Digitale Signalverarbeitung

Transcription

Fachhochschule Braunschweig/Wolfenbüttel
Fachbereich Elektrotechnik
Informationstechnik/Signalverarbeitung
Prof. Dr.-Ing. Sehmisch
y(n)
x(n)
DSP
a
in
A/D
Applikation
f
out
D/A
f
X
Y
P
Mem. Mem. Mem.
Se06.03.2005
a
2
Literatur
Azizi
Entwurf und Realisierung digitaler Filter
Oldenbourg
Lücker
Grundlagen digitaler Filter
Springer
Hesselmann
Vogel
Stearns
Digitale Verarbeitung analoger Signale
Oldenbourg
Mildenberger
Entwurf analoger und digitaler Filter
Vieweg
Hess
Digitale Filter
Teubner
Achenbach
Analoge und digitale Filter und Systeme I/II BI
Brigham
FFT
Oldenbourg
Brigham
FFT-Anwendungen
Oldenbourg
Oppenheim/Schafer/.. Zeitdiskrete Signalverarbeitung
Oppenheim/Willsky
Pearson
Signale und Systeme
Lehrbuch/Arbeitsbuch
VCH
Johnson
Hanser
Götz
Einführung in die dig. Signalverarbeitung
Teubner
Schrüfer
Signalverarbeitung
Hanser
Werner
Dig. Signalverarbeitung mit MATLAB
Vieweg
Se06.03.2005
3
Inhalt
1
REALISIERUNGSPRINZIP VON SYSTEMEN ZUR DIGITALEN
SIGNALVERARBEITUNG............................................................… 4
2
ZEITDISKRETE SIGNALE UND SYSTEME .................................12
2.1 Zeitdiskrete Signale........................................…….....…………............ 12
2.2 Zeitdiskrete Systeme.................................................................................13
2.3 z-Transformation .............................................................. ......................15
2.4 Strukturrealisierung .......................................................... .................... 17
3
ZEITDISKRETE , DISKRETE UND SCHNELLE
FOURIERTRANSFORMATION……………………………..………..25
3.1 Zeitdiskrete Fourierreihe und Fouriertransformation ........................25
3.2 Diskrete Fouriertransformation (DFT)...................................................26
3.3 Schnelle Fouriertransformation (FFT)...……………...……….…........30
4
ENTWURF VON DSV-SYSTEMEN................................................. 31
4.1 Digitale Filter...…………………………………………..…………....... .31
4.1.1 FIR-Filter....……………………………………………………………....35
4.1.2 IIR-Filter.....…………………………………………………………….. 37
5
DIGITALE SIGNALPROZESSOREN (DSP) .................................. 39
4
1 Realisierungsprinzip von Systemen zur digitalen
Signalverarbeitung
Aufbau eines Systems zur digitalen Signalverarbeitung
Algorithmus (Programm)
x(t)
x'(t)
A
fg
x(n)
D
y(n)
DSV-System
(z. B. dig Filter)
y(t)
A
4
2
1
y'(t)
D
5
3
f =
a
1
/
Ta
1. Tiefpaß-Vorfilter (AntialisingFilter) mit fg=fa/2
2. Analog-Digital-Wandler
3. DSV-System
fa
~
Ta ~
fs
~
x(t) ~
x(n) ~
Abtastfrequenz
Abtastintervall
Frequenz des Nutzsignals
Zeitkontinuierliches Signal
Zeitdiskretes Signal
4. Digital-Analog-Wandler
5. Rekonstruktionsfilter
5
Einwirkung auf digitale Signale bei Anwendung rechnergestützter
Verarbeitung mit Universal-,Spezial- und Signalprozessoren
Mathematische Operationen mit einer Eingangsfolge zur Erzielung
einer gewünschten Ausgangsfolge durch entsprechende Auslegung
des DSV-Systems (z.B: Realisierung digitaler Filter)
Echtzeitverarbeitung
Die der Verarbeitung (z.B. digitale Filterung) unterworfenen Signale
sind z.B. Audio- (Sprach-, Ton-) oder Video- (Bild-) Signale und
müssen beim Empfänger fortlaufend in “Echtzeit” (realtime)
bereitgestellt werden.
Forderung:
Zwischen zwei Abtastzeitpunkten des analogen Signals muß der
Algorithmus (z.B. für digitale Filterung) für einen Digitalwert
(Abtastwert nach A/D-Wandlung) vollständig abgearbeitet werden.
