Formelsammlung - Thermodynamik

Technische Thermodynamik
Wärmeübertragung
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar
Technische Thermodynamik
Formelsammlung
FB Maschinenwesen
University
of
Applied Sciences
HOCHSCHULE ZITTAU/GÖRLITZ
(FH) - University of Applied Sciences
FACHBEREICH MASCHINENWESEN
Fachgebiet Technische Thermodynamik
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar
Formelsammlung
Technische Thermodynamik
Wärmeübertragung
Seite
Internationales Einheitensystem "SI"
Schaltbilder für Bauelemente der Energietechnik (DIN 2481)
Größen
Thermische Zustandsgrößen
Energetische Zustandsgrößen
Entropie
Exergie
Ermittlung von Zustandsgrößen
Zustandsdiagramme
Massebilanz
Energiebilanz - I. Hauptsatz der Thermodynamik
Entropiebilanz - II. Hauptsatz der Thermodynamik
Exergiebilanz
Einfache technische Prozesse
Wärmeleitung
Wärmedurchgang
Konvektiver Wärmeübergang
Wärmestrahlung
Wärmeübertrager
Instationäre Wärmeleitung
1/1
2/1
3/1
4/1
5/1
6/1
6/3
7/1
8/1
9/1
10/1
11/1
12/1
13/1
14/1
15/1
16/1
17/1
Internationales Einheitensystem “SI“
Größe
SI - Einheit
empfohlene Einheit
Länge z
1m
1m
Zeit τ
1s
1s
Masse m
1 kg
1 kg
Molmenge n
1 mol
1 kmol = 1000 mol
Thermodynamische Temperatur T
1K
1K
Kraft F
1 N =1
Druck p
1Pa = 1
1bar∗
1bar∗
kg ⋅ m
s2
N
2
m
= 1 ⋅105 Pa
= 100 kPa = 0,1MPa
Enthalpie H
Innere Energie U
Exergie E
Wärme Q
Arbeit W
1 J = 1 Nm
spezifische Enthalpie h
spezifische innere Energie u
spezifische Exergie e
spezifische Wärme q
spezifische Arbeit w
1
Enthalpiestrom H
Exergiestrom E
J
Nm
m2
=1
=1
kg
kg
s2
1 W =1
Wärmestrom Q
J
Nm
=1
s
s
1 kN = 1000 N
1 kPa = 1
kN
m2
1 kPa = 0,01 bar∗
1 kJ = 1 kNm
1
kJ
m2
= 1000
kg
s2
1 kW = 1
kJ
kNm
=1
s
s
Arbeitsleistung P = W
Spezif. Wärmekapazitäten cp, cv
Spezifische Entropie s
1
J
Nm
=1
kg ⋅ K
kg ⋅ K
1
kJ
kNm
=1
kg ⋅ K
kg ⋅ K
1
W
J
Nm
=1
=1
K
s⋅K
s⋅K
1
kW
kJ
kNm
=1
=1
K
s⋅K
s⋅K
Spezifische Gaskonstante R
Entropiestrom S
Wärmekapazitätsstrom C
* in der Technik oft verwendete Einheit bar für Druck
Schaltbilder für Bauelemente der Energietechnik (DIN 2481)
Wärmeübertrager als
Rekuperator
allgemein
(Wärmetauscher)
Verdampfer
(Kessel)
Verdampfer (Kessel)
mit Überhitzer
Kühlmedium
Mischwärmeübertrager
Kondensator
Verdichter
allgemein
Pumpe
allgemein
Turbine mit
Generator
- Dampfturbine
- Gasturbine
- Wasserturbine
Drosselventil
(Druckminderventil)
Brennkammer
für Gase
Kernreaktor
Wärmeverbraucher
mit Heizflächen
Kühlturm
Schaltbilder für weitere Bauelemente (DIN 2481)
Absorber
Austreiber (Kocher)
Gekoppelte Rektifiziersäule
Rohrleitungen für Schaltungen der Energietechnik (DIN 2481)
Wasser
Luft
Verbrennungsgase
Dampf
Feste Brennstoffe
Brenngase
Heizöl
1/1
Größen
Umrechnung
spezifische Größe Z:
(massebezogen)
z=
Zeitbezogene Größe Z
(Strom):
dZ
Z =
dτ
Volumenbezogene Größe Z:
z =
Molare Größe Z:
Z
m
Beispiele
v, u, h, s, cp , q, w
⋅z
Z = m
W
H,
Q,
=P
n,
V,
m,
Z
V
z = ρ ⋅ z
q
ρ = m,
z=
Z
n
z = M⋅z
v, h, s, q, w
Flächenbezogene Größe Z:
ẑ =
Stromdichte:
ẑ =
Z
A
Z
q̂
ˆ , m
ˆ
q
A
Temperatur
Maßeinheit
Umrechnung
Thermodyn. (KELVIN)-Temp.: T
T =K
CELSIUS-Temp.:
t
t =° C
FAHRENHEIT-Temp.:
ϑF
RANKINE-Temp.:
ϑR
ϑ R =° R
Temperaturdifferenz:
∆T
∆T = ∆t = K
ϑF =° F
t
T
= − 273,15
°C K
ϑF 9 T
= ⋅ − 459,67
°F 5 K
ϑR 9 T
= ⋅
°R 5 K
∆T = ∆t
Druck
p=
d Fn
dA
,
p = 1 kPa = 0,01 bar
Überdruck:
∆püb = p - pu
Unterdruck:
∆pun = pu - p
Vakuum:
Va =
∆p un
pu
pu - barometrischer Druck
der Umgebung
1/2
Statischer Druck einer Flüssigkeitssäule
∆ p = ρFl ⋅ g ⋅ ∆ zFL
ρFl
→ Dichte der Flüssigkeit
∆z Fl → Höhe der Flüssigkeitssäule
Auftriebskraft
FA = g ⋅ Vver ⋅ (ρ - ρ ver )
FA
g
ρ
Vver
ρ ver
Vver
→ Volumen des verdrängenden Körpers (Fluids)
ρver
→ Dichte des verdrängenden Fluids
ρ
→ Dichte des Fluids in Umgebung
Normzustand n
pn = 101,325 kPa = 1,01325 bar
Tn = 273,15 K
vn =
1
bei pn , Tn des Fluids
ρn
2/1
Thermische Zustandsgrößen
Spezifisches Volumen v und Dichte ρ
Dichte:
ρ=
1
v
Reales Fluid
v = f (p,T)
ρ = f (p,T)
⎫
⎬ → technische Formulierung
⎭
Realgasfaktor
¼ z.B. WDT, Stoffwerte
p = f (T,v)
zreal =
p⋅ v
R⋅ T
→ physikalische Formulierung
Differenz für Zustandsänderung c
d
v2 − v1 = v ( p2 ,T2 ) − v ( p1,T1 )
v(p,T) ¼ z.B. WDT, Stoffwerte
Ideales Gas
Zustandsgleichung des
idealen Gases:
p ⋅ V = m ⋅ R⋅ T
p ⋅ v = R⋅ T
p ⋅ v = R⋅ T
p ⋅ v = M ⋅ R⋅ T
p ⋅ V = n⋅ R⋅ T
Spezifisches Volumen:
vig =
R⋅ T
p
Dichte:
ρig =
p
R⋅ T
Spezifische Gaskonstante
eines Stoffes:
R=
R
M
M → Molare Masse des Stoffes
R, M ¼ Stoffwerte
Strömendes ideales Gas:
=m
⋅ R⋅ T
p⋅V
Differenz für Zustandsänderung c
⎛T
T⎞
v2 − v1 = R ⎜ 2 − 1 ⎟
⎝ p2 p1 ⎠
d
M=
m
n
2/2
Inkompressible (ideale) Flüssigkeiten und Festkörper
nur
v if = f ( T)
v if (T) =
1
ρif (T)
Differenz für Zustandsänderung c
Stoffwerte
d
v 2 − v1 = v if (T2 ) − v if (T1 )
if
v (T) ¼ Stoffwerte
Näherung
vif = v '(T)
v' (T )
z.B. WDT
Differenz für Zustandsänderung c
d
v 2 − v1 = v' (T2 ) − v' (T1)
v' (T)
Stoffwerte
Berechnung mit Isobarem Volumenausdehnungskoeffizienten
v if (T) = vo ⎡⎣1 + αp ⋅ (T − To )⎤⎦
α p → Isobarer Volumenausdehnungskoeff. (α p = β)
(Mittelwert im Temp.-Bereich To ... T)
Berechnung mit Längenausdehnungskoeffizienten
für Länge L >> Querschnitt bei Festkörpern
L(T) = Lo ⎣⎡1 + αlin ⋅ (T − To )⎦⎤
αlin → Längenausdehnungskoeffizient
(Mittelwert im Temp.-Bereich To ... T)
Stoffwerte
3/1
Energetische Zustandsgrößen
Isochore Wärmekapazität Cv
cv =
Cv
m
Isobare Wärmekapazität Cp
cp =
Definition
Cp
m
⎛ ∂h ⎞
cp := ⎜ ⎟
⎝ ∂T ⎠ p
⎛ ∂u ⎞
c v := ⎜ ⎟
⎝ ∂T ⎠ v
Reales Fluid
