optimisation multi-objectifs a l`aide d`un algorithme de

OPTIMISATION MULTI-OBJECTIFS A L'AIDE D'UN
ALGORITHME DE COLONIE DE FOURMIS
CAROLINE GAGNE ET MARC GRAVEL
Departement d'informatique et de mathimatique
Vniversite du Quebec a Chicoutimi
555. Botil. de iUnlversile
Chicoutimi, Quebec, Canada G7H 2BI
Courriel: [email protected]. [email protected]
WILSON L. PRICE
Faculte des Sciences de I 'administration.
Universite Laval
Sfe-Foy, Quebec. Canada GIK 7P4
Courriel: [email protected]
RESUME
Cet article pre'sente les adaptations requises a roptimisation parcolonie de fourmis pour son utilisation dans une procedure gcnerique de recherche de solutions de comproinis. Nous montrons comment cette metaheuristique permet de solutionner efflcacement un probleme d'ordonnancement
industriel multi objcctifs en tenant compte des preferences enoncees par ie decideur dans une situation de machine unique avec re'glages dependants de la sequence et autres contraintes technologiques specifiques a un eontexte industriel.
Mots-cles : objectifs multiples, solutions de compromis, optimisation combinatoire. metaheuristique, ordonnancement.
ABSTRACT
We describe the adaptations required to ant colony optimization so that it may be used in a generic procedure for obtaining compromise solutions to a multi-objeetivc problem. We show how we may take
into account the decision-maker's preferences while using this metaheuristic to efficiently solve a
multi-objective industrial schedulitig problem with a single machine and sequence-dependent setup
times, as well as other technological constraints specific to the context.
Keywords: multiple objectives, compromise solutions, combinatorial optimization, metaheutisties,
scheduling.
1. INTRODUCTION
L'optimisation par colonie de fourmis (OCF) est une metaheuristique qui a ete utilisee avec succes pour resoudre plusieurs probletnes d'optimisation combinatoire (Cung et «/., 200!; Widmer,
2001). Toutefois, la plupart des travaux otit consiste k solutiotiner des problemes a objectif
utiique. Dans les travaux utilisant TOCF dans un contexte multi-objectifs, Mariano & Morales
{1999a; 1999b) ont presente une approche qui iavorise I'echange dMnformation entre des
families d'agents travaillant sur des objectifs differents pour la conception d'un reseau de distribution d'eau. Leur approche vise a generer I'ensemhle Pareto-optimal. Gambardella et al.
(1999) ont developpe un OCF bi-objectifs ou la meilleure solution giobale est partagee par deux
colonies pour solutionner un probleme de toumees de vehicules. Dans cette approche, une colonie cherche a abaisser la meilleure solution connue sur le premier objectif tandis que Tautre
cherche a optimiser le deuxieme objectif tout en preservant la solution sur le premier. Iredi et al.
(2001) proposent, pour leur part, une approche bi-objectifs de I'OCFbasee sur la cooperation de
plusieurs colonies pour un probleme d'ordonnancement de machine unique avec reglages
dependant de la sequence. Chacune des colonies possede deux matrices de trace de pheromone
Reed. June 2001. Rev. Mar. 20()4. Ace. Apr. 2004
INFOR vol. 42. no. 1 Feb. 2(K)4
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24
C. GAGNE. M. GRAVEL ET W.L. PRICE
utilisees de maniere differente par chacune des fourmis. Dans nos travaux anterieurs sur Tordonnancement mulli-objectifs d'une machine unique dans un contexte de coulee de I'aluminium
(Gagne et al., 2002; Gravel et ai. 2002). trois objectifs ont ete consideres selon un rangement
lexicographique et TOCE a demontre son efficacite pour modeliser et resoudre efficacemcnt ce
probleme. Cette maniere d'aborder le probleme a toutcfois le desavantage de diriger la recherche dans une direction extreme et de considercr les autres objectifs seulement en cas d'egalite.
La recherche de solutions de compromis entre differents objectifs represente done une direction interessante a explorer. Toutefois, dans les situations pratiques comme celle de la coulee de
Taluminium, les temps de calculs peuvent s'averer important^ si Ton cherche a generer entierement l'ensemble Pareto-optimal. II s'avere alors preferable de demandcr au decideur de preciser
ses preferences pour les differents objectifs el de produire exclusivement les solutions Paretooptimales correspondant a cel!es-ci. C'est dans cette optique qu'une procedure gdnerique pouvant etre adaptee a differentes metaheuristiques pour la recherche de solutions de compromis a
ete proposee dans Gagne et al. (2004). Un exemple d'application de la procedure generique a ete
pr^sente a Taide de la recherche avec tabous (Tabu Search) hybride avec la recherche par voisinage variable {Variable neighborhood Search) pour traiter un probleme d'ordonnancement biobjectifs sur une machine unique avec reglages dependant de la sequence.
Dans le present article, nous alions montrer comment integrer TOCE a la procedure generique
de recherche de solutions de compromis afin de solutionner plus efficacement le probleme
d'ordonnancement industriel multi-objectifs presente dans nos travaux anterieurs. II ne s'agit
pas de developper une nouvelle version de TOCF, mais de montrer l'efficacite de Tapproche
generique proposee en se servant de resultats deja publies sur des probtemes industriels pour fins
de comparaison.
2. L'OCF POUR L'ORDONNANCEMENT
Le contexte industriel etudie correspond a l'ordonnancement d'un ensemble de commandes sur
une machine unique avec des reglages dependants de la sequence. Le lecteur peut trouver une
description complete du contexte, les algorithmes developpes et les resultats obtenus dans
Gravel et al. (2002) et Gagne et al. (2002). La complexite du probleme s'accroit egalement par
la presence de plusieurs contraintes technologiques specifiques au procede de coulee de I'aluminium. La sequence de production des commandes doit etre fixee de fa^on a optimiser trois
objectifs conflictuels qui sont:
' //{•) '• la minimisation de la perte de capacite a la machine a couler;
• /2(-): la minimisation du temps total de retard; et
" fji-): la minimisation de la perte de capacity en transport.