Softwarerealisierung
Programmierung Signalprozessor
-hohe Flexibilität durch Programmodifikation
Hardwarerealisierung
Einsatz digitaler Bausteine
-Aufbau für eine spezielle Anwendung
Anwendungsgebiete
- Nachrichtentechnik
- Medizintechnik
- Regelungstechnik
/ Telekommunikation
6
Vorteile der digitalen Signalverarbeitung
- Einsatz
mikroelektronsischer integrierter Komponenten
- keine
Probleme mit Temperatur- und Speisespannungsschwankungen
- keine
Einflüsse von Bauteiltoleranzen auf die Genauigkeit der gewünschten Funktion
- hohe
Genauigkeit, die sich durch Vergrößerung des Aufwandes “nahezu beliebig” erhöhen
läßt
- keine
Abgleichvorgänge
- exakte
Reproduzierbarkeit, da Abarbeitung arithmetischer Operationen (Nachbildung mit
Hard-, Software)
- einfacher
Anschluß an digitale Umwelt für komplexe Weiterverarbeitung
- Flexibilität
durch einfache Programmänderung bei Softwarerealisierung
- keine
Begrenzung des Dynamikbereiches durch Eigenrauschen der passiven und aktiven
Bauelemente
- teilweise
sind Eigenschaften zu erzielen, die mit analogen Systemen nicht erreichbar sind (
z.B. streng lineare Phase bei Filtern)
Nachteile der digitalen Signalverarbeitung
- Grenzen
zu kleinen Amplituden und höheren Frequenzen hin (Prozessor- und
algorithmusabhängig)
- bei
Verarbeitung analoger Signale mehrfache Wandlung erforderlich
- Quantisierungs-,
- weitere
Rundungsrauschen durch begrenzte Wortlänge bei der Realisierung
spezielle Effekte (z.B. Überlaufschwingungen, Grenzzyklen)
7
Abtastung, Quantisierung, Kodierung
8
Zeitdiskrete Signalbeschreibung und digitale Signalverarbeitung
Die mathematisch-theoretische Beschreibung der Signale und Systeme erfolgt im zeitdiskreten
Bereich. Die eigentliche praktische Realisierung der Verarbeitungsalgorithmen geschieht durch
digitale Signalverarbeitung mit Mikro- und Signalprozessoren. Das zeitdiskrete Signal x(n)
ergibt sich durch Abtastung der Zeitfunktion x(t) mit zeitverschobenen Diracimpulsen δT(t)
x ( n ) = x (t ) ⋅ δ T (t )
mit
δ T (t ) =
∞
∑δ (t − nT )
n = −∞
Weiterhin gilt
x(t)
FT
und
x(n)
X(ω)
ZDFT X (ω ) = 1
T
∞
∑ X (ω − nω )
n = −∞
a
Das Spektrum X (ω ) des zeitdiskreten Signals x(n) ergibt sich durch periodische Fortsetzung
des Spektrums X(ω) des zeitkontinuierlichen Signals x(t) mit der Abtastkreisfrequenz ωa.
9
Zeitfunktion und Spektrum zeitkontinuierlicher und
zeitdiskreter Signale
x(t)
X(f)
t
fg
f
∆T(f)
δT(t)
T
t
fa
2fa
f
fa
2fa
f
x(n)
X(f)
T
fg
~
fg
nT
höchste Nutzsignalfrequenz
Abtasttheorem und Aliasing
Basisband
1. Oberwellenspektrum
X (f)
fg fa-fg
fa
fa+ fg
f
Bandüberlappung
X (f)
fa-fg fg
fa
fa+ fg
f
10
Spektrale Überlappungen (Aliasing) führen zu irreversiblen Veränderungen des Spektrums. Das
ursprüngliche Signal wird verfälscht.
Zur Vermeidung von Aliasing muß das Abtasttheorem (Shannon, Kotelnikow, Wiener) erfüllt
werden.
fa ≥ 2 ⋅ fg
fg ≤
bzw.
fa
2
~
fa
2
Nyquistfrequenz
Vermeidung von Aliasing
Wahl der Abtastfrequenz entsprechend des Abtasttheorems
Begrenzung des Nutzsignalspektrums bis zur maximalen Frequenz fg (Realisierung durch
analoges „Antialiasingfilter“).
In der Praxis kann ggf. eine geringe spektrale Überlappung zugelassen werden.
Rekonstruktion eines bandbegrenzten Signals aus seinen
Abtastwerten
Wiederherstellen des Zeitbezuges der verarbeiteten Wertefolge w(n) durch Taktung
y(n) =
∞
∑ w(n ) ⋅ h (t − nT )
r
n = −∞
Der Rekonstruktionstiefpaß wird durch seine Impulsantwort hr(t) bzw. seine
Übertragungsfunktion Hr(f) charakterisiert
hr(t)
Hr(f)
Ein TP mit idealem Frequenzgang weist eine si-Charakteristik der Impulsantwort auf.
