de problèmes

La résolution
de problèmes
p
1.
2
2.
3.
4.
5.
6.
7
7.
8.
9
9.
Sommaire
Qu’est ce qu’un problème
L problème
Le
blè
: une situation
it ti complexe
l
Les types de problèmes
La représentation d’un problème
g
: les mémoires
Fonction cognitive
La compréhension du problème
La mise en œuvre de stratégies
Fonction cognitive : la fonction exécutive
Conclusion
Une ambition internationale
P.I.S.A.
Un échantillon représentatif d'élèves de 15 ans subit une épreuve "papier‐crayon" de deux heures en mathématiques et français
de deux heures en mathématiques et français.
En maths, la France est au 22ème rang sur 70 pays.
Sophie Vayssettes
OCDE
http://www.dailymotion.com/video/xhe8d9_stella‐baruk‐il‐n‐y‐a‐pas‐de‐troubles‐
en‐mathematiques_shortfilms
L’âge du capitaine
Stella Baruk et Rémi Brissiaud
97 élèves de CE1 et CE2 ont a résoudre le problème suivant Sur un bateau, il y a 26 moutons et 10 chèvres. Quel est l’âge du capitaine ? 76 ont donné l’âge du capitaine en utilisant les nombres figurant dans l’énoncé(78%). Énoncés « absurdes »
François Boule
François Boule
130 élèves de CE à CM le problème suivant 74 % des élèves de CE calculent
20% des élèves de CM
calculent
J’ai 4 sucettes dans ma poche droite et 9 caramels dans ma poche gauche. Quel est l’âge de mon papa ?
Dans une bergerie, il y a cent vingt‐cinq moutons et cinq chiens. Quel est l’âge du berger ?
Il y a 7 rangées de 4 tables dans une classe. Quel est l’âge de la maîtresse ?
Énoncés « absurdes »
François Boule
François Boule
Les réponses ne sont pas liées à l’immaturité ou à l’irréflexion des élèves. Les réponses fournies ne sont pas arbitraires
Les problèmes à l’école fonctionnent de façon stéréotypée ; tout problème a une solution, que l’on peut trouver en utilisant les données (toutes les données) fournies
données (toutes les données) fournies.
Un problème ?
• Un problème comprend toujours des nombres. •Il faut faire une opération entre les nombres pour trouver la Il f t f i
é ti
t l
b
t
l
solution.
•Un problème a toujours une seule solution.
•Pour trouver la solution, il n’y a qu’une démarche possible.
•Pour trouver la solution, il faut déjà savoir.
•Pour trouver la solution il faut trier les informations …
Qu’est
Qu
est ce
qqu’un problème
p
?
Newell & Simon Chercheurs en psychologie cognitive ‐ 1972
Un problème surgit de l'écart qui se forme entre un état initial et un état but. Résoudre un problème c’est chercher un ensembles de procédures
qui permettent le passage d’un état à un autre.
i
tt t l
d’ ét t à
t
Jean Brun Professeur en didactique des mathématiques – Université de Genève ‐ 1996 Un problème est généralement défini comme p
g
une situation initiale avec un but à atteindre, demandant au sujet d’élaborer une suite d’actions ou opérations pour atteindre ce but. Définition
Le problème
une situation complexe
p
En classe
Connaissance
Capacité
La suite numérique
q
L
La maîtrise des techniques opératoires
ît i d t h i
é t i
Le sens de l’énoncé du problème
La maîtrise des procédures de résolutions
procédures de résolutions
Attitude
Le contrôle de la Le
contrôle de la
vraisemblance du résultat Connaissance
Capacité
Compétence
Attitude
Connaissance
Capacité
L’interprétation inadéquate de l’énoncé ou de la consigne
Insuffisance ou absence des principes logico‐mathématiques
Échec
LLes techniques opératoires
t h i
é t i
La complexité de la stratégie
L’utilisation d’heuristique inappropriée
Attitude
Incapacité à vérifier son résultat
Incapacité
à vérifier son résultat
Incapacité à changer de stratégie
Quand
Évaluation
diagnostique
Acquisition de nouvelles ll
connaissances
Évaluation
finale
Tedi-math
TEST DIAGNOSTIQUE DES COMPETENCES DE BASE EN MATHEMATIQUES
Diagnostic des troubles des pp
g
q
apprentissages numériques de
la MS à la fin du CE2
Évaluation diagnostique
L'enfant en difficulté d'apprentissage en L'
f t diffi lté d'
ti
mathématiques : pistes de diagnostic et support d'intervention
Catherine Van Nieuwenhoven , Stéphanie De Vriendt
Un problème
des problèmes
p
Des démarches pédagogiques
éda i es
La pédagogie par situations‐problèmes
La pédagogie par situations
problèmes ‐ Apprentissage par problèmes
Apprentissage par problèmes
Les élèves, regroupés par équipes, travaillent ensemble à résoudre un problème , g p p
q p ,
p
pour lequel ils n'ont reçu aucune formation particulière, de façon à faire des apprentissages de façon active.