cv = f (T,p)
cp = f (T,p) , cp = f (T,v)
, cv = f (T,v)
¼ z. B. WDT
Ideales Gas
3
cig
v = ⋅R
5
cig
p = ⋅R
Einatomige Gase
2
2
Mehratomige Gase
ig
nur
ig
cp = c v + R
c ig
v = f (T )
nur
cig
p = f (T)
¼ Stoffwerte
Berechnung mit Isentropenexponenten κ
Temperaturunabhängige Festwerte als Näherung
Einatomige ideale Gase
Zweiatomige ideale Gase
Dreiatomige ideale Gase
ig
cv =
1
⋅R
κ −1
κ = 1,66 6
κ = 1,4
κ = 1,3
ig
c ig
p = κ ⋅cv
(exakt)
(gute Näherung) z.B. Luft
(grobe Näherung)
ig
cp =
κ
⋅R
κ −1
Ideale Flüssigkeiten und Festkörper
cifv
nur
= f (T )
nur
c ifp = f (T )
¼ Stoffwerte
Näherung
c ifp ≈ c'p (T)
¼ z. B. WDT
3/2
Innere Energie U
Enthalpie H
Definition
H:= U + p ⋅ V
U → Energiegehalt eines Systems
u=
U
m
=m
⋅u
U
,
h=
H
m
,
=m
⋅h
H
Reales Fluid
u = f(p,T)
, u = f(T,v)
h = f (p,T)
, h = f(T,v)
¼ z. B. WDT
u = h−p⋅v
Differenz für Zustandsänderung c J d
u2 − u1 = ⎡⎣h ( p2 ,T2 ) − h ( p1,T1 ) ⎤⎦
− ⎡⎣p2 ⋅ v ( p2 ,T2 ) − p1 ⋅ v ( p1,T1 ) ⎤⎦
v, h(p,T) ¼ z. B. WDT
h2 − h1 = h( p2 ,T2 ) − h( p1,T1)
h(p,T) ¼ z. B. WDT
3/3
Innere Energie U
Enthalpie H
Ideales Gas
nur
h ig = f (T)
uig = f (T)
¼ Stoffwerte
uig = hig − R⋅ T
hig (T) ¼ Stoffwerte
T
ig
ig
u = uo + cig
v (T) dT
To
∫
ig
T
∫ cp (T) dT
= hig
o +
h
ig
To
Differenz für Zustandsänderung c J d
u2 − u1 =
T2
∫
T2
h2 − h1 = ∫ cpig(T)dT
cig
v (T)dT
T1
T1
u2 − u1 = hig ( T2 ) − hig ( T1) − R⋅ ( T2 − T1)
h2 − h1 = hig ( T2 ) − hig ( T1)
hig (T) ¼ Stoffwerte
hig (T) ¼ Stoffwerte
ig
ig
mit Mittelwerten cvm bzw. cpm = const
ig
uig = uig
o + cv
T
ig
hig = hig
o + cp
(T − To )
TO
T
TO
T
=
cig
p
To
(T − To )
TO
Mittelwert cig
v
cig
v
T
T
−R
To
bzw. cig
p
T
zwischen To und T
TO
cig
p
T
hig − hig
1
ig
o
=
⋅ ∫ cp (T)dT =
T
−
T
T
−
T
o T
o
To
o
T
¼ Stoffwerte
Differenz für Zustandsänderung c J d
u2 − u1 = cig
vm ⋅ ( T2 − T1 )
cig
vm
= cig
pm
−R
ig
h2 − h1 = cpm
⋅ ( T2 − T1 )
ig
cig
pm = cp
T2
cig
p
T2
⋅ (T2 − To ) − cpig
To
=
T1
⋅ (T1 − To )
To
(T2 − T1)
T1
cig
p
T
¼ Stoffwerte
To
Näherung für kleine Differenz (T2 − T1) :
cig
pm
=
cig
p
T2
T1
≈
1 ⎡ ig
⎤
⋅ cp ( T1 ) + cig
p ( T2 ) ⎦
2 ⎣
cig
p (T) ¼ Stoffwerte
3/4
Innere Energie U
Enthalpie H
Ideale Flüssigkeiten und Festkörper
nur
h if = f (T ) ¼ Stoffwerte
uif = uifo +
T
∫
cifv (T) dT
hif = hifo +
To
if
T
∫ cp (T) dT
if
To
if
if
if
if
h (T), v (T) ¼ Stoffwerte
u = h (T) − p ⋅ v (T)
Differenz für Zustandsänderung c J d
u2 − u1 =
T2
∫
T2
h2 − h1 = ∫ cpif (T)dT
cifv (T)dT
T1
T1
u2 − u1 = hif ( T2 ) − hif ( T1 )
h2 − h1 = hif ( T2 ) − hif ( T1 )
hif (T) ¼ Stoffwerte
− (p2 ⋅ vif (T2 ) − p1 ⋅ vif (T1))
if
if
h (T), v (T) ¼ Stoffwerte
mit Mittelwerten cifvm bzw. cif
= const
pm
uif = uifo + cifv
T
TO
T
bzw. cifp
TO
cifv
To
= cifp
(T − To )
TO
Mittelwert cifv
T
T
hif = hifo + cifp
(T − To )
T
T
zwischen To und T
TO
cifp
−R
To
T
=
To
1
⋅
T − To
¼ Stoffwerte
T
if
∫ cp (T)dT =
To
hif − hifo
T − To
Differenz für Zustandsänderung c J d
u2 − u1 = cifvm ⋅ ( T2 − T1 )
cifpm
if
h2 − h1 = cpm
⋅ ( T2 − T1 )
=
cpif
T2
cifp
=
T2
⋅ (T2 − To ) − cpif
To
T1
⋅ (T1 − To )
To
cifp
(T2 − T1)
T1
Näherung für kleine Differenz ( T2 − T1) :
cifpm
=
cpif
T2
≈
T1
1 ⎡ if
⋅ cp ( T1 ) + cpif ( T2 ) ⎤
⎦
2 ⎣
v',h' ¼ z. B. WDT
hif = h'(T)
h' ¼ z. B. WDT
Differenz für Zustandsänderung c J d
u2 − u1 = h' ( T2 ) − h' ( T1 )
− ⎡⎣p2 ⋅ v' ( T2 ) − p1 ⋅ v' ( T1 ) ⎤⎦
v',h'(T) ¼ z. B. WDT
¼ Stoffwerte
To
cifp (T) ¼ Stoffwerte
Näherungen
uif = h' (T) − p ⋅ v' (T)
T
h2 − h1 = h' ( T2 ) − h' ( T1 )
h'(T) ¼ z. B. WDT
4/1
Entropie S
s=
spez. Entropie
S
m
=m
⋅s
S
Entropiestrom
s = f (p, T) ¼ z. B. WDT bzw. s = f (T, v)
Differenz für Zustandsänderung c J d
Reales Fluid
(
) (
)
s2 − s1 = s p2 , T2 − s p1, T1
s = f (p, T) ¼ z. B. WDT
Ideales Gas
sig = f(T,v)
sig = f (T,p)
ig
s
= sig
o +
T ig
cp (T)
∫
T
To
⎛ p ⎞
dT − R⋅ ln ⎜ ⎟
⎝ po ⎠
⎛ p ⎞
sig = sig
⎟
T − R⋅ ln ⎜
⎝ po ⎠
mit
sig
T
sig = sig
o +
T ig
c v (T)
∫
To
= sig
o
T
∫
+
To
cig
p (T)
T
T
⎛ v ⎞
dT + R⋅ ln ⎜ ⎟
⎝ vo ⎠
dT
ig
sT = f (T) ¼ Stoffwerte, berechnet für:
sig
o = 0 bei To = 273,15 K
kJ
Ausnahmen - Wasserdampf: sig
o = 9,1562
kg ⋅ K
kJ
- Luft:
sig
o = 0,16189
kg ⋅ K
Differenz für Zustandsänderung c J d
⎛p ⎞
ig
ig
s2 − s1 = sT T2 − sT T1 − R ⋅ ln ⎜ 2 ⎟
⎝p ⎠
( )
( )
1
ig
sT (T) ¼ Stoffwerte
ig
mit Mittelwerten c ig
pm bzw. c vm = const:
ig
sig = sig
o + cp
⎛ T ⎞
⎛ p ⎞
⋅ ln ⎜ ⎟ − R ⋅ ln ⎜ ⎟
⎝ To ⎠
⎝ po ⎠
To
T
ig
sig = sig
o + cv
⎛ T ⎞
⎛ v ⎞
⋅ ln ⎜ ⎟ + R ⋅ ln ⎜ ⎟
⎝ To ⎠
⎝ vo ⎠
To
T
Differenz für Zustandsänderung c J d
⎛T ⎞
⎛p ⎞
ig
s2 − s1 = cpm ⋅ ln ⎜ 2 ⎟ − R ⋅ ln ⎜ 2 ⎟
⎝ T1 ⎠
⎝ p1 ⎠
⎛T ⎞
⎛v ⎞
ig
s2 − s1 = cvm ⋅ ln ⎜ 2 ⎟ + R ⋅ ln ⎜ 2 ⎟
⎝ T1 ⎠
⎝ v1 ⎠
Näherung für kleine Differenz ( T2 − T1) :
ig
cig
pm = cp
T2
T1
≈
1 ⎡ ig
⎤
⋅ c (T ) + cig
p (T2 )⎦
2 ⎣ p 1
cig
p (T) ¼ Stoffwerte
ig
ig
cvm = cpm − R
4/2
Ideale Flüssigkeiten und Festkörper
(es gilt:
)
vif = f(T) , hif = f(T)
if
s = f (T,p)
if
s
= sifo
T
+
∫
To
cifp (T)
T
dT −
dvif (T)
dT
⋅ ( p − po )
mit sifT = sifo +
T
∫
cifp (T)
To
T
dT
Näherung:
if
if dv (T)
s = sT −
⋅ p − po
if
dT
(
sif = s'(T) −
)
dv'(T)
⋅ ( p − ps (T))
dT
ps(T), s'(T), v'(T) ¼ z. B. WDT
if
if
sT = f ( T) ¼ Stoffwerte, Tab. 4 für Wasser, berechnet für so = 0 bei To = 273,15 K
if
v = f ( T) ¼ Stoffwerte Tab. 4 für Wasser
Differenz für Zustandsänderung c J d
s2 − s1 = sifT ( T2 ) − sifT ( T1 ) −
vif ( T2 ) − vif ( T1 )
T2 − T1
⋅ ( p2 − p1 )
if
if
sT ( T) , v ( T) ¼ Stoffwerte
Näherung:
s2 − s1 = s' ( T2 ) − s' ( T1 ) −
v' ( T2 ) − v' ( T1 )
T2 − T1
⋅ ( p2 − p1 )
s' (T) , v' (T) ¼ z.B. WDT
mit Mittelwert cif
pm = const:
if
s =
sifo
+ cifp
if
⎛ T ⎞ dv (T)
