Ingmar Lehman und die Fibonacci

Mathe-Treff Magazin - Mathe und Leute:
Ingmar Lehmann und die Fibonacci-Zahlen
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
Privatdozent Dr.
Ingmar Lehmann
lehrt am
Fachbereich
Mathematik der
HumboldtUniversität in
Berlin und leitet die
Mathematische
Schülergesellschaft
"Leonard Euler". In
dem nachfolgenden,
ausführlichen
Interview des
Mathetreffs mit Dr.
Lehmann dürfte
deutlich werden,
dass das Thema Fibonacci-Zahlen eine besondere Faszination hat. FibonacciZahlen gehen etwa als Lösung aus der sogenannten Kaninchen-Aufgabe hervor.
Sie finden sich dann aber in vielen unterschiedlichen Bereichen der Mathematik,
in der Natur, in der Architektur, in der Kunst, ja sogar in der Literatur: bei
Goethe im Faust, bei Hölderlin in einem Gedicht und bei Dan Brown in seinem
Thriller Sakrileg. Das Interview spricht alle diese Bereiche an und gibt so einen
umfassenden Überblick über ein großartiges mathematisches Phänomen. Wer
dann weiter in das Thema einsteigen möchte, sei auf das Buch von Dr. Lehmann,
siehe unter, verwiesen. Das Interview endet bei ungelösten mathematischen
Fragen, die die Fibonacci-Folge betreffen.
Viel Vergnügen bei der Lektüre.
MT: Sehr geehrter Herr Dr. Lehmann, im vergangenen Jahr haben Sie zusammen mit Prof.
Alfred Posamentier aus New York ein Buch über Fibonacci-Zahlen veröffentlicht:
The (Fabulous) Fibonacci Numbers
Alfred S. Posamentier und Ingmar Lehmann
Amherst, N. Y., 2007
– mit einem mathematischen Nachwort des Chemie-Nobelpreisträger Herbert A. Hauptman.
Was ist eine Fibonacci-Folge?
Dr. Lehmann:
Die Folge der Fibonacci-Zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... hat die beiden
Anfangswerte F1 = 1 und F2 = 1; ab F3 = 2 ist jede Fibonacci-Zahl die Summe ihrer beiden
1
Vorgänger, also F3 = F1 + F2 – allgemein gilt: Fn + 2 = Fn + Fn + 1 (n ∈ N mit n ≥ 1). Viele sagen,
sie sei die berühmteste Folge der Welt.
MT: Und wer war Fibonacci? Worin lag seine Bedeutung über die Fibonacci-Folge hinaus?
Dr. Lehmann:
Fibonacci, eigentlich Leonardo von Pisa (ca. 1175-nach 1240), war ein italienischer
Mathematiker und Kaufmann, der mit seinem Werk Liber abaci (1202) fast das gesamte
arithmetische und algebraische Wissen jener Zeit zusammengefasst hat. Insbesondere trug
dieses 1228 überarbeitete „Buch vom Abakus“ wesentlich zur Verbreitung der indischarabischen Ziffern und der dezimalen Rechenverfahren in Europa bei.
(Am Hofe des Stauferkaisers Friedrichs II. (1194-1250) stellte Magister Johannis aus Palermo
Fibonacci die berühmte Aufgabe, die Gleichung x3 + 2x2 + 10x = 20 zu lösen. Fibonacci wies
nach, dass sie mit Hilfe der damals bekannten Zahlen und Wurzeln unlösbar war; darüber
hinaus gab er eine angenäherte Lösung an.)
MT: Die Fibonacci-Zahlen haben doch auch etwas mit Kaninchen zu tun.
