Numerik
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P ROF. D R . B ERND S IMEON C HRISTIAN G OBERT T HOMAS M ÄRZ Numerik SS 2009 Lösungsvorschlag zu Übungsblatt 4 Aufgabe 1: (Rücktransformation von Eigenvektoren) Die symmetrische Matrix A ∈ IRn×n wurde durch n − 2 Householder-Transformationen in Tridiagonalgestalt C überführt, d.h. C Hi ui = Hn−2 · . . . · H1 AH1 · . . . · Hn−2 2 := I − χi ui uiT , χi = T 6= 0, ui ui = (0, . . . , 0, ui+1,i , . . . , uni )T , i = 1, . . . , n − 2. z sei ein Eigenvektor der Tridiagonalmatrix C zum Eigenwert λk . Man formuliere einen effizienten Algorithmus, der zu gegebenen Größen z, χi , ui für i = 1, . . . , n − 2 den Eigenvektor y von A zum Eigenwert λk berechnet. Lösungsvorschlag zu Aufgabe 1: Ist z ein Eigenvektor der durch n − 2 Householdertransformationen erzeugten Tridiagonalmatrix C zum Eigenwert λk , dann bedeutet das Cz = Hn−2 · . . . · H1 AH1 · . . . · Hn−2 z = λk z ⇒ A H1 · . . . · Hn−2 z = λk H1 · . . . · Hn−2 z, | {z } | {z } =:y =y d.h. y = H1 · . . . · Hn−2 z ist Eigenvektor von A zum Eigenwert λk , denn die Matrizen A und C haben dieselben Eigenwerte. Algorithmisch ergäbe sich für die Berechnung des Eigenvektors der Ablauf für i = n − 2, n − 3, . . . , 2, 1 z := Hi z y := z wobei alle Matrizen H1 , . . . , Hn−2 gespeichert werden müssten, wenn man den Eigenvektor y aus z gewinnen will. Es bedeutet aber jedes Produkt Hi · z ausgeschrieben Hi · z = ( I − χi ui uiT )z = z − ui · χi uiT z. Nun sind die ui = (0, . . . , 0, ui+1,i , . . . , uni ) T nur in den Komponenten j = i + 1, . . . , n ungleich Null. Daher besteht das Skalarprodukt uiT z nur aus der Summe über die letzten n − i Einzelprodukte der beiden Vektorkomponenten. Es sei n α : = χi · ∑ u ji z j . j = i +1 Weil sich auch nur die letzten n − i Komponenten des Vektors z bei Addition mit −(χi uiT z)ui ändern, erhalten wir den Algorithmus für i = n − 2, n − 3, . . . , 2, 1 α := χi · ∑nj=i+1 u ji z j für j = i + 1, . . . , n z j := z j − αu ji y := z Da i abwärts zählt, hat man erst im n − 2-ten Schritt jede Komponente des Eigenvektors y von A. Mit dem zweiten Algorithmus braucht man statt n − 2 Householdermatrizen nur eine untere Dreiecksmatrix U = (uij ) zu speichern mit den Vektoren ui als Spalten und den Werten χi zum Beispiel als Diagonalelementen. Aufgabe 2: (Eigenwertabschätzungen) Es sei A eine diagonalisierbare n × n-Matrix, d.h. es existiert eine reguläre Matrix T mit T −1 AT = diag(λi ) =: D , wobei λi die (nicht notwendig verschiedenen) Eigenwerte von A sind. F sei eine n × nMatrix, die die Störungen der Matrix A beschreibt. a) Zeigen Sie: Ist λ ein Eigenwert der gestörten Matrix ( A + F ), so gilt die Abschätzung min |λ − λi | ≤ κ2 ( T )k F k2 , i wobei κ2 ( T ) die Konditionszahl obiger Transformationsmatrix T in der k · k2 -Norm ist. b) Wie vereinfacht bzw. verändert sich die Abschätzung in a), falls A hermitesch ist? Lösungsvorschlag zu Aufgabe 2: a) Sei λ Eigenwert zu ( A + F ) ⇒ ∃ Eigenvekor x 6= 0 : ( A + F ) x = λx ⇔ (λI − A) x = Fx, wobei I die Einheitsmatrix sei. 1. Fall: Ist λ auch Eigenwert von A, so ist mini |λ − λi | = 0 und die Abschätzung trivial. 2. Fall: Ist λ kein Eigenwert von A, dann gilt (λI − A) x = Fx ⇔ (λI − A) TT −1 x = FTT −1 x ⇔ ( T −1 (λI − A) T ) T −1 x = ( T −1 FT ) T −1 x ⇔ diag(λ − λi )( T −1 x ) = ( T −1 FT )( T −1 x ). Da λ kein Eigenwert von A ist die Matrix diag(λ − λi ) nicht singulär, d.h. es existiert diag(λ − λi )−1 ⇒ T −1 x = diag(λ − λi )−1 ( T −1 FT ) T −1 x. Nun ist die k · k2 -Norm submultiplikativ, d.h. es gilt k T −1 x k2 ≤ kdiag(λ − λi )−1 k2 k T −1 FT k2 k T −1 x k2 ⇔ 1 ≤ kdiag(λ − λi )−1 k2 k T −1 FT k2 . (∗) Die Matrix diag(λ − λi )−1 ist symmetrisch und hat die Eigenwerte die k · k2 -Norm dieser Matrix: max i Kehrwert ⇔ 1 λ − λi , damit gilt für (∗) 1 1 = kdiag(λ − λi )−1 k2 ≥ − 1 | λ − λi | k T FT k2 min |λ − λi | ≤ k T −1 FT k2 ≤ k T −1 k2 k F k2 k T k2 = κ2 ( T )k F k2 . i b) Ist A hermitesch, so ist T unitär wählbar, d.h. κ2 ( T ) = 1. Damit gilt: min |λ − λi k ≤ k F k2 . i Fazit: Der absolute Fehler zwischen den Eigenwerten der originalen Matrix A und denen der gestörten Matrix ( A + F ) ist im wesentlichen durch die k · k2 -Norm der Störung F und der k · k2 -Kondition der Transformationsmatrix T beschränkt.