hr (t ) = 2 f g si(2πf g ⋅ t )
TP
TP
 f
H r ( f ) = rect 
 2 fg
TP




11
Signalrückgewinnung aus einer begrenzten Folge von
Abtastwerten bei Erfüllung des Abtasttheorems
Zurückgewonnenes Signal bei Unterabtastung
12
2
Zeitdiskrete Signale und Systeme
2.1 Zeitdiskrete Signale
Zeitdiskreter Einheitsimpuls
n=0
1
0
δ (n) = 
n≠0
Zeitdiskreter Einheitssprung
n≥0
1
s( n ) = 
0
n<0
Zusammenhang
δ(n)=s(n)-s(n-1)
n
∑δ (m)
s(n) =
m = −∞
Allgemeine zeitdiskrete komplexe Exponentialfunktion
x ( n ) = c a = c a e j ( nΩ
n
n
mit
c = c e jΦ
0 +Φ
und
)
a = a e jΩ
0
Dabei stellt die Größe Ω die normierte Frequenz dar
Ω = 2π
f
fa
Bedingung, daß die Folge
x ( n ) = c e j ( nΩ
0 +Φ
)
a =1
die Periode N aufweist
Ω0 m
=
2π N
m,N ~
ganzzahlig
13
2.2
Zeitdiskrete Systeme
x(n)
y(n)
h(n)
System
h(n) ~ Impulsantwort
Systemeigenschaften
- Speichereigenschaft
- Kausalität
- Stabilität
- Linearität
- Zeitinvarianz
Betrachtet werden lineare zeitinvariante Systeme (LZI- bzw. LTI (linear time invariant)Systeme)
Systembeschreibung
Differenzengleichung (DnGl)
M
N
k =0
k =1
y ( n ) = ∑ bk x (n − k ) + ∑ ak y (n − k )
Die höchste auftretende Verzögerung N von Ausgangssignalwerten, die zur Berechnung
des aktuellen Ausgangswertes y(n) herangezogen werden muß, charakterisiert die Ordnung
N des Systems.
Systemfunktion
M
bk z − k
∑
Y (z )
H (z ) =
= k =0N
X (z ) 1 − a z −k
∑
k =1
F(z) ~
k
z-Transformierte von f(n)
Übertragungsfunktion
M
H (Ω ) =
∑b
e − jkΩ
Y (Ω )
= k =0N
X (Ω ) 1 − a e − jkΩ
∑ k
k
k =1
F(Ω) ~
zeitdiskrete Fouriertransformierte von f(n)
14
Systemtheoretische Zusammenhänge
y (n ) = h(n ) ∗ x (n )
Zeitdiskrete FT
Z-Transformation
Y ( z) = H ( z) ⋅ X ( z)
Y (Ω ) = H (Ω ) ⋅ X (Ω )
Rekursive Systeme
In der allgemeinen Darstellung der Differenzengleichung y(n); der Systemfunktion H(z) bzw. der
Übertragungsfunktion H(Ω) ist mindestens ein Koeffizient ak≠0.
Eigenschaften
Die Impulsantwort
M
N
k =0
k =1
h( n ) = ∑ bkδ ( n − k ) + ∑ ak h( n − k )
ist unendlich ⇒ infinite impulse response.
Rekursive Systeme (IIR-Systeme) sind auf Stabilität zu prüfen.
Nichtrekursive Systeme
In der allgemeinen Darstellung der Differenzengleichung y(n), der Systemfunktion H(z) bzw. der
Übertragungsfunktion H(Ω) sind alle Koeffizienten ak=0.
M
y ( n ) = ∑ bk x ( n − k )
k =0
M
H ( z ) = ∑ bk z − k
k =0
M
H (Ω ) = ∑ bk e − jkΩ
k =0
Eigenschaften
Die Impulsantwort
M
h( n ) = ∑ bkδ (n − k )
k =0
ist endlich ⇒ finite impulse response.
Nichtrekursive Systeme (FIR-Systeme) sind immer stabil.
15
2.3
z-Transformation
Die z-Transformation ist das zeitdiskrete Äquivalent zur Laplacetransformation für
zeitkontinuierliche Signale und Systeme.
Zweiseitige z-Transformation
∞
∑ x(n) z
X ( z ) = ZT{x ( n )}
X ( z) =
−n
n = −∞
z = z e jϕ = Re{z} + j Im{z}
z
Inverse z-Transformation
x(n) =
1
X ( z ) z n −1 d z
∫
2πj
(Auswertung mit Tabellenverfahren, Partialbruchzerlegung)
Anwendung
Analyse von LTI-Systemen
Insbesondere Stabilitätsuntersuchung:
Bei stabilen Systemen liegen die Pole (Nennernullstellen) der Systemfunktion innerhalb des
Einheitskreises.
Nutzung beim Systementwurf
Sonderfall der z-Transformation: Zeitdiskrete Fouriertransformation
X (Ω) =
∞
∑ x(n) e
− jΩn
n = −∞
X(z)
z=ejΩ
X(Ω)
Zusammenhang zwischen Systemfunktion und Differenzengleichung
Durch die Eigenschaften der z-Transformation gilt
x(n)
x(n-n0)
X(z)
X ( z) ⋅ z −n
0
16
Systemfunktion eines rekursiven Systems 2. Ordnung
Y ( z ) b0 + b1 ⋅ z −1 + b2 ⋅ z −2
H ( z) =
=
X ( z ) 1 − a1 ⋅ z −1 − a 2 ⋅ z − 2
umgestellt nach Y(z)
Y ( z ) = b0 ⋅ X ( z ) + b1 ⋅ X ( z ) ⋅ z −1 + b2 ⋅ X ( z ) ⋅ z −2 + a1 ⋅ Y ( z ) ⋅ z −1 + a 2 ⋅ Y ( z ) ⋅ z −2
z
y ( n ) = b0 ⋅ x ( n ) + b1 ⋅ x ( n − 1) + b2 ⋅ x ( n − 2) + a1 ⋅ y ( n − 1) + a2 ⋅ y ( n − 2)
NichrekursiverAnteil
Rekursiver Anteil
ergibt sich mit den Eigenschaften der z-Transformation die Differenzengleichung des rekursiven
Systems 2. Ordnung.