Dr. Lehmann:
Ja, Fibonacci hatte in seinem Buch eine „merkwürdige“ Aufgabe formuliert, in der es um das
Wachstum einer Kaninchenpopulation nach folgender Vorschrift geht:
1. Zu Beginn gibt es ein Paar neugeborener Kaninchen.
2. Jedes neugeborene Kaninchenpaar wirft nach 2 Monaten ein weiteres Paar Kaninchen.
3. Anschließend wirft jedes Kaninchenpaar jeden Monat ein weiteres Kaninchenpaar.
4. Kaninchen leben ewig und haben einen unbegrenzten Lebensraum.
Heute wissen wir übrigens, dass die Fibonacci-Zahlen bereits lange vor 1202 beschrieben
worden sind. Ihre früheste Erwähnung findet sich in der indischen Mathematik unter dem
Namen mātrāmeru („Berg der Kadenz“) in den Chandahsūtras („Kunst der Prosodie“) des
Sanskrit-Grammatikers Pingala (zwischen 5. und 2. Jh. v. Chr.). Ausführlich behandelten
später Virahānka (6. Jh.) und Ācārya Hemacandra (1089–1172) die Fibonacci-Folge. Über
arabische Quellen hat Fibonacci wahrscheinlich Arbeiten der Sanskrit-Grammatiker kennen
gelernt.
MT: Wo finden sich die Fibonacci-Zahlen?
Dr. Lehmann:
Den Fibonacci-Zahlen begegnen wir in der Geometrie, in der Algebra, in der Zahlentheorie,
aber eben auch in vielen Bereichen außerhalb der Mathematik – etwa in der Natur und nicht
zuletzt auch in der Architektur und in der Kunst.
Als Beispiel aus der Mathematik erwähne ich das Pascalsche Dreieck.
Von der binomischen Formel (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 kommt man in natürlicher Weise zum
Pascalschen Dreieck:
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = 1a + 1b
(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
(a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4, ...
Ordnen wir die Koeffizienten etwas anders an, erkennen wir eine völlig symmetrische Form.
2
Addiert man darüber hinaus alle Koeffizienten, sind die Zeilensummen aufeinander folgende
Potenzen der 2: 1 = 20, 1+1 = 21, 1+2+1 = 22, 1+3+3+1 = 23, 1+4+6+4+1 = 24, ...
Im Pascalschen Dreieck betrachten wir jetzt statt der (waagerechten) Zeilen bestimmte
Schrägzeilen. Summieren wir diese Koeffizienten, erhalten wir gerade die Fibonacci-Zahlen.
Die Schrägzeilen bestehen jeweils aus Zellen derselben Farbe:
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
7
8
9
10
35
5
35
1
21
210
...
1
7
28
84
1
8
36
120
55
89
6
56
126
252
34
1
15
70
126
210
1
10
13
21
4
20
56
84
120
3
10
21
8
1
6
15
28
36
45
3
5
6
1
2
4
3
5
1
9
45
1
10
1
MT: Die Fibonacci-Zahlen stecken also auch in der Natur.
Dr. Lehmann:
Ja. Besser als die „Kaninchen“-Aufgabe eignet sich als Einstiegsbeispiel die Ahnentafel einer
Drohne. Während jeder Mensch einen Vater und eine Mutter hat, ist dies bei Bienen nur zum
Teil so. Die (weibliche) Königin und die (weibliche) Arbeitsbiene entwickeln sich je aus
einem befruchteten Ei, die (männliche) Drohne hingegen entsteht in der Regel aus einem
unbefruchteten Ei einer Königin, besitzt also keinen Vater, sondern nur einen Grossvater. Mit
dieser Kenntnis und mit der vereinfachenden Annahme, dass die Drohnen einer Generation
nicht von derselben Königin abstammen, ist die jeweilige Zahl der Vorfahren einer
Generation gerade eine Fibonacci-Zahl.
Aber die Fibonacci-Folge steckt auch in der Blattstellung (Phyllotaxis) mancher Pflanzen – z:
B. bei Sonnenblumen, bei Kiefernzapfen oder bei der Ananas. In unserem Buch findet man
eine Reihe weiterer Beispiele. Wo sieht man sonst so offensichtlich, dass Mathematik in der
Natur unmittelbar vorkommt!
