DIN Rechteck - walser-h-m.ch

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Hans Walser, [20050930a], Das DIN Rechteck
Hans Walser
Das DIN Rechteck
2
1
DIN-Format
Inhalt
1 Internationale Papierformate (ISO/DIN).................................................................. 2
2 Schnittpunkte .......................................................................................................... 4
3 Drehstreckung......................................................................................................... 6
4 Oktogon aus einem DIN Rechteck......................................................................... 12
5 Abschneiden. Restrechteck.................................................................................... 16
5.1 Erinnerung an das Goldene Rechteck.............................................................. 16
5.2 Restrechteck beim DIN Rechteck ................................................................... 16
5.2.1 Vier Geo Dreiecke ................................................................................... 17
5.2.2 Quadrate abschneiden .............................................................................. 17
6 Rationales im DIN-Format .................................................................................... 17
6.1 Worum geht es?.............................................................................................. 17
6.2 Falten ............................................................................................................. 18
6.2.1 Falten längs einer Diagonalen .................................................................. 18
6.2.2 Diametrale Eckpunkte.............................................................................. 19
6.2.3 Proof without words ................................................................................ 19
6.3 Winkel ........................................................................................................... 20
6.3.1 Diagonalen und Rhombus........................................................................ 20
6.3.2 Beweise ................................................................................................... 20
6.3.3 Rhombendodekaeder ............................................................................... 21
7 Im Würfel ............................................................................................................. 22
7.1 Das DIN Rechteck im Würfel......................................................................... 22
7.2 Drehung um Körperdiagonale......................................................................... 22
7.2.1 Die Bastelstunde ...................................................................................... 24
7.3 Steckmodell eines Würfels ............................................................................. 25
7.4 Weitere Modelle auf der Basis der Würfel-Symmetrieebenen ......................... 27
7.4.1 Das Tetraeder .......................................................................................... 27
7.4.2 Das Rhombendodekaeder ........................................................................ 28
7.4.3 Der Keplerstern ....................................................................................... 29
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Internationale Papierformate (ISO/DIN)
Das Verhältnis der beiden Seitenlängen eines Blattes im DIN-Format ist
2 :1 .
2
1
DIN Format
Papier im DIN-Format wird nach folgendem Muster bezeichnet und unterteilt:
A8
A7
A6
A5
A4
A3
A2
A0
A1
Unterteilung
Das Format A0 hat den Flächeninhalt 1m2 und daher die Höhe
Breite
1
2
2 1.189m und die
0.841m . Daraus ergibt sich (in Millimeter und auf Millimeter gerundet):
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A0 841 1189
A1 594 841
A2 420 594
A3 297 420
A4 210 297
A5 148 210
A6 105 148
A7
74 105
A8
52 74
A9
37 52
A10
26 37
Formate in mm
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Schnittpunkte
Halb- und Viertelskreise im DIN Rechteck
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Halbkreise und ein Kreis im DIN Rechteck
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3 Drehstreckung
Die Formate A4 und A5 sind ähnlich. Wo ist in der vorliegenden Situation das Zentrum
der Drehstreckung, welche A4 in A5 überführt?
Suchen Sie zwei (oder mehr) verschiedene Lösungswege.
A5
A4
DIN A4 Hochformat und DIN A5 Querformat
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Ergebnis
Disposition gemäß Figur:
D = C*
C = B*
A5
D*
A4
A
A*
B
Disposition
Der Drehwinkel ist 2 , der Streckfaktor 22 (Schrumpfung).
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Erster Lösungsweg
Einschachteln (approximative Lösung)
D = C*
C = B*
A5
A4
D*
A
A*
B
Einschachteln
Zweiter Lösungsweg
Ortsbogen zu 2 , d.h. Thaleskreise, über BB * und CC *
D = C*
C = B*
Z
D*
A5
A4
A
A*
B
Thaleskreise
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Dritter Lösungsweg
Diagonalen und Nachdenken
D = C*
C = B*
Z A5
D*
A4
A
A*
B
Diagonalen
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Vierter Lösungsweg
Anregung: Horst Steibl
Wir führen die Drehstreckung noch ein zweites Mal durch und gelangen damit vom
ursprünglichen A4-Rechteck ABCD zum A6-Recchteck A**B**C**D**. Diese zusammengesetzte Abbildung ist eine Drehstreckung mit dem Faktor
( )
1
2
2
= 12 und dem
Drehwinkel ; das Zentrum Z bleibt unverändert. Damit liegt Z auf der Strecke BB * *
und teilt diese im Verhältnis 1 : 12 = 23 : 13 .