Nichtrekursiver Anteil
Rekursiver Anteil
17
2.4 Strukturrealisierung
Grundbausteine zeitdiskreter Systeme
Bei der praktischen digitalen Signalverarbeitung charakterisieren diese Anordnungen auch die
Grundbausteine digitaler Systeme.
Addition und Subtraktion mehrerer Signale
x1(n)
x2(n)
y(n)
x3(n)
y(n)=x1(n)+x2(n)+x3(n)
Multiplikation mit konstantem Koeffizienten
x(n)
y(n)
bν
y(n)=bνx(n)
Verzögerung um ein Abtastintervall
x(n)
z
-1
y(n)
y(n)=x(n-1)
18
Beispiele zur Strukturrealisierung
y ( n ) = − a ⋅ y ( n − 1) + b ⋅ x ( n )
x(n)
y(n)
b
z-1
-ay(n-1)
y(n-1)
-a
y ( n ) = b0 ⋅ x ( n ) + b1 ⋅ x ( n − 1)
x(n)
y(n)
b0
z-1
x(n-1)
b1
y ( n ) = − a ⋅ y ( n − 1) + b0 ⋅ x ( n ) + b1 ⋅ x ( n − 1)
w(n)
w( n ) = b0 ⋅ x ( n ) + b1 ⋅ x ( n − 1)
y ( n ) = − a ⋅ y ( n − 1) + w( n )
x(n)
z-1
y(n)
b0
-ay(n-1)
b1x(n-1)
x(n-1)
y(n-1)
b1
z ( n ) = − a ⋅ z ( n − 1) + x ( n )
y ( n ) = b0 ⋅ z ( n ) + b1 ⋅ z ( n − 1)
z-1
-a
z(n)
x(n)
z-1
-az(n-1)
b0
z-1
y(n)
b1z(n-1)
z(n-1) z(n-1)
-a
b1
z(n)
x(n)
-az(n-1)
z
b0
-1
-1
b1z(n-1)
-a
z(n-1)
b1
y(n)
19
Transponierungstheorem
Das Transponierungstheorem sagt aus
• Umkehrung der Richtung aller Äste im Netzwerk, wobei die Faktoren bzw. Koeffizienten
erhalten bleiben.
•
Vertauschung von Eingangsknoten x(n) und Ausgangsknoten y(n).
•
Alle Additionspunkte werden zu Verzweigungen und alle Verzweigungen werden zu
Additionspunkten.
•
Die durch Umwandlung entstandenen Netzwerke sind äquivalent, d.h. sie haben die
gleiche Übertragungsfunktion.
Ausgehend von einem System 2. Ordnung (Direktform I) ergibt sich nach Vertauschen der
Reihenfolge des nichtrekursiven und rekursiven Anteils (Direktform II) nach Anwendung des
Transponierungstheorems die TRANSPONIERTE KANONISCHE FORM BZW. TRANSPONIERTE
DIREKTSTRUKTUR II
Die Differenzengleichung dieses transponierten Systems lautet
y ( n ) = b0 ⋅ x ( n ) + v ( n − 1)
v ( n ) = b1 ⋅ x ( n ) + a1 ⋅ y ( n ) + u ( n − 1)
u( n ) = b2 ⋅ x ( n ) + a2 ⋅ y ( n )
20
Allgemeine Strukturrealisierung
N
M
k =1
i =0
y ( n ) = ∑ a k ⋅ y ( n − k ) + ∑ bi ⋅ x ( n − i )
Vereinfachende Annahme M=N
N
w(n)
x(n)
y(n)
b0
z-1
z-1
y ( n ) = ∑ a k ⋅ y ( n − k ) + w( n )
k =1
b1
N
w( n ) = ∑ bi ⋅ x ( n − i )
i =0
a1
z-1
z-1
Direktform I
b2
a2
bN-1
aN-1
z-1
z-1
bN
aN
z(n)
N
y ( n ) = ∑ bi ⋅ z ( n − i )
x(n)
b0
i =0
z-1
N
z(n) = ∑ a k ⋅ z(n − k ) + x(n)
z-1
k =1
z(n-1)
a1
z-1
b1
z-1
Direktform II
z(n-2)
a2
b2
aN-1
bN-1
z-1
aN
z-1
bN
y(n)
21
2. kanonische Form
Direktform II
x(n)
b0
y(n)
z-1
a1
b1
z
-1
a2
b2
aN-1
bN-1
z
aN
-1
bN
y(n)
b0
x(n)
z
-1
a1
b1
z-1
a2
b2
aN-1
bN-1
z
-1
aN
1. kanonische Form
x(n)
bN
y(n)
b0
z
-1
b1
a1
z-1
b2
a2
bN-1
aN-1
z-1
bN
aN
22
Nichtrekursive Systeme
- Polynomform der Systemfunktion
M