Le premier objectif consiste a optimiser Tutilisation de I'equipement et des ressources. Par
exemple. le temps pour effectuer une mise en course ou le temps d'attente sont consideres
comme des temps morts devant etre minimises. Le deuxieme objectif concerne la satisfaction
des dates de livraison promises aux clients et finalement, la perte de capacite en transport est calculde en relation avec un tonnage cible a atteindre lors du chargement des camions de livraison
pour une destination donnee.
On peut resumer le fonctionnement general de I'OCE pour solutionner ce probleme d'ordonnancement par Talgorithme de la Figure 1. Dans cette heuristique, une fourmi choisit la
prochaine commandey a ordonnancer suite a la commande / precedentc en fonction d'un premier facteur appele' intensite de la trace, T^. Ce dernier procure Tinformation au sujet de Timportance du trafic qui a emprunte la suite de commandes (/, j) auparavant et plus cette trace est
importante, plus la probabilite de I'emprunter a nouveau est forte. Au debut de Talgorithme,
l'intensite de la trace, T,-., SC voit accordee une valeur faible ct positive, TQ. Le choix de la
procbaine commande pour une fourmi est egalement fonction d'un deuxieme facteur que Ton
OPTIMISATION MULTl-OBJECTIF PAR COLONIE DE FOURMIS
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Figure 1 : Fonctionnement general de rOCF
Initialiser la matrice de trace de pheromone rpour chaque paire de commandes ij ;
POURNC = la NCM.,,, FAIRE
POUR ( - 1 a rt FAIRE
POUR k^lam
FAIRE
Selectionner la commandey a etre ajoutee a la sequence selon p^j [t) (Equation I);
Effectuer la mise a jour locale de la trace de pheromone pour (iyj) ;
POUR chaque fourmi i FAIRE
Evaluer la solution k sur les trois objectifs ;
Effectuer la mise a jour globale de la trace par la meilleure solution du cycle f\ :
appeile visibilite, r\ij. Cette visibilite joue le role d'une regie gourmande qui favorise aussi les
commandes les plus compatibles selon les objectifs a optimiser. La regie de transition, Pjiit),
effectue ainsi un compromis entre I'intensite de la trace {I'experience accumulee au cours de
ralgorithme) et la visibilite (les commandes les plus compatibles) pour determiner la prochaine
commande. Si !e nombre total de fourmis est m et le nombre de commandes a ordonnancer est n,
un cycle est realise lorsque chacune des m fourmis complete une sequence des n commandes. A
la fin de chaque cycle, la meilleure fourmi alimente la matrice de trace de phe'romone proportionnellement au degr^ de succes obtenu pour guider les fourmis suivantes dans leur construction de solution.
L'OCF presentee a la Figure I integre la notion de plusieurs matrices de visibilite pour guider
la recherche {Gagne etai, 2002), les ameliorations proposdes par Dorigo & Gambardella (1997)
au niveau de la regie de transition et de la liste de candidats ainsi que la methode d'amelioration
locale 3-Opt restreint. Nous allons maintenant discuter des elements principaux de cet algorithme et le lecteur est refers aux articles cites precedemment pour des details additionnels.
A chaque cycle, chacune des m fourmis construit une sequence en partant de la demiere commande realisee a la periode de planification precedente et en ajoutant successivement des commandes de la periode courante. Soient SJ: une information sur les reglages, Wy une information
sur la marge par rapport a la date d'echeance lorsque la commandey vient a la suite de la commande ( dans la sequence et (•,-.• une information sur la compatibilite des destinations. Alors, la
probabilite qu'une fourmi k choisisse^' comme procbaine commande apres la commande (' (/' faisant partie de I'ensemble des commandes non placees dans la sequence; / e Tiibouf.) est donnee
par rEquation I. II est a noterque le concept de la liste tabou est utilise comme memoire afin de
ne pas ordonnancer plus d'une fois une meme commande et differe ainsi du concept du meme
nom utilise dans la metabeuristique de recherche avec tabous.
oil Tjj represente la quantite de pheromone accumulee pour la paire de commandes (/. 7} et a, p,
5 et X representent des parametres exprimant Tinfluence relative de la trace de pheromone et des
differentes visibilites du contexte d'ordonnancement. Une diminution de la trace de pheromone
apres chaque choix (mise a jour locale) selon I'Equation 2 pemiettra d'eviter que les fourmis
rdp^tent continuellement des selections de commandes identiques et favorisera ainsi une diversite dans le processus de rechercbe.
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C. GAGNE, M. GRAVEL ET W.L. PRICE
"^ijit) ~ p^ • Ty(/) + (t — pf) • AXy ou AXy - To et p/ representc la persistance de la trace (2)
A la fin de chaque cycle, la founni ayant la meilleure qualite de solution (/+) mettra a jour la
matrice de trace dc pheromone en fonction de la solution trouvee selon TEquation 3. Une evaporation de la trace de pheromone est egalement r^alis^e pour toutes les paires de commandes ne
faisant pas partie de cette sequence.
p^)-Aiy(/) oij AXijU)
— 1 //+ et pg represente la persistance de la trace
(3)
L'algorithme se termine lorsqu'un nombre donn^ de cycles {NCf^ax) ^ ^^d complete.
3. L'ENSEMBLE PARETO-OPTIMAL ET LA NOTION DE POINT IDEAL
La forme generale d'un probleme d'optimisation avec objectifs multiples peut etre representde
par le programme suivant :
'• minimiser" fix) = Ifi(
sujet a
X& S
ou \z\ > 2 represente le nombre d'objectifs a optimiser, x = {xj, xj, ..., x^) represente un vecteur
de variables de decision de n dimensions, 5 est l'ensemble de solutions realisables ttf(x) est le
vecteur des objectifs a optimiser.
