Lösung 3 - Universität der Bundeswehr München

Universität der Bundeswehr München
Fakultät für Informatik
Institut für Technische Informatik
Rechnerorganisation I
HT 2003
Blatt 3
Minimierungsverfahren
Aufgabe 3-1: Minimierung mittels KV-Diagramm
Die boole’sche Funktion f (a, b, c, d) = abd ∨ abc ∨ abcd ∨ abcd ∨ abcd soll mit Hilfe eines KVDiagramms minimiert werden.
a) Stellen Sie die Funktionstabelle für f auf. Achten Sie dabei auf die korrekte Reihenfolge der
Terme (Term 1 ist dcba).
Lösungsvorschlag:
MINt
d
c
b
a
f
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
2
0
0
1
0
0
3
0
0
1
1
0
4
0
1
0
0
0
5
0
1
0
1
0
6
0
1
1
0
1
7
0
1
1
1
1
8
1
0
0
0
1
9
1
0
0
1
0
10
1
0
1
0
0
11
1
0
1
1
0
12
1
1
0
0
1
13
1
1
0
1
1
14
1
1
1
0
1
15
1
1
1
1
0
b) Stellen Sie ein KV-Diagramm für die vier Eingangsvariablen a, b, c und d auf und tragen Sie
die Minterme in dieses Diagramm ein.
Lösungsvorschlag:
a
b
10
1
5
4
2
3
17
16
10
11
15
114
18
9
113
112
d
c
c) Geben Sie alle Implikanten von f an.
Lösungsvorschlag:
Implikanten 0. Ordnung: abcd, abcd, abcd, abcd, abcd, abcd, abcd
Implikanten 1. Ordnung: bcd, bcd, abc, abd, abc, acd
d) Bestimmen Sie die Prim- und Kernimplikanten von f .
Lösungsvorschlag:
Die Primimplikanten sind genau die Implikanten 1. Ordnung.
Kernimplikanten: bcd, bcd, abc
e) Geben Sie alle disjunktiven Minimalformen von f an.
Lösungsvorschlag:
(i) f (a, b, c, d) = bcd ∨ bcd ∨ abc ∨ abc
(ii) f (a, b, c, d) = bcd ∨ bcd ∨ abc ∨ acd
Aufgabe 3-2 (Hausaufgabe): Minimierung mit Don’t-Care-Feldern
Eine unvollständig spezifizierte Funktion f (a, b, c, d, e) hat die Minterme MINt(2,5,6,10,12,13,14,18)
und die Maxterme MAXt(1,3,8,15,16,17,21,24,27,28,31).
Hinweis: M IN t1 = edcba.
a) Zeichnen Sie ein KV-Diagramm und tragen Sie die Min- und Maxterme ein.
Lösungsvorschlag:
a
b
a
0
01
15
4
20
021
017
016
12
03
7
16
22
23
19
118
110
11
015
114
30
031
027
26
9
113
112
028
25
024
08
c
29
d
e
b) Bestimmen Sie unter Ausnutzung von don’t-care-Feldern eine disj. Minimalform von f .
Lösungsvorschlag:
DMF: f (a, b, c, d) = ab ∨ bce
(siehe KV-Diagramm zu Aufgabe b))
Aufgabe 3-3: Minimierung mit Quine-McCluskey
Die Funktion
f (a, b, c, d) = abcd ∨ abcd ∨ abcd ∨ abcd ∨ abcd ∨ abcd ∨ abcd ∨ abcd ∨ abcd ∨ abcd
soll mit Hilfe des Verfahrens von Quine-McCluskey minimiert werden.
a) Stellen Sie die erste Quine’sche Tabelle für f auf und geben Sie alle Primterme an.
Lösungsvorschlag:
(i) Bilden der Normalform durch erweitern: Hier liegt bereits Normalform vor.
(ii) Umwandeln in Binäräquivalente, bzw. Dezimalwerte:
dcba : 11102 = 1410 , dcba : 11002 = 1210 , dcba : 10102 = 1010 , dcba : 01102 = 610 ,
dcba : 10002 = 810 , dcba : 01002 = 410 , dcba : 01012 = 510 , dcba : 10112 = 1110 ,
dcba : 01112 = 710 , dcba : 00002 = 010
(iii) Aufstellen der 1. Quine’schen Tabelle:
Nr.
0
4
8
5
6
10
12
7
11
14
0. Ordn.
0000
0100
1000
0101
0110
1010
1100
0111
1011
1110
Nr.
0,4
0,8
4,5
4,6
4,12
8,10
8,12
5,7
6,7
6,14
10,11
10,14
12,14
1. Ordn.
0-00
-000
01001-0
-100
10-0
1-00
01-1
011-110
1011-10
11-0
Nr.
0,4,8,12
4,5,6,7
4,6,12,14
8,10,12,14
2. Ordn.
- -00
01- -1-0
1- -0
A
b) Stellen Sie die zweite Quine’sche Tabelle (Überdeckungstabelle) für f auf.
Lösungsvorschlag:
0
A
B
C
D
E
4
5
⊗ ×
× ⊗
×
6
7
8
10 11 12 14
× ⊗
×
×
× ⊗
×
×
×
×
×
×
×
B
C
D
E
c) Geben Sie die minimierte Form von f an.
Lösungsvorschlag:
A = bcd, B = ab, C = cd, D = ac, E = ad
(i) f (a, b, c, d) = A ∨ B ∨ C ∨ D
(ii) f (a, b, c, d) = A ∨ B ∨ C ∨ E