Abstract

Zusammenfassung
Regime-Switching-Modelle für Renditen sind weit verbreitet in der Finanzmathematik und Statistik. Im klassischen Hidden-Markov-Modell (HMM) werden
die Werte des Driftprozesses von einer Markovkette mit endlichem Zustandsraum kontrolliert . Diese Markovkette wird als nicht beobachtbar angenommen und modelliert den allgemeinen Zustand der Wirtschaft. Im MarkovSwitching-Modell (MSM) wird auch die Volatilität von der Kette gesteuert.
Da die Markovkette nicht beobachtet werden kann, muss für Anwendungen ihr
aktueller Zustand durch stochastisches Filtern geschätzt werden.
In der vorliegenden Arbeit beschäftigen wir uns mit dem HMM und MSM in
stetiger und diskreter Zeit. Wir analysieren ihre ökonometrischen Eigenschaften,
betrachten die Einschränkungen, die im HMM durch die konstante Volatilität
entstehen, und untersuchen die Zusammenhänge zwischen zeitdiskreten und
zeitstetigen Modellen. Wir beweisen, dass es im zci ~stetigen MSM kein Filterproblem gibt. Als zeitstetiges Modell mit besseren ökonometrischen Eigenschaften als das HMM und immer noch mit Filterproblem führen wir das FBHMM ein (Filterbasiertes-Volatilitäts HMM) . Wir untersuchen seine Konsistenz
und Eigenschaften, und beweisen die Filtergleichungen in diesem Modell.
Die Arbeit ist folgendermaßen aufgebaut: Nach der Einleittmg in Kapitel 1
definieren wir in Kapitel 2 die zeitdiskreten Modelle und geben die Filtergleichungen an.
In Kapitel 3 fahren wir mit den entsprechenden zeitstetigen Modellen fort und
beweisen, dass es im zeistetigen MSM kein Filterproblem gibt. Wir präsentieren
die HMM-Filtergleichungen und ihre robuste Diskretisierung. Wir legen dar,
warum für kleine Zeitschritte diese robuste Diskretisierung weniger numerische
Probelern verursacht als die direkte Diskretisierung der Filtergleichung.
In Kapitel 4 analysieren wir die ökonometrischen Eigenschaften der Modelle indem wir sogenannte Stylized Facts untersuchen. Wir beginnen das Kapitel mit
einem Ergebnis über den bedingten Erwartungswert eines stochastischen Integrals der Kette. Dann leiten wir Darstellungen für die Autokorrelationen her,
die von den Übergangswahrscheinlichkeiten der Kette abhängen. Wir veranschaulichen die Existenz von Volatilitäts-Clustering im MSM, dieses Clustering
ist im HMM nicht vorhanden. Für den Leverage-Effekt im MSM beweisen wir
eine ähnliche Darstellung wie für die Autokorrelationen und leiten eine Heuristik
für die Parameterwahl her, die im 2-Zustandsmodell zu einem Leverage-Effekt
führt. Im HMM gibt es keinen Leverage-Effekt. Wir untersuchen die Asymmetrie in der Verteilung der Renditen indem wir simulierte Histogramme betrachten. Wir motivieren warum die Verteilung im MSM asymmetrischer ist als
imHMM.
In Kapitel 5 untersuchen wir die Fragestellungen der: Konsistenz und Konvergenz. Wir zeigen, dass das zeitdiskrete HMM-Filter derr-r:obusten Diskretisierung
des zeitstetigen Filters entspricht. Wir beweisen ein Stabilitätsresultat für
stochastische Differentialgleichungen und nutzen dies um die Konvergenz des
HMM-Filters wenn die sogenannte Signal-to-noise-Matrix konvergiert zu zeigen.
Dann untersuchen wir das Verhalten der Filter für feiner werdende Diskretisierun-
gen.
In Kapitel 6 führen wir ein zeitstetiges HMM mit stochastischer Volatilität ein,
das FB-HMM. Wir beweisen, dass das FB-HMM in gewissem Sinne das Modell
ist, welches das MSM optimal approximiert. Wir beweisen die Filtergleichungen
für das FB-HMM und analysieren seine Konsistenz. Wir beweisen, dass schon
die einfache Euler-Diskretisierung konvergiert. Wir schließen das Kapitel ab
indem wir die Stylized Facts in diesem Modell untersuchen und zeigen, dass sie
sehr ähnlich zu denen des MSM sind, wenn auch etwas weniger ausgeprägt. In
diesem Sinne liegt das FB-HMM zwischen dem HMM und MSM.
Abstract
Regime-switching models for asset returns are widely used in finance and statistics. In the classical Hidden Markov Model (HMM) the values of the drift
process are controlled by a Markov chain with finite state space. This Markov
chain is assumed to be unobservable and describes the underlying state of the
economy. In the Markov Switching Model (MSM) the volatility jumps with the
Markov chain, as weil. Due to the unobservable Markov chain, for applications
one has to use stochastic filtering theory to estimate its current state.
In this work we consider the HMM and MSM in discrete and continuous time.
We analyze their econometric properties, see the limitations of the HMM due
to its constant volatility and investigate the connections between the discreteand continuous-time models. We prove that there is no filtering problern in the
continuous-time MSM. To obtain a continuous-time model with better econometric properties than the HMM, that still allows for a filtering problem, we introduce the Filterbased-Volatility Hidden Markov Model (FB-HMM). We anaylze
its consistency and properties and prove the filtering equations in this context.
The work is organized as follows:
After the introduction in Chapter 1, we present in Chapter 2 the discrete-time
models and filtering equations from literature.
In Chapter 3, we continue with the corresponding continuous-time models and
prove that in the continuous-time MSM the chain is adapted to the observation
filtration due to its quadratic variation. We present the filters for the HMM and
their robust discretization. We demonstrate why for small discretization step
the robust discretization has less numerical problems than the direct discretization of the filtering equation .
In Chapter 4, we analyze the econometric properties of regime-switching models by considering so-called stylized facts. We begin the chapter by proving a
preliminary result ab out the expectation of the stochastic integral of the chain.
Then we derive representations of the autocorrelation functions (acf) in both
the HMM and MSM, which depend on the transition probabilities of the chain.
We demonstrate the existence of volatility dustering in the MSM, which is not
present in the HMM. For the leverage effect in the MSM we prove a similar
representation as for the acf and derive a heuristic choice of parameters that
Ieads to leverage effect in the 2-state model. In the HMM there is no leverage
effect. We also investigate the asymmetry of the return distributions by presenting histograms and motivating why the distribution in the MSM is more
asymmetric than in the HMM.
In Chapter 5, we investigate the issues of consistency and convergence in regimeswitching models. We dernarrstrate that the discrete-time HMM-filter corresponds to the robust discretization of the continuous-time filter. We prove a
stability result for a sequence of SDE's depending on a sequence of Brownian
motions. With this we show that the continuous-time HMM-filter converges to
the vector oftheinvariant distribution if what we call tlle signal-to-noise matrix
converges to 0. We then consider the behavior of the discrete-time filters for
increasing number of grid points.
In Chapter 6, we introduce an HMM in continuous time that has stochastic
volatility, the FB-HMM. We prove that in a sense this is the optimal approximation of Lhe MSM. We show Lhe fi!Lering equations in this model and analyze
its consistency. We prove that already the simple Euler discretization converges.
We conclude by considering the stylized facts of the model and show that they
are similar to those in the MSM, albeit a bit less pronounced. In this sense the
FB-HMM lies between the HMM and the MSM.