La situation‐problème est une tâche concrète qui supposent que les personnes franchissent un certain nombre d'obstacles pour y arriver.
La situation‐problème est toujours une fiction sous contrôle.
J
Jeux
de
d logique
l i
B.O. n°10 du 10 mars 2011.
"Promotion des disciplines scientifiques et technologiques
Renforcer les fondamentaux des mathématiques et des sciences à l'école
Renforcer les fondamentaux des mathématiques et des sciences à l
école primaire
primaire
Ancrer les fondamentaux
Les jeux traditionnels comme les échecs, les jeux à règle comme les jeux de cartes, les jeux de construction permettent de développer la motivation et la concentration des élèves, d'encourager leur esprit d'autonomie et d'initiative et de travailler les fondamentaux par une approche différente."
Rush Hour
La tour de Hanoï
Puissance 4
Des situations
sit ati ns
Des situations fonctionnelles
En rapport avec la réalité de la classe, avec le En
rapport avec la réalité de la classe avec le
vécu des élèves. Laurence a acheté une console de jeu, un jeu, une manette supplémentaire.
Le prix total de l’achat
Le prix total de l
achat est de deux cent quatre vingt euros est de deux cent quatre vingt euros
dont trente euros pour la manette et cinquante‐huit euros pour le jeu. Laurence veut connaître le prix de la console.
Michaël a un contrat avec sa mère qui s’est engagée à lui verser cinq euros d’argent de poche par semaine pendant un an en échange d’une participation active et régulière aux tâches ménagères. g
Michaël respecte sa part de contrat et veut savoir combien il gagne en un an.
Marie‐Christine. Une petite fille saute à la corde. Marie
Christine Une petite fille saute à la corde
Elle fait quinze sauts en une minute.
Combien de sauts aura‐t‐elle fait en trente minutes sachant qu’elle se repose deux minutes toutes les dix minutes ?
Des situations
sit ati ns
Des situations pseudo‐concrètes
Des situations pseudo‐concrètes
« On fait comme si … », « Imaginons qu’on voudrait faire … »
Ce sont les situations des manuels scolaires.
Des situations abstraites
Elles portent sur les nombres eux‐mêmes, elles sont théoriques et se Elles
portent sur les nombres eux mêmes elles sont théoriques et se
rapprochent de ce que font les mathématiciens.
Sabrina achète un livre a 18 euros
Il l i
Il lui reste 15 euros
15
Combien avait – elle avant son achat ?
Qui s’interroge pour savoir combien
d’argent on avait avant un achat ?
S i
Soit
Un problème n'en rappelle aucun autre
aucun autre
Un problème en rappelle un autre
invention d'une démarche personnelle, d'une solution Transposition, transfert •Les problèmes d’approches et de découvertes
•Les problèmes ouverts
•Les problèmes ouverts
•Les problèmes de réinvestissement
•Les problèmes d’évaluation
p
Interrogations sur
Interrogations sur
L’objet
Le sujet
La nature du problème proposé.
Aspect psychologique : inhibition, attitude négative, évocation douloureuse… ;
Aspect technique : les notions utilisées, techniques opératoires q
p
sous jacentes…
Aspect cognitif : difficulté de mémorisation, de catégorisation, Comment se construit
la représentation
p
de problèmes
p
?
L’é
L’énoncé
é du
d problème
blè
François Boule
Les premières difficultés rencontrées dans la
résolution de problème ne sont ni techniques, ni mathématiques. Elles concernent d’abord la lecture de l’énoncé.