Etant donne que les objectifs sont babituellement conflictuels, il est generalement impossible
de trouver une solution unique qui procure simultanement la solution optimale pour l'ensemble
des objectifs. Voila pourquoi le concept de solution "optimale" devient moins pertinent en optimisation avec objectifs multiples. Par consequent, la resolution du programme precedent consiste a rechercher un ensemble de solutions S*^S appele ensemble Pareto-optimal ou ensemble
efficace. Purao el al. (1999) definissent qu'une solution realisable x e S domine une solution
realisable y e S ssi 3 i € z \fi(x) <fi{y), et que Vj e zj^ iffx) ^ffy)- De plus, une solution realisable X est efficace ou non-dominee (Pareto-optimale) ssi il n'y a aucune autre solution realisable qui la domine.
Supposons que 1'optimisation de chaque objectif pris separement ait permis de trouver les differentes solutions optimales. Le vecteur de solutions correspond alors au point ideal et peut etre
exprime comme suit: F* = { F / , F2, ..., F*} ou f,* = m'm^^^; fj(x). II represente, dans le cas
d'objectifs conflictuels, le but a atteindre et correspond generalement a une solution non realisable. A l'aide de la methode du Compromise Programming (CP) proposee par Zeleny (1982), i!
est alors possible d'agreger les differents objectifs en une seule mesure pcrmettant de refleter la
qualite d'une solution realisable quelconque en calculunt sa distance au point ideal.
En utilisant cette idee dans I'optimisation multi-objectifs, il suffit alors de rechercher, dans
l'espace des solutions admissibles 5, la solution minimisant la distance au point ideal F*. L" importance relative accordee a chacun des objectifs par le decideur peut egalement etre exprimee par un
ensemble de ponderations p, > 0, / € z | X/J/ = 1 et etre tenu en compte dans le calcul d' une distance
ponderee au point ideal. De plus, une normalisation est souvent rendue necessaire pour reduire les
effets indesirables provenant des unites de mesure des differents objectifs ainsi que de I'etendue
du domaine des variables de fa^on a ne pas biaiser la distance calculee. Dans le cas d'un probleme
de maximisation, cette normalisation peut etre effectuee a l'aide du point ideal. Cependant, dans
le cas d'un probleme de minimisation, il est preferable d'effectuer cette normalisation a l'aide de
I'etendue des domaines. A cet effet, le point nadir represente les valeurs maximales pour chacun
des objectifs dans l'ensemble des solutions Pareto-optimale.s et il se definit de la maniere
suivante : f*""^ = {Fj""', Ff"', .... Ff"') ou F,'""' = max,g5*y;U).
II est alors possible d'utiliser le resultat de I'Equation 4 pour trouver la distance normalisee et
ponderee {dist) au point ideal F* d'une solution realisable quelconque k dont les resultats sur les
OPTIMISATION MULTI-OBJECTIF PAR COLONIE DE EOURMIS
Figure 2 :
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Etapes d'une metaheuristique generique pour la recherche de solutions de
compromis (Gagne etal., 2004)
Phase 1: RFCHERCHE DU POrNT IDEAL
(a) Calibrage des parametres de ia metaheuristique
(b) Optimisation des objectifs separement
Phase 2 : RECHERCHE DE SOLUTIONS DE COMPROMIS
(a) Enonce des preferences du decideur (ponderations des objectifs)
(b) Processus iteratif: (jusqu'a ce que les conditions d'arret soient respectees)
i.
Construction ou generation de solutions par une metaheuristique
ii.
Evaluation des solutions ainsi generees sur les differents objectifs
iii.
Verification des relations de dominance et enregistrement des
solutions
iv.
Calcul de la distance normalisee par rapport au point ideal
(c) Application de perturbations sur la ponderation des objectifs et retour a
I'etape (b) de la phase 2
Phase 3 : PRESENTATION DES SOLUTIONS EFEICACES AU DECIDEUR
(a) Reduction du nombre de solutions a presenter au decideur
(b) Affichage des solutions efficaces
differents objectifs sont donnes par F* = { F / . FJ, .... F*}. La methode du CP permet ainsi la
recherche de solutions s'approchant du point ideal en representant les differents objectifs a
atteindre au sein d'une fonction unique.
4. PROCEDURE GENERIQUE POUR LA RECHERCHE DE COMPROMIS
La methode du CP a ete' lormalisee en integrant les elements decrits pre'cedemnient dans une
procedure generique utilisant les metaheuristiques pour I'optimisation combinatoire avec objectifs multiples (Gagne etal., 2004). Cette procedure se deroule en trois phases comme le presente
la Figure 2. Chacune des phases sera maintenant presentee en identifiant les ajustements particuliers a realiser a lOCF pour la resolution du prohleme d'ordonnancement industriel.
Phase 1 : Recherche du point ideal
La premiere phase vise a rechercher le point ideal (F*) du probleme d'ordonnancement en optimisant separement les trois objectifs. I! faut done mettre au point I'OCF pour ce type de recherehe. A cet effet. des indications tres utiies sont disponibles dans la litterature pour faciliter cette
etape et, de plus, plusieurs parametres ne sont pas tres sensibles d'une instance de prohleme a
I'autre. Pour le probleme industriel faisant Tobjet de la presente illustration, le lecteur est refere
a Gagne e/a/. (2002).
(a) Calihrage des parametres de I 'OCF
L etape (a) de cette phase consiste. tout d'abord, a determiner les valeurs des parametres spdci-
28
C. GAGNE, M. GRAVEL ET W.L. PRICE
fiques a l'OCF tel le nombre de fourmis, la longueur de la liste de candidats, la quantite initiate
de pheromone, les facteurs local et global d'evaporation de la trace de pheromone, le seuil q^^ de
la regie de transition et le nombre maximal de cycles. La valeur de ces parametres sera conserv^e pour realiser la deuxieme phase.
L'OCE a toutefois la particularite' de presenter d'autres parametres au niveau de la regie de
transition (p, 6, X) qui permettent de guider et de controler la construction des solutions en fonction de I'objectif recherche. L'ajustement de ces parametres doit etre realise dans chacune des
directions extremes de recherche et un groupe de valeurs differentes est ainsi obtenu selon
i'objectif. Des details sur cet ajustement sont disponiblcs dans Gagne et al. (2002). La valeur de
ces parametres sera conservee et fera l'objet d'un reajustement a l'etape (b) de la phase 2 pour
une recherche de compromis dans une direction intermediaire. II est a noter que le parametre a,
qui determine Timportance accordee a la trace de pheromone dans la regie de transition, demeure
fixe peu importe Tobjectif optimise.