Übrigens folgt auch die Verbreitung eines Gerüchts der Fibonacci-Regel – und Gerüchte zu
verbreiten, das liegt in der Natur des Menschen.
Darüber hinaus enthält unser Buch auch das Kapitel The Fibonacci Numbers and Musical
Form.
MT: In Ihrem Buch gehen Sie des Weiteren auf den Goldenen Schnitt, auf die Architektur
und auf viele andere Aspekte dieser fundamentalen Zahlen ein. Welcher Aspekt fasziniert Sie
selber am meisten?
Dr. Lehmann:
Dem Goldenen Schnitt ist ein ganzes Kapitel gewidmet – und das hat einen ganz einfachen
Grund: Die Fibonacci-Zahlen hängen “untrennbar” mit dem Goldenen Schnitt zusammen. Auf
den deutschen Mathematiker und Astronomen Johannes Kepler (1571-1630) geht die
Entdeckung zurück, dass sich der Quotient Fn : Fn + 1 zweier aufeinander folgender FibonacciZahlen mit wachsendem Index n dem Kehrwert des goldenen Schnittes Φ annähert. (Das gilt
allerdings für alle Folgen mit obiger Regel – auch wenn andere Anfangswerte gewählt
werden.)
3
(Eine Strecke wird im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt, wenn sich die größere
Teilstrecke M zur kleineren m so verhält wie die Gesamtstrecke M + m zum größeren Teil M.
Es gilt dann M : m = (M + m) : M = Φ .)
Aber erst der schottische Mathematiker Robert Simson (1687-1768) hat festgestellt, dass sich
der reziproke Quotient Fn + 1 : Fn zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen (also mit
dem Nachfolger im Zähler) seinerseits dem goldenen Schnitt Φ selbst annähert:
1
5+ 1
5−1
Φ=
≈ 1,6180339887498948...,
=
≈ 0,6180339887498948...
Φ
2
2
Kepler schreibt 1596 in Mysterium Cosmographicum (Das Weltgeheimnis): „Die Geometrie
birgt zwei große Schätze: der eine ist der Satz des Pythagoras, der andere ist der Goldene
Schnitt. Den ersten können wir mit einem Scheffel Gold vergleichen, den zweiten dürfen wir
ein kostbares Juwel nennen.“ Kepler spricht deshalb auch von sectio divina (göttlicher
Teilung).
Viele Architekten haben in ihren Entwürfen (zumeist) intuitiv den goldenen Schnitt Φ
verwendet – und das wohl berühmteste Gebäude, in dem er zu finden sein soll, stammt aus
der klassischen hellenistischen Epoche. Es ist der Parthenon-Tempel, ein Teil der Akropolis
in Athen. Phidias (460-430 v. Chr.) hatte die künstlerische Leitung beim Bau dieses
berühmten Tempels, den der athenische Staatsmann Perikles (um 500-429 v.Chr.) zum Dank
für die Rettung der Athener und Griechen während des Perserkriegs in den Jahren 447-432 v.
Chr. unter den Architekten Iktinos und Kallikrates als Schutzraum für die Göttin Athene
erbauen ließ ... und der Anfangsbuchstabe Φ des Namens des Phidias oder Pheidias
(griechisch: ΦΕΙ∆ΙΑΣ bzw. Φειδίας) liefert auch die in der Mathematik übliche Bezeichnung
für den Goldenen Schnitt.
Wegen dieses engen Zusammenhangs zwischen den Fi-Bonacci-Zahlen Fn und dem Goldenen
Schnitt Φ (Phi) bezeichnet man sie mitunter (scherzhaft) auch als die Φ - Bonacci-Zahlen.
Welcher Aspekt fasziniert mich am meisten? – Das ist bei der Vielfalt schwer zu beantworten.
Aber dass sich derart viele Künstler mit den Fibonacci-Zahlen auseinandersetzen, das hat
mich doch sehr überrascht. Ich habe derzeit mit mehr als 20 Künstlern Kontakt. Darüber
hinaus gibt es eine Vielzahl von Bauwerken, Skulpturen, Gemälden und Graphiken, in die der
Goldene Schnitt oder die Verwendung der Fibonacci-Zahlen „hineininterpretiert“ wird.