H ( z ) = ∑ h(k ) ⋅ z −k
k =0
M
y ( n ) = ∑ bk ⋅ x ( n − k )
h( k ) = bk
k =0
- Direktstruktur
- Produktform
der Systemfunktion
H ( z ) = ∏ (a k + bk ⋅ z −1 + ck ⋅ z − 2 )
m
Teilsysteme 2. Ordnung
k =1
y ( n ) = y1 ( n ) ∗ y2 ( n ) ∗… ∗ ym ( n )
yk ( n ) = ak x ( n ) + bk x ( n − 1) + ck x ( n − 2); k = 1,2,…, m
- Kaskadenstruktur
23
Rekursive Systeme
Kaskadenstruktur
x(n)
y(n)
Mathematisch betrachtet ist die Kaskadierung eine Multiplikation der Teilfunktionen
H ( z ) = H 1 ( z ) ⋅ H 2 ( z ) ⋅ … ⋅ H Ms ( z )
Die Systemfunktion des rekursiven Systems mit Teilsystemen 2. Ordnung in
Kaskadenstruktur lautet
 b0 v + b1v ⋅ z −1 + b2 v ⋅ z −2 

H ( z ) = ∏ 
−1
− a 2 v ⋅ z − 2 
v =1  1 − a1v ⋅ z
Ms
Als Beispiel sind drei Teilsysteme der Direktform mit der Ordnung 2 zusammengeschaltet
und ergeben somit ein kaskadiertes Gesamtsystem 6. Ordnung.
Die Differenzengleichung für dieses System lautet
yv ( n ) = b0 v xv ( n ) + b1v xv ( n − 1) + b2 v xv ( n − 2) + a1v yv ( n − 1) + a2 v yv ( n − 2)
xv +1 ( n − k ) = yv ( n − k )
24
Rekursive Systeme
Parallelstruktur
x(n)
y(n)
Mathematisch betrachtet ist die Parallelschaltung eine Addition der Teilfunktionen
H ( z ) = H 1 ( z ) + H 2 ( z ) + … + H Mp ( z )
Die Systemfunktion des rekursiven Systems mit Teilsystemen 2. Ordnung in
Kaskadenstruktur lautet daher
b0 v + b1v ⋅ z −1
H ( z) = ∑
−1
− a 2 v ⋅ z −2
v =1 1 − a1v ⋅ z
Mp
25
3 Zeitdiskrete , diskrete und schnelle
Fouriertransformation
3.1 Zeitdiskrete Fourierreihe und Fouriertransformation
Zeitdiskrete Fourierreihe für periodische Signale (Periodizität N)
~
x (n) =
∑a
k= N
k
e
jk
2π
n
N
mit den Spektralkoeffizienten
ak =
2π
1
N
n
− jk
∑ ~x (n ) e N
n= N
Im Zeitbereich periodische Signale besitzen ein diskretes Linienspektrum. Dieses Spektrum
ist mit Ωα=2π periodisch.
Zeitdiskrete Fouriertransformation
X (Ω) =
∞
∑ x(n) e
− jΩn
n = −∞
Nichtperiodische Signale besitzen ein kontinuierliches Spektrum. Dieses Spektrum ist mit
Ωα=2π periodisch.
Inverse zeitdiskrete Fouriertransformation
x(n) =
1
2π
∫ X (Ω ) e
( π)
2
jΩn
dΩ
26
3.2
Diskrete Fouriertransformation (DFT)
DFT
− jk
n
 2π 
X k
 = X (k ) = X k = ∑ x ( n ) e N
n= N
 N 
2π
Inverse DFT
1
~
x (n) =
N
∑ X (k ) e
jk
2π
n
N
k= N
Gegenüber der Ermittlung des Spektrums einer zeitdiskreten Folge mittels der zeitdiskreten
Fouriertransformation gelten folgende Besonderheiten
- das zeitdiskrete Signal wird mit einer Fensterfunktion bewertet. Es werden nur N
Abtastwerte verwendet.
Fensterbreite T f = N ⋅ Ta
- die
Fensterung der Zeitfunktion bewirkt eine Verfälschung des Spektrums.
- die
kontinuierliche (normierte) Frequenz Ω wird diskretisiert
Ω ⇒ Ωk = k
2π
N
Spektralwerte werden nur noch bei diskreten Werten Ωk ermittelt.