L’é
L’énoncé
é du
d problème
blè
Un énoncé de mathématiques n’est pas un texte
comme les autre
comme les autre.
L’énoncé met en interaction 3 langages : •le langage ordinaire (description d
•le
langage ordinaire (description d’une
une situation), situation)
•le langage mathématique
•le langage symbolique (ex. Triangle, chiffre …)
Aid à la
Aides
l compréhension
éh i de
d l’énoncé
l’é
é
Comment travailler la Comment
travailler la
compréhension de problèmes ?
Ewan Guillou, ULIS Collège Jean Moulin, Châteaulin
Comment travailler la compréhension
de problèmes ?
• Repérer les mots inducteurs.
• Un énoncé peut aussi se schématiser : Un énoncé peut aussi se schématiser :
composition d’états ou comparaison d’états. Retenir des schémas types
Retenir des schémas types.
• Un problème peut être une transformation d’é avec un état initial, une ou plusieurs d’état
é i ii l
l i
transformations et un état final. Travail de repérage des mots-inducteurs
• Je propose aux élèves de lire des énoncés des problèmes et repérer les mots qui reviennent le plus souvent. souvent
L mots iinducteurs
Les
d
+
Et
Plus
Ajouter
Gagner
Différence
Reste
Moins
Retirer
Enlever
Prendre
Perdre
Rester
x
Chaque
Chacun
:
Partager
Distribuer
Couper
p
Répartir
Passer ppar l’écriture ppour améliorer la compréhension
p
• Pour s’approprier ce vocabulaire, il semble important
que les élèves passent par l’écriture d’un énoncé de
problème. Le fait d’écrire un énoncé donne l’occasion
aux élèves de voir qu’on n’emploie pas n’importe
quels
l termes dans
d
un problème
blè
et qu’il
’il faut
f
poser
une question en lien avec l’énoncé.
• Les élèves souffrant de troubles cognitifs ont des
diffi l é avec le
difficultés
l traitement
i
et la
l classification
l ifi i des
d
informations. Écrire un énoncé permet de travailler
ll’organisation
organisation, la réorganisation et la structuration
d’informations.
Rédiger un problème
Réd
blè
et le résoudre
• Étape
p 1 : En groupe, rappel des règles à
respecter lorsqu’on écrit un problème. Quels
sont les mots inducteurs (avec les élèves on
utilisera le terme de « mots indices ») ? Que
retrouve t on à la fin d
retrouve‐t‐on
d’un
un énoncé de
problème ?
• Étape
É
2 : Donner la consigne de l’activité.
« Vous allez devoir écrire ll’énoncé
énoncé d
d’un
un
problème. Vous devez respecter les règles que
nous avons vues ensemble.
ensemble Je vous distribue
des étiquettes avec des objets et des prix.
V
Vous
d
devez
vous en servir
i pour écrire
é i l’énoncé
l’é
é
de votre problème ».
On distribue trois étiquettes par
étiquettes par élèves. Ce qui est évalué C
i té l é
c’est la rédaction p
puis la compréhension de l’énoncé avec bien sûr le choix du
sûr le choix du calcul utilisé. • Étape 3
: Individuellement
I di id ll
t les
l élèves
élè
rédigent
édi t un
énoncé. Puis ils doivent résoudre le problème qu’ils ont
écrit pour voir si l’énoncé est correct, logique et si le
problème
blè
peutt être
êt résolu.
é l
• Étape 4 : Après vérification du respect des étapes par
l’élève, puis par l’enseignant, l’élève recopie au
traitement de texte son énoncé.
• Étape 5
: Les élèves échangent leurs énoncés, ils
doivent résoudre le problème d
d’un
un de leur camarade.
camarade
Pour cette résolution, ils doivent chercher le mot
inducteur. Ils expliquent ce qu’ils cherchent, ils font le
calcul puis une phrase‐réponse.
phrase réponse
L mots-inducteurs
Les
i d
: les
l limites
li i
• Cet
Cet exercice de rédaction est intéressant car il exercice de rédaction est intéressant car il
oblige les élèves à structurer leur pensée pour rédiger un problème.
• Cependant quand cet exercice est maîtrisé il Cependant quand cet exercice est maîtrisé il
faut montrer aux élèves que les mots inducteurs ne permettent pas de résoudre
inducteurs ne permettent pas de résoudre tous les problèmes.