⋅ ln ⎜ ⎟ −
⋅ ( p − po )
T
dT
o
⎝
⎠
To
T
Differenz für Zustandsänderung c J d
⎛T
if
s2 − s1 = cpm
⋅ ln ⎜ 2
⎝ T1
if
if
⎞ v (T2 ) − v (T1)
⋅ ( p2 − p1 )
⎟−
T2 − T1
⎠
vif (T) ¼ Stoffwerte
Näherung für kleine Differenz ( T2 − T1) :
cifpm = cpif
T2
T1
≈
1 ⎡ if
⋅ cp (T1) + cpif (T2 )⎤
⎦
2 ⎣
if
cp ( T) ¼ Stoffwerte
Sonderfall T=const
s2 − s1 = −
vif (T + δT) − vif (T − δT)
(T + δT) − (T − δT)
⋅ ( p2 − p1 )
mit δT = 0,1...1K bzw. benachbarte Tabellenwerte zu T
5/1
Exergie E
e=
spezifische Exergie
E
m
Exergiestrom
=m
⋅e
E
Spezifische Exergie (der Enthalpie) bei offenen Systemen:
e ≡ e(h) := (h − hu ) − Tu ⋅ (s − su )
hu, su des betreffend en Fluids bei pu, Tu
Differenz für Zustandsänderung
⌫
e2 − e1 = (h2 − h1) − Tu ⋅ (s2 − s1)
Exergie im Stoffstrom - Technische Arbeitsfähigkeit:
(
)
st = m
e + 1 c2 + g ⋅ z = m
⋅ est
E
mit
2
est = e + 1 c2 + g ⋅ z
2
Spezifische Exergie der inneren Energie e(u) bei geschlossenen Systemen:
e(u) := (u − uu ) − Tu ⋅ (s − su ) + pu ⋅ (v − vu )
uu, su, vu des betreffenden Fluids bei pu, Tu
Differenz für Zustandsänderung
⌫
e(u)2 − e(u)1 = u2 − u1 − Tu ⋅(s2 − s1 ) + pu ⋅(v2 − v1)
6/1
Ermittlung von Zustandsgrößen aus Stoffwerttabellen
(Wasserdampftafel)
Bezugszustand der Wasserdampftafel: Tripelzustand auf der Siedelinie (tr’)
uo = 0
To = 273,16 K
p
so = 0
bei o = 0,6112 kPa
ho = uo + po ⋅ vo ≈ 0
vo = 0,0010002 m3 ⋅ kg−1
Fluide Einphasengebiete (Flüssigkeit, überhitzter Dampf)
0°C
.
.
.
t
.
.
.
.
800°C
p1
p2
p3
.
.
(Flüss.)
.
.
.
(überh.
Dampf)
.
.
.
.
.
(Flüss.)
.
.
.
(überh.
Dampf)
.
.
.
.
.
.
.
(überkrit.
Fluid)
.
p
Werte für
Trennstrich in Tabelle
...............
überkrit. Fluid
p3
v, h, s, cp,
λ, η
⇒
kr
...............
DampfdruckFlüss.
. . . . . . . . . . .kurve
....
überh. Dampf
tr
p2
p
1
ts (p1)
ts (p2 )
t
aus Tabelle für Nassdampfgebiet
Phasengrenzkurven
ts = f(p) . . . v’, v’’, h’, h’’, r, s’, s’’ = f(p) und cp’, cp’’, λ’, λ’’, η’, η’’ = f(p)
p
.
.
.
sowie
.
.
.
ps = f(t) . . . v’, v’’, h’, h’’, r, s’, s’’ = f(t) und cp’, cp’’, λ’, λ’’, η’, η’’ = f(t)
t
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
h
T
v" p
kr
p
h"
Ts (p)
Ts (p)
x=1
kr
p
h"
h'
x=1
x=0 v'
s'
s"
s
v"
h'
x=0 v'
s'
s"
s
6/2
Zustandsgrößen des Zweiphasengemisches Nassdampf
Siededruck (Dampfdruck, Sättigungsdruck):
Siedetemperatur (Sättigungstemperatur):
Anteil siedender Flüssigkeit:
ps = f (T) ⎫
⎬ für beide Phasen
Ts = f (p) ⎭
m', V' → v'=
V'
m'
V"
m"
Anteil trocken gesättigten Dampfes: m", V" → v"=
Nassdampfgemisch:
Dampfanteil
Dampfvolumenanteil
spezifisches Volumen:
m = m'+ m"
Vx = V'+ V"
x=
y=
V
→ vx = x
m
m"
m"
=
m m' + m"
V"
V"
=
Vx V'+ V"
y = x⋅
v x = v'+ x ⋅ (v"− v')
ρx =
v' , v" = f (T) oder = f (p)
spezifische Enthalpie:
v"
vx
1
vx
↗ z.B. WDT
hx = h'+ x ⋅ (h"− h')
h' , h" , r = f (T) oder = f (p)
↗z.B. WDT
Verdampfungsenthalpie r ≡ ∆hv = h''− h'
spezifische innere Energie:
ux = hx − ps ⋅ v x
ps = f (T)
spezifische Entropie:
↗ z.B. WDT
sx = s'+ x ⋅ (s"− s')
s' , s" = f (T) oder = f (p)
spezifische Exergie:
↗ z.B. WDT
ex = (hx − hu ) − Tu ⋅ (sx − su )
(
hu , su = f pu , Tu
)
↗ z.B. WDT
6/3
Schmelzdruckkurven pmelt(T)
p
andere Fluide
überkritisches Fluid
Wasser
kritischer Punkt
c
pc
Dampfdruckkurve ps(T)
22,064 MPa
feste Phase
Feststoff
flüssige Phase
Flüssigkeit
reales Fluid
inkompressible
Flüssigkeit
ps(T)
pt
Tripelzustand t
Gasphase
überhitzter Dampf
0,6117 kPa
ideales Gas
Sublimationsdruckkurve psub(T)
Tt
Werte von Wasser
T
273,16 K
Tc
T
647,096 K
p,T-Diagramm mit Berechnungsbereichen
T T
Siedelinie x=0
- Zustand siedender Flüssigkeit
(Zeiger ')
T m ax
Taulinie x=1
- Zustand trocken gesättigten
Dampfes (Zeiger '')
Flüssigkeit
Zweiphasengemisch
flüssig - gasförmig
p,v-Diagramm für Fluide mit Phasengebieten und charakteristischen Isolinien
6/4
Tmax
p=c
onst
con
pm
h=
ax
p=c
ons t
v = con
st
v = const
T
st
vc
hc
c
Flüssigkeit
Tc
überhitzter Dampf
pc
0
ideales Gas
x=
x=
inkompressible
Flüssigkeit
reales Fluid
nst
h = co
kritischer Punkt
t
p=
vt "
pt
0,2
x=
0,8
st '
h"(p)
p = const
v = const
x=
Tt
flüssig-gasförmig
0,6
t'
t
x=
)
h' (p
Ts (p)
s
con
x = 0,4
v=
cons
v "(p )
1
Nassdampf
Zweiphasengemisch
t"
sc
s'(p)
st "
s"(p)
s
T,s-Diagramm mit Phasengebieten und Berechnungsbereichen
T max
n st
h
Tc
h"(p)
ht "
c
hc
v
on
=c
=
0
x=
x
0,4
pm
ax
Flüssigkeit
inkompressible
Flüssigkeit
0,8
ideales Gas
überhitzter Dampf
x=1
Ts (p)
)
p
s(
t
p ,T
p t ,T
"
vt
t"
Nassdampf
Zweiphasengebiet
flüssig-gasförmig
st
p t ,T t
h'(p)
h t'
x=
kritischer Punkt
p=
T = const
v "(
p)
p
v= c
co n
st
co
in Bild 8.7
t'
st '
s'(p)
sc
s"(p)
Mollier h,s-Diagramm mit Phasengebieten und Berechnungsbereichen
st "
Tt
7/1
Massebilanz
Instationär:
∑ m zu − ∑ m ab =
Sonderfall:
dm
dτ
zu , m
ab = const im Zeitraum ∆τ
m
(∑ m zu − ∑ m ab ) ⋅ ∆τ = m2 − m1
mit ∆τ = τ2 - τ1
Stationär:
∑ m zu = ∑ m ab
Massestrom:
= ρ⋅ V
m
Volumenstrom:
= c⋅ A
V
q
, ρ=
(m = const im System)
1
v
Aq → durchströmte Querschnittsfläche
c
Einfache
Mischung
von Massen:
→ mittlere Strömungsgeschwindigkeit über
Querschnittsfläche
∑ mzu − ∑ mab = m2 − m1
8/1
Energiebilanz - I. Hauptsatz der Thermodynamik
Energiebilanz bei geschlossenen Systemen
+W
= dU
Q
dτ
Instationäre Energiebilanz:
= δQ ,
mit: Q
dτ
≡ P = δW
W
dτ
Differentielle Formen
δQ + δWV + δWdiss = dU
δQ + V ⋅ dp + δWr + δWdiss = dH
Zustandsänderung von Zeitpunkt c bis d
Form mit innerer Energie
Form mit Enthalpie
Q12 + WV12 + W diss12 = U2 − U1
p2
Q12 +
∫ V ⋅ dp + Wr12 + Wdiss12 = H2 − H1
p1
Dissipierte Arbeiten: Wdiss12 = Wel12 + W W 12 + ...
