Rechnerische Bestimmung der Bauteilwerte des - EAH-Jena

Rechnerische Bestimmung der Bauteilwerte des "Impedanzobjekts" aus dem
Praktikumsversuch bp2-p-3 mit dem Programm Excel und Add-In "Solver",
Teil 1: Fit der Modellfunktion an die Messdaten
Alfred H. Gitter, 28. März 2011
Im Praktikumsversuch bp2-p-3 "Impedanzmessung" wird ein "Impedanzobjekt" aus
zwei Widerständen und einem Kondensator vorgegeben, deren Werte unbekannt sind.
"Impedanzobjekt" als "Blackbox" mit einem Schaltkreis, bei dem die Werte der Widerstände R1 und R2
und des Kondensators C bestimmt werden sollen.
Die elektrischen Eigenschaften der Schaltung werden mathematisch durch die frequenzabhängige komplexe Impedanz ZTheorie, mit Realteil ℜTheorie und Imaginärteil
ℑTheorie, beschrieben. Die komplexe Größe ZTheorie ist eine Funktion der Variablen R 1,
R2, C und f (Frequenz) . Z Theorie = ZTheorie ( R1, R2, C, f ). Wir gehen davon aus, dass
ZTheorie = ZTheorie ( R1, R2, C, f ) bereits hergeleitet wurde, und entsprechend auch
ℜTheorie = ℜTheorie ( R1, R2, C, f ) und ℑTheorie = ℑTheorie ( R1, R2, C, f ).
Im Praktikumsversuch wird die Impedanz Z Mess des "Impedanzobjekts" für verschiedene Frequenzen f gemessen. Die komplexe Größe Z Mess ist eine Funktion der Variablen f, ZMess = ZMess(fi) mit den Messfrequenzen fi von 10 Hz, 100 Hz, 200 Hz, 300 Hz,
500 Hz, 1000 Hz und 10000 Hz. Die gemessene Impedanz Z Mess wird als Real- und
Imaginärteil dargestellt.
Aufgabe: Aus der gemessenen Impedanz als Funktion der Frequenz, Z Mess(fi) , sind
die Werte der Bauteile des "Impedanzobjekts" zu bestimmen.
Methode: Fit = Ausgleichungsrechnung. Die Werte der Variablen R 1, R2, C der Modellfunktion ZTheorie( R1, R2, C, f ) werden bestimmt, so dass der Unterschied  zwischen
Modell-Funktion ZTheorie( R1, R2, C, f ) und den Messdaten ZMess( fi ) minimal wird.
Als Unterschied  von ZTheorie und ZMess wird die Summe der Fehlerquadrate definiert. Beachte: Da ZTheorie und ZMess komplex sind, müssen Real- und Imaginärteil
berücksichtigt werden:
2
2
 =  ( ℜMess( fi ) - ℜTheorie( R1, R2, C, f i ) ) +  ( ℑMess( fi ) - ℑTheorie( R1, R2, C, fi ) )
mit den zuvor angegebenen Messfrequenzen fi .
Der Fit ist schwierig, weil die Modellfunktion nicht linear von den Variablen abhängt.
Es gibt aber einfach zu benutzende Computerprogramme zur Durchführung von
nichtlinearen Fits. Beispiel: "Excel" mit Add-In "Solver".
Rechnerische Bestimmung der Bauteilwerte des "Impedanzobjekts" aus dem
Praktikumsversuch bp2-p-3 mit dem Programm Excel und Add-In "Solver",
Teil 2: Anwendung von Excel und Solver
Alfred H. Gitter, 28. März 2011
Solver ist ein Teil von Excel, das eventuell nachinstalliert werden muss.
1) Es werden beliebige Startwerte für die Bestimmung der Variablen R 1, R2, und C
der Modellfunktion ZTheorie vorgegeben. Für Berechnungen im Excel-Datenblatt
werden alle Werte werden in SI-Einheiten ohne Einheitenvorsatz umgerechnet.
2) Es werden die Frequenzwerte f i in Hz, mit denen die Impedanz Z Mess gemessen
wurde, vorgegeben.
3) ℜTheorie( R1, R2, C, fi ) und ℑTheorie( R1, R2, C, fi ) werden mit Hilfe der Zellen, die
(Start-)Werte von R1, R2, C und f i enthalten, berechnet.
4) ℜMess( fi ) und ℑMess( fi ) werden aus den Messwerten von ∣Z∣ ( in  ) und  ( in ° ) berechnet.
5) Die quadratischen Abweichungen ℜMess - ℜTheorie und ℑMess - ℑTheorie werden für alle
Frequenzen fi berechnet.
6) Die Summe der quadratischen Abweichungen (Fehlerquadrate)  wird berechnet. 
steht in der Zielzelle, deren Wert von Solver minimiert werden soll.
7) Der Solver wird aufgerufen (mit Microsofts "Excel 2007" (xlsx) durch Klicken auf das Fragezeichen über Menüpunkt "Analyse" im Reiter "Daten" des Excel-Datenblatts).
Das Fenster des Solver öffnet sich. In das Feld für die Zielzelle wird die Excel-Zelle
eingetragen, in welcher der berechnete Wert von  steht. (Die Zielzelle muss eine Formel
enthalten.)
Unter dem Feld für die Zielzelle wird die Option "Min" ausgewählt, damit der Wert der
Zielzelle minimiert wird.
In dem Feld "Veränderbare Zellen" werden die Zellen angegeben, welche die Werte der
Variablen R1, R2, und C enthalten. (Die veränderbaren Zellen enthalten zunächst beliebige
Startwerte.)
Nach Klick auf den Knopf "Lösen" arbeit das Solver-Programm an der Bestimmung der
Werte in den veränderlichen Zellen, mit denen der Wert in der Zielzelle minimiert wird.
Das Ergebnisfenster des Solver berichtet, dass eine Lösung gefunden wurde (gibt sie
aber nicht an). Klicken Sie auf OK.
Das Ergebnis wird in den "veränderbaren Zellen" angegeben, welche die Werte
der Variablen R1, R2, und C enthalten.
Damit wurden die Werte der Bauelemente im "Impedanzobjekt" durch Impedanzanalyse bestimmt.
Schaltkreis eines "Impedanzobjekts", bei dem beispielhaft Werte der Widerstände R1 und R2 und
des Kondensators C bestimmt worden sind.