Durch diese „Abtastung“ im Frequenzbereich im Abstand ∆Ω k = 2Nπ wird die
gefensterte Zeitfunktion periodisch fortgesetzt.
Daraus ergibt sich insbesondere für die DFT zeitlich periodischer Signale die
Forderung, die Fensterbreite gleich einem ganzzahligen Vielfachen der Periodendauer
zu wählen, um zusätzliche Verfälschungen zu vermeiden
- Die
27
Abtastung eines allgemeinen zeitkontinuierlichen Signals und Realisierung der diskreten
Fouriertransformation
28
Abtastung eines periodischen zeitkontinuierlichen Signals und Realisierung der diskreten
Fouriertransformation (Fensterbreite gleich Periodendauer)
29
Abtastung eines periodischen zeitkontinuierlichen Signals und Realisierung der diskreten
Fouriertransformation (Fensterbreite ungleich Periodendauer)
30
3.3
Schnelle Fouriertransformation
Fast Fourier Transform (FFT)
FFT-Basis 2- Algorithmus
 2π 
X k
 = Xk =
 N 
N −1
∑ x(n) e
− jk
2π
n
N
DFT
n =0
=
N
−1
2
∑x
− jk
en ( n ) e
2π
n
N
2
n =0
= X ek + e
− jk
2π
N
2π
N
− jk
n
2π 2 −1
N
− jk
N
2
+e
xon ( n ) e
n =0
∑
X ok
FFT
FFT
e
~ even (geradzahlig)
o ~ odd (ungeradzahlig)
Die FFT ist eine Ausführungsform der DFT mit wesentlich geringerem Rechenaufwand.
Dabei wird eine N=2a Punkte-DFT (a~ganzzahlig) auf zwei
usw.
N
2
Punkte-DFT zurückgeführt

 − jk 2Nπ n
Graph einer 4 Punkte-FFT  e
= WNk ⋅ n 


Digitale Signalprozessoren besitzen meist eine spezielle Adressierungsform für die FFT (bit
reverse addressing)
31
4 Entwurf von DSV-Systemen
4.1 Digitale Filter
Definition:
Aus einer Eingangswertefolge x(n) (Abtastwerte, dargestellt als digitale Kodeworte) wird i.a.
durch einen digitalen Signalprozessor mit entsprechender Peripherie nach einem bestimmten
Filteralgorithmus die Ausgangswertefolge y(n) berechnet.
Typische Toleranzschemata
a) Tiefpaß
b) Hochpaß
c) Bandpaß
d) Bandsperre
f = fn =
ft
fa
32
Syntheseschritte
• Vorgegebenes Toleranzschema für die Übertragungsfunktion H(Ω) nach Betrag und/oder
Phase ist durch das entworfene Filter so gut wie nötig zu erfüllen.
•
Wahl der Filterart
FIR- oder IIR-Filter
•
Eigentlicher Filterentwurf nach gewähltem Entwurfsverfahren
•
Analyse, Simulation
•
Kontrolle der Einhaltung des Toleranzschemas unter realen Bedingungen
•
Realisierung
Hardwareimplementierung und Test
Toleranzschema für den Betrag der Übertragungsfunktion
(Beispiel Tiefpaß)
H (Ω)
1+δD
1
1-δD
δS
ΩD
Ω = 2π
δD
δS
ΩD
ΩS
f
fa
~
~
~
~
~
ΩS
π Ω
normierte Frequenz
Toleranz im Durchlaßbereich
Toleranz im Sperrbereich
Grenzfrequenz des Durchlaßbereiches
Grenzfrequenz des Sperrbereiches
Darstellung als Dämpfungstoleranzschema
a = −20 lg H (Ω)
aD ~ Durchlaß-
aS ~ Sperrdämpfung
Für die Umrechnung gelten folgende Zusammenhänge
Dämpfungswerte
Durchlaßbereich
a D = − 20dB ⋅ log(1 − δ D )
Sperrbereich
a S = −20dB ⋅ log(δ S )
Fehlergrenzen
δ D = 1 − 10 − a / 20dB
δ S = 10 −a / 20 dB
D
S
33
Gegenüberstellung von FIR- und IIR-Systemen
Beispiel für IIR-System:
Rekursives digitales Filter 1. Ordnung
x(n)
y(n)
b0
z-1
z-1
y(n-1)
x(n-1)
b1
Nichtrekursiver Teil
a1
Rekursiver Teil
Differenze ngleichung y ( n ) = b0 ⋅ x ( n ) + b1 ⋅ x ( n − 1) + a1 ⋅ y ( n − 1)
Einheitsimpulsantwort h(n) = b0 ⋅ δ ( n ) + b1 ⋅ b1 ⋅ δ ( n − 1) + a1 ⋅ h( n − 1)
z + bb
Y ( z ) b0 + b1 ⋅ z −1 b0 ⋅ z + b1
H ( z) =
=
=
= b0
