¨Ubung 3

Monte-Carlo Verfahren
WS 2012/13
Prof. Dr. Thomas Gerstner
Übung 3
Aufgabe 5:
Abgabe bis Mittwoch, 21.11.
[Kongruenzgeneratoren]
Wir betrachten den linearen Kongruenzgenerator
xi+1 = axi + b mod m
zur Erzeugung von gleichverteilten, ganzzahligen Pseudo-Zufallszahlen in {0, . . . , m − 1}.
(a) Überprüfen sie, ob der Generator für die Wahlen von
• a = 3432, b = 6789, m = 9973
• a = 1229, b = 1, m = 2048
• a = 1711, b = 0, m = 30269
maximale Periode besitzt.
(b) Zeigen sie für den Fall a = 7, b = 6, m = 64, dass es Startwerte x0 gibt, zu denen Orbits der
Periodenlänge 1, 2 und 8 gehören.
(c) Zeigen sie für n, k ∈ IN0 :
an − 1
b) mod m
a−1
ak − 1
= (ak xn +
b) mod m
a−1
• xn = (an x0 +
• xn+k
(d) Sei a = 1229, b = 0, m = 2048 und setze ui = xi /m. Ermitteln sie (ohne Verwendung des
Programms aus Aufgabe (e)), auf wie vielen Geraden in [0, 1]2 die Tupel (ui , ui+1 ) liegen.
(e) Schreiben sie ein Computerprogramm zur Erzeugung von jeweils 2000 Pseudozufallszahlen mit
dem Generatoren aus Aufgabe (a) und (d) und plotten sie jeweils die Punktepaare (ui , ui+1 ).
Aufgabe 6:
[Zentraler Grenzwertsatz für die Binomialverteilung]
Student A legt den täglichen Weg zur Uni mit den nicht aufeinander abgestimmten Verkehrsmitteln
Bus und Bahn zurück. Zu 80% wird ein direkter Anschluss Bus-Bahn gerade noch erreicht, zu 20%
muss er 30 Minuten auf den nächsten Zug warten.
(a) Die Zufallsgröße Xi sei wie folgt definiert: Xi = 1 falls bei einer beliebigen herausgegriffenen Fahrt
i der direkte Anschluss verpasst wird, Xi = 0 sonst. Geben Sie die Verteilung, den Erwartungswert
und die Varianz von Xi an.
(b) Geben Sie die mit dem Zentralen Grenzwertsatz angenäherte Verteilungsfunktion der in einem
Jahr (175 Fahrten) bei diesen Fahrten am Bahnhof verbrachten Zeit an.
(c) Der Student liest in dieser Zeit den neuen Band von Harry Potter und veranschlagt dafür 15
Stunden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er ihn am Ende Jahres durchgelesen?
Gesamtpunktzahl: 20 Punkte