D = C* = B**
A**
C = B*
A6
Z
D**
D* = C**
A4
A
A*
B
Übergang zu A6
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Fünfter Lösungsweg
Komplexe Ebene und Fixpunkt berechnen.
y
D = C*
C = B*
A5
D*
A4
A 0
A*
1
B
x
Komplexe Zahlen
Ansatz: w = az + b
Aus A = 0 A* = 1 + i 22 und B = 1 B* = 1 + i 2 folgt:
1 + i 22 = b
1 + i 2 = a + b a = i 22
b = 1 +i2 2 .
Und weiter w = az + b = i 22 z + 1 + i 22 mit dem Fixpunkt z = 1a
3
3
Weiterer Lösungsweg
Wer findet einen weiteren Lösungsweg?
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4 Oktogon aus einem DIN Rechteck
Wir beginnen mit einem leeren Papier vom Format DIN A4 (oder einem anderen DIN
Format) im Querformat.
DIN A4
Dann falten wir die senkrechte Mittellinie und falten wieder zurück.
Mittellinie senkrecht
Nun falten wir alle vier Ecken an diese Mittellinie und falten wieder zurück.
Ecken einbiegen und wieder zurückfalten
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Als nächstes falten wir zwei zur Mittellinie parallele Linien durch die Schnittpunkte der
Faltlinien des letzten Schrittes.
Parallelen durch die Schnittpunkte
Diese Parallelen bilden zusammen mit Oberkante und Unterkante des Papiers ein Quadrat. Das Quadrat liegt eingemittet auf dem Papier.
Nun falten wir die waagerechte Mittellinie.
Waagerechte Mittellinie
Wir falten alle vier Ecken an diese waagerechte Mittellinie und falten wieder zurück.
Ecken einbiegen und wieder zurückfalten
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Damit haben wir das Oktogon.
Oktogon
Durch geeignetes Einbiegen oder durch Abschneiden erhalten wir das materielle Oktogon.
Ansicht von beiden Seiten
Das Seitenverhältnis 12 des DIN Formates ist wesentlich. Aus einem Rechteck mit
einem anderen Seitenverhältnis ergibt sich ein Achteck, das zwar gleichwinklig ist, aber
nicht gleichseitig.
Falsche Seitenverhältnisse bei den Rechtecken
Das lässt sich wie folgt einsehen. Wir verwenden ein Ausgangsrechteck mit der Länge a
und der Breite b. Die gleichwinkligen, aber eben nicht gleichseitigen Achtecke haben in
jedem Fall eine vierstrahlige Drehsymmetrie.
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a
b
d
Abstände zwischen den Seiten
Es geht jetzt noch darum, ob die Abstände b zwischen den Seiten parallel zu den Papierseiten gleich groß sind wie die Abstände d zwischen den schrägen Seiten. Es ist:
d= a
2
Die Bedingung d = b führt auf a = b 2 , also das DIN Format.
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5
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Abschneiden. Restrechteck
5.1 Erinnerung an das Goldene Rechteck
Wird beim Goldenen Recheck (Rechteck im Seitenverhältnis des Goldenen Schnittes)
ein Quadrat abgeschnitten, bleibt ein Restrechteck übrig, welches zum ursprünglichen
Goldenen Rechteck ähnlich ist.
Goldenes Rechteck
5.2 Restrechteck beim DIN Rechteck
Wenn wir entsprechend beim DIN Rechteck ein Quadrat abschneiden, bleibt ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis
2+1
übrig, kein DIN Rechteck also.
1
Beim DIN Rechteck wird ein Quadrat abgeschnitten
Dieses Rechteck hat es aber in sich.
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5.2.1 Vier Geo Dreiecke
Wir setzen vier Geo Dreiecke (rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke, halbe Quadrate
also) gemäß Figur zu einem Rechteck zusammen.
Vier Geo Dreiecke
2 +1
,
1
Das Umrissrechteck hat das Seitenverhältnis
aber auch das Lochrechteck in der
2 +1
.
