Abbildungen_NichtlinDynamik

Mechanik
Fig. 15.1 Das gedämpfte, angetriebene Pendel zeigt sowohl periodische als auch chaotische Bewegungen.
Diese Bilder zeigen die Winkelgeschwindigkeit als Funktion der Zeit für die zwei Fälle.
Fig. 15.6 Phasenraumdiagramm des
nichtlinearen Pendels. Die rücktreibende Kraft
enthält den Term sin .
Fig. 15.2 Phasendiagramm des linearen
Pendels. Die Koordinatenachsen sind die
Winkelgeschwindigkeit  und die Winkelauslenkung .
Fig. 15.7 Zeitverhalten der Winkelgeschwindikeit. Im Gegensatz zum linearisierten Pendel
wächst die Periode der Bewegung für das
nichtlineare Pendel mit zunehmender
Amplitude an. Die Kurven (a) and (b) zeigen
Schwingungen verschiedener Amplituden.
Kurve (c) zeigt ein Pendel, das genügend
Energie besitzt, um sowohl Dreh- als auch
Schwingungsbewegungen auszuführen.
Fig. 15.3 Entwicklung des linearen Oszillators.
(a)
Fig. 15.8 Paar von Phasenraumtrajektorien
für das gedämpfte Pendel
Fig. 15.4 Phasenraumdiagramm eines Rotors
mit periodischen Randbedingungen.
Phasenpunkte, die sich nach rechts bewegen,
verschwinden bei  =  und tauchen bei  = –
wieder auf.
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Fig. 15.9 Kritische Punkte im Phasenraum: (a)
Fokus (b) Sattelpunkt. Bei (b) sind die einlaufenden
Trajektorien stabil, während die auslaufenden
instabil sind.
Fig. 15.5 Phasenraumdiagramm des
dissipativen linearen Pendels. Die
Phasenraumfläche bleibt nicht erhalten.
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Mechanik
Mechanik
Fig. 15.10 Phasenraumdiagramm des gedämpften Pendels. Abwechselnd schattierte/unschattierte Bereiche
sind Attraktionsbereiche. Alle Punkte innerhalb eines Attraktionsbereiches werden in den Fokus innerhalb
des Bereiches hineingezogen. Die Trennlinien zwischen den verschiedenen Attraktionsbereichen bilden die
Separatrix.
Fig. 15.11
Phasendiagramm für ein
mäßig getriebenes
Pendel, g=0.5 (q = 2).
Fig. 15.12 Stationäres Phasendiagramm und schematische Darstellung der entsprechenden Pendelbewegung
für verschiedene Antriebsamplituden. Alle Bewegungen sind periodisch ; in allen Fällen ist jeweils ein
kompletter Zyklus gezeigt. Die Pfeilrichtungen hängen von den Anfangsbedingungen ab. (a) g=1.07; (b) g=
1.35; (c) g=1.45 (q=2).
Fig. 15.13 Poincare Schnitt des linearisierten
Pendels (g = 0.5, q=2,
= 0).
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Mechanik
(a)
(b)
Mechanik
(a)
(b)
Fig. 15.14 Poincaré Schnitt der Bewegung, die
in Fig. 15.12. gezeigt ist. Die Schnitte
entsprechen = 0 (q=2). (a) g = 1.07, (b) g =
1.35; (c) g= 1.45.
Fig. 15.16 (a) Dreidimensionale Phasenportraits
für die Antriebskraftkonstante
g = 0.9 und für q = 2. (b) Phasenebene (c) und
Poincaré Schnitt.
(c)
(c)
(a)
(a)
(b)
Fig. 15.15 Empfindlichkeit gegen Anfangsbedingungen. In (a) entwickeln sich zwei
Phasenraumtrajektorien, die von eng benachbarten Punkten nahe des Ursprungs ausgehen, während einer
Schwingungsperiode (g = 1.5. q =4). Bei (b) gehen die Phasenraumtrajektorien aus einem Block von
Anfangspunkten hervor, –0.5 <  < 0 and –0.5 <  < 0.5, und die Endpunkte sind nach einer halben
Schwingungsperiode dargestellt. (Das Diagramm ist eine Projektion der dreidimensionalen Phasenraumtrajektorien auf die () Ebene)
(b)
Fig. 15.17 (a) Dreidimensionale Phasenportraits
für die Antriebskraftkonstante
g = 1.07 und für q = 2. (b) Phasenebene (c) und
Poincaré Schnitt. Man sieht, dass eine
Periodenverdopplung auftritt.