X ( z ) 1 − a1 ⋅ z −1
z − a1
z − a1
1
Systemfunktion
Polstelle von H ( z )
0
z ∞ − a1 = 0 ⇒ z ∞ = a1
IIR-Filter sind auf Stabilität zu untersuchen
Beispiel für FIR-System Nichtrekursives digitales Filter 1. Ordnung
(rekursiver Anteil entfällt)
Differenze ngleichung y ( n ) = b0 ⋅ x ( n ) + b1 ⋅ x ( n − 1)
Einheitsimpulsantwort h(n) = b0 ⋅ δ ( n ) + b1 ⋅ δ ( n − 1)
Allgemein gilt für die Einheitsimpulsanwort bei FIR - Systemen
h( n ) = bn , 0 ≤ n ≤ M
Systemfunktion
Stabilitätsbedingung
H ( z) =
M
Y ( z)
= b0 + b1 ⋅ z −1 = ∑ bv ⋅ z − v mit M = 1
X ( z)
v =0
∞
∑ h(n) < ∞
n =0
FIR-Filter sind immer stabil
34
Entwurfsverfahren für digitale Filter
FIR-Filterentwurf:
- Fourierapproximation
(mit Fensterfunktionen)
- Tschebyscheffapproximation
- Frequenzabtastung
- Schnelle
Faltung
IIR-Filterentwurf:
- Bilineare
Transformation
- Impulsvarianz
- Approximationsverfahren
im z-Bereich (numerische/analytische Verfahren)
35
4.1.1 FIR-Filter
FIR-Filter werden entsprechend den Forderungen gemäß Toleranzschema direkt im
zeitdiskreten Bereich entworfen.
Erfüllt die Impulsantwort bestimmte Symmetriebedingungen, sind FIR-Filter linearphasig.
FIR-Filter sind immer stabil.
Linearphasige FIR-Systeme
Betrachtung der Einheitsimpulsantworten
M
allgemein: h ( n ) = ∑ bν ⋅ δ ( n − ν )
N=M+1
ν =0
Typ-I-FIR-System: gerade Ordnung M
(Beispiel M=4)
h(n)=h(M-n), 0≤n≤M/2-1
Spiegelsymmetrische Einheitsimpulsantwort bezüglich α=M/2
Typ-III-FIR-System: gerade Ordnung M
(Beispiel M=4)
h(n)=-h(M-n)
0≤n≤M/2-1
Antisymmetrische Einheitsimpulsantwort bezüglich α=M/2
Übertragungsfunktion für Typ-I-System: H (Ω) = e
α
bzw. H (Ω ) = bα + 2∑ bα −ν ⋅ cos(Ων ) und
ν =1
− jΩα
b + 2 α b ⋅ cos(Ων )
∑ α −ν
 α

ν =1
ϕ (Ω ) = −Ω ⋅ α
36
Entwurf mittels Fourierapproximation
Bestimmung der Impulsantwort
h(n ) =
1
2π
π
∫π H (Ω )e
jΩn
W
dΩ
−
H W (Ω ) = H W (Ω ) e
jϕ HW ( Ω )
vorgegebene komplexe (ideale) Wunschübertragungsfunktion
Zur Begrenzung der Impulsantwort und zur Verbesserung des Übertragungsverhaltens
(geringes Überschwingen des Betrages der Übertragungsfunktion) wird die Impulsantwort
h(n) mit Fensterfunktionen w(n) bewertet.
H w( Ω )
1
−π
− Ωg
Ωg
0
ΩD
ϕ (Ω)
Ω
ΩS
π
Ω
−π
π
Wunschübertragungsfunktion eines TP-Filters
Schritte
- Impulsantwort h(n) von entsprechender Wunschübertragungsfunktion HW(Ω) bestimmen.
- Bewertung
der errechneten Impulsantwortwerte h(n) mit Wichtungskoeffizienten w(n) der
gewählten Fensterfunktion
h * ( n ) = h ( n ) ⋅ w( n )
- Aufstellen
der DnGl mit h ( n ) = b ( n )
∗
∗
- Ermittlung
der zu realisierenden Übertragungsfunktion H(Ω) und Kontrolle der
Einhaltung des Toleranzschemas unter realen Bedingungen (Analyse und Simulation)
- Realisierung
mit DSP, Test
Fensterfunktionen
RechteckDreieckHammingHanning-
-Fenster
37
4.1.2 IIR-Filter
Beim Entwurf von IIR-Filtern werden die Kenntnisse des Analogfilterentwurfs genutzt. IIRFilter weisen abgesehen von Sonderfällen i.a. einen nichtlinearen Phasenverlauf der
Übertragungsfunktion auf.
IIR-Filter sind auf Stabilität zu prüfen.
Entwurf mittels Bilineartransformation
Mit der Bilineartransformation
2 1 − z −1
p= ⋅
T 1 + z −1
p ~ komplexe Analogfrequenz
wird die analoge Systemfunktion H(p) in die Systemfunktion H(z) des zeitdiskreten Bereichs
überführt.