(h) Optimisation des objectifs separement et estimation du domaine des variables
Une fois le calibrage de POCF realise a l'etape (a), la recherche du point ideal peut debuter en
optimisant ehacun des objectifs a tour de role pour ainsi obtenir le vecteur F*. Pendant ces
recherches uni-objectif, il est alors possible de determiner I'etendue des valeurs pour chacun des
objectifs et ainsi deflnir. F* , pour chacun d'eux. Nous suggerons toutefois d'utiliser une estimation du point nadir F" pour ne pas surestimer I'etendue du domaine d'une variable surtout
dans le cas d"une discontinuitc dans l'ensemble des solutions Pareto-optimales. Cette estimation
peut provenir, par exemple. de la moyenne des pires valeurs obtenues sur un objectif secondaire
parmi les solutions Pareto-optimales trouvecs lors de I'optimisation dans une direction extreme.
II est a noter egalement que dans le cas ou une solution k presenterait une valeur F^ plus grande
que F"" , la distance consideree serait alors egale a I.
Phase 2 : Recherche de solutions de compromis
La deuxieme phase procede a la recherche de solutions de compromis refletant les preferences
du decideur pour les differents objectifs. 11 s'agit alors d'une recherche de solutions dans une
direction intermediaire.
(a) Enonce des preferences
Le decideur doit exprimer a l'etape (a) I'importance relative qu'il accorde a chacun des objectifs. Pour rassurer le decideur sur son choix. une recherche supplementaire s'effectuera a Tetape
(c) en faisant varier legerement le choix exprimd de ponderations.
ib) Processus iteratifde l'OCF
Dans le processus iteratif de la metaheuristique (etape b). l'OCF emploie une methode constructive pour la generation de solutions. A cet effet, une regie de transition est utilisee afin de permettre a une founni de construire la st5quence de commandes. Certaines modifications doivent
etre apportees a la r^gle de transition pour la recherche de solutions de compromis. Une
premiere modification conceme les parametres de controle p, 6 et ?. associes respectivement aux
termes de visibilite ,s,., m,. ct c,. de la regie de transition. Ces parametres permettent de guider la
construction des solutions en fonction de la direction de recherche a emprunter. II est a noter que
ces parametres ont fait l'objet d'un ajustement discute a la phase 1 pour chacune des directions
extremes de recherche. Etant donne que les matrices S, M ei C sont lices respectivement aux
objectifs//(•),/2(-) et/j(-), la vaieur de I'exposant d'une matrice est plus elevee lorsque I'objectif
en question est designe prioritaire. Par exemple. pour le parametre P associe a//(), la phase 1 a
permis de determiner sa valeur maximale {Max P) lorsque /;( ) est considere comme etant
I'objectif prioritaire ainsi que sa valeur minimale (Mm P) lorsque/7( ) devient un objectif secondaire. La valeur d'un tel parametre de controle doit alors etre reajustee a une valeur y en fonction
OPTIMISATION MULTI-OBJECTIF PAR COLONIE DE FOURMIS
29
de la direction intemiediaire de recherche precisee par les ponderations du decideur. Un ajustement automatique utilisant les valeurs inininiales et maximales obtenues lors de la premiere
phase est propose par I'Equation 5.
7— Min p+/7y|,., • (Max p — Min p) oil pf^^.^ est le poids accorde a / | { )
La construction de la liste de commandes candidates utilis^e dans la regie de transition subit
egalenient une modification. L"utilisation d'une telle liste permet de restreindre les calculs en
limitant les possibilites pour la prochaine commanded a produire a la suite de / parmi celles les
plus susceptibles d'optimiser Tobjectif recherche. En presence de plusieurs objectifs, le rangement des commandes dans la liste de candidats est alors dependant des differents objectifs du
probleme et des preferences du decideur pour ceux-ci. Le choix de la prochaine commandey a la
suite de / s'effectue parmi les commandes presentant la plus faible soinine pond^ree des elements Sjj, nijj et Cjj provenant respectivement des matrices S, M et C.
Suite a la construction d'un ensemble de solutions par la fourmiliere a un cycle donne, revaluation des solutions est faite pour chacun des objectifs du probleme. Les relations de dominance sont v^rifiees a Taide d'une structure de quadtree (Sun & Steuer, 1996) pour chacune des
solutions et les solutions Pareto-optimales sont conservees. La distance normalisee et ponderee
d'une solution courante par rapport au point ideal est ensuite calculee selon I'Equation 4. Les
fourmis communiquent l'information aux autres fourmis des cycles a venir par la mise a jour
globale de la trace de pheromone. La quantite de pheromone deposee est proportionnelle au succes obtenu en terme de distance d'une solution au point ideal. Le processus iteratif prend fin
lorsque les conditions d'anret sont respectees. Dans ce cas. l'algorithme s'arrete apres un nombre
maximum de cycles ou lorsqu'il n'y a pas eu de changements dans I'ensemble Pareto-optimal
depuis un certain nombre de cycles.
(c) Perturbation des ponderations
L'etape (c) de cette deuxieme phase conslste a effectuer une perturbation sur les ponderations
des objectifs et a relancer le processus iteratif. Cette perturbation est rendue necessaire car les
ponderations ne constituent qu'une estimation des preferences du decideur. De plus, cette perturbation permet d'elargir legerement Tespace de recherche et ainsi etre en mesure d'atteindre des
compromis interessants se trouvant a proximite.
Phase 3 : Presentation des solutions efficaces au decideur
L'ensemble des solutions Pareto-optimales trouvees a la phase 2 doit maintenant etre presente au
decideur. Compte tenu des ponderations fournies par le decideur, le processus de recherche est
limite a une region particuliere de Tensemble des solutions realisables. II est possible que certaines des solutions trouvees soient, en fait, assez eloignees de ia frontiere efficace reelle. Pour
cette raison, nous chercberons a les ^liminer avant de presenter l'information au decideur.
fa) Reduction du nombre de solutions a presenter au decideur
Nous suggerons a cette etape d'etablir une regie pour restreindre le nombre de solutions
presentees au decideur. A titre d'exemple. les solutions non supportees (Steuer, 1986) pourralent
etre retirees de I'ensemble ainsi que toutes les solutions presentant une distance au point ideal
superieure a un certain pourcentage de la meilleure solution obtenue. De cette fat^on., un nombre
restreint de solutions efficaces peut etre propose pour que le decideur puisse faire un choix final
qui reflete ses preferences explicites ainsi qu'implicites.