(c)
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Mechanik
(a)
(b)
Fig. 15.18 (a) Dreidimensionale Phasenportraits
für die Antriebskraftkonstante
g = 1.5 und für q = 2. (b) Phasenebene (c) und
Poincaré Schnitt. Dieser Fall ist bereits
chaotisch.
Mechanik
Fig. 15.20 Attraktionsbereich für g = 1.3, ein
Zustand periodischer Bewegung. Die Kreise
zeigen eine positive mittlere Winkelgeschwindigkeit an. Die leeren Bereiche
entsprechen einer negativen mittleren Winkelgeschwindigkeit. Diese Attraktionsbereiche
sind vermischt. (q=2)
Fig. 15.21 Attraktionsbereich für g = 1.5, mit
überlagertem Poincaré Schnitt. Die sich aus den
beiden unterschiedlichen Anfangsbedingungen
entwickelnden Attraktoren gehen ineinander
über, sodass die Attraktionsbereiche in diesem
beginnenden Chaos-Bereich ihre Identität
verlieren.(q=2)
Fig. 15.22 Bifurkationsdiagramm, das
das Langzeitverhalten der Winkelgeschwindigkeit  jeweils zum
Beginn des Antriebszyklus zeigt,
aufgetragen gegen die Antriebskraftkonstante g.Die anderen Parameter sind q=2 und D = 2/3.
(c)
(a)
(b)
Fig. 15.19 (a, b, c) Attraktor im Poincaré
Schnitt für q=4 und g= 1.5 bei verschiedenen
Vergrößerungen. Man erkennt die selbstähnliche Struktur, die durch das Falten und
Dehnen des Phasenvolumens entsteht.
(c)
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(b)
(a)
Fig. 15.23 (a) Entwicklung der logistischen
Abbildung für =2. Der Gleichgewichtswert
ist x = 0.5.
Fig. 15.24 (b) Die logistische Abbildung für
=3.3 pendelt zwischen den Werten x=0.48
und x =0.83 hin und her.
Fig. 15.25 (c) Iteration der logistischen
Abbildung für einen chaotischen Zustand bei
 = 3.9.
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Mechanik
Fig. 15.26 (a) Iterationen der logistischen
Abbildung. (b) Ljapunov Exponent. Aus H.
G. Schuster, Deterministic Chaos (Physik
Verlag, Weinheim, 1984).
(b)
(a)
Fig. 15.28 (a) Die linearisierte StandardAbbildung für eine rationale Windungszahl 0.4
bei periodischen Randbedingungen für . Die
Diagonale entspricht n+1 = n. (b) Detto für
eine irrationale Windungszahl 0.404 004 ....(c)
Detto für K=0.95 und =0.404004..... Die
nichtlineare Kopplung erzeugt einen Zustand
mit eingerasteter Phase.
(c)
Fig. 15.29 Triadische Kochinsel. D = ln 4/ln 3 = 1.2618
Fig. 15.27 Mechanismen für Typ-I Intermittenz.
Poincaré Abbildung und Verlauf der
Trajektorie. Man beachte, dass der "Geist des
Fixpunktes" xc Trajektorien auf der linken Seite
anzieht und auf der rechten Seite abstoßt. Aus
H. G. Schuster, Deterministic Chaos (Physik
Verlag, Weinheim, 1984).
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Mechanik
Mechanik
Fig. 15.31: Fraktal der Dimension dHausdorff = 2.73
(a)
(b)
Fig. 15.30 Bildungsgesetze für fraktale
Strukturen. Im Limes unendlicher
Iterationen beträgt die HausdorffDimension der Figuren (a) 1.5, (b) ln 18/ln
6 = 1.61, (c) ln 98/ln 14 = 1.74.
Fig. 15.32 Algorithmus für fraktale Rispenstruktur
Fig. 15.33: The structure of "Mandelbrot's set"
in the c-plane as an example for a fractal
separatrix. From H. G. Schuster, Deterministic
Chaos (Physik Verlag, Weinheim, 1984).
(c)
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