L mots-inducteurs
Les
i d
: les
l limites
li i
« Auguste a 13 ans. Il a 4 ans de moins que Auguste a 13 ans Il a 4 ans de moins que
Romain. Quel âge à Romain ? »
• L’élève repère le « moins »
• Il calcule : 13 ‐ 4 = 9
• « Romain a 9 ans.
Romain a 9 ans »
L schématisation
La
hé
i i d
des problèmes
blè
Classification des problèmes
d Gérard
de
Gé d Vergnaud
V
d - 1981
Des types de problèmes
yp
p
Composition d'ét t
d'état
Comparaison d'ét t
d'état
+ ou ‐
+ ou ‐
Composition d’états é
égaux
X ou :
Transformation d'ét t
d'état
Composition d'état
Composition d'état
Composition d'état
Composition d'état
Schéma général
+
‐
?
recherche du composé
EExemple
l
A midi j’ai bu 2 verres d’eau et 1 verre de jus d’orange.
Combien de verres ai‐je bu en tout ?
j
?
recherche d’une partie
Exemple Dans notre cour, nous avons 5 bancs. Pendant la récréation, 3 bancs sont occupés par des enfants. Combien de bancs sont vides ?
Composition d'état
Composition d'état
« 102 jeunes garçons, 86 jeunes filles et 40 adultes se trouvaient à un concert. Combien y avait‐il de personnes au concert ? »
Dans le schémas on fait apparaître les «
l
hé
f i
î l
parties
i » et le l
« tout », avec des cases ou des barres.
Dans ce problème on connaît les 3 « parties ». Pour trouver le « tout » on fait une addition.
Pour trouver le on fait une addition.
Composition d'état
Composition d'état
« Monsieur Enzo a fait cuire 285 pizzas. Il en a p,
vendu beaucoup, mais il lui en reste 70. Combien de pizzas a‐t‐il vendues ? »
On peut connaître le « tout » et une « partie » pour rechercher une autre partie
pour rechercher une autre partie. Dans ce cas on fait une soustraction.
Composition d'état
Composition d'état
Partie 1 + Partie 2 = Tout
Tout – Partie 1 = Partie 2
Tout – Partie 2
Partie 2 = Partie 1
= Partie 1
Comparaison d'état
Schéma général
+
‐
?
?
recherche de la comparaison
recherche de la comparaison
recherche de l’un des états
EExemple
l
Alexis a 3 ans. Il a 1 an de plus (ou de moins) que sa sœur.
Quel âge a la sœur d’Alexis ?
Q
g
Exemple Sur une assiette il y a 2 gâteaux Sur une autre il y
Sur une assiette, il y a 2 gâteaux. Sur une autre, il y en a 5.
Combien y a‐t‐il de gâteaux de plus sur la deuxième assiette ?
Comparaison d'état
Comparaison d'état
Lisa mesure 96 cm. Mathilde mesure 8 cm de moins que Lisa. i
Li
Combien Mathilde mesure‐t‐elle ?
• SSchématisation à partir de barres pour les hé ti ti à
ti d b
l
comparaisons.
Comparaison d'état
• Plus grande quantité – la plus petite quantité = différence
• Plus petite quantité + différence = plus grande quantité
• Plus grande quantité – différence = plus petite quantité
Composition d’états égaux
Composition d’états égaux
• Lorsque l’on connaît le nombre de « parties » et que ces « parties » sont égales on peut faire une multiplication pour trouver le «
t
l tout
t t ».
Lorsque ll’on
on connaît le «
connaît le « tout » et le nombre de » et le nombre de
• Lorsque
« parties » on fait une division pour trouver la valeur d’une « partie ».
• Lorsque l’on connaît le « tout » et la valeur d’une « partie », on fait une division pour trouver le nombre de « parties ».
»
Composition d’états égaux
Composition d’états égaux
« 5 enfants achètent un cadeau qui coûtent 30 p
g
p y
euros. Ils partagent la somme à payer équitablement. Combien chaque élève devra‐
t‐il payer ? »
t‐il payer ?
• On connaît le « tout » et le nombre de « parties ». On cherche la valeur d’une «p
partie ». Les élèves doivent faire une division ou une multiplication à trou.
