Arbeitsblatt 02 / 06 Definition: Polyeder (Vielflächner) sind

Arbeitsblatt 02 / 06
Definition:
Polyeder (Vielflächner) sind geometrische Körper, die nur von geraden/ebenen (Seiten-)Flächen
begrenzt werden, also Körper, deren Oberfläche aus Dreiecken, Vierecken, Fünfecken usw. be­
stehen. Die Anzahl möglicher Polyeder ist somit unbegrenzt.
Diese Seitenflächen treffen sich in geraden Kanten und die Kanten wiederum treffen sich in Punkten.
Beispiele:
Würfel, Quader, Pyramide, Prisma, Dodekaeder, …
Gegenbeispiele:Keine Polyeder sind etwa Kugel, Kegel, Zylinder, …
Definition:
Von einem regulären Polyeder spricht man, falls …
… die Oberfläche aus lauter gleichen Vielecken zusammengesetzt ist,
… an jeder Ecke gleich viele Begrenzungsflächen zusammenstoßen,
… alle Ecken auf einer Kugeloberfläche liegen (reguläre Polyeder besitzen also eine Umkugel).
Beispiel: Ein Würfel ist ein regulärer Polyeder.
Gegenbeispiel: Die Cheops-Pyramide ist ebenfalls ein Polyeder, jedoch kein regulärer Polyeder.
Definition:
Ein platonischer Körper ist ein  reguläres, konvexes Polyeder  aus regelmäßigen,  zueinander
kongruenten Vielecken,  von denen in jeder Ecke jeweils gleich viele zusammentreffen.
Erklärung:
• „Konvex“ bedeutet hier, dass es keine innen liegende Ecke geben darf, d. h. keine „Einstülpungen“.
• „Zueinander kongruente Vielecke“: Das Polyeder besteht aus n-Ecken, die alle deckungsgleich
sind: es ist also nur eine „Sorte“ von n-Ecken zugelassen.
Wir betrachten nun Beispiele, die nur drei der vier Eigenschaften erfüllen, um zu verdeutlichen,
dass jede einzelne der vier Eigenschaften gleich wichtig ist.
Beispiel: Ein beliebiger Quader ist also kein platonischer Körper, aber ein konvexes Polyeder.
Übung : Benennen Sie diejenige der vier oben angeführten Eigenschaften, die fehlt und die
den Körper damit zu einem nicht-platonischen macht.
Körper
Fehlende
Eigenschaft
Übung : 3
Konvex oder nicht konvex?
2
4
1
PM / Thema: MATHEMATIK GENIESSEN – „SCHÖNE MATHEMATIK“// Heft 54 / 55. Jahrgang / 2013
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