Page 1 Vorklausur HöHa 2015 Aufgabe 1: (45 P. + 5 P. für

Vorklausur HöHa 2015
Aufgabe 1: (45 P. + 5 P. für Darstellungsleistung = 50 P. von 150 P.)
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Bin  n; p  -verteilten Zufallsgröße X :
n
n k
für k  0,1,2,
P  X  k      pk  1  p 
k 
,n
Ausgangssituation:
Die Impastato PIZZA & PASTA Company ist ein junges aufstrebendes
Gastronomieunternehmen und im Sauerland Marktführer bei Restaurants im „Italy-Style“. Die
Inhouse-Gastronomie mit einem modernen Design und einer Top-Ausstattung bildet den
perfekten Rahmen, um Pizza und Pasta unbeschwert zu genießen; Take-away und
Lieferservice sind zusätzliche Businesskomponenten. Im April wurden in Iserlohn und Menden
2 neue Locations eröffnet. Als Gastronomiemanager sind Sie für den Erfolg der beiden
Standorte verantwortlich.
1.1 Zur Vorbereitung auf die Eröffnung haben Sie eine Marketingagentur beauftragt, die
Pizzavorlieben der Sauerländer herauszufinden. Die Ergebnisse einer Befragung
wurden zur Visualisierung in ein Säulendiagramm (Abb. 1) und in ein Kreisdiagramm
(Abb. 2) übertragen.
Abb. 1
Abb. 2
Beim Vergleich der beiden Diagramme haben Sie den Verdacht, dass im Kreisdiagramm
etwas nicht stimmt. Analysieren Sie die Diagramme und zeigen Sie der
Marketingagentur durch eigene Rechnung, wo die Fehler liegen und welche Zahlen
richtig sind.
(5 P)
1.2 Eine Woche vor Eröffnung der beiden Locations veranstalteten Sie ein Probeessen, bei
dem die Gäste zur Zufriedenheit befragt wurden. Ihrer Auswertung der Fragebögen
entnehmen Sie, dass 52% der Gäste in Iserlohn und 48% der Gäste in Menden waren.
In Iserlohn wählten 60% der Gäste eine Pizza und 40% ein Pasta-Gericht, in Menden
wählten 65% der Gäste die Pizza und nur 35% die Pasta-Variante. Die
Zufriedenheitsauswertung ergab für Iserlohn: 95% der Pizza-Esser waren zufrieden, bei
den Pasta-Essern lag der Zufriedenheitswert nur bei 89%. In Menden waren 91% der
Pizza-Esser zufrieden und 96% der Pasta-Esser.
1.2.1 Ermitteln Sie mithilfe eines geeigneten Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten
der folgenden Ereignisse für einen zufällig ausgewählten Gast:
(14 P)
(E1) Der Gast war zufrieden.
(E2) Der Gast wählte Pasta und war nicht zufrieden.
(E3) Der Gast wählte eine Pizza.
1.2.2 Vergleichen Sie die Wahrscheinlichkeiten für einen zufriedenen Gast in den beiden
Städten.
(5 P)
1.3 Zur Eröffnung der Iserlohner Location haben 120 Gäste telefonisch reserviert. Aus
Erfahrung wissen Sie, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,10 der Gast trotz
Reservierung nicht erscheint.
1.3.1 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
(8 P)
(E1) Mehr als 13 Gäste, die reserviert hatten, erscheinen nicht.
(E2) Weniger als 10 Gäste, die reserviert hatten, erscheinen nicht.
(E3) Zwischen 8 und 14 Gästen, die reserviert hatten, erscheinen nicht.
1.3.2 Geben Sie an, mit wie vielen nicht erscheinenden Gästen Sie rechnen.
(2 P)
1.4 In der Eröffnungswoche gilt folgendes Angebot: “Pizza – All you can eat!“ Man bestellt
eine Pizza beliebiger Art und kann dann so oft man will für umsonst nachbestellen,
sofern man die Pizza aufgegessen hat. Die folgende Tabelle gibt die
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X an, die die bestellten Pizzen pro
Gast, der das Angebot annimmt, zählt.
xi
P  X  xi 
1
2
3
4
0,85
0,10
0,04
0,01
Berechnen Sie, mit wie vielen Pizzen Sie pro Gast, der Pizza bestellt, rechnen müssen.
(3 P)
1.5 Bei der Zufriedenheitsanalyse haben Sie gesehen, dass die Zufriedenheit der PizzaEsser in Menden schlechter ausgefallen war als in Iserlohn. „Es könnte an der
Tomatensoßedosiervorrichtung liegen“, sagt der Chefkoch von Menden. Eine Stichprobe
führt zu folgenden Ergebnissen:
Tomatensoße in ml:
102, 96, 107, 90, 105
In Iserlohn lag der Mittelwert bei 100 ml und die Standardabweichung bei 4 ml.
Untersuchen Sie, ob die Tomatensoßedosiervorrichtung in Menden wirklich schlechter
ist.
(8 P)
Musterlösung Aufgabe 1:
1.1
Pizza
Anzahl Anzahl %
Hawaii
21
16,8
Salami
24
19,2  F
Rucola
Tuna
26
29
20,8  F
23,2
Margherita
25
20,0
(S)
125
100,0
Der Marketingagentur sind zwei Fehler unterlaufen, die Prozentangabe bei Salami und
Rucola sind falsch. Die weiteren Zahlen im Kreisdiagramm sind richtig.
1.2
0,48
0,52
I
M
0,65
0,6
0,35
0,4
Pizza
Pasta
Pizza
Pasta
0,91
0,95
0,05
0,89
0,96
0,09
0,11
Z
N
Z
Z
NZ
Z
(1) p = 0,52*0,6*0,95
+ 0,52*0,4*0,89
+ 0,48*0,65*0,91
+ 0,48*0,35*0,96 = 0,92672 = 92,67%
(2) p = 0,52*0,4*0,11 + 0,48*0,35*0,04 = 0,02960 = 2,96%
(3) p = 0,52*0,6 + 0,48*0,65 = 0,6240 = 62,40%
1.2.2
I: p = 0,6*0,95 + 0,4*0,89 = 0,9260 = 92,60%
M: p = 0,65*0,91 + 0,35*0,96 = 0,9275 = 92,75%
Die Gäste waren in Menden etwas zufriedener.
1.3.1
n = 120; p = 0,10
P(E1) = P(X>13) = 1-P(X<=13) = 31,27%
P(E2) = P(X<10) = P(X<=9) = 22,86%
P(E3) = P(8<=X<=14) = P(X<=14) – P(X<=7) = 54,59%
1.3.2
E(X) = 0,1*120 = 12
1.4
E(X) = 0,85*1 + 0,10*2 + + 0,04*3 + 0,01*4 = 1,21
0,04
N
Z
Z
N
Z
1.5
xi
(xq – xi)
(xq – xi)2
102
2
4
96
-4
16
107
7
49
90
-10
100
105
5
25
xq= 100
S=
sum = 194
194
 6,9642 ml
4
Die Tomatensoßedosiervorrichtung in Menden ist schlechter. Sie hat zwar den
gleichen Mittelwert, aber die Streuung ist wesentlich größer.