Transformation d'état
Schéma général
?
recherche de l’état
recherche de l
état final
final
Exemple
Tu avais 2 voitures Je t’en
Tu avais 2 voitures. Je t
en donne donne
encore 1.
Combien en as‐tu maintenant ?
?
recherche de l’état initial
Exemple
J’ajoute 3 bonbons dans la boîte. Maintenant j’en ai 5.
Combien la boîte contenait‐elle déjà de bonbons ?
Transformation d'état
Schéma général
?
recherche de la transformation
recherche de la transformation
Exemple
Pose 5 cubes sur la table Que dois‐
Pose 5 cubes sur la table. Que dois
tu faire pour en avoir7 ?
Transformation d'état
A partir d’une histoire comportant un état initial, une transformation et un état final, on cache
une transformation et un état final, on cache une donnée et on choisit un ordre d énonciation.
d’énonciation
Transformation d'état
« Avant la récréation, Augustus Gloop avait 17 bâtons de chocolat Pendant la récréation il joue
bâtons de chocolat. Pendant la récréation il joue et perd 5 bâtons. Combien a‐t‐il de bâtons après la récréation ? »
• On connaît l’état initial et la transformation. On doit retrouver l’état final.
Transformation d'état
« Que s’est‐il passé pendant la récréation ? Avant la récréation Augustus Gloop avait 22 Avant la récréation, Augustus Gloop
avait 22
bâtons de chocolat. Il joue. Après la récréation il a 13 bâtons de chocolat »
récréation, il a 13 bâtons de chocolat.
• On connaît l’état initial et l’état final. Il faut trouver la transformation
trouver la transformation.
• Combien d
Combien d’énoncés
énoncés possibles ?
possibles ?
Etat initial
Transformation
Etat final ?
Etat initial
Etat final
Transformation ?
Transformation
Etat final
Etat initial ?
Transformation
Etat initial
Etat final ?
Etat final
Transformation
Etat initial ?
Etat final
Etat initial
Transformation ?
On peut aussi changer la position de la question.
Aid à l’opérationnalisation
Aides
l’ é i
li i
Aider à se représenter les situations évoquées
les situations évoquées
Albums codés
Se former des images mentales.
Par le dessin peut être utile.
Le schéma Coder l’information par des symboles abstraits
http://www.tice1d.13.ac‐aix‐marseille.fr/maths/M31111.htm#2
Mémoire et problème
Henri PLANCHON Activité Cognitive et Images Mathématiques
Les problèmes que nous rencontrons sont mémorisés sous une forme ou sous une autre et peuvent intervenir dans la construction d’une nouvelle représentation. t
t
ti t
i d
l
t ti d’
ll
é t ti
Ils peuvent être mémorisés en tant que connaissances et intégrés comme telles à nos structures cognitives
et intégrés comme telles à nos structures cognitives.
Fonction cognitive
g
Les
es mémoires
é o es
D
Des systèmes de mémoire distincts
tè
d
é i di ti t
Mémoire (psychologie)
Mémoire (neurobiologie)
Les types (psychologie)
Les types (psychologie)
Environnement
L’information est stockée pendant une
stockée pendant une faible durée (environ 30 secondes).
Mémoire à Court Terme (MCT)
Visuel
Auditif
tactile
Représentation schématique du
p
q
modèle du système cognitif proposé
par Atkinson et Shiffrin (1969).
Mémoire à Mémoire
à
Long Terme (MLT).
L’information peut y rester ou être effacée.
(capacité « infinie »
(capacité «
Perdue
Réponse
Mémoire à court terme (MCT)
(
)
• MCT définie initialement par le durée de maintien des informations (quelques secondes)
• La MCT comporte aussi une limitation quantitative, l’empan mnésique: nombre d
: nombre d’éléments
éléments qui peuvent s
qui peuvent s’yy maintenir (5 à maintenir (5 à
7 : Miller, 1950 en rappel immédiat)
Miller, 1950 23571890
2 3 5 7 1 8 9 0
Les types (psychologie)
Les types (psychologie)
Environnement
Auditif
Visuel
tactile
Représentation schématique du
Représentation
schématique du
modèle du système cognitif proposé
par Bradeley et Hith (1974).