Volumenänderungsarbeit: Zustandsänderung von Zeitpunkt c bis d
V2
WV12 = − ∫ p ⋅ dV + Wr12
δWV = − p ⋅ dV + δWr
V1
Äußere Kolben - Nutzarbeit: (bei pu=const)
(
WN12 = WV12 + pu ⋅ V2 − V1
)
pu → barom. Druck in Umgebung d. Kolbens
W N1 2 =
z2
∫ FK (z) dz
z1
FK(z) -
Äußere Kolbenkraft in Abhängigkeit von z
(positiv in Richtung Volumenverringerung)
z - Ortskoordinate in Richtung Volumenverringerung
Sonderfall: Adiabate Mischung Q12 = 0
bei V = const
∑ U1 = U2
bei p = const
∑ H1 = H2
8/2
Energiebilanz bei offenen Systemen
+W
st + ∑ H
st − ∑ H
st = dU
Instationäre Energiebilanz: Q
zu
ab
dτ
Stationäre Energiebilanz vom Eintritt c bis Austritt d:
+ Pst + W
st
st
Q
12
t12
diss12 = ∑ H2 − ∑ H1
Gesamtenthalpieströme:
(
)
Eintritt
st = m
1 ⋅ h1 + 1 c12 + g ⋅ z1 = m
1 ⋅ h1st
H
1
Austritt
st = m
2 ⋅ h2 + 1 c22 + g ⋅ z2 = m
2 ⋅ h2st
H
2
(
Technische
Nutzleistung des
Fluidstroms:
2
)
2
st
st
st = m
⋅ w t12
Pt12 = W
t12
Spezifische technische
Arbeit des Fluidstroms:
w st
t12 =
p2
∫ v ⋅ dp + w r12 + 21 (c2 − c1 ) + g ⋅ ( z2 − z1)
2
2
p1
Spezifische innere
technische Arbeit:
w t12 =
p2
∫ v ⋅ dp + wr12
p1
Sonderfall:
(
)
=m
1=m
2 - stationärer Fließprozeß
Ein Eintritt und ein Austritt m
(
)
+ Pst + W
⋅ ⎡(h2 − h1 ) + 1 c22 − c12 + g ⋅ ( z2 − z1 ) ⎤
Q
12
diss12 = m
t12
⎥⎦
2
⎣⎢
Differentielle Form:
δq + δw st
t + δw diss = dh + c ⋅ dc + g ⋅ dz
mit δw st
t = v ⋅ dp + δw r + c ⋅ dc + g ⋅ dz
Sonderfall:
Adiabate Mischung von Fluidströmen
∑ H1st = H 2st
9/1
Entropiebilanz - II. Hauptsatz der Thermodynamik
Definition der Entropie:
Form mit U:
dS =
dU + p ⋅ dV
T
Form mit H:
dS =
dH − V ⋅ dp
T
Entropiebilanz bei geschlossenen Systemen
Instationäre Entropiebilanz:
dS
S Q + S irr =
dτ
Differentielle Form:
δQ
+ δSirr = dS
T
Quasistatische Zustandsänderung vom Zeitpunkt c bis d:
irr
SQ12 + S12 = S2 − S1
2
SQ12 =
∫
1
δQ
T
irr
→ Entropie der Wärme
S12
→ Entropieproduktion im System
S1 = m ⋅ s1
S2 = m ⋅ s2
→ Entropie im Fluid
Sonderfall: Adiabate Mischung
irr
S12
= S2 − ∑ S1
9/2
Entropiebilanz bei offenen Systemen
Instationäre Entropiebilanz:
+ ∑S
− ∑S
+S
irr = dS
S
Q
zu
ab
dτ
Stationäre Entropiebilanz vom Eintritt c zum Austritt d:
irr
S
Q12 + S12 =
S
Q12 =
2
∫
1
∑ S 2 − ∑ S 1
δQ
T
→ Entropie des Wärmestroms
irr
S 12
→ Entropieproduktionsstrom im System
=m
1 ⋅ s1
S
1
=m
⋅s
S
→ Entropiestrom im Fluidstrom
2
Sonderfall:
2
2
(
=m
1 = m
2
Ein Eintritt und ein Austritt m
stationärer Fließprozeß
irr ⋅ (s − s )
S
Q12 + S12 = m
2 1
2
Differentielle Form:
∫
1
Sonderfall:
δq
+ δsirr = ds
T
Adiabate Mischung von Fluidströmen
irr = S
− S
S
12
2 ∑ 1
)
10/1
Exergiebilanz
Exergiebilanz bei geschlossenen Systemen
Form mit Exergie der inneren Energie:
EQ12 + WN12 + Wdiss12 − EV12 = E(u)2 − E(u)1
2
EQ12 =
∫
1
T − Tu
δQ
T
(
WN12 = WV12 + pu ⋅ V2 − V1
→ Exergie der Wärme
)
→ Nutzarbeit
V2
WV12 = − ∫ pdV + W r12
→ Volumenänderungsarbeit
V1
Wdiss12 = Wel12 + W W12 + ...