(b) Ajfichage des solutions
Une presentation visuelle adequate peut egalement faciliter la tache du decideur dans la selection de son cboix. A cet effet. I'approche proposee pourrait etre integree a un systeme informatise d'aide a la decision (SIAD).
(5)
30
C. GAGNE, M. GRAVEL ET W.L. PRICE
5. EXPF.RIENCES NUMERIQUES
Afin d'illustrer et de demontrer Tefficacite de l'approche de resolution proposee dans cet article,
des essais numeriques sur un probieme de 50 commandes du contexte d'ordonnancement industriel sont presentes. Ce carnet de commandes possede une taille representative des camets reels de
Fentreprise et permet de valider les capacites de l'approche de resolution pour son utilisation
eventuelle en contexte industriel. Dans Gagne el al., (2002). ce probleme a ete resolu par la version de rOCF utiiisant un rangement lexicographique des objectifs. Les solutions obtenues par cet
algorlthme en priorisani a tour de role chacun des trois objectifs permettent de considerer la phase
1 du processus generique comme etant realisee. Le point pseudo-ideal obtenu est alors [Fj, Fj,
Fj*| = {4.7. 17.92. 0( et le point pseudo-nadir est {Ff"'^, Ff"'. F^""'} = {7.4, 118.71, 28). Les
deux premiers objectifs. la perte de capacite en usine et le retard total, sont mesures en jours tandis
que le troisieme objectif, la perte de capacite de transport, est mesuree en tonnes metriques.
Les principaux parametres specifiques a FOCF ont ete fixes aux valeurs suivantes : le nombre
de fourmis (10), la longueur de la liste de candidats (/5), la quantitc initiale de pheromone
(0.000004), les facteurs local (0.8) et global (0.9) d'evaporation de la trace de pheromone, le seuil
q^ (0.5) dc la regie de transition et le nombre maximal de cycles (80). Les valeurs des parametres
de la regie de transition sont les suivantes : pour l'optimisation de ia capacite//(•), les valeurs de
a, [3. 5 et >. sont de (1.4. 2. 1); pour l'optimisation du retard total/2(). elles sont de (1.5. 20. 1);
pour l'optimisation de la fonction de transport/}(•). elles ont ete fixes a (1. 4, 2. 2).
Pour rillustration du processus de la phase 2. seulement deux des trois objectifs sont consideres. dans un premier temps, pour permettre une representation visuelle des resultats obtenus
a l'aide de graphiques en deux dimensions. Par la suite. le probleme industriel est repris dans sa
globalite pour demontrer la generalisation a plusieurs objectifs.
5.1 Illustration de la performance pour le probleme industriel a deux objeetifs
Les deux objectifs consideres pour Tillustration des resultats sont la minimisation de la perte de
capacite en usine/;(•) et le temps total de retard/^C-)- L'approche de resolution proposee pour
l'optimisation de plusieurs objectifs suggere au decideur un ensemble de solutions potentiellement efficaces qui doit retleter l'importance qu'ii a accorde a chacun des objectifs. Afm de verifier la qualite des solutions produites par la metaheuristique. un ensemble dc reference a ete cree
pour permettre une comparaison. L'ensemble de reference provient d'un effort de calcul considerable par le balayage des differentes zones de i'espace de solutions et constitue une approximation de I'ensembie Pareto. Cc balayage consiste a realiser au moins une execution de
rheuristique pour chacune des combinaisons de ponderations possibles par pas de 0.01. L'ensemble de reference tire de toutes ces executions est illustre a la Figure 3 et montre des solutions efficaces qui prescntcnt entre 4.7 et 7.7 joumees de capacite en usine perdues sur l'abscisse et ce, pour
un de retard total allant de 18.47 a 155.6 joumees sur I'ordonnee. On peut remarquer que les points
de cette frontiere presentent une progression stable sur presque toule la courbe. Le dernier point
a gauche, representant I'action avec ie minimum de jours en perte de capacite. est toutefois tres
couteux en journees de retard passant de 88.1 a 155.6 journees par rapport au point precedent.
Le point indique par un cercle dans la partie inferieure gauche de la Figure 3 represente le
point ideal pour ce probleme. Une distance normalisee disi peut etre calculee entre n'importe
quel point de Tensemble de reference et le point ideal par l'Equation 4. Cette distance tient
compte de la deviation engendree en terme de capacite et de celle engendree en tenne de retard
par rapport au point idtial. Pour effectuer ce calcul. les poids accordes a chacun des objectifs
doivent etre specifies pour ponderer la distance selon l'importance de chaeun des objectifs.
Afin de valider la performance de Tapproche proposee, la phase 2 a ete realisee selon differentes possibilites de preferences du decideur. Une comparaison visuelle entre les solutions
proposees par Theuristique et les points de l'ensemble de reference est disponible a la Figure 4
(a a k). Ces resultats sont ensuite presentes au Tableau I (a a k) et compares a l'aide de la distance normalisee et ponderee.