Elle est capable de La boucle retenir et de manipuler phonologique des informations sous phonologique (BP) forme verbale
Centre exécutif
Superviseur Superviseur
attentionnel
Le calepin visuo spatial
visuo‐spatial (CVS) Il est chargé des informations codées
informations codées sous forme visuelle
Boucle phonologique
Boucle phonologique
nourriture
farine
manger
pâte
sandwich seigle confiture
croûte
miche
Calepin visuel
Calepin visuel
Calepin visuel
Calepin visuel
2
1
LLa MT permet MT
Les inférences
3
4
La MT peut être réactivée
p
cerise
pain
Et trompée … 40 % des personnes répondent que le pain était dans la liste initiale
La mémoire à long terme (MLT)
La mémoire à long terme (MLT)
Stockage de l’information en mémoire à long terme Représentation explicite
Représentation explicite
Représentation implicite
Représentation implicite
Catégorisation
La MLT pour stocker l’information fabrique des catégorie.
Eleanor Rosch (1975) a montré que certains exemple étaient de
meilleurs représentants d’une catégorie que d’autres : notion de prototype
Dans chaque catégorie, on distingue trois
i niveaux hiérarchiques i
hié
hi
niveau super‐ordonné (animal)
niveau de base (chien)
niveau sous‐ordonné (Bouvier Bernois)
Catégorisation
niveau super‐ordonné (problème)
niveau de base (problème additif)
niveau sous‐ordonné niveau
sous ordonné
(composition d’état)
Dans un massif de fleurs, Dans
un massif de fleurs
il y a 20 tulipes rouges
et 40 tulipes jaunes
Combien y a‐t‐il de tulipes en tout?
Catégorisation
niveau super‐ordonné (problème)
niveau de base (problème additif)
niveau sous‐ordonné niveau
sous ordonné
(composition d’état)
Dans le massif de 60 fleurs, Dans
le massif de 60 fleurs
il y a 20 tulipes rouges
Combien faut Combien
faut – il planter de tulipes il planter de tulipes
jaunes ?
Cellule de lieu (neurobiologie)
Cellule de lieu (neurobiologie)
John O'Keefe
La fonction primordiale l'hippocampe est de constituer une carte cognitive de ll'environnement
environnement dans lequel évolue l
dans lequel évolue l'animal
animal.
Mémoire à court terme (MCT)
Aid à lla catégorisation
Aides
é i i des
d problèmes
blè
Présentation de problèmes
problèmes isomorphes
Affiche de « types » de problèmes
Identification
des analogies
centrée sur les centrée
sur les
analogies de structure et non d’apparence.
Aid à la
Aides
l catégorisation
é i i
Aider les élèves dans le choix des procédures
En catégorisant les problèmes
http://www.cndp.fr/crdp‐lille/problemes_CP‐CE1/
http://www cndp fr/crdp lille/problemes CE2 CM2/default htm
http://www.cndp.fr/crdp‐lille/problemes_CE2‐CM2/default.htm
La compréhension
du problème
p
Comment se construit la compréhension du problème
Jean Julo ‐ enseignant‐chercheur à l’Université Rennes I
1 Interprétation et sélection
él i
Trois processus
simultanés qui interagissent ! !
C’est l’interaction de ces trois processus qui nous font réussir la résolution
2 Structuration
3
Opérationnalisation
Le processus d’interprétation
’
é
et de sélection
é
Le contexte sémantique d’un problème
Un énoncé de problème est caractérisé par une forme mais aussi par un ensemble d’éléments qui lui donne son sens
Interprétation Sélection d’informations
On dispose d'une bouteille de vin et d'une bouteille d'eau.
On prend un verre de vin dans la bouteille de vin et on le verse dans la bouteille d'eau.
On prend un verre du mélange obtenu et on le verse dans la bouteille de vin.
(le verre est le même pour les deux opérations).
(le verre est le même pour les deux opérations).
Parmi ces trois affirmations, laquelle vous paraît juste ? 1. il y a plus de vin dans la jarre d'eau que d'eau dans la jarre de vin
2. il y a plus d'eau dans la jarre de vin que de vin dans la jarre d'eau
3. il y a autant de vin dans la jarre d'eau que d'eau dans la jarre de vin 20%
Une boîte verte contient des jetons verts et une boite rouge contient des jetons rouges. On prend un certain nombre de jetons verts dans la boîte verte et on les place dans la boîte rouge. On prend ensuite le même nombre que précédemment de jetons dans la boîte rouge et on les place dans la boîte verte.
dans la boîte rouge et on les place dans la boîte verte.
