⋆ Gravitationswellendetektoren ⋆ Messung und Analyse von Gravitationswellensignalen R ELATIVISTISCHE A STROPHYSIK Einfache nichtrelativistische Sternmodelle ⋆ Weiße Zwerge ⋆ Relativistische Sternmodelle ⋆ Neutronensterne ⋆ Schwarze Löcher ⋆ Rotierende Sterne N UMERISCHE R ELATIVIT ÄT Numerische Relativitätstheorie für Schwarze Löcher und Gravitationswellen ⋆ 3+1 Zerlegung der 4-dimensionalen Einsteingleichungen ⋆ Numerik des elliptischen Anfangswertproblems ⋆ Numerik der Zeitentwicklungsgleichungen S TOCHASTISCHE A LGORITHMEN IN DER Q UANTENPHYSIK Zufallszahlen ⋆ hochdimensionale Integrale ⋆ (schnell mischende) Markov-Ketten ⋆ Metropolis-Algorithmus ⋆ Wärmebad ⋆ Fehlerabschätzungen ⋆ Spinmodelle S YMPLEKTISCHE G EOMETRIE UND I NTEGRABLE S YSTEME ⋆ Grundlagen der klassischen Hamiltonschen Mechanik ⋆ Differentialformen ⋆ Symplektische Geometrie und integrable Systeme ⋆ Anwendungen ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder 6 QUALIFIZIERUNGSKONZEPT 6.3 Inhalte der Lehrveranstaltungen 37 Seminare Vertiefungsphase A SPEKTE DER F ELDTHEORIE Hier sollen neue Entwicklungen und Methoden der Quanten- und Gravitationstheory besprochen werden. Mögliche Themen wären Physikalische Effekte in starken Gravitationsfeldern“, Effektive Wirkungen in ” ” Quanten- und Gravitationstheorie“, Differentialgeometrische Methoden“ oder Numerische Algorithmen“. ” ” G REEN -F UNKTIONS M ETHODEN Definitionen ⋆ Beispiele aus Elektrodynamik und Quantenmechanik ⋆ Spektraldarstellungen und -theoreme ⋆ Retardierte, avancierte und zeitgeordnete Funktionen ⋆ Wechselwirkung und Selbstenergie ⋆ DysonGleichung ⋆ Anwendungen auf Systeme mit Paarwechselwirkungen W ELTLINIENFORMALISMUS Pfadintegral in der Quantenmechanik ⋆ Effektive Wirkungen in der Feldtheorie ⋆ Weltlinienformulierung von Korrelationsfunktionen ⋆ Vakuumpolarisation auf der Weltlinie ⋆ Weltlinienformalismus für fermionische Fluktuationen ⋆ Weltlinieninstantonen ⋆ Weltliniennumerik ⋆ Nichtperturbative Weltliniendynamik G RAVITATIONSTHEORIE Spezielle elliptische Probleme: Anfangswertproblem, Erhaltung der Zwangsbedingungen während der Zeitentwicklung, Scheinbare Horizonte ⋆ Formulierung des Zeitentwicklungsproblems, Hyperbolische Systeme erster und gemischter Ordnung für die Einsteingleichungen ⋆ Astrophysikalische Schwarze Löcher und Neutronensterne ⋆ Kosmologische Modelle ———————————— Quanten- und Gravitationsfelder