OPTIMISATION MULTI-OBJECTIF PAR COLONIE DE EOURMIS
31
Figure 3 : Point ideal et ensembie reference pour un probleme de 50 commandes du contexte
industriel avec roptimisation de deux objectifs : minimisation de ia perte de capacite en usine et
du temps total de retard
180.000
160.000
140.000
120.000
100.000
3
80.000
60.000
40.000
"•
distance
retard
20.000
•
^-«-^r
0.000
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
Capacite
La Figure 4 (a) presente le cas oil le decideur a indique une preference stricte pour Tobjectif
de retard. Les solutions proposees par Theuristiquc en fonction des prefe'rences exprimees sont
indiquees a Taide de triangles et sont superpos^es a l'ensemble de reference. Les points encercles et encadres sur le graphique indiquent respectivement la solution de FOCF pour la recherche de compromis el celle de l'ensemble de refe'rence qui possedeni la distance nonnalisee et
ponderee minimale au point ideal lorsque les poids 0.0 et I.O sont aecordds aux objeclifs de
minimisation de la perte de capacile en usine et de retard total. De la Figure 4 (a) a la Figure 4
(k), les ponderations sont modifiees par pas de 0.1 en donnant une importance de plus en plus
grande pour la mesure de capacite en usine au detriment de la mesure de retard. II est possible de
constater que les points eneereles et encadres ainsi que les solutions proposees par l'approche de
resolution se deplacent vers la gauche au fur et a mesure que les ponderations changent pour
couvrir entierement les compromis possibles.
La Figure 4 (a a k) monlre que les solutions proposees se situent dans la meme region et
generalement pres du point encadre de Tensemble de reference. II est done possible de constater,
en observant la position du point encadre et eelle des solutions proposees, que Theuristique suggere au decideur des actions representatives de Tensemble de reference. La direction de recherche precisee a l'aide des ponderations guide ainsi la recherche de solutions dans la partie
attendue de la eourbe. Les perturbations appliquees sur les ponderations afin d'elargir legeremenl la direction de recherehe pemiettent egalement d'offrir un eventail de solutions un peu plus
diversifie pour ne pas oublier un eompromis interessant. La perturbation utilisee a ete de 0.05
autour des ponderations exprimees.
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a,o
OPTIMISATION MULTI-OBJECTIF PAR COLONIE DE EOURMIS
35
Le Tableau 1 (a a k) presente, sous une forme differente, les memes resultats que ceux de la
Figure 4. La reference aux graphiques est indiquec dans la premiere colonne a I'aide de la meme
numerotation. Les trois autres colonnes presentent dans lordre, la ponderation accordee a chacun des objectifs, les coordonnees de la solution de Tensennble de reference presentant la distance minimale et finalement, les coordonnees des solutions suggerees par TOCF ainsi que leur
distance correspondante. Par exemple, au Tableau I (a) ou le decideur a accorde une importance
absolue pour I'objectif de retard, la solution de Tensemble de reference la plus pres du point
ideal presente 7.7 jours perdus en capacite dans I'usine et seulement 17.915 jours de retard total
pour i'ensemble des 50 commandes. Cette solution se situe a une distance nulle du point ideal
car elle correspond au nombre minimum de jours de retard et au fait que cet objectif detient un
poids de 1.0. De son cote, l'heuristique pour la recherche de compromis suggere un ensemble de
5 solutions presentees de la plus pres a la plus eloignee du point ideal. La premiere solution propose un plan de production avec 7.4 jours perdus en capacite et 18.496 jours de retard dans la
livraison des 50 commandes et se traduit par une distance de 0.006 au point ideal. La faible diffdrence de distance entre cette solution et celle de I'ensemble de reference provient de Tecart en
jours de retard car l'ecart pour les jours de capacite perdus n'entre pas en consideration dans ce
cas etant donne le poids de 0.0 accorde h. cet objectif. Dans la colonne de I'en.semble de
reference, il est possible d'observer une autre solution avec une distance de 0.005. Cette solution
repre'sente la seule autre action de I'ensemble de reference qui presente une distance inferieure a
la meilleure solution suggeree par Theuristique.
Ce tableau demontre bien que les .solutions proposees par l'heuristique sont representatives de
I'ensemble de reference et ce, pour les differentes combinaisons de ponderations testees. Le
nombre de solutions de I'ensemble de reference avec une distance inferieure a la meilleure solution de rOCF est generalement faible et varie entre 1 et 4 solutions. La partie fb) du tableau
presente le cas le moins performant de la metaheuristique avec une distance de 0.268 contre une
distance de 0.227 pour la solution de I'ensemble de reference. L'ensemble de reference presente
une solution avec 6.4 jours perdus en capacite pour 30.033 jours de retard et la solution correspondante parmi celles proposees par TOCF (la quatrieme) ayant 6.4 jours perdus en capacite
presente une sous-performance en terme de jours de retards a 42.523. Etant donne que I'objectif
de minimisation du temps total de retard possede une ponderation elevee a 0.9, Theuristique
propose une autre solution avec un retard total inferieur. A Toppose, le cas le plus pertbrmant de
l'heuristique, autre que celui presente en (a), se situe a la partie (f) du tableau pour une combinaison de ponderations equivalentes pour les deux objectifs. La solution de I'ensemble de
reference se situe a une distance normalisee de 0.350 du point ideal contre une distance de 0.365
pour la meilleure solution de TOCF. La difference de distance s'explique par l'ecart obtenu en
jours de retard par les deux solutions puisque ces dernieres presentent le meme nombre de jours
perdus en capacite. A la Figure 4 (0, il est possible d'observer que ces deux solutions sont
presque confondues sur le graphique.