Parmi ces trois affirmations, laquelle vous paraît juste ? 1. le nombre de jetons verts dans la boîte rouge est plus grand que le nombre de jetons rouges dans la boîte verte. 2. le nombre de jetons verts dans la boîte rouge est plus petit que le nombre de j
jetons rouges dans la boîte verte. d
l b î
3. le nombre de jetons verts dans la boîte rouge est égal au nombre de jetons 60 %
rouges dans la boîte verte.
Le processus de structuration
Au‐delà de la compréhension de la consigne, il y a la Au
delà de la compréhension de la consigne il y a la
manière dont nous organisons cette information et ce que nous nous autorisons à faire
Problème des 9 points de Maier :
Réunir les 9 points ci‐dessous par 4 segments de droite tracés sans lever le crayon
Solution
P blè
Problème
de
d l’euro
l’
quii manque
Trois voyageurs arrivent à l’auberge pour y passer la nuit.
y g
g p
yp
Il ne reste plus qu’une seule chambre à trois lits pour laquelle l’aubergiste demande 30 €. Chaque voyageur débourse donc 10 €. Plus tard en encaissant la somme l’aubergiste se rappelle que le prix de la chambre n’est pas de 30 € mais de 25 €. Il envoie alors le garçons porter 5 pièces de 1 € aux voyageurs. Mais le garçon décide alors de prélever son pourboire au passage et ne redonne qu’une seule pièce de 1 € à chaque voyageur gardant 2 € pour lui. Chaque voyageur a donc payé son lit 9 €, soit en tout 27 €. L
Le garçon a gardé 2€
dé 2€ pour lui. Le total est donc de 29 €
l i L
l
d
d 29 € (27 + 2).
(27 2)
Où est passé l’euro qui manque ? Le processus d’opérationnalisation
’ é
C’est
C
est le processus qui permet le passage à l
le processus qui permet le passage à l’action
action effective
effective (calculs, tracés …) (calculs tracés )
ou mentale (raisonnement, déductions…)
J. Julo « Comprendre quelque chose c’est construire une représentation d’une chose. »
P blè
Problème
d
de Restle
R tl
Si le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui‐ci était plus difficile que le problème que vous avez résolu après que vous ayez résolu le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui‐ci, est‐ce que le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu l
blè
é l
é l
celui‐ci était plus difficile que celui‐ci ?
le problème A
Si le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui‐ci était le problème B
plus difficile que le problème que vous avez résolu après que vous ayez résolu le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui ci est ce
le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui‐ci, est‐ce que le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui‐ci le problème A
était plus difficile que celui‐ci ?
le problème B
La mise en œuvre
de stratégies
g
Exemple d’un problème ouvert
Exemple d’un
d un problème ouvert
• L'énoncé est court.
• La solution n'est
• La solution n
est pas évidente.
pas évidente
• Tout élève peut démarrer sa recherche par tâtonnement, par des dessins ...
• L'énoncé n'induit pas la méthode de résolution.
• Les problèmes où la solution est accessible par plusieurs modes de raisonnement (algébrique, logique, d d
i
t ( l éb i
l i
géométrique,..).
Démarche - Le problème ouvert
Les 6 étapes de la résolution de problème ouvert :
•Présentation p
par l’enseignant
g
(précision des consignes)
(p
g
)
•Recherche personnelle
•Confrontation avec le groupe
•Mise en commun
•Vérification des hypothèses
•Synthèse collective, communication
Problème ouvert classe de SIFPRO – IME F Huon de Quimperlé
http://dpernoux.free.fr/ouverts.htm
Kangourou au pays des contes
http://www.recreomath.qc.ca/banque_prob.htm
http://rustrel.free.fr/enigmes.htm
http://www.pedagonet.com/other/enigme.html
http://carresmagiques.free.fr/index.html
Une
Une résolution réussie ne permet pas d’inférer
ne permet pas d
inférer sur les stratégies
acquises
Evelyne Clément
Fonction cognitive
Laa fonction
o ct o exécutive
e écut ve
L ffonction
La
i exécutive
é i
Élaboration de stratégies et planification des g
p
tâches à accomplir.