1
Mitte hat dieses Seitenverhältnis
5.2.2 Quadrate abschneiden
Wir schneiden beim Rechteck mit dem Seitenverhältnis
2 +1
1
zwei Quadrate ab. Dann
bleibt ein Restrechteck übrig, welches wiederum das Seitenverhältnis
2 +1
1
hat. Wir
können daher den Abschneideprozess ad infinitum iterieren.
Zwei Quadrate abschneiden
6
6.1
Rationales im DIN-Format
Worum geht es?
Das Seitenverhältnis eines Rechteckes im DIN-Format ist
2 :1 , also irrational.
A4
1
2
DIN A4 Format
Es erstaunt daher, das bei geeigneter Sicht trotzdem rationale Verhältnisse auftreten.
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6.2
Falten
6.2.1 Falten längs einer Diagonalen
Anregung: Hans Schupp, Saarbrücken
Falten eines DIN A4 Blattes
Wenn wir ein DIN A4 Blatt längs einer Diagonalen falten, teilt der Schnittpunkt der
beiden Längsseiten diese im Verhältnis 1:3.
1
4
3
4
3
4
Falten und Auffalten
1
4
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Ebenso teilt der Schnittpunkt der beiden kurzen Seiten diese (von außen) im Verhältnis
1:3.
Äußere Teilpunkte auf den kurzen Seiten
6.2.2 Diametrale Eckpunkte
Denselben rationalen Effekt erhalten wir, wenn wir das Blatt so falten, dass zwei diametrale Eckpunke aufeinander fallen.
Diametrale Eckpunkte
6.2.3 Proof without words
A4
A5
A4
Beweis
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6.3
Winkel
6.3.1 Diagonalen und Rhombus
Es sei der spitze Schnittwinkel der Diagonalen im DIN Rechteck. Dies ist auch der
spitze Winkel des Rhombus, aufgespannt durch die Seitenmitten des DIN Rechteckes.
Dieser Rhombus hat das Diagonalenverhältnis 2 :1 .
α
α
α
Diagonalen und Rhombus
Für den Winkel finden wir:
( )
= 2 arctan 1 70.53°
2
Ein hässlicher Winkel also. Nun liefert mein Taschenrechner:
cos ( ) 0.333
Der Verdacht ist nahe, dass hier wiederum das rationale Verhältnis 1:3 gilt.
6.3.2 Beweise
6.3.2.1 CAS (Maple)
Mit
restart:
simplify(cos(2*arctan(1/sqrt(2))));
erhalten wir:
Das Problem liegt also jenseits der Möglichkeiten von Maple.
6.3.2.2 Turnübung
Wir verwenden die Doppelwinkelformel
cos ( 2 ) = cos2 ( ) sin 2 ( )
und die Umrechungsformeln:
cos ( ) =
Damit erhalten wir:
1
1+tan 2 ( )
und
sin ( ) =
tan( )
1+tan 2 ( )
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( )
( )
( )
cos 2 arctan 1 = cos2 arctan 1 sin 2 arctan 1 2 2 2 1
=
1+tan 2 arctan
( )
( )
2
tan arctan 1 2
1+tan 2 arctan 1 2 ( )
1
2
2
2
1
1
1 2
1
1 2 = 1 2 =
=
=
1+ 1 1+ 1 1+ 21 1+ 21 1+ 21
2
2
1
2
3
2
2
= 13
6.3.2.3 Der elegante Beweis
Der größtmögliche Rhombus mit dem Diagonalenverhältnis 2 :1 , der sich dem DIN
Rechteck einbeschreiben lässt, verwendet die Rechtecksdiagonale als lange Diagonale.
α
Rhombus im Rechteck
Für den Winkel , der hier als Außenwinkel eingezeichnet ist, erhalten wir aus dem
Faltresultat:
cos ( ) = 13
6.3.3 Rhombendodekaeder
Das Rhombendodekaeder entsteht aus dem Würfel durch Aufsetzen von Pyramiden mit
einem Neigungswinkel von 45° zur Grundfläche.
Rhombendodekaeder
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Dieser Neigungswinkel hat zur Folge, dass die Seitenflächen zweier benachbarter Pyramiden glatt ineinander übergehen; es entstehen Rhomben, und zwar insgesamt zwölf.
Daher hat das Ding den Namen. Die Rhomben haben das Diagonalenverhältnis 2 :1 .