Suite a ces resultats, une autre remarque peut etre formulee au sujet de la pertinence des solutions generees par Tapproche de resolution pour le decideur. En observant la Figure 4(k) et le
Tableau \(k), par exemple, oil la preference du decideur est ax^e completement sur I'objectif de
capacite en usine, I'OCF suggere trois solutions. La premiere solution offre 4.7 jours perdus en
capacite et 180.152 jours de retard total pour i'ensemble des 50 commandes. Toutefois, le decideur a la possibilite de juger du compromis presente qui lui permet alors d'abaisser les jours de
retard de pres de la moitie ramenant ainsi I'objectif a 93.596 jours en echange de faible relachement de 0.2 jour sur le temps perdu en capacite. Cet exemple montre bien I'cfficacite de
I'approche proposee en comparaison avec la version precedente de I'algorithme qui traitait les
objectifs en ordre lexicographique (Gagne et ai, 2002). Dans cette version de I'algorithme, le
meilleur resultat obtenu parmi 10 executions proposait une solution avec 4.7 jours perdus en
capacite pour un retard total de 187.82 jours ce qui est environ equivalent a la premiere solution
mentionnee precedemment. Le decideur doit done, dans ce cas, adopter ou non la solution pro-
36
C. GAGNE, M. GRAVEL ET W.L. PRICE
Tableau 1 : Comparaison de la performance entre I'OCF et I'ensemble de reference pour
differentes preferences du decideur. Probleme de 50 commandes du contexte industriel avec
I'optimisation de deux objectifs : minimisation de la perte de capacite en usine
{ponderation de 0.0 a 0.4) et du temps total de retard (ponderation de 1.0 a 0.6)
Ensemble de reference
Ponderation
(a)
(b)
(c)
Meilleur Resultat
Capacite
Retard
Capacite
0.0
1.0
7.7
0.1
0.2
0.9
0.8
Retard
17.915
Distance
normalisee et
ponderee
0.000
18.419
0.005
6.4
30.033
0.227
6.7
6.1
6.9
26.380
37.812
22.786
0.241
0.249
0.262
6.1
37.812
0.291
6A
30.033
44.562
0.297
0.302
Compromis
Solutions propos^es
Capacite
Retard
ponderee
7.4
7.2
6.9
6.7
6.4
18.496
23.155
26.995
38,299
42.302
0.006
0.052
0.090
0.202
0.242
6.7
6.9
7.2
6.4
7.4
33.355
26.995
22.167
42.523
19.514
0.268
0.270
0.290
0.302
0.317
6.4
6.7
6.t
6.9
7.2
37.057
28.870
47.124
26.386
23.458
22.405
0.325
0.335
0.347
0.373
0.410
0.452
7.7
42.003
35.418
27.552
59.206
27.364
22.900
21.978
0.347
0.369
0.401
0.413
0.454
0.502
0.606
7.5
(d)
0.3
0.7
5.9
6.1
44.562
38.812
0.319
0.328
Distance
ji
6.1
6.4
6.7
5.9
6.9
7.2
(e)
0.4
0.6
5.9
44.562
0.335
5.9
6.2
6.4
6.7
6.9
5.6
7.2
53.504
43.707
36.911
29.184
26.640
81.793
24.381
0.383
0.385
0.416
0.462
0.520
0.532
0.577
(f)
0.5
0.5
5.9
44.562
0.350
5.9
6.1
6.4
5.6
6.7
5.4
6.9
7.2
5.1
5.0
48.329
40.235
33.730
74.172
30.867
93.702
28.750
24.623
124.230
203.882
0.365
0.398
0.452
0.457
0.516
0.555
0.582
0.645
0.751
1.306
(g)
0.6
0.4
5.6
55.918
0.347
5.9
52.898
66.506
79.975
43.490
0.395
0.396
0.426
0.435
54
5.9
68.395
44.562
0.361
0.365
5.6
5.4
6.2
OPTIMISATION MULTI-OBJECTIF PAR COLONIE DE FOURMIS
37
Tableau 1 ; (suite)
Compromis
Ensemble de reference
Ponderation
Capacite'
Retard
Meilleur Resultat
Capacite
Retard
Distance
normalisee et
ponderee
Solutions propos^es
Distance
1normal i see
Capacite
Retard
ponderee
6.1
6.4
6.7
5.1
4.9
46.055
34.612
29.972
107.111
135.099
0.438
0,491
0.558
0,569
0.736
(h)
0,7
0.3
5.4
68.395
0.332
5.4
5.6
5.9
5.1
6,1
4.9
6.7
4.7
78.488
68.938
53.317
94.633
44.482
104.392
39.991
214.145
0.380
0.389
0.403
0.431
0.456
0.471
0.612
1.066
(i)
0,8
0.2
5.4
68.395
0.300
5.1
4.9
80.856
88.101
0.305
0.313
4.9
5,1
5,4
5,6
5,9
6.2
4.7
91.001
87.168
82.130
66.903
57.tMI
56.899
216.342
0,326
0.330
0.348
0.363
0.417
0.498
0.880
(j)
0.9
0,1
4.9
88.101
0.223
4.9
5.1
5.6
5,9
4,7
94.119
89.581
88.357
82.996
177.781
0.242
0.259
0.380
0.445
0.502
(k)
1.0
0.0
4.7
155.639
0.000
4.7
4.9
5.1
180,152
93.596
83.931
0.000
0.038
0.136
et
posee sans toutefois disposer de rinformation supplementaire au sujet des compromis possibles
autour de cette solution.
II est a noter que toutes les solutions propose'es par TOCF pour la recherche de compromis ont
ete presentees a la Figure 4 et au Tableau 1, L'utilisation d'une regie, tel que proposee a la phase
3 de Tapproche generique. permettant de retirer les solutions les moins representatives des
preferences du decideur n'a pas ete appliquee. Un autre volet de la reflexion porte sur la fa^on la
plus pertinente de presenter rinformation au decideur et sur les formes d'interaction possible.
En situation industrielle. il est impensable de produire un ensemble de reference et seules les
decisions issue.s de la metaheuristique doivent etre presentees au decideur.
5.2 Illustration de la performance pour le probleme industriel a plusieurs objectifs
Le probleme indtistriel de 50 commandes est maintenant repris avec les trois objectifs de de'part
pour evaluer la performance de TOCF. Une analyse similaire a celle faite pour Toptimisation de
deux objectifs est realisee a I'aide de I'etude des distances au point ideal. L'ensemble de
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40
C. GAGNE. M. GRAVEL ET W.L. PRICE
reference a et^ genere pour fms de validation par l'exploration complete de Tespace des solutions avec les differentes comhinaisons de ponderations sur les objectifs de fagon analogue k ce
qui a ete fait pour le prohleme a deux objectifs. Un ensemble de 67 solutions efficaces a ete
obtenu. Le nombre de solutions presentees au decideur (phase 3) a toutefois ete reduit en utilisant une r^gle eliminant toutes les solutions dont la distance normalisee et ponderee au point
ideal s'ecarte de plus de 20% de la meilleure solution de compromis trouvee. De plus, le nombre
de solutions de compromis pre.sentees au decideur a ete limite a 4.