Flexibilité cognitive (adaptation aux imprévus, correction des erreurs, passage d’une tâche à p
g
l’autre)
Stratégies de résolution de problème
Algorithme
L’algorithme est une règle qui permet d’arriver à la solution dans tous les cas. Heuristique
Une heuristique
Une
heuristique est une est une
règle générale d’action, applicable à toute situation, qui permet la plupart du
qui permet la plupart du temps d’aboutir plus rapidement à la solution. E
Exemple
l d’algorithme
d’ l
i h
Recherche par dichotomie
Pierre propose à Paul le jeu suivant : « choisis en secret un nombre compris entre 0 et 100
choisis en secret un nombre compris entre 0 et 100 ; je vais essayer de le deviner le ; je vais essayer de le deviner le
plus rapidement possible, en ne pouvant que te poser des questions auxquelles tu réponds par oui ou par non ». Paul choisit 66 et attend les questions de Pierre :
Algorithme de résolution :
Toujours proposer la moitié de la valeur
j
p p
Cette méthode itérative permet à Pierre de trouver le nombre en posant en moyenne moins de questions que s'il procédait par des questions du type « Est‐ce que le nombre est égal à 30 ? ».
E
Exemple
l d’heuristique
d’h
i i
La tour de Hanoï
http://javaboy.free.fr/tourdehanoi/
variantes
Les 2 tours de hanoï
3 types
t
de
d stratégies
t té i
La recherche par essai ‐ erreur
essai Stratégie du hill climbingg
Appliquer au hasard les opérateurs légaux
opérateurs légaux jusqu'à atteindre un but. Appliquer les opérateurs légaux et évaluer l'état
légaux et évaluer l
état obtenu à chaque étape. Beaucoup d'actions inutiles
A ti
Actions non reproductibles
d tibl
Ne permet pas toujours d' tt i d l b t
d'atteindre le but
Analyse moyens‐fin
Éliminer ou réduire la Éli
i
éd i l
différence entre l’état initial et l’état final en construisant des sous buts
construisant des sous buts jusqu’à l'élimination de la différence de départ.
Stratégie reproductible.
C
Capacité à s’éloigner du but ité à ’él i
d b t
pour l’atteindre.
Illustration de la stratégie
é fin-moyens
f
Loup, chèvre, choux
http://jeux.lulu.pagesperso‐orange.fr/html/loupChe/loupChe1.htm
Missionnaires et Missionnaires
et
cannibales
http://www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=54
Aid à l’él
Aides
l’élaboration
b
i d
de stratégies
é i
Définition du but à atteindre
à atteindre
L’anticipation collective du résultat précède la recherche de la solution.
Raisonnement à voix haute
Verbalisation en groupe des stratégies individuelles.
Le réexamen collectif du ll if d
cheminement Retour réflexif, R
t
éfl if
à caractère métacognitif .
Fl ibili é -Test de Wisconsin
Flexibilité
couleur
forme
nombre
2 types de flexibilité
Evelyne Clément
Flexibilité spontané
Flexibilité réactive
Évaluation des problèmes ouverts
Sphère affective
Sphère affective
Sphère instrumentale
Sphère sociale
Sphère cognitive
Une mise en place des situations complexes
selon 3 phases
selon 3 phases Une ambition internationale
Ph
Phase 1
1 : On demande aux élèves d'accomplir une tâche complexe sans aucun étayage.
Phase 2 : On propose à nouveau aux élèves la même tâche. Mais cette fois, la tâche complexe est découpée en tâches élémentaires dont les consignes sont tâche
complexe est découpée en tâches élémentaires dont les consignes sont
explicites et qui sont présentées dans l'ordre où elles doivent être accomplies.
Phase 3 : On propose aux élèves une série de tâches simples décontextualisées, dont les consignes sont celles qui sont utilisées ordinairement décontextualisées
dont les consignes sont celles qui sont utilisées ordinairement
dans l'apprentissage des procédures élémentaires qu'on propose à l'école.
« Cible » de compétences
Pour résoudre
un pproblème mathématique
q
1
S’approprier le texte de l’énoncé
5
2
Valider le Valider
le
résultat, critiquer Organiser les données
Métacognition
4
3
Déterminer une stratégie de résolution
de résolution
Se donner une représentation
( mentale ou schématisée)