irr
Ev12 = Tu ⋅ S12
E(u) = m ⋅ e (u)
→ Dissipierte Arbeiten
→ Exergieverlust im System
→ Stoffgebundene Exergie der
inneren Energie
Form mit Exergie der Enthalpie:
P2
EQ12 +
∫ V ⋅ dp + Wr12 + Wdiss12 − Ev12 = E2 − E1
P1
E= m⋅ e
→ Stoffgebundene Exergie (der Enthalpie)
10/2
Exergiebilanz bei offenen Systemen
Stationäre Exergiebilanz vom Eintritt c bis Austritt d:
st
st
st
E
Q12 + Pt12 + Wdiss12 − Ev12 = ∑ E2 − ∑ E1
mit
E
Q12 =
2
∫
1
T − Tu δQ
T
→ Exergie des Wärmestroms
irr
E
v12 = Tu ⋅ S12
→ Exergieverluststrom im System
)
(
st = m
2 ⋅ ( e2 + 1 c22 + g ⋅ z2 ) = m
2 ⋅ e2st
E
2
2
st = m
1 ⋅ e1 + 1 c12 + g ⋅ z1 = m
1 ⋅ e1st
E
1
2
Sonderfall:
→
Exergie im Stoffstrom am Eintritt
→
Exergie im Stoffstrom am Austritt
(
=m
1 = m
2
Ein Eintritt und ein Austritt m
)
stationärer Fließprozeß
(
)
(
)
st
⋅ ⎡( e2 − e1 ) + 1 c 22 − c12 + g ⋅ z2 − z1 ⎤
E
Q12 + Pt12 + Wdiss12 − Ev12 = m
2
⎢⎣
⎥⎦
Exergetischer Wirkungsgrad:
Sonderfall:
η ex =
∑ E Nutzen
∑ E Aufwand
Adiabate Mischung von Fluidströmen
st
st
−E
v12 = E2 − ∑ E1
10/3
Energieformen als reine Exergie
Spez. Nutzarbeit am Kolben bei geschlossenen Systemen:
eN = wN = w v12 + pu ⋅ (v2 − v1)
Spez. Technische Arbeit bei offenen Systemen:
et = w t =
p2
∫ v ⋅ dp + w r12
p1
eel = w el
Spez. Elektrische Arbeit:
Spez. Wellenarbeit:
eW = w W
Spez. kinetische Energie:
ekin = 1 c2
Spez. potentielle Energie:
epot = g ⋅ z
2
Energieformen mit Exergie und Anergie
Spez. Exergie (der Enthalpie):
- bei offenen Systemen
Spez. Exergie der inneren Energie:
- bei geschlossenen Systemen
e = (h − hu ) − Tu ⋅ (s − su )
e(u) = (u − uu ) − Tu ⋅ (s − su ) + pu ⋅ (v − vu )
2
Spez. Exergie der Wärme:
eq =
∫
1
T − Tu
δq
T
Energieformen als reine Anergie
Spez. Enthalpie bei Umgebungszustand:
h = f (pu , Tu ) = hu , e u = 0
Spez. Innere Energie bei Umgebungszustand: u = f (pu , Tu ) = uu , e(u) u = 0
Spez. übertragene Wärme bei T=Tu:
q12 = Tu ⋅ ( s2 − s1) , e q (Tu) = 0
Spez. Volumenänderungsarbeit bei p=pu:
w V12 = pu ⋅ ( v2 − v1) , e w V (p u) = 0
11/1
Einfache technische Prozesse
Drosselentspannung
- Näherung: adiabat
= const
m
st = H
st
H
1
2
1
irr = m
⋅ ( s2 − s1 )
S
12
2
p1 , T1
p2 < p1 , T2
c1 , z 1
c2 , z 2
st
E
v12 = m
⋅ TU ⋅ ( s2 − s1 ) , ηex = 2
E
st
E
1
h
Sonderfall: c2 ≈ c1 , z2 ≈ z1
p1
h2 = h1
h2 = h1
1
h = const
v1
s1
Reale Fluide:
p2
2
v2
s2
T2 < T1
falls
innerhalb Inversionskurve
T2 > T1
falls
außerhalb Inversionskurve
s
s2 − s1 = s(p2 , h) − s(p1, T1 ) ¼ z.B. WDT
wobei h = f (p1, T1) ¼ z.B. WDT
Ideales Gas:
T2 = T1 = T
⎛ p2 ⎞
⎛ v2 ⎞
s 2 − s 1 = − R ⋅ ln ⎜⎜ ⎟⎟ = R ⋅ ln ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ p1 ⎠
⎝ v1 ⎠
Ideale Flüss.:
T2 = T1 = T
und
v 2 = v 1 = vif
dvif (T)
s2 − s1 = −
⋅ ( p2 − p1 ) wobei
dT
dvif (T) vif (T + δT) − vif (T − δT)
≈
dT
(T + δT) − (T − δT)
mit δT = 0,1...1 K
bzw. benachbarte
Tabellenwerte zu T
1
wobei ρif = f ( T ) ¼ Stoffwerte
mit vif =
if
ρ
gute Näherung vif = v' ( T ) ¼ z.B. WDT
11/2
Verdichtung (Kompression)
- Näherung: Verdichter, Pumpe - adiabat
)
(
st
⋅ ⎡ (h2 − h1 ) + 1 c22 − c12 + g ⋅ ( z2 − z1 ) ⎤
=m
Pt12
⎢⎣
⎥⎦
2
1
⋅ (h2s − h1 )
mit h2 = h1 +
ηsV
Pumpe
Verdichter
(Kompressor)
Für reales Fluid : h1 = f(p1,T1) , h2s = f(p2 ,s1)
¼ WDT
p2>p1
2
Für ideales Gas mit cig
pm , κ = const :
2
ig
⋅ (T2 − T1)
(h2 − h1 ) = cpm
adiabat
M
M
Pst
t12
Pst
t12
ηsV
1
m
m
Flüssigkeit
1
T2 = T1 +
⋅ (T − T )
ηsV 2s 1
κ−1
1
⎛p ⎞ κ
T2s = T1 ⋅ ⎜ 2 ⎟
⎝ p1 ⎠
mit
Gas
Dampf
Für ideale Flüss :
if
⋅ (p2 − p1 )
(h2s − h1 ) = vm
if
h1 = h (T1) ¼ Stoffwerte
irr = m
⋅ ( s2 − s1)
S
12
⋅ Tu ⋅ ( s2 − s1)
E
v12 = m
h
h2
h 2s
p2
2
Isentroper Verdichtergütegrad
(innerer Wirkungsgrad)
p1
2s
η sV =
w t12s
h1
s1
1
irr
s 12
Näherung:
wt12
s2
w t12s
w t12
=
h2s − h1
h2 − h1
Sonderfälle: Für Ideales Gas mit cig
pm = const
s
oder
Ideale Flüss. mit cifpm = const :
T −T
ηsV = 2s 1
T2 − T1
adiabate reversible Verdichtung → s=const
→
2 = 2s
→ ηsV = 1
w t12 = w t12s = h 2s − h 1
11/3
Turbinenentspannung (-expansion)
- Näherung: Turbine adiabat
)
(
st
⋅ ⎡ (h2 − h1 ) + 1 c 22 − c12 + g ⋅ ( z 2 − z1 )⎤
=m
Pt12
2
⎣⎢
⎦⎥
mit h2 = h1 + ηsT ⋅ (h2s − h1 )
Gasturbine
Dampfturbine
Wasserturbine
Für reales Fluid: h1 = f (p1, T1), h2s = f (p2 , s1)
m
¼ WDT
Für ideales Gas mit cig
pm , κ = const :
1
ig
⋅ (T2 − T1)
(h2 − h1) = cpm
G
T2 = T1 + ηsT ⋅ (T2s − T1)
-P st
t12
⎛p ⎞
mit T2s = T1 ⎜ 2 ⎟
⎝ p1 ⎠
adiabat
ηsT
2
κ−1
κ
if
Für ideale Flüss : (h2s − h1 ) = vm
⋅ (p2 − p1 )
if
h1 = h (T1) ¼ Stoffwerte
irr = m
⋅ ( s2 − s1 )
S
12
⋅ Tu ⋅ ( s2 − s1 )
E
v12 = m
h
p1
p2
Isentroper Turbinengütegrad
(innerer Turbinenwirkungsgrad)
1
h1
ηsT =
-w t12
h2
-w t12s
2
h2s
ig
Sonderfälle: Für Ideales Gas mit cpm = const
2s
s1
s2
s
h2 − h1
w t12
=
w t12s h2s − h1
s
irr
12
Näherung:
oder
if
Ideale Flüss. mit cpm = const :
T − T1
ηsT = 2
T2s − T1
adiabate reversible Entspannung → s=const
→
2 = 2s
→ ηsT = 1
w t12 = w t12s = h 2s − h 1
Reversible Zustandsänderungen idealer Gase von c nach
1
κ
p ⋅ v = R⋅ T , c p =
⋅R , cv =
⋅ R , cp = κ ⋅ c v ,
κ −1
κ −1
v2
=
v1
Isochore
v =
p
=
T
Isobare
p =
v
=
T
Isotherme
p2
p1
v2
=1
v1
p2
T2
v2
=
v1
T1
p2
p
T = const v2 = 1
p ⋅ v = const v1 p 2
p2
const
const
const
const
Isentrope
s = const
κ
p ⋅ v = const
p1
p1
p1
1
⎛ p1 ⎞ κ
v2
=⎜ ⎟
v1 ⎝ p 2 ⎠
1
⎛ T1 ⎞ κ −1
v2
=⎜ ⎟
v1 ⎝ T2 ⎠
Polytrope