Dix exemples de solutions proposees par ia metaheuristique selon differentes preferences du
decideur sont presentes au Tableau 2. La forme de presentation des resultats dans ce tableau est
idcntiquc a ceilc du Tableau I. Dans la partie (a) du Tableau 2, les resultats obtenus pour le cas
d'indifference entre les objectifs sont presentes. La distance au point ideal des solutions proposees par rOCF et cclles de i'ensemble de reference cst comparee dans ce tableau. Dans la partic (b) du Tableau 2, une ponderation trcs importante de 0.8 est accordee a un objectif tandis que
les deux autres objectifs ont une ponderation de 0.1. Dans la partie (c) du Tableau 2. la
preference sur Tobjcctif principal est reduite a 0.6 tandis qu'une ponderation de 0.2 est accordee
aux deux autres objectifs. Enfin, la partie (d) du Tableau 2 traduit une preference presque equivalente sur les trois ohjectifs avec un poids de 0.4 pour l'un d'eux et de 0.3 pour les deux autres.
Les colonnes du centre du Tableau 2 exposent les solutions dc I'ensemble de reference possedant une distance normalisee inferieure a la meilleure solution de POCF qui apparait dans les
dernieres colonnes. Le nombre de ces solutions varie entre 3 et 7 dependant des preferences
exprimees. Quant aux solutions proposees par la metaheuristique, leur nombre pouvait atteindre
40 avant d'etre reduit selon la regie proposee. Les resultats obtenus demontrent toutefois que,
pour la recherche de compromis avec trois objectifs, les solutions propos^es par I'heuristique
sont generalemcnt comparablcs aux solutions appartenant a I'ensemble dc reference. L'cspace
de solutions etant tres vaste pour un probleme de cette taille, il est tout a fait normal de retrouver
des differences entre les solutions proposees par I'heuristique et celles Pensemble de reference.
Par contrc, les solutions proposees se retrouvent toujours dans la meme partie de I'espace des
solutions.
6. CONCLUSIONS
Une approche generique de recherche de solutions de compromis a ete proposee initialement
dans Gagne et ai (2004). L'utilisation de la metaheuristique d'OCF dans cette approehe
generique a pcrmis dc demontrcr son efficacite ct sa pertinence. Une premiere application avait
ete realisec avec la recherche avec tabous pour re'soudre un probleme d'ordonnancement biobjectif. Dans le present article, I'application de I'OCF demontre pour la seconde fois la versatilite de i'approchc generique proposee. Son application a ete realisee pour resoudre un
probleme d'ordonnancement industriel se distinguant en plusieurs points des modeles classiques
et necessitant I'optimisation d'objectifs conflictuels. De son cote, la metaheuristique d'OCF
presente la particularity d'utiliser une procedure de construction de solutions contrairement a
d'autres metaheuristiques qui utilisent l'exploration d'un voisinage ou l'echange d'informations
entre les solutions. La procedure de construction des solutions de I'OCF a ainsi cxige un ajustcment particulier pour diriger la recherche dans la direction souhaitee et assurer son efficacite.
L'agrcgation des objectifs par une fonction de distance normalisee et ponderee a une action
ideale a permis de guider la recherche de solutions dans des directions intermediaires en tenant
compte des preferences du decideur. La fonction agregative offre egalement la capacite de traiter
un nombre quelconque d'objectifs.
L'OCF pour la recherche de solutions de compromis a montre une performance interessante
en obtenant des solutions representatives de I'ensemble dc reference selon les preferences du
decideur. Les experimentations numeriques realisees pour un probleme d'ordonnancement
industriel de 50 commandes pour Toptimisation de deux et de trois objectifs ont permis de
demontrer la qualite des solutions produites selon la mesure dc distance a une action ideale qui
OPTIMISATION MULTI-OBJECTIF PAR COLONIE DE FOURMIS
41
n'est pas realisable. Des essais realises sur d'autres problemes ont permis de confirmer une performance similaire (Gagne. 2001). Pour ne pas alourdir le tcxte, rillustration a ete faite avee un
carnet de commandes representatif des camets de I'entreprise.
En raison de sa simplicite, de sa flexibilite et de sa performance, la methode de resolution
constitue un outil d'aide a la decision pertinent dans un contexte d'application en industrie ou le
compromis entre le temps de calcul et la qualite des solutions est important. De plus, I'outil
d'aide h la decision dans sa forme actuelle comporte toutes les composantes necessaires pour
ajouter une quatrieme phase permettant d'interagir avee le decideur et ainsi constituer un outil
interactif.
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Caroline Gagne est professeure adjoint a l'Universite du Quebec a Chicoutimi. Elle a obtenu son diplome
dedoctorat de TUniversite Laval en 2001 etesi detentriced'un MBA (Universite Laval) et d'un B.Sc.A. en
informatique de gestion (UQAC). Ses principaux interets de recherche portent sur le developpement de
metaheuristiques et I'opiimisation multi-object if s de systemes de production. Elle est auteur ou co-autcur
de plusieurs publications et de conferences portant sur ces sujets.
Marc Gravel est prolcsseur titulaire a TUniversitc du Quebec a Chicoutimi. Detenteur d'un B.Sc en
mathematiques ct d'un MBA (Universite Laval), il a obtenu son diplome de doctorat en 1987 de I'Universite Aix-Marseilles III, Ses inlercts dc recherche portent sur la planification et le controle de la production.
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C. GAGNE, M. GRAVEL ET W.L. PRICE
A cet dgard, il entretient des collaborations de recherche avee des industries canadiennes et fran^-aises en
ordonnancement industriel.
Wilson Leonard Price {B.Sc. App. M.Sc, Ph.D.) est professeur associd (adjunct professor) a la Faculte des
Sciences de TAdministration de I'Universite Laval. II est auteur et co-auteur de noinbreuses publications et
conferences et il a guide les travaux de recherche de plusieurs etudiants. II a dirige ou participe a Texecution de divers projets de consultation, notamment dans des domaines relies aux industries des communications, du logiciel et des technologies dc Tintonnation. II a deja 6t6, a diffdrents moments de sa vie, officier
militaire, professeur, entrepreneur et consultant.