MT: Findet man die Fibonacci-Folge auch in der Literatur?
Dr. Lehmann: Über den Umweg des regelmäßigen Sternfünfecks (Pentagramm) finden wir
den Goldenen Schnitt sogar in Goethes Faust. Das auf dem Kopf stehende Pentagramm ist der
Drudenfuß,
ein mystisch-magisches Zeichen, das schon den Pythagoreern als Erkennungszeichen ihres
Geheimbundes diente. Und da dieses Zeichen mit Kreide auf den Fußboden des
Studierzimmers gezeichnet war, verwehrt es Mephisto hinauszugehen. Der Teufel war Faust
beim Osterspaziergang in Gestalt eines schwarzen Pudels zugelaufen und begehrte nun sich
zurückzuziehen.
Auch in Hölderlins Gedicht Die Aussicht soll sich der Goldene Schnitt verbergen. Der
deutsche Dichter Friedrich Hölderlin (1770-1843) schrieb dieses Gedicht 1843 – in der Zeit
seiner 'Umnachtung', kurz vor seinem Tode. Jakobson und Lübbe-Grothues untersuchten das
Gedicht und unterstellen, dass der Goldene Schnitt hier zu Tage trete. Was sie entdeckt haben,
sind Fibonacci-Zahlen, nämlich 2, 3, 5, 8. Unbestritten ist, dass die dänische Schriftstellerin
Inger Christensen (geb. 1935) mit dem Gedichtzyklus alfabet (1981, deutsch 1988) nicht nur
4
neue Maßstäbe für die zeitgenössische Dichtung gesetzt hat, sie hat hier die Idee verwirklicht,
die Fibonacci-Zahlen bewusst als Strukturelemente der Lyrik zu verwenden.
Am Rande sei erwähnt, dass vor allem unter Computerfreaks ein Fibonacci-„Dichtfieber“
ausgebrochen ist, das – folgt man der New York Times vom 14.4.2006 – durch Gregory K.
Pincus mit dessen Blog Gotta Book (1. April 2006) ausgelöst worden ist:
One
Small,
Precise,
Poetic,
Spiraling mixture:
Math plus poetry yields the Fib.
Dieses „Dichten nach der Fibonacci-Sequenz“ (fibonacci poetry, fibbery) folgt der Regel Fib,
d.h., es gibt insgesamt 6 Zeilen mit 1, 1, 2, 3, 5 und 8 Silben. Daneben gibt es auch Strophen,
die das Silbenmaß 1/1/2/3/5/8–8/5/3/2/1/1 besitzen.
In seinem Thriller Sakrileg greift der amerikanische Schriftsteller Dan Brown (geb. 1964) die
spekulative Hypothese von Michael Baigent, Richard Leigh und Henry Lincoln auf, wonach
Jesus Christus verheiratet war und mit seiner Frau Maria Magdalena ein Kind gezeugt habe.
Was hat dies nun mit den Fibonacci-Zahlen zu tun – in einem Buch, das von Lesern
verschlungen wurde, die kaum oder gar nicht in ihrer Freizeit Mathematik treiben wollen?
Der Originaltitel The Da Vinci Code führt uns auf die Spur. Der Chefkurator des Louvre in
Paris wurde vor dem Gemälde der Mona Lisa ermordet aufgefunden. Der Sterbende hatte
geradezu eine Art Bilder- und Zahlenrätsel inszeniert. Er legte sich entkleidet auf den Boden
und breitete die Arme und Beine nackt in einem aus Blut gezeichneten Kreis so aus, dass der
Leser an Leonardo da Vincis Proportionsstudie des vitruvischen Menschen erinnert wird. Und
bevor er stirbt, schreibt er noch eine rätselhafte Botschaft samt Zahlenfolge
13 – 3 – 2 – 21 – 1 – 1 – 8 – 5
O DRACONIAN DEVIL!
