Ubungen zu “Differentialgeometrie II”

Mathematisches Institut
der Universität Tübingen
Prof. Dr. Frank Loose
SS 2004
04.06.2004
Blatt 7
Übungen zu “Differentialgeometrie II”
1. Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum und T : V 4 → R ein Levi-Civita-Tensor.
Zeigen Sie, dass für jede Auswahl von dreien der vier Argumente die Bianchi-Identität
gilt, z.B. gilt für alle ξ1 , . . . , ξ4 ∈ V :
T (ξ1 , ξ2 , ξ3 , ξ4 ) + T (ξ1 , ξ4 , ξ2 , ξ3 ) + T (ξ1 , ξ3 , ξ4 , ξ2 ) = 0
2. Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum, T : V 4 → R ein Levi-Civita-Tensor und
s: V × V → R seine zugeordnete biquadratische Form. Zeigen Sie für alle ξ1 , . . . , ξ4 die
folgende Polarisationsformel:
1 ∂2
(s(ξ1 + λξ4 , ξ2 + µξ3 ) − s(ξ1 + λξ3 , ξ2 + µξ4 ))|(0,0)
T (ξ1 , ξ2 , ξ3 , ξ4 ) =
6 ∂λ∂µ
3. Sei (V, h·, ·i) ein euklidischer Vektorraum und G := O(V ) seine Gruppe der orthogonalen
Transformationen. Es operiert dann G auf V durch g.ξ = g(ξ) für g ∈ G und ξ ∈ V .
Zeigen Sie:
(a) G operiert dann auch auf den Bilinearformen Bil(V ) durch (g ∈ G, B ∈ Bil(V ),
ξ1 , ξ2 ∈ V ):
(g.B)(ξ1 , ξ2 ) = B(g.ξ1 , g.ξ2 )
(b) Die symmetrischen Bilinearformen Sym(V ) und die alternierenden Bilinearformen
Alt(V ) in Bil(V ) sind G-invariant und es gilt:
Bil(V ) = Sym(V ) ⊕ Alt(V )
(c) Die spurfreien symmetrischen Bilinearformen Sym0 (V ) sind G-invariant und es gilt:
Sym(V ) = Rh·, ·i ⊕ Sym0 (V )
4. Sei Rn mit dem kanonischen Skalarprodukt versehen und S ⊆ Rn die Einheitssphäre. Sei
B eine Bilinearform auf Rn und tr(B) ihre Spur (bezüglich des kanonischen Skalarproduktes). Zeigen Sie:
Z
1
1
tr(B) =
B(ξ, ξ) dσ
n
vol(S) S
(Hinweis: Gaußscher Divergenzsatz)
Abgabe: Freitag, 4. Juni 2004