p ⋅ vn = const
1
v2
v1
⎛ p1 ⎞ n
=⎜ ⎟
⎝p2 ⎠
1
⎛ T1 ⎞ n−1
v2
=⎜ ⎟
v1 ⎝ T2 ⎠
p2
=
T2
=
T1
T2
T2
T1
T1
T2
=1
=
T1
v1
T2
v2
T1
κ
⎛ T2 ⎞ κ −1
=⎜ ⎟
p1 ⎝ T1 ⎠
p2 ⎛ v 1 ⎞
=⎜ ⎟
p1 ⎝ v 2 ⎠
T2
T1
κ
n
=
=
cp, cv, κ = const
cp = c v + R
h2 − h1 =
u 2 − u1 =
=
p2
(
)
h 2 − h1 = c p T2 − T1
(
)
h 2 − h1 = c p T2 − T1
u 2 − u1 = c v T2 − T1
p1
v2
u 2 − u1 = c v T2 − T1
v1
u2 − u1 = 0
=1
s2 − s1 =
(
)
⎛ T2 ⎞
s 2 − s1 = c v ⋅ ln ⎜ ⎟
⎝T ⎠
(
)
⎛ T2 ⎞
s 2 − s1 = c p ⋅ ln ⎜ ⎟
⎝T ⎠
1
1
⎛ p2 ⎞
s 2 − s1 = −R⋅ ln ⎜ ⎟
⎝p ⎠
h2 − h1 = 0
1
⎛ v2 ⎞
s2 − s1 = R⋅ ln ⎜ ⎟
⎝v ⎠
κ −1
⎛p2 ⎞ κ
=⎜ ⎟
⎝ p1 ⎠
T2 ⎛ v 1 ⎞
=⎜ ⎟
T1 ⎝ v 2 ⎠
κ −1
1
(
u 2 − u1 = c v T2 − T1
)
(
h 2 − h1 = c p T2 − T1
)
n −1
⎛ T2 ⎞ n−1
=⎜ ⎟
p1 ⎝ T1 ⎠
T2
n
p2 ⎛ v1 ⎞
=⎜ ⎟
p1 ⎝ v2 ⎠
n −1
T2 ⎛ v 1 ⎞
=⎜ ⎟
T1 ⎝ v 2 ⎠
p2
d für
⎛p2 ⎞ n
=⎜ ⎟
T1 ⎝ p1 ⎠
s 2 − s1 = 0
s 2 − s1 =
(
u 2 − u1 = c v T2 − T1
)
(
h 2 − h1 = c p T2 − T1
)
=
⎛T ⎞
n−κ
c v ln ⎜ 2 ⎟
n −1
⎝ T1 ⎠
11/4
Reversible Prozesse idealer Gase von c nach d für cp, cv, κ = const
1
κ
p ⋅ v = R⋅ T , c p =
⋅R , cv =
⋅ R , cp = κ ⋅ c v , cp = c v + R
κ −1
κ −1
q12 =
Isochore
p
v = const , = const
T
Isobare
p = const , v = const
T
Isotherme
T = const
p ⋅ v = const
Isentrope
s = const
κ
p ⋅ v = const
wv12 = (bei geschl. Systemen)
wt12 = (bei stat. off. Systemen)
w t12 = v p 2 − p1 = R T2 − T1
(
)
w v12 = 0
(
)
w v12 = −p v 2 − v 1 = −R T2 − T1
q12 = c v T2 − T1
q12 = c p T2 − T1
(
(
)
(
)
⎛p ⎞
⎛v ⎞
w v12 = w t12 = −q12 = −R⋅ T ⋅ ln ⎜ 2 ⎟ = R⋅ T ⋅ ln ⎜ 2 ⎟
⎝ p1 ⎠
⎝ v1 ⎠
q12 = 0
w v12 = c v T2 − T1 =
Polytrope
p ⋅ vn = const q12 = c v T2 − T1 − w v12
(
)
q12 = c p ( T2 − T1 ) − w t12
(n−κ)
q12 =
⋅ R⋅ ( T2 − T1 )
(n−1)(κ −1)
)
(
)
R
T2 − T1
κ −1
κ−1
⎡
⎤
R⋅ T1 ⎢⎛ p 2 ⎞ κ
⎥
w v12 =
− 1⎥
⎜
⎟
⎢
κ − 1 ⎢⎜⎝ p1 ⎟⎠
⎥
⎣
⎦
κ −1
⎤
R⋅ T1 ⎡⎛ v 1 ⎞
⎢
⎜
⎟
w v12 =
− 1⎥
⎥
κ − 1 ⎢⎜⎝ v 2 ⎟⎠
⎣⎢
⎦⎥
mit: R⋅ T1 = p1 ⋅ v 1
1
w v12 = w t12
κ
n−1
⎡
⎤
R⋅ T1 ⎢⎛ p 2 ⎞ n
⎥
− 1⎥
w v12 =
⎜
⎟
⎢
n − 1 ⎢⎜⎝ p1 ⎟⎠
⎥
⎣
⎦
n −1
⎤
R⋅ T1 ⎡⎛ v 1 ⎞
⎢
⎜
⎟
w v12 =
− 1⎥
⎜
⎟
⎥
⎢
n −1 ⎝ v2 ⎠
⎦⎥
⎣⎢
mit: R⋅ T1 = p1 ⋅ v 1
R
1
T2 − T1
w v12 = w t12
w v12 =
n-1
n
(
)
)
w t12 = 0
q12 = − w v12 = − w t12
(
) (
mit: R⋅ T = p1 ⋅ v 1 = p 2 ⋅ v 2
κ
T2 − T1
κ −1
κ−1
⎡
⎤
⎢⎛ p 2 ⎞ κ
⎥
κ
− 1⎥
w t12 =
R⋅ T1 ⎢⎜
⎟
⎜
⎟
κ −1
⎢⎝ p1 ⎠
⎥
⎣
⎦
⎡⎛ v ⎞ κ −1 ⎤
κ
1
w t12 =
R⋅ T1 ⎢⎜⎜ ⎟⎟
− 1⎥
⎢⎝ v 2 ⎠
⎥
κ −1
⎣⎢
⎦⎥
mit: R⋅ T1 = p1 ⋅ v 1
(
)
w t12 = c p T2 − T1 = R⋅
(
)
w t12 = κ ⋅ w v12
n−1
⎡
⎤
⎢⎛ p 2 ⎞ n
⎥
n
− 1⎥
w t12 =
R⋅ T1 ⎢⎜
⎟
⎜
⎟
n −1
⎢⎝ p1 ⎠
⎥
⎣
⎦
⎡⎛ v ⎞ n −1 ⎤
n
1
w t12 =
− 1⎥
R⋅ T1 ⎢⎜⎜ ⎟⎟
⎥
⎢
n −1
⎝ v2 ⎠
⎦⎥
⎣⎢
mit: R⋅ T1 = p1 ⋅ v 1
n
T2 − T1 w t12 = n ⋅ w v12
w t12 = R⋅
n −1
(
)
11/5
12/1
Eindimensionale stationäre Wärmeleitung ohne Wärmequellen
(λ=const)
Gleichung des
Temperaturfeldes:
divgrad t = 0
q̂ = − λ ⋅ grad t
Wärmestromdichte:
(Betrag)
Wärmestrom
durch Wand:
= ∆t λ
Q
λ
Rλ
Wärmeleitwiderstand:
Rλ =
q̂ =
∆t λ = t wi − t wa
δ
- Wanddicke
A m - mittlere vom Wärmestrom
durchdrungene Fläche
δ
λ ⋅ Am
Ebene Wand:
i
dt
grad t =
dx
Eb
t wi
t
A
t wa
t wa
Q
A
t (x)
a
λ
t wi
xi
xa
x
δ = x a − xi
Zylinderwand:
i
Aa
t wa
t wa
Q
t (r) Ai
t wi
t
grad t =
a
Zyl
dt
dr
δ
ri
Q
ra
r
δ = ra − ri = 1 ( da − di )
2
Kugelwand:
λ
i
Q
twi
Q
Kug
dt
grad t =
dr
Aa
twa
twa
t(r)
t
ri
ra
δ = ra − ri = 1 ( da − di )
2
δ
(a, b – Abmessungen der Wand)
Temperaturverlauf (logarithmisch)
⎛ r⎞
ln
⎜ ⎟
Zyl
⎝ ri ⎠
t (r) = t wi − ( t wi − t wa) ⋅
⎛r ⎞
ln ⎜ a ⎟
⎝ ri ⎠
Zyl
Am
= π ⋅l⋅
( da − di ) = Aa − Ai
(logarithmisches
Mittel)
⎛d ⎞
⎛A ⎞
ln ⎜ a ⎟ ln ⎜ a ⎟
⎝ di ⎠
⎝ Ai ⎠
→Näherung für kanalartige Gebilde bei
Aa
<3
Ai
AKug
m =π
δ
Ai
( x − xi )
Temperaturverlauf (hyperbolisch)
⎛ 1 1⎞
⎜ − ⎟
Kug
⎝ ri r ⎠
t (r) = t wi − ( t wi − t wa) ⋅
⎛1 1⎞
⎜ − ⎟
⎝ ri ra ⎠
a
twi
Eb
t (x) = t wi − (t wi − t wa) ⋅
→ Näherung für wandartige Gebilde
λ
t wi
⎛ Rohrwand ⎞
⎜
⎟
⎝ Hohlzylinder ⎠
mit Länge l
Temperaturverlauf (linear)
AEb
m = a ⋅ b = Ai = A a = A = const
Q
δ
Q
A
r
( da − di )
⎛1 1 ⎞
⎜d − d ⎟
a⎠
⎝ i
= Aa ⋅ Ai
(geometrisches
Mittel)
→Näherung für geschlossene Gefäße bei
Aa
<3
Ai
13/1
Eindimensionaler stationärer Wärmedurchgang (λ , α = const)
λ
λ
A
i
t Fi
t Wi = t W1
λ
B
C
Ebene Wand
t W2
A mA
Ai , α i
x i = x1
t Wa= t W4
A mB
x2
Ai = Am j = A a = A = const
(j = A, B, C)
Qk
t W3
t
Sonderfall:
a
A mC
x3
αa , Aa
xa = x4
t Fa
x
Wärmestrom:
= ∆t k
Q
k
Rk
∆t k = t Fi − t Fa
Rk = Rαi + ∑ Rλ j + Rα a
Wärmedurchgangswiderstand
(j = A,B,C)
j
Rk =
1
1
=
ka ⋅ A a ki ⋅ Ai
ka - Wärmedurchgangskoeffizient
bezogen auf Fläche Aa
ki - Wärmedurchgangskoeffizient
bezogen auf Fläche Ai
1
αi ⋅ Ai
Wärmeübergangswiderstände
Rαi =
Wärmeleitwiderstand
der Schicht j (j = A, B, C)
Rλ =
j
Rα a =
1
αa ⋅ A a
δj
λ j ⋅ Am j
Kontinuitätsgleichung des stationären Wärmestroms:
=Q
=Q
=Q
Q
k
αi
λj
αa = Q
= ∆t k
Q
k
Rk
,
=
Q
αi
∆t α i
Rαi
,
=
Q
λj
∆t λ j
Rλ j
,
Q
αa =
∆t α a
Rαa
α - Wärmeübergangskoeffizient
13/2
Verallgemeinerung:
= ∆t
Q
Rth
Rth - thermischer Widerstand zwischen den Temperaturen von ∆t
Berechnung des thermischen Widerstandes:
λ
2
λ
3
λ
i
t Fi
. λ
Q 1
α
λ
i
λ
Näherung für Vernachlässigung der W-Ströme quer:
a
tF
Rth = Rαi + Rλ1 + Rλ2 −5 + Rλ6 + Rα a
a
6
(Reihenschaltung)
4
α
5
1
a
Rλ2−5
=
1
1
1
1
+
+
+
Rλ2 Rλ3 Rλ 4 Rλ5
(Parallelschaltung)
Wärmedurchgang bei aneinander vorbeifließenden Fluiden
(durch Wand getrennt)
.
mGl
a
A
Gl
.
mi
i
a
0
- Fluide im Gleichstrom
Geg - Fluide im Gegenstrom
.