7
Im Würfel
7.1 Das DIN Rechteck im Würfel
Im Würfel hat ein Rechteck aus zwei gegenüberliegenden Würfelkanten und zwei Seitenflächendiagonalen die Proportionen eines DIN-Rechteckes.
DIN-Recheck im Würfel
7.2 Drehung um Körperdiagonale
Dem Falten längs einer Rechtecksdiagonale entspricht eine Drehung um eine Körperdiagonale des Würfels um 180° (Anregung von Wolfgang Kroll, Marburg).
Wir verwenden den Einheitswürfel im Koordinatensystem und die durch den Ursprung
verlaufende Körperdiagonale. Dann wird die Drehung um 180° durch folgende Matrix
beschrieben:
2 1 2
3 3 3
2 1 2 3
3 3
2
2
13 3
3
Diese Matrix enthält nur rationale Elemente.
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Die folgende Figur zeigt die Überlagerung von Urbildwürfel (grün) und Bildwürfel
(rot).
Urbildwürfel und Bildwürfel
Die beiden Würfel durchdringen sich gegenseitig.
Urbildwürfel und Bildwürfel
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7.2.1 Die Bastelstunde
Diese Konfiguration kann als Steckmodell hergestellt werden. Wir brauchen dazu 12
Quadrate (6 in der einen und 6 in der anderen Farbe) aus Halbkarton mit Nuten. Die
Endpunkte der Nuten liegen auf einem rationalen Viertelsraster.
Das Modell kann dann ohne weitere Bindemittel zusammengesteckt werden.
Schnittmuster für das Steckmodell
Steckmodell
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7.3 Steckmodell eines Würfels
Anregung: Ueli Wittorf, Zürich
Wir bauen ein Modell mit den sechs Rechtecken im DIN Format. Die folgende Figur
zeigt das Schnittmuster. Die Schlitze an den Ecken sind unterschiedlich lang, bei 1 und 2
sind sie doppelt so lang wie bei 3 und 4. Als Baumaterial eignen sich Karten oder Fotos
im DIN A 6 Format.
1
2
3
4
5
6
Schnittmuster für den Würfel
Die folgende Figur zeigt das Würfelmodell.
Würfelmodell
Die Bauteile liegen in Symmetrieebenen des Würfels. Der Würfel enthält allerdings noch
drei weitere Symmetrieebenen, nämlich die Mittelebenen gegenüberliegender Seitenflächen.
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Würfel mit allen Symmetrieebenen
Wenn wir einen Würfel mit allen Symmetrieebenen haben wollen, benötigen wir die Bauteile der folgenden Figur.
a
b
c
1
2
3
4
5
Bauteile für den Würfel mit allen Symmetrieebenen
Zusammenstecken in der Reihenfolge a, b, c, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
6
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Steckmodell des Würfels mit allen Symmetrieebenen
7.4
Weitere Modelle auf der Basis der Würfel-Symmetrieebenen
7.4.1 Das Tetraeder
Da dem Würfel ein Tetraeder einbeschrieben werden kann, ist es nahe liegend, durch Abändern der rechteckigen Bauteile des Würfels die Bauteile für das Tetraeder zu finden. Die
folgende Figur zeigt die sechs Bauteile. Die Bauteile bestehen aus Dreiecken, welche (unter Anpassung der Schlitze) aus den Würfelbauteilen im DIN Format herausgeschnitten
werden. Es ist wiederum die unterschiedliche Länge der Schlitze zu beachten.
Tetraeder im Würfel
1
2
3
4
Schnittmuster für das Tetraeder
5
6
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Die folgende Figur zeigt das Tetraedermodell. In diesem Modell sind sämtliche Symmetrieebenen realisiert.
Modell des Tetraeders
7.4.2 Das Rhombendodekaeder
Die folgende Figur zeigt das Schnittmuster. Als Basis dient wiederum ein Rechteck mit
dem Seitenverhältnis 2 :1 des DIN Formates.
1
2
3
4
5
Schnittmuster für das Rhombendodekaeder
Modell des Rhombendodekaeders
6
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7.4.3 Der Keplerstern
Die folgenden Figuren zeigen den Keplerstern (stella octangula). Das Schnittmuster
ergibt sich aus jenem des Würfels durch Einkerben an den beiden Schmalseiten (Details
in 1 eingezeichnet).
1
2
3
4
Schnittmuster für den Keplerstern
Modell des Keplersternes
5
6