Hausübungsblatt 6 - Universität Paderborn

Sommersemester 2011
Konzepte und Methoden der Systemsoftware
Hausübung 06
Universität Paderborn
vom 26.06.2011 bis 08.07.2011
Fachgebiet Rechnernetze
Aufgabe 1: Rechnernetze
1.5 + 1.5 + 1.5 = 4.5 Punkte
1. Nehmen Sie an, die Stationen A und B sowie Stationen C und D bilden jeweils ein Kommunikationspaar. Zeichnen Sie für diese beiden Paare die Kombination von
(a) Frequency Division Duplexing (FDD) und Frequency Division Multiplexing (FDM),
(b) Time Division Duplexing (TDD) und Frequency Division Multiplexing (FDM)
(c) Frequency Division Duplexing (FDD) und Time Division Multiplexing (TDM)
Frequenz
in jeweils ein Koordinatensystem ein.
Zeit
2. Es soll nun die Kommunikation über ein leitungsvermitteltes Netz (circuit switched) mit einem
paketvermittelten Netz (packet switched) verglichen werden. Über beide Verbindungen sollen
782 Bytes übertragen werden.
(a) Betrachten Sie zunächst das leitungsvermittelte Netz. Das Aufbauen einer Verbindung dauert
100 ms; danach kann gesendet werden. Die Leitung hat eine Datenrate von 4 KBit/s. Wie
lange dauert es, die 782 Bytes zu übertragen?
(b) Betrachten Sie nun das paketvermittelte Netz. Jedes Paket ist hier immer 100 Bytes groß plus
5 Bytes Header Daten, also insgesamt 105 Bytes. Die Datenrate ist ebenfalls 4 KBit/s. Wie
lange dauert hier die Übertragung der 782 Bytes?
(c) Welche der beiden Kommunikationsarten ist für kleine Datenmengen schneller? Begründen
Sie kurz.
(d) Beschreiben Sie abhängig von der Datenmenge (in Bytes), wann welches Verfahres vorteilhaft ist. Schreiben Sie auch den Rechenweg mit auf!
3. Um die Wahrscheinlichkeit gleichzeitiger Übertragungen zu verringern, wird p-persistentes Carrier Sense Multiple Access (CSMA) verwendet. Das bedeutet:
• Bevor eine Station eine Übertragung versucht, wartet sie ein zufälliges Zeitintervall ab (Details folgen weiter unten).
• Danach beginnt eine Station nur dann zu übertragen, wenn sie keine andere Übertragung
detektiert.
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Die Zeit sei in Zeitschlitze gleicher Länge aufgeteilt. In einem Zeitschlitz kann eine Station entweder
• warten mit Wahrscheinlichkeit p,
• den Kanal abhören,
• oder übertragen.
Wenn eine Station den Kanal abhört, detektiert sie eine andere Übertragung mit der Wahrscheinlichkeit q.
Zeichnen Sie eine Markov-Kette für das Verhalten einer Station mit p-persistentem CSMA.
Aufgabe 2: Warteschlangen
2 + 4 = 6 Punkte
1. Sie beobachten eine Warteschlange vor einem Ticketverkaufsschalter. Dabei fällt Ihnen auf, dass
die Personen in der Schlange scheinbar andere dazu bewegen, sich anzustellen. Die Schlange
wächst je schneller desto länger sie ist. Nehmen Sie an, die Schlange wächst bei leerer Warteschlange mit der Rate λ und wächst um Rate λ für jede zusätzliche Person in der Schlange (z.B. bei
2 wartenden Personen wächst die Schlange mit Rate 3λ ). Am Schalter werden Personen bedient
und verlassen die Schlange mit der Rate µ. (Sowohl die Ankommens- als auch Verlassensraten
sind exponentialverteilt).
(a) Zeichnen Sie das Zustandsübergangsdiagramm.
(b) Stellen Sie die Gleichungen für die Gleichgewichtswahrscheinlichkeiten auf und bestimmen
Sie die Wahrscheinlichkeiten, dass sich eine (P1 ), zwei (P2 ) oder drei (P3 ) Personen in der
Warteschlange befinden in Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeit, dass sich keine Person
(P0 ) in der Warteschlange befindet.
(c) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit von Pi für alle i > 1 an. (inkl Herleitung)
(d) Ist dieses System sinnvoll? Erklären Sie kurz.
2. Sie beobachten die Warteschlange genauer. Da die Schlange zu lang wird und Personen ungeduldig
werden, verlassen manche diese frühzeitig. Nehmen Sie an, dass jede wartende Person (jemand,
der nicht gerade bedient wird) die Schlange im Mittel nach einer Wartezeit 1/σ verlässt.
(a) Zeichnen Sie das neue Zustandsübergangsdiagramm.
(b) Stellen Sie die neuen Gleichungen für die Gleichgewichtswahrscheinlichkeiten auf und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten P1 und P2 in Abhängigkeit von P0 .
(c) Geben Sie eine die Wahrscheinlichkeit von Pi für alle i > 1 an (inkl Herleitung)
(d) Mit σ = µ in welches Modell geht das dann über?
(e) Wie groß muss µ mindestens sein, damit das System stabil ist? (Bei σ = µ). Begründen Sie
Ihre Antwort.
Aufgabe 3: Warteschlangen II
(1 + 2 + 1 + 1) + (1 + 3 + 1 + 2) = 11 Punkte
Sie beobachten ein Fitness Studio. Kunden kommen mit einer exponential verteilten Rate von λ in dieses
Fitness Studio. In diesem Fitness Studio gibt es n Trainingsgeräte. Solange noch ein Traininggerät frei
ist, belegt ein neu angekommender Kunde dieses. Die Dauer des Aufenhaltes eines Kunden gehorcht
einer Exponentialverteilung mit Mittel µ1 . Danach verlässt der Kunde das Fitness Studio wieder.
1.
(a) Zeichnen Sie das Zustandsübergangsdiagram.
(b) Ermitteln Sie die Gleichgewichtsfunktionen in Abhängigkeit von P0 (leeres Fitness Studio).
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(c) Berechnen Sie die Warscheinlichkeit, dass alle Trainingsgeräte belegt sind und damit keine
neuen Kunden in das Fitness Stuio gehen können.
(d) Das Fitness Studio möchte höchstens 1% der Kunden abweisen. Sie gehen davon aus, dass
im Durschnitt alle 20 min ein Kunde das Fitness Studio betritt und sich dann dort erwartungsgemäß eine Stunde aufhält. Wieviele Traningsgeräte muss das Fitness Studio zur Verfügung
stellen?
2. Um die Zahl der Trainingsgeräte verringern zu können, wird ein Wartebereich in dem sich bis zu
k Personen aufhalten können geschaffen.
(a) Zeichnen Sie das neue Zustandsübergangsdiagramm.
(b) Geben Sie die neuen Warscheinlichkeiten für die einzelnen Zustände an.
(c) Bestimmen Sie die Warscheinlichkeit, dass ein Kunde das Fitness Studio direkt wieder verlässt,
weil der Wartebereich überfüllt ist.
(d) Betrachten Sie nun das selbe Model, nehmen aber eine unendlich lange Warteschlange an.
Wie groß ist die Warscheinlichkeit, dass ein Kunde in der Warteschlange warten muss, anstatt
direkt an ein Trainingsgerät zu kommen?
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