Durch diese Abbildungsfunktion wird die linke p-Halbebene in das Innere des Einheitskreises
der z-Ebene abgebildet. Stabile Analogsysteme ergeben also stabile zeitdiskrete Systeme.
Durch die Abhängigkeit zwischen den komplexen Variablen p und z gemäß
Bilineartransformation ergibt sich ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen den
Analogfrequenzen ω und den normierten Frequenzen Ω im zeitdiskreten Bereich.
Bilineartransformation
1 + T2 ⋅ p
z=
1 − T2 ⋅ p
2 z − 1 2 1− z− 1
p= ⋅
= ⋅
T z + 1 T 1+ z− 1
p
j
z
j
1
1
-j
-j
Abbildung der p-Ebene auf die z-Ebene bei der bilinearen Transformation.
Mit z = e folgt
jΩ
Ω
2
2 1− e
2 j 2 ⋅ sin( ) ⋅ e
2j
⋅ tan ( Ω2 )
⋅
= ⋅
Ω =
− jΩ
−
j
T 1+ e
T
T
2 ⋅ cos( Ω2 ) ⋅ e 2
2
Ω = 2 ⋅ arctan (ω ⋅ T2 )
p=σ+jω
σ=0
ω = ⋅ tan ( Ω2 )
T
p=
− jΩ
Ω
2
−j
38
ω
ω=
2
tan ( Ω2 )
T
ωS
ω
D
0
Η analog
π
0
Ω
Η digital
Ω D ΩS
π
Ω
Darstellung des analogen Toleranzschemas und des digitalen Toleranzschemas mit
Berücksichtigung der Frequenzverzerrung.
Schritte
- Vorgabe des Toleranzschemas für das digitale Filter (Grenzwerte für die zeitdiskrete
Übertragungsfunktion; z.B. für TP δD, δS; ΩD, ΩS)
- Wahl
der Abtastfrequenz fa
- Umrechnung
des Toleranzschemas des digitalen Filters in ein Toleranzschema für das
entsprechende Analogfilter
- Entwurf
des Analogfilters
Dabei wird nach einer zusätzlichen Frequenztransformation im Analogbereich ein
Bezugstiefpaß entworfen und dieser dann in das zu entwerfende Analogfilter
transformiert.
- Eigentliche
Bilineartransformation der analogen in die zeitdiskrete Systemfunktion
durchführen.
- Ermittlung
der zeitdiskreten Übertragungsfunktion H(Ω) und Kontrolle der Einhaltung des
Toleranzschemas unter realen Bedingungen (Analyse und Simulation)
- Realisierung
mit DSP, Test
39
5 Digitale Signalprozessoren (DSP)
DSP sind gegenüber universellen Mikroprozessoren für die Realisierung von Algorithmen der
digitalen Signalverarbeitung optimiert.
Man unterscheidet in
• Algorithmusspezifische DSP
programmierbare Filterbausteine
•
Funktionsspezifische DSP
Realisierung mehrerer Algorithmen der DSV
•
Frei programmierbare DSP
Universell einsetzbar
Umfangreiche Befehlssätze
Merkmale von DSP
Harvardarchitektur
Spezielle Hardwarekomponenten
Spezieller Befehlssatz
Wortbreiten (24bit, 32bit)
Taktfrequenzen (40MHz, 60MHz, 200 MHz..)
CMOS-Technologie
Anwendungen
Audiosignalverarbeitung
Realisierung digitaler Filter
Signalstatistik
Korrelation
Signalgenerierung
Meßtechnik
40
41
DSP56002 Block-Diagramm
Anwendungen
• Audiosignalverarbeitung
•
•
Signalstatistik
•
Korrelation
•
Meßtechnik
•
Signalgenerierung
•
Realisierung digitaler Filter
42
Direktstruktur für FIR-Filter
x(n)
z
x(n-1)
-1
b0
b1
z
x(n-2)
-1
z
b2
x(n-M)
-1
b M-1
bM
y(n)
Die Differenzengleichung für dieses FIR-System lautet
y ( n ) = b0 ⋅ x ( n ) + b1 ⋅ x ( n − 1) + b2 ⋅ x ( n − 2) +
M0=14
X:(R0)
R0
x(n)
+ bM ⋅ x ( n − M )
M4=14
Y:(R4)
b0
R4
x(n-1)
b1
x(n-2)
b2
x(n-3)
b3
x(n-14)
b 14
Ringbuffer im X-Datenspeicher
Ringbuffer im Y-Datenspeicher
für das digitale Eingangssignal
für die Filterkoeffizienten
Filter-Programmteil
clr
a
x0,x:(r0)+
y:(r4)+,y0
rep
#ntaps-1
mac
x0,y0,a
x:(r0)+,x0
y:(r4)+,y0
macr
x0,y0,a
(r0)move
a,y:out
Voraussetzungen: x0 ---input sample
a -----output sample
;save input sample
;ntaps-1=M
;compute b(i)*x(n-i)
;round result, reset r0
;save output

Digitale Signalverarbeitung

Transcription

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