Qk
. Geg
ma
Temperaturschaubild
t
.
mi
Geg
∆t k0
Gl
∆t k0
k
i
Wand
. Gl
ma
∆t Gl
kA
.
m Geg
a
a
0
A
∆t Geg
kA
Weg
a von 0 bis A :
i und m
Mittlere Temperaturdifferenz zwischen m
m
∆t k =
∆t k 0 − ∆t k A
ln
∆t k 0 = t Fi − t Fa
∆t k 0
∆t k A
∆t k A = t Fi − t Fa
A
m
Wärmestrom
0
= ∆t k
Q
k
Rk
Hinweis:
Unterschied ob Gleichoder Gegenströmer
14/1
Konvektiver Wärmeübergang
Wärmestrom (NEWTONsches Wärmeübergangsgesetz)
= α ⋅ A ⋅ ∆t
Q
α
α
∆t α =
t F1 − t W − t F2 − t W
⎛ t −t ⎞
⎜ F1 W ⎟
ln ⎜
⎟
⎜ t F2 − t W ⎟
⎝
⎠
∆t α = tFm − t W
Wärmeübergangskoeffizient:
α = Nu ⋅
Re =
Nu - Nußelt-Zahl
lchar - charakteristische Länge
für jeweilige Geometrie
λ
l char
Fluid
c ⋅ l char
ν
ν bei tst
Prandtl -Zahl:
Grashof -Zahl:
λ
- Wärmeleitkoeffizient
c
- Geschwindigkeit
ν
- kinematische Viskosität ν =
η
- dynamische Zähigkeit
1
- Dichte ρ =
v
ν η ⋅ cp
=
a
λ
ρ
η, cp, λ bei tst
a
Pr =
Gr =
bei Mittelwert tW
bei Mittelwerten für Fluidtemperatur tFm
und Wandtemperatur tW
λ bei tst
Reynolds -Zahl:
tF ändert sich von tF1 auf tF2,
- Temperaturleitkoeff. a =
η
ρ
λ
ρ ⋅ cp
1 ⎛
3
⎞
⎜ β ⋅ g ⋅ lchar ⋅ ∆t α ⎟
2⎝
⎠
ν
ν, β bei tst
1
⎧
⎪β = T für idealeGase
⎪
st
β - isobarer Volumenausdehnungskoeffizient ⎨
β = α p (Tst ) für Flüss.
⎪
g - Erdbeschleunigung
⎪⎩
¼ Stoffwerte
Stoffwerte bei Stoffwert- Temperatur
t st
Korrekturfaktor für Temperatur-Abhängigkeit der Stoffwerte – falls in Nu-Glg. angegeben
Gase:
KT = 1
⎛ η ⎞0 ,14
Flüssigkeiten: KT = ⎜
⎟
⎝ ηW ⎠
η
−
ηW −
Dyn. Zähigkeit des Fluids bei Stoffwerttemp. t st
Dyn. Zähigkeit des Fluids bei Wandtemp. t W
14/2
Freie Konvektion ⇒ Nu = f (Gr,Pr)
= α⋅A⋅ t − t
Platten, Zylinder, Kugeln Q
α
F
W
1
⎤
⎡
Nu = ⎢0 ,11 ⋅ (Gr ⋅ Pr)3 + (Gr ⋅ Pr)0 ,1 ⎥ ⋅ KT
⎦
⎣
gültig für Pr > 0 ,5
(
t st = 21 t F + t W
)
, 10 −7 ≤ (Gr ⋅ Pr) ≤ 1012
lchar = Höhe bei senkrechten Wänden und Rohren
lchar = Außendurchmesser bei waagerechten Rohren und Kugeln
lchar = kleinere Seitenlänge bei waagerechter Platte
= α⋅ A⋅ t
Q
α
W 2 − t W1
Enge Spalte
(
)
k ⋅ (Gr ⋅ Pr)n
Nu = 1 +
m + (Gr ⋅ Pr)
t st = 0 ,5 t W1 + t W2
gültig für Pr > 0 ,5
, 1700 ≤ (Gr ⋅ Pr) ≤ 10 8
Nu = 1
für (Gr ⋅ Pr) <1700
t W1
q
t W1
δ
A
t W2
C
t W1 , t W2 - Temperaturen der
Spaltoberflächen
δ
q
δ
t W2
A
B
C
D
E
q
B
q
t W1
D
t W2
δ
t W1 t
W2
lchar = δ (Spaltbreite)
E
q
k
0,07
0,0236
0,119
0,025
0,043
m
3200
10100
14500
13000
4100
n
1,333
1,393
1,27
1,36
1,36
14/3
Erzwungene Konvektion ⇒ Nu = f (Re,Pr)
t − t − t F2 − t W
= α ⋅ A ⋅ F1 W
Strömung in Rohren Q
α
⎛ t −t ⎞
F1
W ⎟
ln ⎜
⎜ t −t ⎟
⎜ F2
W ⎟
⎝
⎠
4A q
tFm
l char = d gl
dgl =
Uq
tW
tF1
Aq - durchströmte
Querschnittsfläche
tF2
Uq - benetzter Umfang
L
Sonderfall: Kreisrohr dgl = d i
= α ⋅ A ⋅ tm − t
bzw. Q
F
W
α
- mittlere Fluidtemperatur
- mittlere Wandtemperatur
- Eintrittstemperatur Fluid
- Austrittstemperatur Fluid
- Rohrlänge
Laminare Strömung bei Re < 2300
1,33 ⎤
⎡
⎛
dgl ⎞
⎥
⎢
0 ,0677 ⋅ ⎜Re ⋅ Pr ⋅
⎟
L ⎠
⎥
⎢
⎝
⋅K
Nu = ⎢3,66 +
0,83 ⎥ T
⎛
⎞
d
gl
⎥
⎢
1 + 0 ,1⋅ Pr ⋅ ⎜Re ⋅
⎟
⎥
⎢
L ⎠
⎝
⎦
⎣
gültig für:
(
t st = 1 tF1 + tF2
2
)
bzw. t st = tFm (Mittelwert)
d ⎞
⎛
⎜ Re⋅ Pr⋅ gl ⎟> 2 , Pr > 0 ,6
⎜
L ⎟⎠ 3
⎝
Turbulente Strömung bei Re ≥ 2300
⎧
⎪
Nu = ⎨0 ,0235 Re0,8 − 230
⎪
⎩
(
gültig für:
)
2⎤
⎡
⎛
⎞
d
gl 3 ⎥
⎢
⋅ 1+ ⎜
1,8 ⋅ Pr0,3 − 0 ,8
⎢ ⎝ L ⎟⎠ ⎥
⎢⎣
⎥⎦
(
)
⎫
⎪
⎬ ⋅ KT
⎪
⎭
(
tst = 1 tF1 + tF2
2
bzw. tst = tFm (Mittelwert)
⎛ L ⎞
6
3
⎜
⎟ > 1 , 2300 ≤ Re < 10 , 0,6 < Pr < 10
⎜ dgl ⎟
⎝
⎠
Strömung entlang ebener Wände (Platten)
= α⋅ A⋅ t − t
Q
α
F1
W
lchar - Länge der Wand (Platte) in Strömungsrichtung
tF1 - Anströmtemperatur des Fluids, tW – mittlere Wandtemperatur
Laminare Grenzschicht bei Re < 3,5 ⋅ 10
1
1
Nu = 0 ,664 ⋅ Re2 ⋅ Pr 3 ⋅ KT
gültig für:
5
tst = 1 ( tF1 + tW )
2
Pr > 0,6
Turbulente Grenzschicht bei Re ≥ 3,5 ⋅ 10
Nu = 0 ,037 ⋅ Re0 ,8 ⋅ Pr0 ,43 ⋅ KT
gültig für:
0,6 ≤ Pr ≤ 100
5
t st = t F1
)
15/1
Wärmestrahlung
Strahlungskoeffizient:
C = ε ⋅ Cs
ε=a
ε - Emissionsverhältnis
a - Absorptionskoeffizient
W
Cs = σs ⋅ 108 = 5,67051
m2 ⋅ K 4
4
= C ⋅ A ⋅ ⎛⎜ T ⎞⎟
Emittierter Energiestrom: E
⎝100 ⎠
Wärmestrom durch Strahlung
4
4⎤
⎡
= C ⋅ A ⎢⎛⎜ T1 ⎞⎟ − ⎛⎜ T2 ⎞⎟ ⎥
Q
12
12
1
⎝100 ⎠ ⎥⎦
⎢⎣⎝100 ⎠
a) Sich umhüllende Körper (¦ innerer
Körper)
Q12
1
1⇒ 2
C12 =
1 A1
+
C1 A2
1
⎛ 1
1⎞
⎜
− ⎟
⎝ C2 Cs ⎠
b) § unendlich großer Raum
bei: A 2 >> A1
1
2
Q12
⇒
A1
=0
A2
C12 = C1
c) ¦ und § unendlich große parallele
Wände
A1
=1
A2
falls Abstand viel kleiner als
Abmessungen der Wände
bei: A 2 ≈ A1
2
1
Q12
⇒
C12 =
⇒
1
1 1
1
+
−
C1 C2 Cs
- Strahlungskoeffizient des
Schwarzen Strahlers
15/2
d) Berechnung mit Einstrahlzahl
1
.
