Lehrstuhl VWL (Mikroökonomie)

Lehrstuhl VWL (Mikroökonomie)
TU Dortmund
Professor Dr. Wolfgang Leininger, Christian Rusche
WS 2013/14
Übung zur Spieltheorie I
2. Übungsblatt
(Nash Gleichgewichte in reinen oder gemischten Strategien)
Aufgabe 1
Betrachten Sie die folgenden klassischen Spiele in Normalform! Ermitteln Sie in diesen
Spielen das Nash-Gleichgewicht / die Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien! Welche
Spiele haben kein Nash Gleichgewicht?
a) Koordinationsspiel
1/2
GalerieTreffpunkt Sonnendeck
GalerieTreffpunkt
2,2
0,0
Sonnendeck
0,0
1,1
b) Chicken Game
1/2
Weiterfahren Ausweichen
Weiterfahren
-1,-1
1,0
Ausweichen
0,1
0,0
c) Matching Pennies
1/2
Kopf
Zahl
Kopf
1,-1
-1,1
Zahl
-1,1
1,-1
1/2
Schweigen
Aussagen
Schweigen
3,3
0,4
Aussagen
4,0
1,1
1/2
Schweigen
Reden
Schweigen
1,1
0,0
Reden
0,0
0,0
d) Gefangenendilemma
e) Geheimhaltungsspiel
f) Kampf der Geschlechter
1/2
Bach
Mozart
Bach
2,1
0,0
Mozart
0,0
1,2
1/2
Hirsch
Hase
Hirsch
2,2
0,1
Hase
1,0
1,1
g) Stag Hunt
Aufgabe 2
Eva und Maria verhandeln darüber, wie sie einen Kuchen unter sich aufteilen. Sie sagen
gleichzeitig, welchen Anteil des Kuchens ( s E bzw. sM ) sie jeweils haben wollen. Falls die
Aufteilung „möglich“ ist, d.h. die Summe der Anteile kleiner als der ganze Kuchen ist
( s E + s M ≤ 1 ), bekommt jede den geforderten Anteil. Ansonsten geht der Kuchen an Renate.
a) Was ist eine Strategie in diesem Spiel?
b) Was ist eine Kombination von reinen Strategien?
c) Nehmen Sie an, dass sowohl Eva als auch Maria nur daran interessiert sind,
möglichst viel Kuchen zu bekommen. Welche Kombinationen von reinen Strategien
sind Nash Gleichgewichte dieses Spieles?
Aufgabe 3
Mr. Zhang und Mr. Li sind Besitzer von zwei nebeneinander liegenden Reisfeldern. Diese
Felder sind stark auf Regen angewiesen, da Wasser und Nährstoffe für das Wachstum von
Reis notwendig sind. In der Monsunzeit kommt jedoch zu viel Regen runter und es wäre das
Beste mit Hilfe einer Grube etwas Wasser von dem Feld abzuleiten. Da die Felder von Mr.
Zhang und Mr. Li nebeneinander liegen, überflutet das Wasser beide Felder. Wird eine
Grube gegraben, so würde diese das Wasserlevel von beiden Feldern kontrollieren, da sie
nur zwischen den Feldern platziert werden kann.
Ohne Grube erhalten Mr. Zhang and Mr. Li jeweils ¥500 (in Reis) von ihrem Feld. Eine
Grube zu graben kostet allgemein ¥400 (Opportunitätskosten der Arbeit). Gräbt nur einer von
ihnen, muss derjenige die Kosten alleine tragen. Wenn sie zusammen graben, werden die
Kosten gleichmäßig auf Beide aufgeteilt (jeweils ¥200). Da mit der Grube das Wasserlevel
optimal kontrolliert werden kann, wächst der Reis besser. In diesem Fall erhalten Beide
¥1000.
a) Stellen Sie dieses Spiel als Normalformspiel dar! Finden Sie die NashGleichgewichte und diskutieren Sie diese!
b) Spezifizieren Sie die gemischten Strategien von Mr. Zhang and Mr. Li! Leiten Sie
ihre Beste-Antwort-Funktionen her! Finden Sie die Nash-Gleichgewichte in
gemischten Strategien und diskutieren Sie diese! Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die Grube ausgehoben wird?
Aufgabe 4 (Neeskens-Effekt)
Das Reisfeld ist nicht der einzige Platz an dem sich Mr. Zhang und Mr. Li treffen. Wenn sie
das Feld nicht bewirtschaften, spielen Beide in gegnerischen lokalen Fußballmannschaften:
Mr. Zhang ist der Torwart der FC Farmers und Mr. Li ist der Stürmer der Farmers United. In
der letzten Minute des Reiscupfinales, welches von beiden Mannschaften bestritten wird,
erhalten die Farmers United einen Elfmeter. Mr. Li, der beste Torschütze des bisherigen
Turniers, tritt hervor, nimmt den Ball vom Schiedsrichter und legt ihn auf die 11-Meter Marke.
Nehmen Sie nun an, die beiden Spieler Mr. Zhang und Mr. Li haben zwei Möglichkeiten:
Letzterer kann entweder nach links oder nach rechts schießen. Entsprechend kann Mr.
Zhang entweder nach links oder nach rechts springen (aus Sicht des Spielers). Werden
unterschiedliche Seiten gewählt, schießt Mr. Li ein Tor, denn Mr. Li schießt niemals
daneben. Die Auszahlungen betragen in diesem Fall eins für Mr. Li und null für Mr. Zhang.
Wird von Beiden die gleiche Seite gewählt, kann Mr. Zhang jedoch nicht mit Sicherheit den
Ball halten. Es ist bekannt, dass Mr. Li’s Schuss nach links besonders stark ist. Selbst wenn
Li nach links schießt und Mr. Zhang nach links springt hält er den Ball nicht mit Sicherheit. In
diesem Fall verwandelt Li das Tor mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%. Die Auszahlungen
betragen dann (½, ½). Wenn Mr. Li nach rechts schießt und Mr. Zhang ebenfalls diese Seite
wählt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Mr. Zhang den Ball hält 75%.
a) Stellen Sie dieses Spiel als Normalformspiel dar. Gibt es ein Nash Gleichgewicht
in reinen Strategien?
b) Finden Sie das Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien. Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit, dass Mr. Li ein Tor schießt?
c) Nehmen Sie nun an, dass Mr. Zhang und Mr. Li drei Möglichkeiten zur Auswahl
haben. Sie können entweder nach links oder rechts springen (schießen) oder in
der Mitte bleiben. Werden unterschiedliche Aktionen gewählt, trifft Mr. Li mit
Sicherheit. Wenn beide links wählen, bleiben die Auszahlungen wie zuvor bei (½,
½), wenn beide die rechte Seite wählen, hält Mr. Zhang den Ball mit einer
Wahrscheinlichkeit von 75%. Mr. Zhang ist jedoch gut darin, Bälle aus der Mitte
zu halten. Wenn Mr. Li in die Mitte schießt und Mr. Zhang in der Mitte bleibt, dann
hält er den Ball mit Sicherheit.
Finden Sie das Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien für dieses Spiel.
Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass Mr. Li trifft? Vergleichen Sie die
Wahrscheinlichkeiten mit der Mr. Zhang in a) und b) die Bälle hält. Hilft ihm sein
„Vorteil'' den er durch die Option „in der Mitte bleiben“ erhalten hat? Warum?