OH LAME SAINT!
auf das Parkett. In diesen kryptischen Hinweisen, die Nichteingeweihten absurd erscheinen
mögen, erkennen Robert Langdon, Symbol-Forscher der Harvard University, und Sophie
Neveu, Polizistin der Dechiffrierabteilung, eine Verdrehung der Fibonacci-Folge! Die anderen
beiden Zeilen sind Anagramme von LEONARDO DA VINCI! und THE MONA LISA! So also
kamen die Fibonacci-Zahlen unlängst sogar in die Bestseller-Listen!
MT: Warum sollen sich junge Leute mit Fibonacci-Zahlen beschäftigen?
Dr. Lehmann:
Man kann sehr schnell und ohne fremde Hilfe eigene Entdeckungen machen – und beweisen!
Direkt aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen sind z. B. stets teilerfremd. Es gelten z. B. die
2
Beziehungen Fn – 1Fn + 1 – Fn = (–1)n und
n
∑
i= 1
Fi 2 = Fn Fn + 1. Dass die Summe der Quadrate der
ersten n Fibonacci-Zahlen stets gleich dem Produkt der n-ten Fibonacci-Zahl Fn mit ihrem
Nachfolger Fn + 1 ist, lässt sich fast „ohne Worte“ beweisen.
Jede natürliche Zahl lässt sich linear aus den Fibonacci-Zahlen kombinieren.
Für viele ist es eine große Überraschung, dass sich die Fibonacci-Zahlen nicht nur nach der
oben genannten Regel (jede Fibonacci-Zahl > 1 ist die Summe ihrer beiden Vorgänger),
sondern auch direkt berechnen lassen. 1843 hat der französische Mathematiker JacquesPhilippe-Marie Binet (1786-1856) eine solche explizite Beschreibung der Fibonacci-Folge
5
gefunden. Allerdings soll nach anderen Quellen bereits Abraham de Moivre (1667-1754) im
Jahre 1718 diese Formel entdeckt haben; zehn Jahre (1728) später soll sie Nicolaus Bernoulli
(1687-1759) auch bewiesen haben. Auch Daniel Bernoulli (1700-1782) hat diese Formel wohl
bereits vor Binet gekannt. Die Formel von Binet ist im Übrigen nicht einfach zu finden:
1 1+ 5 n 1− 5 n
Fn =
[(
) –(
) ]
(n ∈ mit n ≥ 1).
5
2
2
Man kann dieses Ergebnis gar nicht genug feiern: Für jede natürliche Zahl n heben sich die
irrationalen Wurzelterme gegenseitig so auf, dass letztlich stets ganze Zahlen, eben die
Fibonacci-Zahlen, herauskommen!
Beispiel (n = 128):
1 1 + 5 128 1 − 5 128
F128 =
[(
) –(
) ] = 251 728 825 683 549 488 150 424 261.
5
2
2
Das sind 251 Quadrillionen ... So viel zur Kraft einer expliziten Formel!
MT: Gibt es eigentlich offene Fragen in bezug auf die Fibonacci-Zahlen?
Dr. Lehmann:
Ja, sogar eine Menge. Lange Zeit war z. B. unklar, wie viele der Fibonacci-Zahlen
Quadratzahlen sind. Erst seit 1963 weiß man, dass unter allen Fibonacci-Zahlen nur zwei
Quadratzahlen vorkommen – 1 und 144; beide sind zudem die Quadrate ihrer Indizes. Die
einzigen Kubikzahlen unter den Fibonacci-Zahlen sind 1 und 8.
Weiterhin ungelöst ist die Frage, ob die Fibonacci-Folge endlich oder unendlich viele
Primzahlen enthält.
Die Fibonacci-Zahlen und ihre Verallgemeinerungen sind so interessant und ergiebig, dass
seit 1963 vierteljährlich eine Zeitschrift erscheint, die sich allein diesen Zahlen widmet – The
Fibonacci Quarterly.
MT: Vielen Dank für das Gespräch.
(nev)
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