Q12
C12 =
2
1
A
1
1
1
−
+
+ 1
C1 Cs ϕ12 ⋅ Cs A 2
⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟
⋅ ⎜⎜
−
C
C
s⎠
⎝ 2
ϕ12 − Einstrahlzahl
À Diagramme für bestimmte Geometrien
Reziprozitätsbeziehung: ϕ12 ⋅ A1 = ϕ21 ⋅ A2
Wärmeübergangskoeffizient durch Strahlung
Q12
1
2
U
⎡⎛ T ⎞ 4 ⎛ T ⎞ 4 ⎤
⎢⎜ 1 ⎟ − ⎜ 2 ⎟ ⎥
⎝ 100 ⎠ ⎥
⎢ ⎝ 100 ⎠
α Str = C12 ⋅ ⎢
⎥
( T1 − T2 )
⎢
⎥
⎢⎣
⎥⎦
Strahlungsschirm
Strahlungsschirm (Sch) 3
1
3
sch
12
13 = Q
32
Q
=Q
Sch =
Q
12
1
1
1
+
A1 ⋅ C13 A3 ⋅ C32
⎡⎛ T ⎞4 ⎛ T ⎞4 ⎤
⎢⎜ 1 ⎟ − ⎜ 2 ⎟ ⎥
⎢⎣⎝ 100 ⎠
⎝ 100 ⎠ ⎥⎦
Sch
12
Q
4
4
⎛ T1 ⎞
⎛ T2 ⎞
C13 ⋅ A1 ⋅ ⎜
⎟ + C32 ⋅ A3 ⋅ ⎜
⎟
4
⎝ 100 ⎠
⎝ 100 ⎠
⎛ T3 ⎞
⎜
⎟ =
⎝ 100 ⎠
C13 ⋅ A1 + C32 ⋅ A3
16/1
Rekuperatoren (Wärmetauscher)
Festlegungen:
=m
Wärmekapazitätsstrom: C
⋅ cp
= k ⋅ A ⋅ ∆t m
Q
j
j
HK
H - Heizmedium
→ gibt Wärme ab
j – Flächenbezug
j = i – Innenfläche
j = a - Außenfläche
K - Kühlmedium
→ nimmt Wärme auf
1 - jeweils Eintritt von H und K
Mittlere Temperaturdifferenz zwischen
Heiz- und Kühlmedium:
m
∆tHK
=
2 - jeweils Austritt von H und K
0
A
∆tHK
− ∆tHK
⎛ ∆t0 ⎞
⎟
ln ⎜ HK
⎜ ∆t A ⎟
⎝ HK ⎠
0
Gleichstrom: ∆t HK =
A
∆t HK =
0 - Eintritt Heizmedium
(a = 0)
A - Austritt Heizmedium
(a = A)
t H1 − t K1
a - laufende Heizfläche
(a = 0 ... A)
A – Heizfläche des
Wärmeübertragers
t H2 − t K2
0
Gegenstrom: ∆t HK = t H1 − t K2
A
∆t HK = t H2 − t K1
=C
:
Sonderfall bei Gegenstrom und C
H
K
m
0
A
∆tHK
= ∆tHK
= ∆tHK
=C
⋅ ∆t
Q
H
H
∆t H = t H1 − t H2
=m
H ⋅ cpH
, C
H
,
tH2
h −h
cpH = H2 H1 =
tH2 − tH1
cpH
to
⋅ (tH2 − t o ) − cpH
(tH2 − tH1)
tH1
⋅ (tH1 − to )
to
to – Bezugstemperatur für Enthalpie
1
Näherung: cpH ≈ 2 ⎡⎣cp (tH1) + cp (tH2 )⎤⎦ ¼ Stoffwerte
=C
⋅ ∆t
Q
K
K
∆t K = t K2 − t K1
=m
K ⋅ cpK
, C
K
,
tK2
h −h
cpK = K2 K1 =
tK2 − tK1
cpK
to
⋅ (tK2 − t o ) − cpK
(tK2 − tK1)
tK1
⋅ (tK1 − t o )
to
to – Bezugstemperatur für Enthalpie
1
Näherung: cpK ≈ 2 ⎡⎣cp (tK1) + cp (tK2 )⎤⎦ ¼ Stoffwerte
16/2
= Φ ⋅C
⋅ (t − t )
Q
H
H1
K1
Betriebscharakteristik Φ :=
∆t H
( t H1 − t K1 )
⎞
⎛ kj ⋅ Aj
C
; H⎟
Φ=f⎜
C
K⎠
⎝ CH
mit
Ê Diagramme für - Gleichströmer
- Gegenströmer
- Kreuzströmer
kj ⋅ Aj
∆t H
C
H ∆t K
=
;
= ∆t
m
C
C
H
K
H
∆t
HK
j – Flächenbezug
j = i – Innenfläche
j = a - Außenfläche
Sonderfall: Verdampfer → ∆tK = 0
=m
K⋅ (h K2− h K1) , CH = 0
Q
CK
Sonderfall: Kondensator → ∆tH = 0
(
=m
H ⋅ h H1 − h H2
Q
)
,
=C
⋅ (t − t ) ⋅ Φ ,
Q
K
H1
K1
C
K =0
CH
⎞
⎛ kj ⋅ Aj C
Φ = f⎜⎜
; K = 0 ⎟⎟
⎠
⎝ CK CH
,
Φ:=
∆t K
(t H1 − t K1 )
17/1
Instationäre Wärmeleitung
Zu- bzw. abgeführte Wärme
Q(τ) = ρ ⋅ V ⋅ c p ⋅ [t m (τ) − t o ]
tm(τ) - Mitteltemperatur des Körpers nach Zeit τ
Quasistatische instationäre Wärmeleitung
Näherung für langsame Erwärmung bzw. Abkühlung von kleinen Körpern mit guten
Wärmeleiteigenschaften
J Mitteltemperatur tm im gesamten Körper gleich groß
Körper mit
- Masse m
- Oberfäche A
- cp
Anfangstemperatur t o
im gesamten Körper
gleich
Eintauchen in Fluid zur Zeit τ o = 0
α
Fluid mit Temperatur t F = const
Mittlere Temperatur im Körper t m = f (τ)
verändert sich mit Zeit τ
Definition:
Normierte Mitteltemperatur
t −t
ϑm = m F
t o − tF
Normierte Mitteltemperatur als
Funktion der Zeit:
⎧⎪ α ⋅ A ⎫⎪
ϑm (τ) = exp ⎨ −
⋅ τ⎬
m
c
⋅
p
⎩⎪
⎭⎪
17/2
Analytische Lösung nach Gröber
für symmetrische Bedingungen
Körper mit
- m, c p ,λ
- geometrische
Länge L geo
α
Anfangstemperatur t o
im gesamten Körper
gleich
Eintauchen in Fluid zur Zeit τ o = 0
Fluid mit Temperatur t F = const
Temperatur an Oberfläche t W = f (τ)
Temperatur im Kern t K = f (τ)
Mitteltemperatur t m = f (τ)
Funktionaler Zusammenhang
Temperatur
Zeit
t −t
ϑK = K F
t o − tF
Fo = τ ⋅
Stoffwerte
a
L2geo
Fourier-Zahl
t − tF
ϑW = W
t o − tF
mit:
a=
λ
ρ ⋅ cp
t −t
ϑm = m F
t o − tF
Bi = α ⋅
bei tW bekannt:
Bi = ∞ und
Berechnung für
t F = tW
im Diagramm
für
• Unendlich langer Zylinder
• Vollkugel
δ
; δ - Wanddicke
2
d
Lgeo =
; d - Durchmesser
2
d
Lgeo =
; d - Durchmesser
2
Lgeo =
λ
Biot-Zahl
Normierte
Temperatur
• Unendliche ebene Wand (Platte)
Lgeo
17/3
Näherungen für weitere Geometrien:
V
A
Plattenähnliche Gebilde
Lgeo ≈
Zylinderähnliche Gebilde
Lgeo ≈ 2 ⋅
V - Volumen
A - Oberfläche
V
A
V
Lgeo ≈ 3 ⋅
A
Kugelähnliche Gebilde
Superpositionsprinzip
ϑ = ϑx ⋅ ϑy ⋅ ϑz
Beispiel: Endlicher Zylinder als Überlagerung von:
unendlich
große Platte
(Pl)
e
d
e
unendlich
langer Zylinder
(Zyl)
d
δ
f
δ
c
f
Pl
Zyl
Temperatur an Stelle ¦ : ϑ¦ = ϑK ⋅ ϑK
Pl
Zyl
§ : ϑ§ = ϑK ⋅ ϑ W
Pl
Zyl
Pl
Zyl
¨ : ϑ¨ = ϑ W ⋅ ϑ W
© : ϑ© = ϑ W ⋅ ϑK